研究生课程《高等工程数学》大作业
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(四) 正态曲线下的面积为 1，由于它在平均数处左右对称，故过平均数点 的垂线将正态曲线下的面积划分为相等的两部分，即各为 0.50。
(五) 正态分布是一族分布。 (六) 正态分布中各种差异量数的值皆有固定比率，这由于正态分布是对称 的分布。
(七) 在正态分布曲线下，标准差与概率(面积)有一定的数量关系。（见图 2） 如：正负一个标准差之间，包含总面积的 68．26％；正负 1．96 个标准差之间， 包含总面积的 95％；正负 2．58 个标准差之间，包含总面积的 99％。
峰度系数
当 g2＝0 时，正态分布的峰度，g2<0 时，分布的峰度比正态分布的峰度低阔， g2>0 时，表明分布的峰度比正态分布的峰度高狭。当 N>1000 时，计算出的 g2 统 计量才较可靠。
2 地下水质量检测中的正态分布检验
本次试验对地下水调查中 37 种必测组分检测过程的替代物进行筛选，应用 D'Agostino 法对替代物的测量结果进行正态性检验。
指标结果在监测期间无显著性差异。
2.2.2 正态分布检验
本次试验选用 D'Agostino 检测法对替代物测量结果进行正wk.baidu.com性检验，结果 见表 1。
表 1 Grubbs 计算结果及正态性检验结果
VOCs 检测过程选用的替代物测区数量 n 为 380，其 Y0．99 临界区间为－ 3． 09～2.06; SVOCs 检测过程选用的替代物测区数量 n 为 300，其 Y0.99 临界区 间为 －3．17～1．98。Y 计算结果表明，各组数据的检验结果均处于各自的临 界区间内，分析流程所用替代物的检测结果均服从或近似服从正态分布。
G1、G2、G3 计算结果表明，除甲苯-d8 替代物回收率有一个结果因离群被剔 除外，其余数据均小于各自 99 %置信水平的 Grubbs 临界值(当样品测区数量大
于 140 时，可按测区数量为 140 取值。其检验临界值
G 、G 、G 分别 0.99，1
0.99，2
0.99,3
为 3.712、6.437、0.1519）。从检验结果可知，各分析流程选用的替代物监控
2.2 实验过程
2.2.1 数据剔除
通过对 2008 年地下水调查样品部分替代物(相关数据略)的质量监控结果的 整理，根据格拉布斯(Grubbs)准则筛选测定结果的异常数据，
，（计算结果见表 1）
式中: s 为全体数据集的标准偏差; xi 为可疑异常值，即离均值最远的值; x 为平均值; n 为数据点的个数; xn 和 x1 为极值; sn－2 为不包括数据集中可疑异常 数据对的标准偏差，该异常数据对即离均值最远的一对值。
3) 选择恰当的统计量 W 为:
其中［n/2］表示 n/2 的整数部分;系数 ai( W)可查 W 检验的系数表,[n/2]表示数 n/2 的整数部分。
4) 根据给定的检验水平 和样本容量 n 查 W 检验统计量 W 的 p 分位数得统计
量 W 的 分位数 W ．
5) 计算并判断: 给定样本值 x1，…，xn，计算 W 并与 W W ，则拒绝 H0，反之，则不能拒绝 H0。
1.3.2 D 检验
比较，若 W ＜
1971 年，D.Agostino 提出了 D 检验，该检验不需要附系数表,另外,它适用 于的样本容量 n 的范围为:50≤n≤1000。D 检验的基本步骤如下:
1) 建立原假设 H0: X 服从正态分布;
2)
把从总体中获得的 n 个样本观测值按由小到大的次序排列成:
1.2 正态分布的特征
(一) 正态分布的函数(又称密度函数)为 正态分布的图形见图 1：
图 1 正态分布的图形
(二) 正态分布的形式是对称的(但对称的不一定是正态分布)，它的对称轴 是过平均数点的垂线。
(三) 正态分布的中央点(即平均数点)最高，然后逐渐向两侧下降，曲线的 形式是先向内弯，然后向外弯，拐点位于正负 1 个标准差处，曲线两端向靠近基 线处无限延伸，但终不能与基线相交。
x ≤x ( 1)
( 2)
≤…≤x( n)
3) 选择恰当的统计量 Y 为:
4) 根据给定的检验水平 和样本容量 n 查 D 检验统计量 Y 的 p 分位数，得
统计量 Y 的 /2 分位数 Y /2 和 1－ /2 分位数
。
5) 计算并判断: 给定样本值 x1，…，xn 计算 Y 并与 和 比较，若 Y ＜
正态分布检验在地下水质量检测中的应用
1 关于正态分布
1.1 正态分布概要
正态分布，又名高斯分布，也称常态分布或常态分配，是连续随机变量概率 分布的一种，是自然科学与行为科学中的定量现象的一个方便模型。正态分布出 现在许多区域统计，例如，采样分布均值是近似地常态的，即使被采样的样本的 原始群体分布并不服从正态分布。另外，正态分布信息熵在所有的已知均值及方 差的分布中最大，这使得它作为一种均值以及方差已知的分布的自然选择。正态 分布是在统计以及许多统计测试中最广泛应用的一类分布。在概率论，正态分布 是几种连续以及离散分布的极限分布。
图 2 正态曲线下标准差与概率有一定的比率关系
1.3 正态检验方法
1.3.1 W 检验
W 检验是 S.S.Shapiro 在 1965 年提出，检验的基本步骤如下:
1) 建立原假设 H0: X 服从正态分布;
2)
把从总体中获得的 n 个样本观测值按由小到大的次序排列成:
x ≤x ( 1)
( 2)
≤…≤x( n)
2.1 实验准备
替代物是一种人工合成、稳定性强并在待测样品中不存在的物质。替代物不 是目标化合物，但与目标化合物的理化性质相似，且能够被定量测定，目前已被 国内外许多实验室作为质量监控指标广泛应用。
本次替代物选择包括挥发性有机物分析流程中替代物的选择和半挥发性有 机物分析流程中替代物的选择。共选 7 种化合物( 二溴氟代甲烷、1，2-二氯乙 烷-d4、氟苯、甲苯-d8、氯苯-d5、对溴氟苯、1，4-二氯苯-d4) 作为分析过程的 内标和替代物标准。
，或 Y ＞
，则拒绝 H0，反之，则不能拒绝 H0。
1.3.3 峰度检验和偏度检验
这种方法是根据分析分布的峰度系数与偏度系数，确定分布形态。一般情况 下，需要观测数据的数目要足够大，应用这种方法才有意义。
偏度系数
当 g1＝0 时分布是对称的，当 gl>0 分布为正偏态，当 gl<0 时，分布呈负偏 态。当观测数据数目 N>200 时，这个偏态系数的·统计量 gl 才较可靠。
(五) 正态分布是一族分布。 (六) 正态分布中各种差异量数的值皆有固定比率，这由于正态分布是对称 的分布。
(七) 在正态分布曲线下，标准差与概率(面积)有一定的数量关系。（见图 2） 如：正负一个标准差之间，包含总面积的 68．26％；正负 1．96 个标准差之间， 包含总面积的 95％；正负 2．58 个标准差之间，包含总面积的 99％。
峰度系数
当 g2＝0 时，正态分布的峰度，g2<0 时，分布的峰度比正态分布的峰度低阔， g2>0 时，表明分布的峰度比正态分布的峰度高狭。当 N>1000 时，计算出的 g2 统 计量才较可靠。
2 地下水质量检测中的正态分布检验
本次试验对地下水调查中 37 种必测组分检测过程的替代物进行筛选，应用 D'Agostino 法对替代物的测量结果进行正态性检验。
指标结果在监测期间无显著性差异。
2.2.2 正态分布检验
本次试验选用 D'Agostino 检测法对替代物测量结果进行正wk.baidu.com性检验，结果 见表 1。
表 1 Grubbs 计算结果及正态性检验结果
VOCs 检测过程选用的替代物测区数量 n 为 380，其 Y0．99 临界区间为－ 3． 09～2.06; SVOCs 检测过程选用的替代物测区数量 n 为 300，其 Y0.99 临界区 间为 －3．17～1．98。Y 计算结果表明，各组数据的检验结果均处于各自的临 界区间内，分析流程所用替代物的检测结果均服从或近似服从正态分布。
G1、G2、G3 计算结果表明，除甲苯-d8 替代物回收率有一个结果因离群被剔 除外，其余数据均小于各自 99 %置信水平的 Grubbs 临界值(当样品测区数量大
于 140 时，可按测区数量为 140 取值。其检验临界值
G 、G 、G 分别 0.99，1
0.99，2
0.99,3
为 3.712、6.437、0.1519）。从检验结果可知，各分析流程选用的替代物监控
2.2 实验过程
2.2.1 数据剔除
通过对 2008 年地下水调查样品部分替代物(相关数据略)的质量监控结果的 整理，根据格拉布斯(Grubbs)准则筛选测定结果的异常数据，
，（计算结果见表 1）
式中: s 为全体数据集的标准偏差; xi 为可疑异常值，即离均值最远的值; x 为平均值; n 为数据点的个数; xn 和 x1 为极值; sn－2 为不包括数据集中可疑异常 数据对的标准偏差，该异常数据对即离均值最远的一对值。
3) 选择恰当的统计量 W 为:
其中［n/2］表示 n/2 的整数部分;系数 ai( W)可查 W 检验的系数表,[n/2]表示数 n/2 的整数部分。
4) 根据给定的检验水平 和样本容量 n 查 W 检验统计量 W 的 p 分位数得统计
量 W 的 分位数 W ．
5) 计算并判断: 给定样本值 x1，…，xn，计算 W 并与 W W ，则拒绝 H0，反之，则不能拒绝 H0。
1.3.2 D 检验
比较，若 W ＜
1971 年，D.Agostino 提出了 D 检验，该检验不需要附系数表,另外,它适用 于的样本容量 n 的范围为:50≤n≤1000。D 检验的基本步骤如下:
1) 建立原假设 H0: X 服从正态分布;
2)
把从总体中获得的 n 个样本观测值按由小到大的次序排列成:
1.2 正态分布的特征
(一) 正态分布的函数(又称密度函数)为 正态分布的图形见图 1：
图 1 正态分布的图形
(二) 正态分布的形式是对称的(但对称的不一定是正态分布)，它的对称轴 是过平均数点的垂线。
(三) 正态分布的中央点(即平均数点)最高，然后逐渐向两侧下降，曲线的 形式是先向内弯，然后向外弯，拐点位于正负 1 个标准差处，曲线两端向靠近基 线处无限延伸，但终不能与基线相交。
x ≤x ( 1)
( 2)
≤…≤x( n)
3) 选择恰当的统计量 Y 为:
4) 根据给定的检验水平 和样本容量 n 查 D 检验统计量 Y 的 p 分位数，得
统计量 Y 的 /2 分位数 Y /2 和 1－ /2 分位数
。
5) 计算并判断: 给定样本值 x1，…，xn 计算 Y 并与 和 比较，若 Y ＜
正态分布检验在地下水质量检测中的应用
1 关于正态分布
1.1 正态分布概要
正态分布，又名高斯分布，也称常态分布或常态分配，是连续随机变量概率 分布的一种，是自然科学与行为科学中的定量现象的一个方便模型。正态分布出 现在许多区域统计，例如，采样分布均值是近似地常态的，即使被采样的样本的 原始群体分布并不服从正态分布。另外，正态分布信息熵在所有的已知均值及方 差的分布中最大，这使得它作为一种均值以及方差已知的分布的自然选择。正态 分布是在统计以及许多统计测试中最广泛应用的一类分布。在概率论，正态分布 是几种连续以及离散分布的极限分布。
图 2 正态曲线下标准差与概率有一定的比率关系
1.3 正态检验方法
1.3.1 W 检验
W 检验是 S.S.Shapiro 在 1965 年提出，检验的基本步骤如下:
1) 建立原假设 H0: X 服从正态分布;
2)
把从总体中获得的 n 个样本观测值按由小到大的次序排列成:
x ≤x ( 1)
( 2)
≤…≤x( n)
2.1 实验准备
替代物是一种人工合成、稳定性强并在待测样品中不存在的物质。替代物不 是目标化合物，但与目标化合物的理化性质相似，且能够被定量测定，目前已被 国内外许多实验室作为质量监控指标广泛应用。
本次替代物选择包括挥发性有机物分析流程中替代物的选择和半挥发性有 机物分析流程中替代物的选择。共选 7 种化合物( 二溴氟代甲烷、1，2-二氯乙 烷-d4、氟苯、甲苯-d8、氯苯-d5、对溴氟苯、1，4-二氯苯-d4) 作为分析过程的 内标和替代物标准。
，或 Y ＞
，则拒绝 H0，反之，则不能拒绝 H0。
1.3.3 峰度检验和偏度检验
这种方法是根据分析分布的峰度系数与偏度系数，确定分布形态。一般情况 下，需要观测数据的数目要足够大，应用这种方法才有意义。
偏度系数
当 g1＝0 时分布是对称的，当 gl>0 分布为正偏态，当 gl<0 时，分布呈负偏 态。当观测数据数目 N>200 时，这个偏态系数的·统计量 gl 才较可靠。