21平面曲线的方程
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§2.1 平面曲线的方程
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解析几何
一、曲线的方程
定义1 当平面上取定了坐标系之后，如果一个方程与一条曲线之
间有着关系：
①满足方程的 x, y 必是曲线上某一点的坐标；
②曲线上任何一点的坐标 x, y 满足这个方程，
那么这个方程就叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做这个方程 的图形。
b
b
j.
此式即为内旋轮线的向量式参数方程，
（ )为参数.
圆的内摆线
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解析几何
设P点的坐标为（x，y），可得内旋轮线 的坐标式参数方程为
x
y
（a （a
b）cos b cos a b
b
b) sin b sin a b
b
，（
)
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r OP OA AC CP,
设 （CP，CA），于是 （i，CP） （ ），
2
则CP ia co（s ） ja sin（ ）=（-asin）i （-acos）j.
2
2
又因为 OA AP a，所以OA a i，AC a j，
故r a sin i a 1 cos j
即为所求P点轨迹的向量式参数方程，
其中 t 为参数。
其坐标式参数方程为：
x y
xt y t
,
a
t
b
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解析几何
例3 一个园在一直线上无滑动地滚动，求圆上一定点的轨迹
该定点的轨迹为旋轮线或摆线（cycloid）
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解析几何
解：取直角坐标系，设半径为a的圆在x轴上滚动， 开始时点P恰好在原点O，经过一段时间的滚动， 圆与x轴的切点移到A点，圆心移到C点，这时有
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解析几何
解：设运动开始时动点P与大圆周上的点A重合，并取大圆中心O为原点，OA为x轴
过O点垂直于OA的直线为y轴，经过一段时间后，小圆与大圆的接触点为B，并设小
圆中心为C，则C一定在半径OB上，显然有r OP OC CP，
设 = （i，OC）， （CP，CB），则OC （i a-b）cos +（j a b）sin，
类似可得圆心在（a，b)半径为R的圆的方程为 （x-a)2 ( y b)2 R2.
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解析几何
例2 已知两点A2, 2 和 B 2, 2，求满足条件 MA MB 4
的动点M 的轨迹方程
解：动点M（x，y）在轨迹上的充要条件是 MA MB 4，即
（x 2）2 （y 2）2 （x 2）2 （y 2）2 4，（2） 移项得 （x 2）2 （y 2）2 （x 2）2 （y 2）2 4， 两边平方整理得 （x 2）2 （y 2）2 x y 2，（3） 再两边平方整理得xy=2，（4）
其中（ )为参数.
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解析几何
取直角坐标系，设半径为a的圆在x轴上滚动，
开始时点P恰好在原点O，设P点的坐标为（x，y），
可得P点的坐标式参数方程为
x y
a a
sin ，（ 1 cos
)
取0 时，消去参数，可得P点轨迹
在0 时的普通方程为
且有a AB PB b，所以= a ， （i，CP）= -= b a ，
b
b
又 CP b，所以CP ib cos b a jb sin b a
b
b
ib cos a b jb sin a b ，
b
b
r
（ a
b）cos
b cos
aຫໍສະໝຸດ Baidu
b
b
i
（ a
b) sin
b sin
a
概括言之，曲线上的点和方程之间存在这一一对应的关系
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解析几何
例1 求圆心在原点，半径为R 的圆的方程
解：由圆的定义，任意一点M（x，y）在圆上的充要条件是M到 圆心O的距离等于半径R，即 OM R，由两点间的距离公式可得
x2 y2 R，
(1)
两边平方可得x2 y2 R2.(2.1.1) 方程（1）与（2.1.1）完全同解，所以（2.1.1)即为所求圆的方程.
定义2
若取 t a t b 的一切可能取值
①由 r t xte1 y te2 a t b 表示的向径 r t 的终点总在一条曲线上
②在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的向径，而这向径可由 t
的某一值t0 a t0 b 通过 r t xte1 yte2 a t b 完全决定, 那么就把 r t xt e1 y t e2 a t b 叫做曲线的向量式参数方程，
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解析几何
方程（2）与（3）同解，而（4）与 （3）却不同解，但附加条件x y 2 0 即x y 2后（4）与（3），（2）都是同
解的，所以方程xy=2（x y 2） 为所求动点M的轨迹方程.
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解析几何
二、曲线的参数方程
x=aarccos a y 2ay y2 . a
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解析几何
三、常见曲线的参数方程
(1) 一个半径为r 的小圆在半径为R 的大圆内无滑动地滚动，小圆周上一 定点P 的运动轨迹称为内摆线(hypocycloid）
例4 已知大圆半径为a ，小圆半径为b，设大圆不动， 而小圆在大圆内无滑动地滚动，求动圆周上某一定 点P 的轨迹方程
运动轨迹称为外摆线（epicycloid）
参数方程为：
x
y
R r cos R r sin
r cos R r r
r sin R r r
,
特别地，当R=r时，得到心脏线
圆的内摆线
解析几何
特殊地，当a 4b时，应用公式cos3 4cos3 3cos，
sin 3 3sin 4sin3 ，
内旋轮线的方程化为
x y
a a
cos3 ， sin3 .
这样的内旋轮线称为四尖点星形线.
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四尖点星型线
解析几何
（2）一个半径为r的小圆在半径为R的大圆外无滑动地滚动，小圆周上一个定点P的
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解析几何
一、曲线的方程
定义1 当平面上取定了坐标系之后，如果一个方程与一条曲线之
间有着关系：
①满足方程的 x, y 必是曲线上某一点的坐标；
②曲线上任何一点的坐标 x, y 满足这个方程，
那么这个方程就叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做这个方程 的图形。
b
b
j.
此式即为内旋轮线的向量式参数方程，
（ )为参数.
圆的内摆线
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解析几何
设P点的坐标为（x，y），可得内旋轮线 的坐标式参数方程为
x
y
（a （a
b）cos b cos a b
b
b) sin b sin a b
b
，（
)
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r OP OA AC CP,
设 （CP，CA），于是 （i，CP） （ ），
2
则CP ia co（s ） ja sin（ ）=（-asin）i （-acos）j.
2
2
又因为 OA AP a，所以OA a i，AC a j，
故r a sin i a 1 cos j
即为所求P点轨迹的向量式参数方程，
其中 t 为参数。
其坐标式参数方程为：
x y
xt y t
,
a
t
b
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例3 一个园在一直线上无滑动地滚动，求圆上一定点的轨迹
该定点的轨迹为旋轮线或摆线（cycloid）
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解：取直角坐标系，设半径为a的圆在x轴上滚动， 开始时点P恰好在原点O，经过一段时间的滚动， 圆与x轴的切点移到A点，圆心移到C点，这时有
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解：设运动开始时动点P与大圆周上的点A重合，并取大圆中心O为原点，OA为x轴
过O点垂直于OA的直线为y轴，经过一段时间后，小圆与大圆的接触点为B，并设小
圆中心为C，则C一定在半径OB上，显然有r OP OC CP，
设 = （i，OC）， （CP，CB），则OC （i a-b）cos +（j a b）sin，
类似可得圆心在（a，b)半径为R的圆的方程为 （x-a)2 ( y b)2 R2.
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例2 已知两点A2, 2 和 B 2, 2，求满足条件 MA MB 4
的动点M 的轨迹方程
解：动点M（x，y）在轨迹上的充要条件是 MA MB 4，即
（x 2）2 （y 2）2 （x 2）2 （y 2）2 4，（2） 移项得 （x 2）2 （y 2）2 （x 2）2 （y 2）2 4， 两边平方整理得 （x 2）2 （y 2）2 x y 2，（3） 再两边平方整理得xy=2，（4）
其中（ )为参数.
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取直角坐标系，设半径为a的圆在x轴上滚动，
开始时点P恰好在原点O，设P点的坐标为（x，y），
可得P点的坐标式参数方程为
x y
a a
sin ，（ 1 cos
)
取0 时，消去参数，可得P点轨迹
在0 时的普通方程为
且有a AB PB b，所以= a ， （i，CP）= -= b a ，
b
b
又 CP b，所以CP ib cos b a jb sin b a
b
b
ib cos a b jb sin a b ，
b
b
r
（ a
b）cos
b cos
aຫໍສະໝຸດ Baidu
b
b
i
（ a
b) sin
b sin
a
概括言之，曲线上的点和方程之间存在这一一对应的关系
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解析几何
例1 求圆心在原点，半径为R 的圆的方程
解：由圆的定义，任意一点M（x，y）在圆上的充要条件是M到 圆心O的距离等于半径R，即 OM R，由两点间的距离公式可得
x2 y2 R，
(1)
两边平方可得x2 y2 R2.(2.1.1) 方程（1）与（2.1.1）完全同解，所以（2.1.1)即为所求圆的方程.
定义2
若取 t a t b 的一切可能取值
①由 r t xte1 y te2 a t b 表示的向径 r t 的终点总在一条曲线上
②在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的向径，而这向径可由 t
的某一值t0 a t0 b 通过 r t xte1 yte2 a t b 完全决定, 那么就把 r t xt e1 y t e2 a t b 叫做曲线的向量式参数方程，
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方程（2）与（3）同解，而（4）与 （3）却不同解，但附加条件x y 2 0 即x y 2后（4）与（3），（2）都是同
解的，所以方程xy=2（x y 2） 为所求动点M的轨迹方程.
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二、曲线的参数方程
x=aarccos a y 2ay y2 . a
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三、常见曲线的参数方程
(1) 一个半径为r 的小圆在半径为R 的大圆内无滑动地滚动，小圆周上一 定点P 的运动轨迹称为内摆线(hypocycloid）
例4 已知大圆半径为a ，小圆半径为b，设大圆不动， 而小圆在大圆内无滑动地滚动，求动圆周上某一定 点P 的轨迹方程
运动轨迹称为外摆线（epicycloid）
参数方程为：
x
y
R r cos R r sin
r cos R r r
r sin R r r
,
特别地，当R=r时，得到心脏线
圆的内摆线
解析几何
特殊地，当a 4b时，应用公式cos3 4cos3 3cos，
sin 3 3sin 4sin3 ，
内旋轮线的方程化为
x y
a a
cos3 ， sin3 .
这样的内旋轮线称为四尖点星形线.
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四尖点星型线
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（2）一个半径为r的小圆在半径为R的大圆外无滑动地滚动，小圆周上一个定点P的