二次等式约束非凸二次规划问题的全局最优性条件
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n
上的实值函数， 满足当 l ∈ L
m λ ∈ R+
， 对 于 问 题 （ P ） ， 设 x ∈S ， 如 果 存 在
m
m
使 得
0 ∈ ∂ L f ( x ) + ∂ L ( ∑ λ i g i ) ( x ) 且 ∑ λi gi ( x ) = 0 ，那么 x 是（P）的一个全局极
i =1
i =1
n
是 n 维欧式空间， R +
n
n
表示 R
n
上的非负子空间， S
n
表 示 n 阶 实 对 称 矩 阵 ； 对 于 x , y ∈ R , x ≥ y 表 示 x i ≥ y i , i = 1, ..., n
；
A ; 0 表示 A 是半正定矩阵；用 d i a g ( α 1 , α 2 , ..., α n ) 表示对角线上的元素为
β 2 +γ 2 ≠ 0 ；
假设 3. 问题（1）的约束条件是正则的。
2. 非凸优化问题的全局最优性条件
本小节主要根据文[1]给出了 L-次微分的概念，并利用此概念考虑了非凸优化问题的全 局优化条件和 Lagrange 乘子条件之间的关系，建立了对于一般带二次约束二次优化问题的 全局最优性条件。 我们将用到下列符号： R
l 0 ∈ ∂ L h ( x ) 当且仅当 B ∈ S n , B ; 0 ， b = a* + Bx , A = A* − B.
定理 2.2.1 对于问题 ( BQP ) ，设 x ∈ S ，如果存在 λi ≥ 0, i = 1,..., m 满足：
∑
m
i =1 i
λ Ai + A0 ; 0,(∑i =1 λi Ai + A0 ) x + (∑i =1 λi ai + a0 ) = 0 且 ∑ i =1 λi gi ( x ) = 0 ，那么 x 是
其中 A, B, C 都是 n 阶实对称矩阵。不失一般性，我们总假定的可行域非空且约束条件是正 则的， β + γ ≠ 0 。
2 2
设 L:= l : R → R | l ( x) = x Qx + h x . 注 意 因 L 是 一 个 线 性 空 间 , 所 以 对 任 意
n T T
{
}
l ∈ L, −l ∈ L. 下面我们计算出二次函数 f ( x) = xT Ax 的 L-次微分 ∂ L f ( x) 有如下结果。
m m
m
( BQP ) 的一个全局极小解。
此定理的证明见文[1]。 定理 2.2.1 给出了 x 是 ( BQP ) 的一个全局极小解的充分条件。
3. 带两个二次等式约束二次规划问题的全局最优性条件
考虑下列在引言中所给的优化问题（1）：
(QP)
min xT Ax s.t. xT Bx − β = 0 xT Cx − γ = 0
n
f ( x) ≥ f ( x ) − l ( x) + l ( x )
= f ( x ) − (l ( x) − l ( x ))
= f ( x ) − [(∑ λi gi )( x) − (∑ λi gi )( x )]
i =1 i =1 m m
= f ( x ) − ∑ λi gi ( x)
i =1
∂ϕ = 0 ，所以有： ( A − Q) x = 0 . ∂x
n
定理 3.1 设 L 是定义在 R 上的函数集合满足当 l ∈ L. 时 −l ∈ L. ，
x ∈ S = { x ∈ R n | xT Bx − β = 0, xT Cx − γ = 0} ， 假定存在 λ1 , λ2 ∈ R+ ，
1 T n x ( A* − A ) x + ( a * − b ) T x + c * 。 由条件对于每个 x ∈ R , 都有 2 ϕ ( x) ≥ ϕ ( x ) ， 可 知 A * − A ; 0 。 再 有 ϕ ( x) 在 x 处 取 得 极 小 值 的 充 要 条 件 是
∇ϕ ( x ) = 0 ， 于 是 b = a * + ( A * − A ) x 。 取 B = A * − A ， 可 以 看 出 ，
T
证明 若存在 λ1 , λ2 ∈ R+ , l ∈ L. 满足 −l ∈ ∂ L f ( x ) ， l ∈∂ L (λ1 g1 + λ2 g2 ) ( x ) . 根据 L-次微分的定义，对于每个 x ∈ R ,
n
f ( x) ≥ f ( x ) − l ( x) + l ( x )
= f ( x ) − (l ( x) − l ( x )) ≥ f (x ) − ⎡ ⎣λ1 g1 ( x ) + λ2 g 2 ( x ) − λ1 g1 ( x ) − λ2 g 2 ( x ) = 0.⎤ ⎦ = f (x )
引理 2.2.1 设 h ( x ) =
1 T x Ax + a T x + c , A ∈ Sn,a ∈ R n,c ∈ R 2
则
⎧1 ⎫ ∂ Lh(x ) = ⎨ xT Ax + bT x | A = A − B ,b = a + Bx , B ∈ Sn , B ; 0⎬ ⎩2 ⎭
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m
≥ f (x )
因此，对于每个 x ∈ S , f ( x) ≥ f ( x ) ，于是 x 是（P）的一个全局极小解。
2.2 带二次约束二次规划问题全局最优性的充分条件
考虑下列二次规划问题
( BQP )
1 T x min xT A0 x + a0 2 1 T s.t. x Ai x + aiT x + ci ≤ 0, 2
引理 3.1 设 f ( x) = x Ax ， x0 = ( x01 ,..., x0 n ) ∈ R
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T
n
那么
∂ L f ( x0 ) = { xT Qx | A − Q ; 0, ( A − Q) x0 = 0}
n 证明若 l0 ∈ ∂ L f ( x0 ) 当且仅当 f ( x) ≥ f ( x0 ) + l ( x) − l ( x0 ), ∀x ∈ R 设 l0 ( x) = x Qx ，
1. 引言
考虑下列优化问题：
(QP)
min xT Ax
s.t. xT Bx − β = 0
xT Cx − γ = 0
其中 A, B, C 都是 n 阶实对称矩阵。当 A 是正定矩阵时，此问题已在文献[2]中有所研究，在 文献[5]中作者假定 A 是半正定矩阵的情形下研究了 (QP) 的全局最优性条件，在文献[3]中 Bar-on,J.R.和 Grasse，K.R 又在下列假设下考虑了此问题的全局最优性条件：（i） A 没有限 制，（ii） B 是正定的， C 是半正定的，（iii） β = γ = 1 。本文将利用了 L-次微分的概念， 主要根据文[1]给出的非凸优化问题的全局优化条件和 Lagrange 乘子之间的关系，建立了带 二次等式约束的二次规划问题的全局最优解的充分条件，为此不妨再作以下假设： 假设 1. 可行域中至少包含一个全局最优解； 假设 2.
使得 0 ∈∂ L f ( x ) + ∂ L (λ1 g1 + λ2 g2 ) ( x ) ,
λ1 g1 ( x ) + λ2 g2 ( x ) = 0.
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T 其中 g1 ( x ) = x Bx − β , g2 ( x ) = x Cx − γ ,那么 x 是 (QP) 的一个全局最优解。
T
ϕ ( x ) = f ( x ) − l0 ( x ) 那么 ϕ ( x ) = xT ( A − Q ) x ≥ f ( x ) − l0 ( x ) , ∀x ∈ R n .因此 ϕ 在 x 取
得极小值，又由于 ϕ 是二次函数，于是 A − Q ; 0 。故 ϕ 在 R 得极小值当且仅当
n
上是凸函数，若 ϕ 在 x 取
n
i = 1,..., m 1 T T x A0 x + a0 x ，对每个 2
其中 Ai ∈ S n , ai ∈ R , ci ∈ R, i = 1,..., m 。为行文方便，令 f ( x) :=
1 T x Ai x + aiT x + ci 。 S = {x ∈ R n | gi ( x) ≤ 0, i = 1,..., m} ， 2 1 L = {l : R n → R | l ( x) = xT Ax + bT x, A ∈ Sn , b ∈ R n } 2 容易看出 L 是线性空间且当 l ∈ L 时 − l ∈ L 。 i = 1,..., m ， gi ( x) :=
小解。 证明 由条件可知，存在 λi , i = 1,..., m 和 l ∈ L 满足 λi g i ( x ) = 0 ， i = 1,..., m ，
− l ∈ ∂ L f ( x ) , l ∈ ∂ L ( ∑ λ i g i ) ( x ) 。根据 L- 次梯度的定义，对于每个
i =1
m
x∈ R ,
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二次等式约束非凸二次规划问题的全局最优性条件
王杉林
兰州大学数学与统计学院，兰州 （730000）
E-mail：wangshanl05@lzu.cn
摘 要：本文研究了一类带二次等式约束的二次规划问题，利用全局次微分（L-次微分）的 概念，对一般二次函数L-次微分进行了全面刻画，建立了带二次等式约束的二次规划问题的 全局最优性条件。 关键词：非凸二次规划，二次等式约束，全局最优性条件 中图分类号：O221.2
因此对于每个 x ∈ S , f ( x ) ≥ f ( x ) ,于是 x 是 (QP) 的一个全局最优解。 定理 3.2 设 x ∈ S .若存在 λ1 , λ2 ∈ R+ ,满足 λ1B + λ2C + A ≥ 0,(λ1B + λ2C + A) x = 0,
λ1 g1 ( x ) + λ2 g2 ( x ) = 0 。那么 x 是 (QP) 的一个全局最优解。.
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L-次梯度的集合称为 f 在 x0 处的 L-次微分，记作 ∂
L
f (x) 。
n
下面考虑优化问题（P） min{ f ( x) : x ∈ S = {x ∈ R | gi ( x) ≤ 0, i = 1,..., n}} 。 定理 2.1 [1] （全局极小化的充分条件） 设 L 是定义在 R 时 −l ∈ L
α 1 , α 2 , ..., α n ，其余元素都为 0 的对角矩阵。
2.1 L-次微分和全局最优化
定 义 2.1 （ L- 次 微 分 ） 设 f : R
n
→ R , L = {l | l : R n → R } , l ∈ L 如 果
f ( x) ≥ f ( x0 ) + l ( x) − l ( x0 ), ∀x ∈ R n ，则称 l 是 f 在 x0 处的 L-次梯度， f 在 x0 处的所有
证明 利用条件和定理 2.1,我们取 Q = − A , 于是 ∂ L (λ1 g1 + λ2 g2 ) ( x ) =
T
{x
(− A) x | λ1B + λ2C + A ; 0,(λ1B + λ2C + A) x = 0} ,那么
− f ∈∂ L (λ1 g1 ( x ) + λ2 g2 ( x )) ,故 f ∈ ∂ L f ( x ) ， x 是 (QP) 的一个全局最优解。
参考文献
1.Jeyakumar,V.,Rubinov,A.M.,Wu,Z.Y.:Non-convex Quadratic Minimiation Problems with Quadratic Constraints:Global Optimality Conditions[J]. Math.Prog.,ser,A DOI 10,1007/S10107-006-0012-5. 2. Bar-on, J. R., and Grasse, K. A., Global Optimization of a Quadratic Functional with Quadratic Equality Constraints[J]. Journal of Optimization Theory and Applications,Vol. 82, No. 2, pp. 379-386, 1994. 3. Bar-on, J. R., and Grasse, K. A., :Global Optimization of a Quadratic Functional with Quadratic Equality Constraints[J], Part 2, Journal of Optimization Theory and Applications, Vol. 93, No. 3, pp. 547-556, 1997. 4. Ye Y Y.:Approximation quadratic Programming with Bound and Quadratic Constraints[J]. Math.Prog, 1999,84:216-226. 5.Shi Kuiran and Wang Cheng:Ona Class of Quadratic Programming Problem with Equality Constraints[J].Jonrnal of NanJing University Mathematical Biquarterly Vol.23,No.1 May,2006.
1 T x A x + b T x ，那么 l 0 ∈ ∂ L h ( x ) 当且仅 2 当 h( x) − h( x ) ≥ l0 ( x) − l0 ( x ) 。设 ϕ ( x) ≥ h( x) − l0 ( x) ，
证明 设 l 0 ∈ L ，其中 l 0 ( x ) = 则ϕ ( x ) =
上的实值函数， 满足当 l ∈ L
m λ ∈ R+
， 对 于 问 题 （ P ） ， 设 x ∈S ， 如 果 存 在
m
m
使 得
0 ∈ ∂ L f ( x ) + ∂ L ( ∑ λ i g i ) ( x ) 且 ∑ λi gi ( x ) = 0 ，那么 x 是（P）的一个全局极
i =1
i =1
n
是 n 维欧式空间， R +
n
n
表示 R
n
上的非负子空间， S
n
表 示 n 阶 实 对 称 矩 阵 ； 对 于 x , y ∈ R , x ≥ y 表 示 x i ≥ y i , i = 1, ..., n
；
A ; 0 表示 A 是半正定矩阵；用 d i a g ( α 1 , α 2 , ..., α n ) 表示对角线上的元素为
β 2 +γ 2 ≠ 0 ；
假设 3. 问题（1）的约束条件是正则的。
2. 非凸优化问题的全局最优性条件
本小节主要根据文[1]给出了 L-次微分的概念，并利用此概念考虑了非凸优化问题的全 局优化条件和 Lagrange 乘子条件之间的关系，建立了对于一般带二次约束二次优化问题的 全局最优性条件。 我们将用到下列符号： R
l 0 ∈ ∂ L h ( x ) 当且仅当 B ∈ S n , B ; 0 ， b = a* + Bx , A = A* − B.
定理 2.2.1 对于问题 ( BQP ) ，设 x ∈ S ，如果存在 λi ≥ 0, i = 1,..., m 满足：
∑
m
i =1 i
λ Ai + A0 ; 0,(∑i =1 λi Ai + A0 ) x + (∑i =1 λi ai + a0 ) = 0 且 ∑ i =1 λi gi ( x ) = 0 ，那么 x 是
其中 A, B, C 都是 n 阶实对称矩阵。不失一般性，我们总假定的可行域非空且约束条件是正 则的， β + γ ≠ 0 。
2 2
设 L:= l : R → R | l ( x) = x Qx + h x . 注 意 因 L 是 一 个 线 性 空 间 , 所 以 对 任 意
n T T
{
}
l ∈ L, −l ∈ L. 下面我们计算出二次函数 f ( x) = xT Ax 的 L-次微分 ∂ L f ( x) 有如下结果。
m m
m
( BQP ) 的一个全局极小解。
此定理的证明见文[1]。 定理 2.2.1 给出了 x 是 ( BQP ) 的一个全局极小解的充分条件。
3. 带两个二次等式约束二次规划问题的全局最优性条件
考虑下列在引言中所给的优化问题（1）：
(QP)
min xT Ax s.t. xT Bx − β = 0 xT Cx − γ = 0
n
f ( x) ≥ f ( x ) − l ( x) + l ( x )
= f ( x ) − (l ( x) − l ( x ))
= f ( x ) − [(∑ λi gi )( x) − (∑ λi gi )( x )]
i =1 i =1 m m
= f ( x ) − ∑ λi gi ( x)
i =1
∂ϕ = 0 ，所以有： ( A − Q) x = 0 . ∂x
n
定理 3.1 设 L 是定义在 R 上的函数集合满足当 l ∈ L. 时 −l ∈ L. ，
x ∈ S = { x ∈ R n | xT Bx − β = 0, xT Cx − γ = 0} ， 假定存在 λ1 , λ2 ∈ R+ ，
1 T n x ( A* − A ) x + ( a * − b ) T x + c * 。 由条件对于每个 x ∈ R , 都有 2 ϕ ( x) ≥ ϕ ( x ) ， 可 知 A * − A ; 0 。 再 有 ϕ ( x) 在 x 处 取 得 极 小 值 的 充 要 条 件 是
∇ϕ ( x ) = 0 ， 于 是 b = a * + ( A * − A ) x 。 取 B = A * − A ， 可 以 看 出 ，
T
证明 若存在 λ1 , λ2 ∈ R+ , l ∈ L. 满足 −l ∈ ∂ L f ( x ) ， l ∈∂ L (λ1 g1 + λ2 g2 ) ( x ) . 根据 L-次微分的定义，对于每个 x ∈ R ,
n
f ( x) ≥ f ( x ) − l ( x) + l ( x )
= f ( x ) − (l ( x) − l ( x )) ≥ f (x ) − ⎡ ⎣λ1 g1 ( x ) + λ2 g 2 ( x ) − λ1 g1 ( x ) − λ2 g 2 ( x ) = 0.⎤ ⎦ = f (x )
引理 2.2.1 设 h ( x ) =
1 T x Ax + a T x + c , A ∈ Sn,a ∈ R n,c ∈ R 2
则
⎧1 ⎫ ∂ Lh(x ) = ⎨ xT Ax + bT x | A = A − B ,b = a + Bx , B ∈ Sn , B ; 0⎬ ⎩2 ⎭
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m
≥ f (x )
因此，对于每个 x ∈ S , f ( x) ≥ f ( x ) ，于是 x 是（P）的一个全局极小解。
2.2 带二次约束二次规划问题全局最优性的充分条件
考虑下列二次规划问题
( BQP )
1 T x min xT A0 x + a0 2 1 T s.t. x Ai x + aiT x + ci ≤ 0, 2
引理 3.1 设 f ( x) = x Ax ， x0 = ( x01 ,..., x0 n ) ∈ R
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T
n
那么
∂ L f ( x0 ) = { xT Qx | A − Q ; 0, ( A − Q) x0 = 0}
n 证明若 l0 ∈ ∂ L f ( x0 ) 当且仅当 f ( x) ≥ f ( x0 ) + l ( x) − l ( x0 ), ∀x ∈ R 设 l0 ( x) = x Qx ，
1. 引言
考虑下列优化问题：
(QP)
min xT Ax
s.t. xT Bx − β = 0
xT Cx − γ = 0
其中 A, B, C 都是 n 阶实对称矩阵。当 A 是正定矩阵时，此问题已在文献[2]中有所研究，在 文献[5]中作者假定 A 是半正定矩阵的情形下研究了 (QP) 的全局最优性条件，在文献[3]中 Bar-on,J.R.和 Grasse，K.R 又在下列假设下考虑了此问题的全局最优性条件：（i） A 没有限 制，（ii） B 是正定的， C 是半正定的，（iii） β = γ = 1 。本文将利用了 L-次微分的概念， 主要根据文[1]给出的非凸优化问题的全局优化条件和 Lagrange 乘子之间的关系，建立了带 二次等式约束的二次规划问题的全局最优解的充分条件，为此不妨再作以下假设： 假设 1. 可行域中至少包含一个全局最优解； 假设 2.
使得 0 ∈∂ L f ( x ) + ∂ L (λ1 g1 + λ2 g2 ) ( x ) ,
λ1 g1 ( x ) + λ2 g2 ( x ) = 0.
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T 其中 g1 ( x ) = x Bx − β , g2 ( x ) = x Cx − γ ,那么 x 是 (QP) 的一个全局最优解。
T
ϕ ( x ) = f ( x ) − l0 ( x ) 那么 ϕ ( x ) = xT ( A − Q ) x ≥ f ( x ) − l0 ( x ) , ∀x ∈ R n .因此 ϕ 在 x 取
得极小值，又由于 ϕ 是二次函数，于是 A − Q ; 0 。故 ϕ 在 R 得极小值当且仅当
n
上是凸函数，若 ϕ 在 x 取
n
i = 1,..., m 1 T T x A0 x + a0 x ，对每个 2
其中 Ai ∈ S n , ai ∈ R , ci ∈ R, i = 1,..., m 。为行文方便，令 f ( x) :=
1 T x Ai x + aiT x + ci 。 S = {x ∈ R n | gi ( x) ≤ 0, i = 1,..., m} ， 2 1 L = {l : R n → R | l ( x) = xT Ax + bT x, A ∈ Sn , b ∈ R n } 2 容易看出 L 是线性空间且当 l ∈ L 时 − l ∈ L 。 i = 1,..., m ， gi ( x) :=
小解。 证明 由条件可知，存在 λi , i = 1,..., m 和 l ∈ L 满足 λi g i ( x ) = 0 ， i = 1,..., m ，
− l ∈ ∂ L f ( x ) , l ∈ ∂ L ( ∑ λ i g i ) ( x ) 。根据 L- 次梯度的定义，对于每个
i =1
m
x∈ R ,
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二次等式约束非凸二次规划问题的全局最优性条件
王杉林
兰州大学数学与统计学院，兰州 （730000）
E-mail：wangshanl05@lzu.cn
摘 要：本文研究了一类带二次等式约束的二次规划问题，利用全局次微分（L-次微分）的 概念，对一般二次函数L-次微分进行了全面刻画，建立了带二次等式约束的二次规划问题的 全局最优性条件。 关键词：非凸二次规划，二次等式约束，全局最优性条件 中图分类号：O221.2
因此对于每个 x ∈ S , f ( x ) ≥ f ( x ) ,于是 x 是 (QP) 的一个全局最优解。 定理 3.2 设 x ∈ S .若存在 λ1 , λ2 ∈ R+ ,满足 λ1B + λ2C + A ≥ 0,(λ1B + λ2C + A) x = 0,
λ1 g1 ( x ) + λ2 g2 ( x ) = 0 。那么 x 是 (QP) 的一个全局最优解。.
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L-次梯度的集合称为 f 在 x0 处的 L-次微分，记作 ∂
L
f (x) 。
n
下面考虑优化问题（P） min{ f ( x) : x ∈ S = {x ∈ R | gi ( x) ≤ 0, i = 1,..., n}} 。 定理 2.1 [1] （全局极小化的充分条件） 设 L 是定义在 R 时 −l ∈ L
α 1 , α 2 , ..., α n ，其余元素都为 0 的对角矩阵。
2.1 L-次微分和全局最优化
定 义 2.1 （ L- 次 微 分 ） 设 f : R
n
→ R , L = {l | l : R n → R } , l ∈ L 如 果
f ( x) ≥ f ( x0 ) + l ( x) − l ( x0 ), ∀x ∈ R n ，则称 l 是 f 在 x0 处的 L-次梯度， f 在 x0 处的所有
证明 利用条件和定理 2.1,我们取 Q = − A , 于是 ∂ L (λ1 g1 + λ2 g2 ) ( x ) =
T
{x
(− A) x | λ1B + λ2C + A ; 0,(λ1B + λ2C + A) x = 0} ,那么
− f ∈∂ L (λ1 g1 ( x ) + λ2 g2 ( x )) ,故 f ∈ ∂ L f ( x ) ， x 是 (QP) 的一个全局最优解。
参考文献
1.Jeyakumar,V.,Rubinov,A.M.,Wu,Z.Y.:Non-convex Quadratic Minimiation Problems with Quadratic Constraints:Global Optimality Conditions[J]. Math.Prog.,ser,A DOI 10,1007/S10107-006-0012-5. 2. Bar-on, J. R., and Grasse, K. A., Global Optimization of a Quadratic Functional with Quadratic Equality Constraints[J]. Journal of Optimization Theory and Applications,Vol. 82, No. 2, pp. 379-386, 1994. 3. Bar-on, J. R., and Grasse, K. A., :Global Optimization of a Quadratic Functional with Quadratic Equality Constraints[J], Part 2, Journal of Optimization Theory and Applications, Vol. 93, No. 3, pp. 547-556, 1997. 4. Ye Y Y.:Approximation quadratic Programming with Bound and Quadratic Constraints[J]. Math.Prog, 1999,84:216-226. 5.Shi Kuiran and Wang Cheng:Ona Class of Quadratic Programming Problem with Equality Constraints[J].Jonrnal of NanJing University Mathematical Biquarterly Vol.23,No.1 May,2006.
1 T x A x + b T x ，那么 l 0 ∈ ∂ L h ( x ) 当且仅 2 当 h( x) − h( x ) ≥ l0 ( x) − l0 ( x ) 。设 ϕ ( x) ≥ h( x) − l0 ( x) ，
证明 设 l 0 ∈ L ，其中 l 0 ( x ) = 则ϕ ( x ) =