线性代数证明题

和m阶初等方阵Q1,Q2,…Qt， 使得
Er PP2 Ps AQ1Q2 Qt 1 O( nr )r
Or( mr ) O( n r )( mr ) Or( mr )
于是
1 s 1 1 2 1
Er Er O( nr )r
证明 记A的列向量为1, 2,…, n，其极大线性无关组
为1, 2,…, r, B的列向量为1, 2,…, n, 其极大线性无关
组为1, 2,…, s, 则
1, 2,…, n 可由1, 2,…, r线性表示，1, 2,…, n 可由1, 2,…, s线性表示，于是有 1+1, 2+2,…, n+n 可由1, 2,…, r, 1, 2,…, s 线性表示，所以 R(A+B)r+s=R(A)+R(B)
7 r3 r4 1 r4 43 r3 0 7 14 112 0 7 5 0
7 14 34 19 4 7 10 14 1 5 327 0 7
可见, R(A)=4, 方程组只有零解, 没有基础解系.
4. 设向量组1, 2,…, s的秩为r, 在其中任取m个向量i1,
i2,…,im，证明: R{i1, i2,…,im}r+m－s.
证明 由于R{i1, i2,…,im}0, 故ms－r时结论成立.
当m>s－r时，不妨设1, 2,…, r是向量组1, 2,…, s的
2. 证明: 一个向量组的任一线性无关组都可以扩充为一个
极大线性无关组. 证明 设向量组1, 2,…, s的秩为r, 任取它的一个线 性无关组
i ,i ,,i
1 2
t
如果t<r, 则向量组中一定存在向量j使
i ,i ,,i , j
1 2 t
线性无关.
所以任一线性无关组都可以扩充为含有r个向量的线
16. 证明 两个矩阵和的秩不超过两个矩阵秩的和，即 R(A+B)R(A)+R(B)
证明 记A的列向量为1, 2,…, n，其极大线性无关组
为1, 2,…, r, B的列向量为1, 2,…, n, 其极大线性无关
组为1, 2,…, s, 则
1, 2,…, n 可由1, 2,…, r线性表示，1, 2,…, n 可由1, 2,…, s线性表示，于是有 1+1, 2+2,…, n+n 可由1, 2,…, r, 1, 2,…, s 线性表示，所以 R(A+B)r+s=R(A)+R(B)
则，1, 2,…, s能由 i1 , i2 ,, ir 线性表示. 所以
1 2 r
i , i ,, i 也是向量组1, 2,…, s, 1, 2,…, t的一
个极大线性无关组, 所以R(1, 2,…, s, 1, 2,…, t)=r
于是, 1, 2,…, s的极大线性无关组也是1, 2,…, s, 1, 2,…, t的极大线性无关组． 所以向量组1, 2,…, s和1, 2,…, t等价.
17. 设A与B可乘且AB=0, 证明 R(A)+R(B)A的列数
证法二 由于AB=0, 故B的列向量都是Aｘ=0的解,
记A的列数为ｎ，R(A)=ｒ，则R(B)ｎ－ｒ，于是 R(A)+R(B)ｎ
第三章习题B（64页）
1. 证明: 1, 2,…, s(其中10)线性相关的充要条件是至 少有一个i(1<is)可被1, 2,…, i-1线性表示. 证明 只证必要性：设1, 2,…, s线性相关，则存在 不全为零的数k1,k2,…,ks, 使得k11＋k22＋…＋kss＝0
Er A P P P Er O( nr )r
Or( mr ) Q Q Q
1 t 1 2
1 1
记
Er P P P P , Q Er O( nr )r
1 s 1 1 2 1
Or(mr ) Qt1 Q2 1Q1 1
17. 设A与B可乘且AB=0, 证明 R(A)+R(B)A的列数 证法一 由于
E E B E B = A A 0
所以
E B E R(A) R(B) R R A 0 A
即：R(A)+R(B)A的列数
16. 证明 两个矩阵和的秩不超过两个矩阵秩的和，即 R(A+B)R(A)+R(B)
由于10，故k2,…,ks不全为零，于是存在i(1<is)使
ki 0, 但ki＋1＝ki+2=…=ks=0
因此有Baidu Nhomakorabea
k11＋k22＋…＋kii＝0，即
ki 1 k1 k2 i 1 2 i 1 ki ki ki
所以i(1<is)可被1, 2,…, i-1线性表示.
则，A=PQ, 且P是nr阶矩阵，Q是rm阶矩阵．
又由于P1-1,P2-1,…Ps-1和Q1-1,Q2-1,…Qt-1都是 初等方阵，
所以
Er P , O( nr )r
于是，R(P)=R(Q)=r.
Q Er
Or( mr )
4
解
2 3 A 4 1
r3 9 / 7 r2 r4 r2
2 x1 3 x2 x3 5 x4 3 x x 2 x 7 x 1 2 3 4 4 x1 x2 3 x3 6 x4 x1 2 x2 4 x3 7 x4
0 0 0 0
3 1 1 2
性无关组，也就是向量组的一个极大线性无关组.
3. 已知两向量组有相同的秩, 且其中之一可被另一个线性
表示. 证明：这两个向量组等价. 证明 设向量组1, 2,…, s和1, 2,…, t的秩都为r, 且1, 2,…, s能由1, 2,…, t线性表示， 1, 2,…, t的一 个极大线性无关组为 i1 , i2 ,, ir
1 2 3 4
5 r r 1 r1 3r4 7 2 1 0 6 r3 4 r1 0 r4 2 r1 7 0
2 7 9 7
2 7 0 0
4 10 19 9
1 0 0 0
2 7 0 0
4 10 43 7 1
一个极大线性无关组，则向量组i1, i2,…,im中至少包含
向量组1, 2,…, r中的m－(s－r)=r+m－s个向量，而这
r+m－s个向量线性无关，所以R{i1, i2,…,im}r+m－s.
5. 设nm阶矩阵A的秩为r, 证明: 存在秩为r的nr阶矩阵P
及秩为r的rm阶矩阵Q，使 A=PQ. 证明 因为R(A)=r, 所以存在n阶初等方阵P1,P2,…Ps