人教A版高中数学必修5同步 数列 6

b2
【解析】因为-1,a1,a2,-4成等差数列,设公差为d, 则a2-a1=d=13 ×[(-4)-(-1)]=-1, 因为-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,
所以
b
2 2
=(-1)×(-4)=4,所以b2=±2.
若设公比为q,则b2=(-1)q2,所以b2<0.
所以b2=-2,所以
a2 a1＝1＝1. b2 2 2
an
1， 2
an 113 2an1 212 3an2 32 3an13，
an1 an1 an1 an1 2
所以 a n1 1 3 .
an 1 2
方法二:因为2an+1=3an+1,所以2an+1+2=3an+1+2,
即2an+1+2=3an+3,所以2(an+1+1)=3(an+1),
所以 a n1 1所 以3 . {an+1}是以 为公3 比的等比数列.
3.(2019·齐齐哈尔高一检测)在公比为整数的等比数
列{an}中,a2-a3=-2,a1+a3=
10 3
,则{an}的通项公式
an=______ .
【思维·引】1.用a1,q表示出a2,a5代入解题. 2.将条件用a1,q表示,消元求公比. 3.联立方程组,利用两式相除计算解题.
【解析】1.选C.设公比为q,则 a5 a1q4 q3＝8，
类型二 等比中项及其应用
【典例】1.若三个实数a,b,c成等比数列,其中
a=3- 5 ,c=3+ 5 ,则b= ( )
A.2
B.-2
C.±2
D.4
2.设等差数列{an}的公差d不为0,a1=9d,若ak是a1与a2k 的等比中项,则k等于 世纪金榜导学号( )
A.2
B.4
C.6
D.8
【思维·引】1.利用b是a,c的等比中项求值. 2.将ak,a2k用d表示出来,再利用等比中项列式求值.
【证明】(1)因为Sn=
3 2
an+b,
所以当n≥2时Sn-1=
3 2
an-1+b,
两式相减得Sn-Sn-1=32 an+b-32
所以an= 3 an- 3 an-1,
2
2
所以an=3an-1,又a1=-2b≠0,
an-1-b,
故{an}是公比为q=3的等比数列.
(2)令n=1,则S1=32 a1+b, 所以a1=-2b, 所以a2=-6b,a3=-18b, 所以数列{an+1}的前三项为a1+1=1-2b,a2+1=1-6b, a3+1=1-18b,(a2+1)2=1+36b2-12b. (a1+1)(a3+1)=1+36b2-20b,
a a
1 1
q a
a1 1q
q
2
2 10
3
2， ，
两式相除整理可得,2q2-5q-3=0,
由公比q为整数可得,q=3,a1=13 .所以an=3n-2. 答案:3n-2
【内化·悟】 计算等比数列的基本量时常用到哪种运算? 提示:常用到两式相除.
【类题·通】 关于等比数列基本量的运算
(1)基本量:a1,q,n,an; (2)联系:基本量之间的联系就是通项公式an=a1qn-1,将 条件表示后采用代入、等式相除、整体构造等方法计 算.
an 1 2
2
【素养·探】 在利用定义法证明等比数列的过程中,常常用到核心素 养中的逻辑推理,利用等比数列的定义进行证明. 若将本例中的条件改为“an+1=2an+1”,其他条件不变, 证明:{an+1}是等比数列.
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证明:因为an+1=2an+1, 所以 an 112an112an22，
an1 an1 an1
【类题·通】应用等比中项解题的两个关注点 (1)如果出现等比数列两项的乘积时,就要注意考查是 否能转化为等比中项表示; (2)等比中项一般不唯一,但是如果在等比数列中,还要 关注项的关系,如a4是a2,a6的等比中项,而a4=a2q2,因此 a4与a2的符号相同.
【习练·破】 -1,a,b,c,-25是等比数列,则abc=______ .
1 3
(a1-1),得a1=
(13 a1-1),
所以a1=-
1 2
.又S2=
1 3
(a2-1),
即a1+a2=1 (a2-1),得a2= 1 .
3
4
(2)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=13
(an-1)-
1 3
(an-1-1),
得 a n =-
a n1
.又12 a1=-
,1
2
所以{an}是首项为-
3.等比数列的通项公式 首项为a1,公比是q(q≠0)的等比数列的通项公式为 an=a1qn-1.
【思考】 等比数列的通项公式是an=2n-1,其图象是由什么样的点 组成的?与函数y=2x-1的图象有什么关系? 提示:通项公式为an=2n-1的图象是由离散的点构成,这 些离散的点都在函数y=2x-1的图象上.
类型一 等比数列基本量的计算
【典例】1.(2019·南宁高一检测)在等比数列{an}
中,若a2=3,a5=-24,则a1=
()
A .2B .2C .3D .3
3
3
22
2.(2019·资阳高一检测)已知各项为正数的等比数列
{an}中,a2=1,a4a6=64,则公比q= ( )
A.4
B.3
C.2
D. 2
【解析】设该等比数列的公比为q, 因为b是a,c的等比中项,也是-1,-25的等比中项, 所以b2=-1×(-25)=25,所以b=±5, 又因为b=-1×q2<0,所以b=-5,所以abc=b3=-125. 答案:-125
【加练·固】
已知数列-1,a1,a2,-4成等差数列,-1,b1,b2,b3,-4 成等比数列,求 a 2 a 1 的值.
2.4 等 比 数 列 第1课时 等 比 数 列
1.等比数列 一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同 一个常数,这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比 数列的公比,用q表示(q≠0).
【思考】 (1)定义中为什么“从第2项起”,从第1项起可以吗? 提示:因为数列的第1项没有前一项,因此必须“从第2 项起”.
答案:81
(2)因为a1=
9 8
,q=
2 3
,an=
,1 所以
3
1＝9 ( 2)n1. 38 3
所以 (2)n1＝8＝ 所(2以)3n. -1=3,所以n=4.
3 27 3
答案:4
【加练·固】
已知an=625,n=4,q=5,求a1.
【解析】a1=
an q n 1
＝
625 5 41
=5,故a1=5.
判断an,an-1或an+1,an的关系证明.
(2)等比中项法
证明
a
2 n
=an-1an+1(n≥2)即可,常用于证明表达式较为复
杂的三项成等比数列.
【习练·破】
已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=
1 3
(an-1)(n∈N*).
(1)求a1,a2;(2)求证:数列{an}是等比数列.
【解析】(1)由S1=
a2 a1q
则q=-2,则a1=a
2
2
＝
3 2
.
2.选C.因为各项为正数的等比数列{an}中,a2=1,
a4a6=64,所以a1q
a1q
1 3 a1q5
且q>0,解得a1=
64，
1， 2
q=2,所以公比q=2.
3.设等比数列的首项为a1,公比为q,
因为a2-a3=-2,a1+a31=30 ，
所以
•
8.少年时阅历不够丰富，洞察力、理 解力有 所欠缺 ，所以 在读书 时往往 容易只 看其中 一点或 几点， 对书中 蕴含的 丰富意 义难以 全面把 握。
所以{an+1}是以2为公比的等比数列.
角度2 已知Sn与an的关系证明等比数列
【典例】已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足
Sn=
3 2
an+b(n∈N*,b∈R,b≠0).
(1)求证:{an}是等比数列;
(2)求证:{an+1}不是等比数列. 世纪金榜导学号
【思维·引】(1)消去Sn,利用an,an-1的关系证明; (2)考查出数列的前三项进行证明.
•
3.把握好故事情节,是欣赏小说的基础, 也是整 体感知 小说的 起点。 命题者 在为小 说命题 时,也 必定以 情节为 出发点, 从整体 上设置 理解小 说内容 的试题 。通常 从情节 梳理、 情节作 用两方 面设题 考查。
•
4.根据结构来梳理。按照情节的开端 、发展 、高潮 和结局 来划分 文章层 次,进而 梳理情 节。
【素养小测】 1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于 常数,这个数列一定是等比数列. ( ) (2)若G是a与b的等比中项,则G= a b . ( ) (3)若a,G,b满足G2=ab,则a,G,b一定是等比数列. ( )
提示:(1)×.应等于同一个常数. (2)×.G=± a b . (3)×.如0,0,0满足02=0×0,但不是等比数列.
因为b≠0,所以(a2+1)2≠(a1+1)(a3+1),故数列{an+1} 不是等比数列.
【类题·通】关于等比数列的证明
(1)定义法
①涉及an+1,an,an-1的式子,将关系式代入后证明
bn1 或 bn (n≥2)为常数.
bn
b n 1
②涉及Sn与an的式子,则利用an=Sn-Sn-1,n≥2,消去Sn,
1 ,公比为-
2
的1 等比数列.
2
【加练·固】
已知数列{an}是首项为2,公差为-1的等差数列,令
bn=
(
1 2
)an
,求证数列{bn}是等比数列,并求其通项公式.
【证明】由已知得an=2+(n-1)×(-1)=3-n,
故bn1＝(12)3n1＝ (1)3n13n＝ (1)1＝ 2，
bn
(1)3n
•
5.根据场景来梳理。一般一个场景可 以梳理 为一个 情节。 小说中 的场景 就是不 同时间 人物活 动的场 所。
•
6.根据线索来梳理。抓住线索是把握 小说故 事发展 的关键 。线索 有单线 和双线 两种。 双线一 般分明 线和暗 线。高 考考查 的小说 往往较 简单,线 索也一 般是单 线式。
•
7.阅历之所以会对读书所得产生深浅 有别的 影响， 原因在 于阅读 并非是 对作品 的简单 再现， 而是一 个积极 主动的 再创造 过程， 人生的 经历与 生活的 经验都 会参与 进来。
【习练·破】
在等比数列{an}中
(1)已知a3=9,a6=243,则a5=______ .
(2)已知a1= 9
8
,an=
1 3
,q= 2
3
,则n=______
.
【解析】(1)由a3=9,a6=243, 得a1q2=9,a1q5=243.所以q2 394 =3 =27,所以q=3. 所以a1=1.所以a5=a1q4=1×34=81.
(2)怎样利用递推公式表示等比数列?
提示: a n=q(n≥2)或 =a n q 1 (q≠0).
a n1
an
2.等比中项 在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫 做a与b的等比中项.
【思考】 G是a与b的等比中项,a与b的符号有什么特点?a,G,b满 足的关系式是什么? 提示:a与b同号,满足的关系式是G2=ab.
2.已知2,b,8是等比数列,则实数b= ( )
A.6
B.4
C.-4
D.4或-4
【解析】选D.因为2,b,8成等比数列,
所以b=± 2 =8 ±4.
3.在等比数列{an}中,a1=-3,a4=81,则an=______ . 【解析】设等比数列{an}的公比为q, 因为a1=-3,a4=81,所以81=-3×q3, 解得q=-3,则该数列的通项an=(-3)×(-3)n-1=(-3)n. 答案:(-3)n
2
2
2
所以数列{bn}是等比数列.因为b1=
(
1 2
)
3
1＝
1 4
，
所以bn=(
1 4
)
×2n-1=2n-3.
•
1.情节是叙事性文学作品内容构成的 要素之 一,是叙 事作品 中表现 人物之 间相互 关系的 一系列 生活事 件的发 展过程 。
•
2.它由一系列展示人物性格,反映人物 与人物 、人物 与环境 之间相 互关系 的具体 事件构 成。
类型三 等比数列的判定 角度1 利用定义证明等比数列 【典例】已知数列{an}满足a1=1,2an+1=3an+1. 证明:{an+1}是等比数列. 世纪金榜导学号 【思维·引】证明 a n 1 为 1 常数,或整体构造证明.
an 1
【证明】方法一:因为2an+1=3an+1,
所以an+1=32
【解析】1.选C.三个实数a,b,c成等比数列,
则b2=ac=(3- 5 )(3+ 5 )=9-5=4,则b=±2.
2.选B.因为an=(n+8)d,又因为a
2 k
=a1·a2k,
所以[(k+8)d]2=9d·(2k+8)d,
解得k=-2(舍去)或k=4.
【内化·悟】 等比数列中,a1和a5的等比中项是哪一项?a2和a8呢? 提示:a1和a5的等比中项是a3,a2和a8的等比中项是a5.