本章总结提升

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图形与点的坐标

平面直角坐标系中，坐标与点的对应关系，即平面内一点M有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应；对于任意一对有序数对(x，y)，在坐标平面内都有唯一的一点M和它对应．平面上的点的坐标由横坐标和纵坐标确定，横、纵坐标的符号决定点所在的象限，横坐标为零或纵坐标为零，就表明点在y轴上或x轴上．

例1如图7－T－1，B，C两点的坐标分别是B(2，4)，C(6，2)，请你分别写出图中点A，D，E，F，G的坐标．

图7－T－1

[解析] 由B，C两点的坐标可知，图中的单位长度等于小正方形的边长，应建立如图7－T－2所示的平面直角坐标系．

解：由B，C两点的坐标，建立如图7－T－2所示的平面直角坐标系，所以点A的坐

标为(0，4)，点D的坐标为(6，0)，点E的坐标为(6，－2)，点F的坐标为(2，－4)，点G的坐标为(0，－4)．

图7－T－2

[归纳总结] 将图形放在平面直角坐标系中，可以求得各顶点的坐标，反过来，知道了一些点的坐标，还可以将各点顺次连接起来得到一些有趣的图形．

针对训练

1．在如图7－T－2所示的平面直角坐标系中，

(1)描出下列各点：

A(5，3)，B(－1.5，3.5)，C(－4，－1)，

D(2，－3)，E(3，0)，F(0，－2)；

(2)写出图中下列各点的坐标：

G(，)，H(，)，I(，)，J(，)，K(，)．

图7－T－2

解：(1)描点略．

(2)G(－3，1)，H(2，2)，I(－2，－4)，J(3，－2)，K(0，2)．

建立平面直角坐标系，求已知图形中点的坐标

利用平面直角坐标系可以准确地确定点的位置，对于一些位置模糊的点的位置的确定，可以通过建立恰当的平面直角坐标系，然后利用点与坐标的对应关系把点的位置确定出来.

例2如图7－T－3，正方形ABCD的边长为4，如果以AD的中点为原点，AD所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，那么AB边与x轴的位置关系是什么？BC边与x轴的位置关系怎样？并分别写出点A，B，C，D的坐标．

图7－T－3

解：AB边与x轴平行，BC边与x轴垂直．点A，B，C，D的坐标分别为(0，2)，(4，2)，(4，－2)，(0，－2)．

[归纳总结] 运用平面直角坐标系解决问题时，以方便问题的解决为准则，应根据不同的问题背景灵活地建立直角坐标系．在建立直角坐标系时应遵循：(1)能较直观地看出所要确定的点的坐标；(2)需要通过计算确定点的坐标时，尽量能使计算过程简单化．

针对训练

2．请你画出例2在另一种直角坐标系中的图形，并分别确定点A，B，C，D的坐标．解：略．

坐标系中的图形变换

一个点向左或向右平移a个单位长度，其纵坐标不变，横坐标相应减或加a；一个点向上或向下平移a个单位长度，其横坐标不变，纵坐标相应加或减a.

例3已知三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图7－T－4所示．

(1)写出它的三个顶点的坐标；

(2)若把这个三角形向右平移5个单位长度后得到三角形A′B′C′，试画出三角形A′B′C′，并写出它的三个顶点的坐标．

图7－T－4

解：(1)A(－1，4)，B(－2，1)，C(－3，2)．

(2)三角形A′B′C′如图7－T－5所示，A′(4，4)，B′(3，1)，C′(2，2)．

图7－T－5

[归纳总结] 横坐标是过点向x轴作垂线，垂足所表示的数；纵坐标是过点向y轴作垂线，垂足所表示的数．

针对训练

3．如图7－T－5，将三角形PQR先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则顶点P平移后的坐标是()

图7－T－5

A．(－2，－4) B．(－2，4)

C．(2，－3) D．(－1，－3)

[解析] A点P的坐标为(－4，－1)，先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则横坐标加2，纵坐标减3，因此顶点P平移后的坐标是(－2，－4)．

例4将正整数按如图7－T－6所示的规律在平面直角坐标系中进行排列，每个正整数对应一个整点坐标(x，y)，且x，y均为整数，如数5对应的坐标为(－1，1)，试探求数2016对应的坐标．

图7－T－6

[解析] 正整数按一定的规律在平面直角坐标系中排列，近似一层层正方形，每一个正整数都对应一个整点坐标(x，y)，则整点(x，y)与每一个正整数之间存在一定的联系，找出它们之间的联系，便能求出数2016对应的坐标．

解：以原点为中心，数阵图形成多层正方形，观察各正方形每边正整数的个数及第四象限的顶点所表示的数，不难得下表：

因为432<2016<452＝(2×22＋1)2＝2025，

所以数2025对应的坐标为(22，－22)，

所以数2016对应的坐标为(13，－22)．

[归纳总结] 正整数的排列有规律，而每个正整数对应一个整点坐标(x ，y)，且x ，y 均为整数，所以对应的整点坐标也有规律，找出正整数排列的规律便能求出任意整点的坐标．

针对训练

4．如图7－T －7，在平面直角坐标系中有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，2)，(3，1)，(3，0)，…，根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为________．

图7－T －7

[答案] (14，8)

[解析] 从图观察知：坐标为(x ，0)的点所在列共有x 个点，那么从(1，0)所在列的点到(x ，

0)所在列的点共有1＋2＋3＋…＋x ＝（1＋x ）x 2

(个)点，所以从(1，0)到(13，0)所在列的点共有（1＋13）×132

＝91(个)点，那么第100个点在第14列第9个点上，故第100个点的坐标为(14，8)．

平面直角坐标系中的点的坐标特征

x 轴上的点，纵坐标为零；y 轴上的点，横坐标为零；平行于x 轴的直线上的点，纵坐标相等；平行于y 轴的直线上的点，横坐标相等．若点P(x ，y)在第一象限，则x>0，y>0；在第二象限，则x<0，y>0；在第三象限，则x<0，y<0；在第四象限，则x>0，y<0.

例5 若坐标平面内点P(m ，1)在第二象限内，则点Q(－m ，0)在( )