环同态及同态基本定理

环同态及同态基本定理

定义2.设21:R R →ϕ是一个环同态,那么2R 中零元的完全原象

}0)(|{)0(11=∈=-a R a ϕϕ叫作ϕ的模,通常记ϕϕKer =-)0(1.

定理1.设R R −→−ϕ是一个环同态满射,令ϕKer I =那么

(ⅰ) I R (ⅱ)R I R ≅

证明:(ⅰ)对加法而言,ϕ显然是一个加群满同态,由第二章知 I R . (即I 是R 的不变子群).下面只需证明吸收律也成立即可.

.

,R r I k ∈∀∈∀那么.00)()()()(I rk r k r rk ∈⇒===ϕϕϕϕ同理

I kr ∈.∴ I R (ⅱ)由第二章知,存在R I R ≅Φ:.作为群同构,其中.][I

R a ∈∀ ),(])([a a ϕ=Φ下面只需证明:I

R b a ∈∀][],[,])([])([])][([b a b a ΦΦ=Φ但 ][][)()()(][])][([b a b a ab ab b a ΦΦ===Φ=Φϕϕϕ.

∴ R I R →Φ:是环同构.即R I

R ≅Φ. 定理 2.设R 是一个环而 I R ,那么必有环同态I R R →:ϕ.使得ϕ是满同态且模I Ker =ϕ.称这样的ϕ为环的自然同态.

证明:令I

R R →:ϕ,其中][)(a a =ϕ, 显然ϕ是个满射.而且R b a ∈∀,.

)()(][][][)(b a b a b a b a ϕϕϕ+=+=+=+

)()(]][[][)(b a b a ab ab ϕϕϕ=== ∴I R R ～.至于I Ker =ϕ是显然的.

注意:上述定理1和定理2通称为环和同态基本定理.同时表明:环R 的任何商环I R 都是R

的同态象.而环R 的任何同态象实质上只能是R 的一个商环.

与群同态类似,我们可以和到一些与第二章中平行的结果.

定理3.设R R →:ϕ是环同态映射,那么

(ⅰ)若S 是R 的子环)(S ϕ⇒是R 的子环

(ⅱ)若I 是R 的理想且ϕ为满射)(I ϕ⇒是R 的理想

(ⅲ)若S 是R 的子环)(1S -⇒ϕ是R 的子环

(ⅳ)若S 是R 的理想)(1S -⇒ϕ是R 的理想

证明: (ⅰ)S b a S b a ∈∃⇒∈∀,)(,ϕ使).(),(b b a a ϕϕ==所以S b a ∈-,于是R S S b a b a b a ≤⇒∈-=-=-)()()()()(ϕϕϕϕϕ.(子群)

另外 ）　

（　S ab S ab b a b a ∈∈== )()()()(ϕϕϕϕ ∴)(S ϕ是R 的子环.

(ⅱ) I R ,∴I 是R 的子环)()

(I i ϕ⇒是R 的子环.须证明吸收律成立. ϕ是满射 ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∈∈⇒=∈∃⇒∈∀=∈⇒∈∀I ai I ia R I a a R a R a i i I i I i ,????)(,)

()( ϕϕϕ使使

R I I ai i a i a I ia a i a i ????)()()()()()()()()(ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⇒⎪⎭

⎪⎬⎫∈==∈== (ⅲ))(,1s b a -∈∀ϕ ∴S b a ∈)(),(ϕϕ, 而知

S b a b a ∈-)()(),()(ϕϕϕϕ ∴⇒⎪⎭

⎪

⎬⎫∈⇒∈=∈-⇒∈-=---)()()()()()()()(11s ab S b a ab s b a S b a b a ϕϕϕϕϕϕϕϕ )(1s -ϕ是R 的一个子环.

(ⅳ)R r R r S a s a ∈∴∈∀∈⇒∈∀-)(.,)().(1ϕϕϕ R S ,∴S a r S r a ∈∈)()(,)()(ϕϕϕϕ. 于是)()()()()()()()()(111s s ra S a r ra s ar S r a ar ---⇒⎪⎭

⎪⎬⎫∈⇒∈=∈⇒∈=ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ 满足吸收律.

又由(ⅲ))(1s -⇒ϕ是R 的子环.于是R s )(1-ϕ.

注意2.从定理3的证明中可知:除了(ⅱ)需要ϕ是满环同态外,其余情况都不需要ϕ是满射这个条件.