连续信号的频域分析

T 2
T
2T
t
图 3.3-3 周期矩形脉冲信号
连续信号的频域分析
为得到该信号的频谱，先求其傅里叶级数的复振幅。
连续信号的频域分析
取样函数定义为
sin x Sa ( x ) x
这是一个偶函数，且x→0时，Sa(x)=1；当x=kπ时，Sa(kπ)=0。
据此，可将周期矩形脉冲信号的复振幅写成取样函数的形式，即
连续信号的频域分析
一、 周期信号的频谱分析
1 三角形式的傅里叶级数
三角函数集｛cosnwt, sinnwt|n=0,1,2,… ｝是一个正交函数
集，正交区间为(t0, t0+T)。这里T=2π/w是各个函数cosnwt，
sinnwt的周期。三角函数集正交性的证明可利用如下公式：
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小量dω，而离散频率nΩ变成连续频率ω。在这种极限情况下，
2Fn Fn趋于无穷小量，但 Fn T 可望趋于有限值，且为一
个连续函数，通常记为F(jω)，即
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Fn jnt 1 f (t ) lim e T 2 n
非周期信号的傅里叶变换可简记为
E n Fn Sa T 2
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Sa(x) 1
－3 －2
－
o

2
3
x
图 2.3-4 Sa(x)函数的波形
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Fn E T 2 o 3

4


图 2.3-5 周期矩形脉冲信号的频谱
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由图 2.3-5 可以看出，此周期信号频谱具有以下几个特点： 第一为离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线 代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。 第二为谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率
Ω的整数倍频率上，即含有Ω的各次谐波分量，而决不含有非
Ω的谐波分量。 第三为收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随nΩ 的变化有起伏变化，但总的趋势是随着nΩ的增大而逐渐减小。 当nΩ→∞时，|Fn|→0。
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f(t) E E 5 2 Fn
＝
2 T
τ o τ － 2 2
f (t )e jt dt f (t ) costdt j



f (t ) sin tdt
R ( ) jX ( )
式中：
R( ) f (t ) costdt X ( ) f (t ) sin tdt

F ( j ) F ( )e j ( ) R( ) jX ( )
T
t (a)
o
4


f(t) E E 10 o τ T t (b)
Fn
o
2 τ

图 2.3-6 不同τ值时周期矩形信号的频谱 (a) τ=T/5; (b) τ=T/10
连续信号的频域分析
f(t) E E 5 Fn
＝
2 T 2

4
τ o τ － 2 2
T
2T
t (a)
o

式中，w=2π/T称为基波角频率，a0/2，an和bn为加权系数。 S 上式就是周期信号x(t)在(t0, t0+T)区间的三角傅里叶级数展开
式。由于x(t)为周期信号，且其周期T与三角函数集中各函数
的周期T相同，故上述展开式在(-∞, ∞)区间也是成立的。
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可得加权系数：
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连续信号的频域分析
与周期信号的傅里叶级数相类似，F(ω)、φ(ω)与R(ω)、 X(ω)相互之间存在下列关系：
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在f(t)是实函数时： (1) 若f(t)为t的偶函数，即f(t)=f(-t)，则f(t)的频谱函数F(jω) 为ω的实函数， 且为ω的偶函数。 (2) 若f(t)为t的奇函数，即f(-t)=-f(t)，则f(t)的频谱函数 F(jω)为ω的虚函数，且为ω的奇函数。 与周期信号类似，也可将非周期信号的傅里叶变换表示 式改写成三角函数的形式，即
T
T 2 0
T 2 0
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考虑到上式中w=2π/T，则an=0。同样可得
连续信号的频域分析
据式，有
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在式中，若取t0=-T/2，则有
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当x(t)为t的奇函数时，则有x(t)cosnwt为t的奇函数， x(t)sinnwt为t的偶函数，因而有：
为 An ( Fn ) nΩ
的实函数的特殊情况下，其复振幅n(Fn)与变量(nΩ)的关系也 An ( Fn )
可以用一个图绘出。
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例 2.3-1
f (t ) 1 3 cos(t 10) 2 cos(2t 20) 0.4 cos(3t 45) 0.8 cos(6t 30),
一般来说Fn亦为一复数，即

t0 T
t0
f (t )e
jnt
dt
1 1 j n j n Fn An An e Fn e 2 2
f (t )
n
Fn e jnt

n


Fn e j ( nt n )
F0
n
2 F

0 .2
3
－ 6－ 5 － 4 － 3－ 2 － o (a)


4 5° 3 0° 1 5° － 6－ 5 － 4－ 3 － 2 － o －1 0° －2 0° －3 0° －4 5° (b)
n
4 5° 3 0° 2 0° 1 0°

2
3
4
5
6

－1 5° －3 0° －4 5°
试画出f(t)的振幅谱和相位谱。 解 f(t)为周期信号，题中所给的f(t)表达式可视为f(t)的傅里
叶级数展开式。据
A0 f (t ) An cos(nt n ) 2 n 1
可知，其基波频率Ω=π(rad/s)，基本周期T=2 s，ω=2π、3π、 6 π分别为二、 三、六次谐波频率。且有
F ( j ) F ( )e
j ( )
习惯上将F(ω)~ω的关系曲线称为非周期信号的幅度频谱 (F(ω) 并不是幅度!)，而将φ(ω)~ω曲线称为相位频谱，它们都是ω的
连续函数。
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f(t)为实函数时，根据频谱函数的定义式不难导出:
F ( j )



f(t) E E 10 τ oτ － 2 2 T t (b)
Fn
＝
2 T 2

4
o


图 2.3-7 不同T值时周期矩形信号的频谱
(a) T=5τ; (b) T=10 τ
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周期矩形脉冲信号含有无穷多条谱线，也就是说，周期 矩形脉冲信号可表示为无穷多个正弦分量之和。在信号的传 输过程中，要求一个传输系统能将这无穷多个正弦分量不失 真地传输显然是不可能的。实际工作中，应要求传输系统能 将信号中的主要频率分量传输过去，以满足失真度方面的基 本要求。周期矩形脉冲信号的主要能量集中在第一个零点之
n
cos(nt n )
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2.3 周期信号的频谱
或
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2.3.1 周期信号的频谱
周期信号的复振幅 An ( Fn ) 一般为nΩ的复函数，因而描
述其特点的频谱图一般要画两个，一个称为振幅频谱，另一 个称为相位频谱。所谓振幅频谱为以ω为横坐标，以振幅为纵 坐标所画出的谱线图； 而相位频谱则为以ω为横坐标，以相 位为纵坐标所得到的谱线图。 在信号的复振幅
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A0 1 2
1 0 1 10 2 20
A1 3 A2 2 A3 0.4 A6 0.8
其余
3 45 6 30
An 0
An 连续信号的频域分析 3 3 2
2
1 0 .4 o
0 .8

2
3
(a)
4
5
上述正交三角函数集中，当n=0时，cos 0°=1, sin 0°=0，而0 不应计在此正交函数集中，故一正交三角函数集可具体写为
1, coswt , cos2wt ,, sin wt , sin 2wt ,
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a0 x(t ) a1 cos wt a2 cos 2wt an cos nwt 2 b1 sin wt b2 sin 2wt bn sin nwt
式中，相关系数Fn
连续信号的频域分析 指数傅里叶级数还可以从三角傅里叶级数直接导出。因为cos θ=(e
jθ+e-jθ)/2，将这一关系应用于式(3.2-9)，并考虑到A 是n的偶函 n
数，φn是n的奇函数，即An=A-n，φn=-φ-n，则式(3.2-9)可写为
连续信号的频域分析
2F 2 An n T
6


4 5°
n
4 5°
3 0°
3 0° 2 0° 1 0°
1 5°
o

2
3
(b)
4
5
6

图 2.3-1 例 2.3-1 信号的频谱 (a) 振幅谱； (b) 相位谱
连续信号的频域分析 2
1 .5 1 0 .4 1
|Fn | 1 .5 1 0 .4
4 5 6
0 .2

2
mn mn
式中，T=2π/Ω为指数函数公共周期，m、n为整数。任意函数
x(t)可在区间(t0, t0+T)内用此函数集表示为
x(t ) F0 F1e F2e
j 2 t
jt
F2e
n
j 2 t
F1e
jt

F e
n
jnt
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2 2 a0 x(t )dt E dt E T 0 T
T
T 2 0
这表明信号f(t)的直流分量为a0/2=E/2。
2 2 a0 x(t )dt E dt E T 0 T
T
T 2 0
2 2 2 E sin nwt a0 x(t ) cos nwdt E cos nwt dt T 0 T T nw
内， 因而，常常将ω=0~
号的频带宽度。记为
2 这段频率范围称为矩形脉冲信
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2.3.3 周期信号的功率
周期信号的能量是无限的，而其平均功率是有界的，因而 周期信号是功率信号。为了方便，往往将周期信号在1Ω电阻上 消耗的平均功率定义为周期信号的功率。显然，对于周期信号 f(t)， 无论它是电压信号还是电流信号，其平均功率均为
连续信号的频域分析
当x(t)为t的偶函数时，由于x(t)cosnwt为t的偶函数，w(t) sinnwt为t的奇函数。据式有
即当x(t)为偶函数时，其傅里叶级数展开式中只可能有直流分 量及cos nwt分量， 而无sin nwt分量。
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2指数形式的傅里叶级数

t0 T
t0
0 jnwt jmwt (e ) (e ) dt T
图 3.3-2 例 3.3-1 信号的 双边频谱 (a) 振幅谱； (b) 相位谱
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2.3.2 周期信号频谱的特点
E f (t ) 0
当t

2
T T 当 t , t 2 2 2 2
f (t) E
－T
T τ o τ － － 2(t )dt
jnt
2
f (t )
n
F e
n

连续信号的频域分析
因此，据函数正交分解中的帕塞瓦尔定理(式(3.1-16))，有
连续信号的频域分析
连续信号的频域分析
2.4 非周期信号的连续时间傅里叶变换
2.4.1 傅里叶变换
连续信号的频域分析 对于非周期信号，重复周期T趋于无限大，谱线间隔趋于无穷




F ( j )e d
jt
一般来说，傅里叶变换存在的充分条件为f(t)应满足绝对 可积， 即要求



f (t ) dt
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2.4.2 非周期信号的频谱函数
由非周期信号的傅里叶变换可知:
1 f (t ) 2



F ( j )e d
jt
频谱函数F(jω)一般是复函数，可记为
例如，可取t0=0，t0=-T/2等等。显然，an 为nw的偶函数， bn为nw的奇函数， 即
an a n bn bn
连续信号的频域分析
连续信号的频域分析
例 2.2-1 求图示信号的傅里叶级数展开式。
图 2.2-1
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解 据式(2.2-6)，在本题中我们取t0=0，则有