电磁学(梁灿彬)第二章 导体周围的静电场
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+ E0 + - + + E -+ ++ +
-
E0
在外场 E0作用下，导体中的自由电荷将发生
移动，结果使导体的一边带正电，另一边带负电。 这是由于静电感应现象造成的。以上过程只能是 暂时的，因为当导体两边积累了正、负电荷之 后，它们就产生了一个附加电场 E ， 与 E0的迭加 E 结果，使导体内、外的电场都发生重新分布，在 导体内部 E 的方向是与外电场 E0 的方向相反，当 E 导体两边的正、负电荷积累到一定的程度时， 的数值就会大到足以把 E0 完全抵消。此时导体内 部的总电场 E E0 E 处处为零时，自由电荷便 不再移动，导体两边正、负电荷不再增加，于是 达到了静电平衡状态。
我们知道，电场线的性质形象地反映了 静电场的两个规律，用电场线的性质去 定性地讨论一些问题，能够得到一些令 人满意的结果。
四、静电平衡时的电场分布、电荷分 布情况
[例1]：如图所示带电系统。
+ + A + + B + + +
1、电场线能不能由导体B的一端正电荷发出 而终止于另一端的负电荷? 不能。因为电力线总是从电位高的地方 指向电位低的地方，而导体B是一个等位体。
在导体外紧靠表面任取一 点P ，该点的场强 ˆ E En n ，在P点附近的 导体表面上取一面元△S1， 这面元取得充分小，使得 其上的电荷面密度σ可认 ˆ 为是均匀的，以 为轴， n △S1为底作一Gauss面， 使园柱侧面与△S1垂直， 园柱的上底通过 P，下底 在导体内部，两底都与 △S1平行，并无限靠近， 因此通过Gauss面的电通 量为
二、本章的基本要求
1.了解金属导体电结构的基本特点，理解静电感应现象， 了解静电平衡建立的过程； 2.掌握导体的静电性质，能从静电平衡条件出发，根据静 电场的基本规律分析论证导体在静电平衡时的电位分布、 电荷分布、场强分布等特点； 3.理解并初步掌握用电场线的性质讨论导体静电平衡问题 的基本方法； 4.掌握空腔导体静电平衡时腔内表面电荷分布的特点及其 论证方法，理解静电屏蔽的原理，了解静电屏蔽的应用； 5.掌握电容的概念及电容器的串、并联公式，会求几种典 型电容器（平行板、球形、圆柱形）的电容； 6.掌握点电荷组﹑电容器的能量表示式。
电磁学讲义
Electromagnetism Teaching materials
第二章 导体周围的静电场
2010级物理学专业
前言（Preface） 静电场中的导体 (Conductor in electrostatic field) 封闭导壳内外的场 (Field of confining conductor shell) 电容器及其电容 (Capacitor and its capacity) 带电体系的静电能 (Charged bodies electrostatic energy)
下面来看导体从非平衡态趋于平衡态的过程： 考虑一个不带电的导体，在其周围没有带电体 时，它的内部以及表面上电荷处处为零，导体内 部各点场强为零，从而导体内部各点场强为零， 这是个最简单的静电平衡状态。当把一个不带电 的导体放在外场 E0 中，在导体所占据的那部分 空间里本来是有电场 E0 存在的，各处的电位不同。
5、不带电导体B左端接地，B上不存在正 电荷
×
+A + + + ×
-
B
×
无穷远
若将B右端接地，则右端的正电荷就沿接 地线流入大地，B上不存在正电荷了（实际上是 电荷重新分布达到新的平衡的结果）。 若将B的左端接地，同样是正电荷“跑 掉”。这是静电平衡导体的基本性质所决定的 电荷重新分布的结果。假若B上有正电荷存在， 那么B右端一定要发出电场线，但这些电场线一 不能终止于B上负电荷，二不能终止于A上正电 荷，三不能终止于地（因为B接地后已和地构成 一个等位体），电场线既然无处可去，B上就不 可能有正电荷存在，这与接地线在何处无关。
4、施感电荷的电量必大于或等于感应电 荷的电量。
+ +A + +
-S2BBiblioteka + + +
S1
B上左端的负感应电荷必有电场线终止于其上， 但这些电场线既不能是由B上右端的正电荷发出， 又不能由无穷远发出，否则与（3）结论矛盾。所 以电场线只能由A发出。另一方面，A还可以向无 穷远发出电场线，从Gauss面S1和 S2来看， S1 的正通量必大于（或等于） S2的负通量的数值， 再由Gauss定理可知， S1所包围正电荷的数值必 大于（或等于） S2面所包围负电荷的数值。
[例2] 中性封闭金属壳内有一个电量为q的 正电荷，求壳内，外壁感应电荷的数量。
+q
Solution: 在金属壳内作一Gauss面，且有
q E ds
S
0
导体内E 0
所以 所以
q 0 , 而 q q q内壁 0
从导体静电平衡条件出发，可导出如下性质： 1、导体是个等位体，导体表面是个等位面。 证明：
A B
由电位差定义式 U AB A 体内 E 0故U AB U A U B 0即得U A U B ，也 就是说在导体内任取两点A、B，在静电平衡条件 下得到 U A U B ，由此可见导体是个等位体,导体 表面是个等位面。
S
0
P
3、在导体外，紧靠导体表面的点的场强方向与 导体表面垂直，场强大小与导体表面对应点的 电荷面密度成正比。 证明：①导体表面带电，场强在带电面上有 突变所以一般不谈导体表面的场强而谈导体外 紧靠导体表面的各点的场强，即谈“导体表面 附近点的场强”； ② 由于电场线处处与等位面正交，所以导体 外的场强必与它的表面垂直； ③ 场强大小与面电荷密度成正比，可由 Gauss定理求得：
ˆ n
△S1 P △S2 导体表面
E dS E dS
上底 S 下底
E dS
下底
侧面
E dS
侧面
上底
E cos dS E cos dS E cos dS
下底在导体内, E 0 , 侧面上 , 因此 2 E dS E cosdS En S1
避雷针利用了导体尖端放电效应；而高压线表 面则应该光滑，半径也不宜过小，高压设备中 的电极都是球面状的，都是为了避免尖端放电 带来有害的后果。
三、导体静电平衡时的讨论方法
一般来说，讨论导体的静电平衡问题困难校大，因为 静电场中的导体，由于静电感应要产生感应电荷，感应 电荷也要产生电场，从而使空间的电场发生变化。此外， 如果原来的电场是由另外导体上的电荷产生的，那么， 由于感应电荷的存在，还将引起原来电荷分布的变化， 所以感应电荷的出现与分布在这两个意义上改变了原来 空间的电场分布，而电场分布的变化返过来又将引起电 荷分布的变化，电场和电荷相互作用﹑相互影响，最后 达到两者的平衡分布。困难在于一般情况下难以确定导 体上的电荷分布及导体外电场的分布。解决这类问题原 则上是可能的，在电动力学中把它归结为：已知导体的 形状﹑相对位置及导体所带的电荷或电位，根据静电场 方程求解。
+
++ ++ +
+
++ +
++ +
+
+
② 对于形状比较复杂的孤立导体，一般来说， 面电荷密度与导体表面曲率半径R之间没有 1 的关系，如图： R
+A + +
A.B.C三点曲率相等 但 A B C
+
+ +
+ +B + + +
C+
+ + +
③ 尖端放电
孤立带电导体表面凸出的地方 大，附近的场 强E大，当达到一定程度时产生尖端放电现象， 在尖端附近的强大电场作用下，空气中本来就有 的离子（由于大气电现象，宇宙射线和辐射源的 辐照等原因引起的）会发生激烈的运动，在激烈 运动过程中，离子和空气分子相碰撞，使空气分 子电离，从而产生大量的新离子，使空气变得易 于导电。与尖端上电荷异号的离子受到吸引，最 后与尖端上的电荷中和；与尖端上电荷同号的离 子受到排斥而飞离导体，形成“电风”。 在我们生活实际中，上述现象应用比较广泛。
S 上底
在Gauss面内所包围的电荷为 q S1 ，因而 得到
En 0
即：
ˆ E n
0
由此得到结论： 导体表面电荷密度大的地方场强大，面 电荷密度小的地方场强小。
说明： a、电荷面密度σ是Δs上面的，而E是所有电荷产 生的总场强； b、此式应与无限大带电平面的场强公式 2 区别 开来； c、Δs上面的电荷在其极附近处产生的场强为 2， 而其余电荷在同一点产生的场强为 2 ，叠加后 为 ； d、场强 不受公式形式的影响，但E和σ随时受 外界电荷的影响（外界电荷通过影响σ而影响导体 界面附近的E）；
3、带正电体A接近不带电的导体B，B的 电位将升高。为什么?
在A未接近B时，B与无穷远间没有电场线 联系，B的电位与无穷远相同。当A接近B时， B的右端必有正感应电荷发出电场线到无穷远， 所以B的电位必然高于无穷远的电位。因此B 的电位是升高了。 与此类似，可证明带负电的物体接近B 时，B的电位将降低。
2、带正电的导体A接近不带电的导体B， 则在B上离A的远端必有电场线发出而终止 于无穷远。为什么?
+ + A + + B
+ + +
S
可以作一个闭合曲面S包围B的右端。因S 面内有正电荷，由Gauss 定理可知，闭合 面上必有正通量，即有电力线穿出，由 （1）可知，电场线不能终止于B的左端， 也不能终止于A上的正电荷，所以只能终 止于无穷远处。
三、几个术语
带电导体：总电量不为零的导体； 中性导体：总电量为零的导体； 孤立导体：不受其它电荷影响的导体；
§1 静电场中的导体 (conductor in electrostatic field)
一、静电平衡
带电体系中的电荷静止不动，电场的分布不随时间 而改变的状态，称为静电平衡状态。 导体的静电平衡的必要条件就是其体内的场强处处为 零。反证法可以说明：如果导体内的电场不是处处为零， 则在 E 不为零的地方自由电荷就要受到电场力的作用发 生移动，这样就不是静电平衡。 这里说的“场强”是所有电荷共同激发的总场强， 是一个合贡献。“内部处处场强为零”中的“处处”， 也即“点点”，这个点指导体内宏观的点,即物理无限小 体元。
前言（Preface)
一、本章的基本内容及研究思路
本章和下章是前面内容的深入和发展 ，因为研究对 象仍然是相对于观察者静止的电荷分布所产生的场，所以 静电场的普遍规律仍是本章研究问题的理论基础。基本内 容及研究思路是: 首先说明金属导体的电结构特点和导体 的静电平衡条件，然后以此为前提，以静电场的普遍规 律—高斯定理和环路定理为根据，讨论导体（包括空腔导 体和导体组）的静电性质（导体在静电平衡时电荷分布﹑ 场强分布和电位分布等特点） 。教材从导体组静电性质 的角度讨论了电容器的构造，电容的定义和计算以及电容 器的联接等问题。电容器的主要功能是充放电，其规律在 后面讨论。
0
0 0
0
0
e、Δs上面的电荷受其余的电荷产生的电场的 作用力为
F Es ( / 2 0 )s
则单位面积的电荷受的力（力密度）为
1 2 f / 2 0 0 E 2
2
二、孤立导体的形状对电荷分布的影响
① 在一个孤立导体上面电荷密度的大小与 表面曲率有关，对于形状比较简单的孤立导体， 在表面向外突的地方（曲率为正）电荷较密； 表面较平坦的地方，电荷较疏；表面向内凹的 地方（曲率为负）电荷更疏。如图：
B
E dl 出发，因为导
2、导体内部没有净电荷，电荷只能分布 在导体表面。 证明：设有一带电导体，在导体内任取 一点 P，围绕P 点作一很小的闭合曲面， 运用Gauss定理，
q E dS
由于E 0 故 q 0
另外采用反证法：如果导体内有电荷存在， 它将在周围激发电场，有电场线，沿着电场 线的方向将有电位降落，这与等位体相矛盾。
-
E0
在外场 E0作用下，导体中的自由电荷将发生
移动，结果使导体的一边带正电，另一边带负电。 这是由于静电感应现象造成的。以上过程只能是 暂时的，因为当导体两边积累了正、负电荷之 后，它们就产生了一个附加电场 E ， 与 E0的迭加 E 结果，使导体内、外的电场都发生重新分布，在 导体内部 E 的方向是与外电场 E0 的方向相反，当 E 导体两边的正、负电荷积累到一定的程度时， 的数值就会大到足以把 E0 完全抵消。此时导体内 部的总电场 E E0 E 处处为零时，自由电荷便 不再移动，导体两边正、负电荷不再增加，于是 达到了静电平衡状态。
我们知道，电场线的性质形象地反映了 静电场的两个规律，用电场线的性质去 定性地讨论一些问题，能够得到一些令 人满意的结果。
四、静电平衡时的电场分布、电荷分 布情况
[例1]：如图所示带电系统。
+ + A + + B + + +
1、电场线能不能由导体B的一端正电荷发出 而终止于另一端的负电荷? 不能。因为电力线总是从电位高的地方 指向电位低的地方，而导体B是一个等位体。
在导体外紧靠表面任取一 点P ，该点的场强 ˆ E En n ，在P点附近的 导体表面上取一面元△S1， 这面元取得充分小，使得 其上的电荷面密度σ可认 ˆ 为是均匀的，以 为轴， n △S1为底作一Gauss面， 使园柱侧面与△S1垂直， 园柱的上底通过 P，下底 在导体内部，两底都与 △S1平行，并无限靠近， 因此通过Gauss面的电通 量为
二、本章的基本要求
1.了解金属导体电结构的基本特点，理解静电感应现象， 了解静电平衡建立的过程； 2.掌握导体的静电性质，能从静电平衡条件出发，根据静 电场的基本规律分析论证导体在静电平衡时的电位分布、 电荷分布、场强分布等特点； 3.理解并初步掌握用电场线的性质讨论导体静电平衡问题 的基本方法； 4.掌握空腔导体静电平衡时腔内表面电荷分布的特点及其 论证方法，理解静电屏蔽的原理，了解静电屏蔽的应用； 5.掌握电容的概念及电容器的串、并联公式，会求几种典 型电容器（平行板、球形、圆柱形）的电容； 6.掌握点电荷组﹑电容器的能量表示式。
电磁学讲义
Electromagnetism Teaching materials
第二章 导体周围的静电场
2010级物理学专业
前言（Preface） 静电场中的导体 (Conductor in electrostatic field) 封闭导壳内外的场 (Field of confining conductor shell) 电容器及其电容 (Capacitor and its capacity) 带电体系的静电能 (Charged bodies electrostatic energy)
下面来看导体从非平衡态趋于平衡态的过程： 考虑一个不带电的导体，在其周围没有带电体 时，它的内部以及表面上电荷处处为零，导体内 部各点场强为零，从而导体内部各点场强为零， 这是个最简单的静电平衡状态。当把一个不带电 的导体放在外场 E0 中，在导体所占据的那部分 空间里本来是有电场 E0 存在的，各处的电位不同。
5、不带电导体B左端接地，B上不存在正 电荷
×
+A + + + ×
-
B
×
无穷远
若将B右端接地，则右端的正电荷就沿接 地线流入大地，B上不存在正电荷了（实际上是 电荷重新分布达到新的平衡的结果）。 若将B的左端接地，同样是正电荷“跑 掉”。这是静电平衡导体的基本性质所决定的 电荷重新分布的结果。假若B上有正电荷存在， 那么B右端一定要发出电场线，但这些电场线一 不能终止于B上负电荷，二不能终止于A上正电 荷，三不能终止于地（因为B接地后已和地构成 一个等位体），电场线既然无处可去，B上就不 可能有正电荷存在，这与接地线在何处无关。
4、施感电荷的电量必大于或等于感应电 荷的电量。
+ +A + +
-S2BBiblioteka + + +
S1
B上左端的负感应电荷必有电场线终止于其上， 但这些电场线既不能是由B上右端的正电荷发出， 又不能由无穷远发出，否则与（3）结论矛盾。所 以电场线只能由A发出。另一方面，A还可以向无 穷远发出电场线，从Gauss面S1和 S2来看， S1 的正通量必大于（或等于） S2的负通量的数值， 再由Gauss定理可知， S1所包围正电荷的数值必 大于（或等于） S2面所包围负电荷的数值。
[例2] 中性封闭金属壳内有一个电量为q的 正电荷，求壳内，外壁感应电荷的数量。
+q
Solution: 在金属壳内作一Gauss面，且有
q E ds
S
0
导体内E 0
所以 所以
q 0 , 而 q q q内壁 0
从导体静电平衡条件出发，可导出如下性质： 1、导体是个等位体，导体表面是个等位面。 证明：
A B
由电位差定义式 U AB A 体内 E 0故U AB U A U B 0即得U A U B ，也 就是说在导体内任取两点A、B，在静电平衡条件 下得到 U A U B ，由此可见导体是个等位体,导体 表面是个等位面。
S
0
P
3、在导体外，紧靠导体表面的点的场强方向与 导体表面垂直，场强大小与导体表面对应点的 电荷面密度成正比。 证明：①导体表面带电，场强在带电面上有 突变所以一般不谈导体表面的场强而谈导体外 紧靠导体表面的各点的场强，即谈“导体表面 附近点的场强”； ② 由于电场线处处与等位面正交，所以导体 外的场强必与它的表面垂直； ③ 场强大小与面电荷密度成正比，可由 Gauss定理求得：
ˆ n
△S1 P △S2 导体表面
E dS E dS
上底 S 下底
E dS
下底
侧面
E dS
侧面
上底
E cos dS E cos dS E cos dS
下底在导体内, E 0 , 侧面上 , 因此 2 E dS E cosdS En S1
避雷针利用了导体尖端放电效应；而高压线表 面则应该光滑，半径也不宜过小，高压设备中 的电极都是球面状的，都是为了避免尖端放电 带来有害的后果。
三、导体静电平衡时的讨论方法
一般来说，讨论导体的静电平衡问题困难校大，因为 静电场中的导体，由于静电感应要产生感应电荷，感应 电荷也要产生电场，从而使空间的电场发生变化。此外， 如果原来的电场是由另外导体上的电荷产生的，那么， 由于感应电荷的存在，还将引起原来电荷分布的变化， 所以感应电荷的出现与分布在这两个意义上改变了原来 空间的电场分布，而电场分布的变化返过来又将引起电 荷分布的变化，电场和电荷相互作用﹑相互影响，最后 达到两者的平衡分布。困难在于一般情况下难以确定导 体上的电荷分布及导体外电场的分布。解决这类问题原 则上是可能的，在电动力学中把它归结为：已知导体的 形状﹑相对位置及导体所带的电荷或电位，根据静电场 方程求解。
+
++ ++ +
+
++ +
++ +
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② 对于形状比较复杂的孤立导体，一般来说， 面电荷密度与导体表面曲率半径R之间没有 1 的关系，如图： R
+A + +
A.B.C三点曲率相等 但 A B C
+
+ +
+ +B + + +
C+
+ + +
③ 尖端放电
孤立带电导体表面凸出的地方 大，附近的场 强E大，当达到一定程度时产生尖端放电现象， 在尖端附近的强大电场作用下，空气中本来就有 的离子（由于大气电现象，宇宙射线和辐射源的 辐照等原因引起的）会发生激烈的运动，在激烈 运动过程中，离子和空气分子相碰撞，使空气分 子电离，从而产生大量的新离子，使空气变得易 于导电。与尖端上电荷异号的离子受到吸引，最 后与尖端上的电荷中和；与尖端上电荷同号的离 子受到排斥而飞离导体，形成“电风”。 在我们生活实际中，上述现象应用比较广泛。
S 上底
在Gauss面内所包围的电荷为 q S1 ，因而 得到
En 0
即：
ˆ E n
0
由此得到结论： 导体表面电荷密度大的地方场强大，面 电荷密度小的地方场强小。
说明： a、电荷面密度σ是Δs上面的，而E是所有电荷产 生的总场强； b、此式应与无限大带电平面的场强公式 2 区别 开来； c、Δs上面的电荷在其极附近处产生的场强为 2， 而其余电荷在同一点产生的场强为 2 ，叠加后 为 ； d、场强 不受公式形式的影响，但E和σ随时受 外界电荷的影响（外界电荷通过影响σ而影响导体 界面附近的E）；
3、带正电体A接近不带电的导体B，B的 电位将升高。为什么?
在A未接近B时，B与无穷远间没有电场线 联系，B的电位与无穷远相同。当A接近B时， B的右端必有正感应电荷发出电场线到无穷远， 所以B的电位必然高于无穷远的电位。因此B 的电位是升高了。 与此类似，可证明带负电的物体接近B 时，B的电位将降低。
2、带正电的导体A接近不带电的导体B， 则在B上离A的远端必有电场线发出而终止 于无穷远。为什么?
+ + A + + B
+ + +
S
可以作一个闭合曲面S包围B的右端。因S 面内有正电荷，由Gauss 定理可知，闭合 面上必有正通量，即有电力线穿出，由 （1）可知，电场线不能终止于B的左端， 也不能终止于A上的正电荷，所以只能终 止于无穷远处。
三、几个术语
带电导体：总电量不为零的导体； 中性导体：总电量为零的导体； 孤立导体：不受其它电荷影响的导体；
§1 静电场中的导体 (conductor in electrostatic field)
一、静电平衡
带电体系中的电荷静止不动，电场的分布不随时间 而改变的状态，称为静电平衡状态。 导体的静电平衡的必要条件就是其体内的场强处处为 零。反证法可以说明：如果导体内的电场不是处处为零， 则在 E 不为零的地方自由电荷就要受到电场力的作用发 生移动，这样就不是静电平衡。 这里说的“场强”是所有电荷共同激发的总场强， 是一个合贡献。“内部处处场强为零”中的“处处”， 也即“点点”，这个点指导体内宏观的点,即物理无限小 体元。
前言（Preface)
一、本章的基本内容及研究思路
本章和下章是前面内容的深入和发展 ，因为研究对 象仍然是相对于观察者静止的电荷分布所产生的场，所以 静电场的普遍规律仍是本章研究问题的理论基础。基本内 容及研究思路是: 首先说明金属导体的电结构特点和导体 的静电平衡条件，然后以此为前提，以静电场的普遍规 律—高斯定理和环路定理为根据，讨论导体（包括空腔导 体和导体组）的静电性质（导体在静电平衡时电荷分布﹑ 场强分布和电位分布等特点） 。教材从导体组静电性质 的角度讨论了电容器的构造，电容的定义和计算以及电容 器的联接等问题。电容器的主要功能是充放电，其规律在 后面讨论。
0
0 0
0
0
e、Δs上面的电荷受其余的电荷产生的电场的 作用力为
F Es ( / 2 0 )s
则单位面积的电荷受的力（力密度）为
1 2 f / 2 0 0 E 2
2
二、孤立导体的形状对电荷分布的影响
① 在一个孤立导体上面电荷密度的大小与 表面曲率有关，对于形状比较简单的孤立导体， 在表面向外突的地方（曲率为正）电荷较密； 表面较平坦的地方，电荷较疏；表面向内凹的 地方（曲率为负）电荷更疏。如图：
B
E dl 出发，因为导
2、导体内部没有净电荷，电荷只能分布 在导体表面。 证明：设有一带电导体，在导体内任取 一点 P，围绕P 点作一很小的闭合曲面， 运用Gauss定理，
q E dS
由于E 0 故 q 0
另外采用反证法：如果导体内有电荷存在， 它将在周围激发电场，有电场线，沿着电场 线的方向将有电位降落，这与等位体相矛盾。