求点的轨迹方程的六种常见方法讲解

求动点A的轨迹方程.
解：以BC边所在直线为x轴，以线段BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.
因为sinC-sinB= 1 sinA，由正弦定理得：AB - AC = 1 BC ，
2
2R 2R 2 2R
所以AB-ACຫໍສະໝຸດ Baidu 1 a（定值）. 2
根据双曲线定义，A点的轨迹方程是双曲线的右支（除顶点），它的焦距是2c
kCM
kPQ

1，则
y x
3 3

y x
5 3

1，整理得：x2

(y
1)2

25，
所以所求轨迹方程是圆x2 ( y 1)2 25在已知圆内的一段弧.
Y P
.M C
Q
-3
3
X
. C -5
一、求动点的轨迹方程的常用方法
• 定义法 • 直译法 • 也称相关点法: 所求动点M的运动依赖于一
又k= y0 x0 3
解得，
消去k,得(x+3)2+y2=9
x0= 1 k 2 3k
y0= 1 k 2
6k 2
因此
x= 1 k 2 6k
y= 1 k 2
?
故所求轨迹为(-3,0)为圆心，3为半径的圆.
交轨法
• 若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线 的方程直接求出交线的方程，即为所求动点 的轨迹方程。这种求轨迹方程的方法叫做交 轨法。此类问题难度较大，曾经在高考压轴 题中出现过，但不论复杂程度如何，牢牢把 握曲线相交的性质就把握了解题的关键。
所以

x
y R y

n m
n
R ，且m2

n2

R2
x R R m
y
所以x2 y2 R2即为所求的轨迹方程.
P P1
A1
O
A2
x
P2
【例7】（2003年高考数学全国卷第22题）已知常数a 0，在矩形ABCD中，AB 4， BC 4a，O为AB的中点.点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，
方程。
y
解：设动圆圆心为P(x,y).
AP
由题，得 (x 2)2 y2 2 | x | (x 2)2 y2 (2 | x |)2
oB
x
即
-4x+y2=4|x|
得动圆圆心的轨迹方程为y=0(x<0),或y2=8x(x>0)
变式：外切改为相切呢？
相关点法
• 如果动点P（x,y）依赖于已知曲线上另一动点Q （u,v）(这种点叫相关动点)而运动，而Q点的坐标u、 v可以用动点P的坐标表示，则可利用点Q的轨迹方程， 间接地求得P点的轨迹方程.这种求轨迹方程的方法 叫做变量代换法或相关点法.此类问题的难度属中档 水平，可能在选择题或填空题出现，也可能在解答 题中出现，属于小题中较难的题目但属于大题中较 易的题目。
2
2
2
当a2 1 时，点P到椭圆两个焦点(0, a a2 1 )和(0, a a2 1 )的距离之和为定值2a.
2
2
2
变式 (2003年高考第22题变式)已知常数a>0,在矩形ABCD中，
AB=4,BC=4a,O为AB中点，点E,F,G分别在BC、CD、DA上移动， 且 BE CF DG ,P为GE与OF的交点,求点P轨迹方程。
且 BE CF DG .P为GE与OF的交点（如图）. BC CD DA
问：是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在， 求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.
y
DF
C
E P
G
A
O
Bx
解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两点，
使得P到两定点距离的和为定值.按题意有A(2, 0)，B(2, 0)，C(2, 4a)，D(, 2, 4a).
• 以下举一个例子说明：
3.相关点法
【例4】过双曲线x2-y2=1 上一点Q引直线x+y=2的垂线,垂足为N,求 线段QN的中点P的轨迹方程.
解:设点P,Q的坐标分别为P(x,y),Q(u,v),则N点坐标为(2x-u,2y-v).
点N在直线x+y=2上,
2x-u+2y-v=2 ①
又PQ垂直于直线x+y=2, 所以 y u 1,即x-y+v-u=0 ②
整理得
x2 1

(y a)2 a2
1.
2
当a2 1 时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点 2
当a2 1 时，点P的轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长. 2
当a2 1 时，点P到椭圆两个焦点( 1 a2 , a)和( 1 a2 , a)的距离之和为定值 2.
xv
联立①
②得:
u

3 2
x

1 2
y
1
v

1 2
x

3 2
y
1
又点Q在双曲线上,即u2-v2=1,即得动点P的轨迹方程为:
2x2-2y2-2x+2y-1=0
4.参数法
【例5】如图,过点A(-3,0)的直线l与曲线 ：x2+2y2=4交于C,B两
点.作平行四边形OBPC，求点P的轨迹。
五类参数：点坐标，斜率，比例，角度，长度等
设双曲线方程为：x 2
y2 -
=1，则2m=AB-AC= a ，所以m= a ，m2 = a2 ，
m2 n2
2
4
16
又n
2
=c2
-m2
=(
a 2
)
2
-
a2 16
=
3a 2 16
，故动点A的轨迹方成为：x a
2 2
-
y2 3a 2
=1(x>0)
16 16 正弦定理：在一个三角形中，各边和它对角的正弦的比相等且等于2R
（R是三角形外接圆半径）
直译法
• 动点直接与已知条件联系，直接列动点的关系式，即可求 得轨迹方程，此类问题非常容易，现在的高考已经不可能 单独考察此类问题，即使出现也将是某个题目的一个中间 步骤。
• 以下举一个例子说明：
2.直译法
【例2】求与圆x2+y2-4x=0外切且与Y轴相切的动圆的圆心的轨迹
已知曲线上的一个动点M0的运动,将M0的坐 标用M的坐标表示,代入已知曲线,所的方程 即为所求. • 参数法:动点的运动依赖于某一参数(角度、 斜率、坐标等)的变化,可建立相应的参数方 程,再化为普通方程.
二、注意
1、化简要等价变形，且能结合图形对题意的检验 2、要区分轨迹与轨迹方程 3、如何合理引参？
定义法
• 若题设有动点到两点的距离之和或差为定值等条件 时，可以利用圆锥曲线的定义直接写出所求动点的 轨迹方程。此类问题相对也非常简单，因此单独出 现的可能性也很小，可能作为一个中间步骤出现。
• 以下举一个例子说明：
1.定义法
【例1】在ΔABC中，已知BC=a，当动点A满足条件sinC-sinB= 1 sinA时， 2
设 BE CF DC k，(0 k 1).由此有E(2, 4ak)，F (2 4k, 4a)，G(2, 4a 4ak). BC CD DA
直线OF的方程为：2ax (2k 1) y 0，直线GE的方程为： a(2k 1)x y 2a 0.
从两直线方程中消去参数k，得点P(x, y)坐标满足方程2a2x2 y2 2ay 0，
• 以下举一个例子说明：
6.几何法
【例8】已知圆的方程为x2 y2 6x 6y 14 0，求过点A(3, 5)的直线 交圆的弦的中点的轨迹.
解：圆的方程为(x 3)2 ( y 3)2 4，则圆心C的坐标为(3,3).
设过点A的直线交圆于P、Q两点，M (x, y)是PQ的中点，连CM，则CM PQ，故有：
解法一：利用韦达定理
P
y B
解法二：点差法 连PO交CB于G.
设P(x,xy1)2,+G2y(x120=,y40), C(x1,y1),B(x2,y2),则 A C
x22+2y22=4 作差，得(x2-x1) (x2+x1)+

(y2-y1)
(y2+y1)=0
G o
x
即x0+y0k=0
3k 2
直线GE的方程为 -a(2k-1)x+y-2a=0…………②
从①②消去参数k，得点P(x,y)坐标满足方程 2a2x2+y2-2ay=0 (去掉（0，0））
几何法
• 运用平面几何的轨迹定理和有关平面几何的 知识，分析轨迹形成的条件，求出轨迹方程， 这种求轨迹方程的方法称为几何法。在解决 某些复杂问题时，深入分析图形性质，利用 此种方法，可能非常简便。
BC CD DA
解：以AB所在直线为x轴,过o垂直AB 直线为y轴,建立如图直角坐标系.
DF
y
C
依题意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a)
P
E
设 BE CF DG =k(0≤k≤1),由此有
G
BC CD DA
A
o
Bx
E(2,4ak), F(2-4k,4a), G(-2,4a-4ak) 直线OF的方程为 2ax+(2k-1)y=0……………①
• 以下举两个例子说明：
5.交轨法
【例6】设A1、A2是一个圆的一条直径的两个端点，P1P2是垂直A1 A2的弦， 求直线A1P1与A2 P2交点的轨迹方程.
解：以直线A1 A2位x轴，圆心O为原点，建立平面直角坐标系，如图. 设O的半径为R，P1(m, n)，A1P1与A2P2交点P(x, y)，则A1(R,O)，A2 (R,O)，P2 (m, n). 因为A1、P1、P三点共线，A2、P2、P三点共线，