二项式定理及应用

莱西市数学公开课教案

课 题：二项式定理及应用 课 型：复习课

教学目标： 1、知识目标：（1）理解并掌握二项式定理，从项数、指数、系数、通项几个特征熟记它的展开式。

（2）使学生掌握二项式定理习题的一般解题方法，熟练二项式定理的应用。

2、能力目标：（1）教给学生怎样记忆数学公式，从而优化记忆品质。

（2）进行化归思想、整体思想的渗透，培养学生的发散思维和逆向思维能力。

3、情感目标：通过对二项式定理的复习，使学生感觉到能掌握数学的部分内容，有意识地让学生演练一些历年高考试题，使学生体验到成功，树立学好数学的信心。 教学重点：能利用二项式定理解决相关问题 教学难点：二项展开式系数的性质及应用 教学方法：讲练结合 教 具：多媒体 教学过程： 一、课前练习

1、设n 为自然数，则n n n k n k n k n n n n

C C C C )1(2)1(22110

-++-++--- 等于…………（ D ）

（A ） （B ）0 （C ）－1 （D ）1 2、(2007江西)n x

x )3(

3

+展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（C ）

（A ）4 （B ）5 ( C)6 (D)7 3、(2007重庆) n

x

x )1(+

展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为…………………（B ） （A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）120 4、（2007安徽）已知=-

5)1(x a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5,则(a 0+a 2+a 4)(a 1+a 3+a 5)= -256

小结：1、二项式定理的逆用不可忽视。2、求二项式系数和、二项展开式各项系数和或部分项系数和用赋值法 3、研究特定项用通项公式

设计目的：复习基础知识，体验二项式定理习题的一般解题方法，锻炼逆向思维能力，让学生演练一些历年高考试题，体验到成功，树立学好数学的信心。 二、复习提问： 1.二项式定理：n

n n r r n r n n n n n n n n

b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)

(

教师强调展开式的特点： （1）项数 n+1项 （2）二项式系数 依次为0

n C ,C 1

n ,C 2

n ,…C n

n

(3)指数的特点 1)a 的指数 由n 0( 降幂)。 2 )b 的指数由0 n （升幂）,b 的指数与该项组合数的上标相等。 3）a 和b 的指数和为n 。抓住特点会逆用。

说明：（1）、a n-k b k

相当于从n 个(a+b)中取出k 个b ，其余n-k 个(a+b)中都取a ，共k

n C 种取法,故a n-k b

k

的系数为k

n C ，叫做二项式系数。

(2) n b a )(+与n

a b )(+虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的。

（3）展开式是一个恒等式，a ，b 可取任意的复数，n 为任意的正整数。由这个恒等式a ，b 取值的任意性，我们可以令a ，b 分别取一些不同的值来解决某些问题，这就是我们所说的“赋值法”。 2.二项式通项公式：r

r n r n r b a C T -+=1 （r=0,1,2,…,n ）反映出展开式在指数、项数、系数等方面的内

在联系

3.二项式系数的性质：

（1）在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等。 （2）二项式系数k

n C ，当k<

21+n 时，是递增的；当k>2

1

+n 时，是递减的;因此 如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大，为2n

n

C 如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项的二项式系数相等且最大，为21

-n n

C 和 21+n n

C

（3） n n n n n n n n n n

C C C C C C 212210

=++++++--

15314202-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C （奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式

系数之和）

4. 注意（1）奇数项、偶数项、奇次项、偶次项各自表示的意义。

（2）区分“某项”、“某项的二项式系数”、“某项的系数”，如 n x )2(+

的展开式中，第r+1项为

r r n r n r x C T -+=21，二项式系数为r n C ，项的系数为r n C r n -2。

设计目的：（1）理解并掌握二项式定理，从几个特征熟记它的展开式。 （2）教给学生怎样记忆数学公式，从而优化记忆品质。 三、典例分析

类型一 二项展开式及通项公式的应用

二项展开式的通项公式，反映出展开式在指数、项数、系数等方面的内在联系，因此能运用二项展开式的通项公式求特定项、特定项系数等。 例1、已知在n x

x )21(

33

-

的展开式中，第6项为常数项。

（1）求n ；（2）求含x 2

的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项 点拨：求指定项应借助通项公式确定r 值 解析：（1）通项公式为33

1

)21(r

r r n r

n

r x x

C T --+-==3

2)2

1(r

n r r

n x C --

因为第6项为常数项，所以r=5时,有3

2r

n -=0,即n=10 (2)令32r n -=2，得r=2)610(2

1)6(21=-⨯=-n