第二章习题讲解 常建平版

2-1 已知随机过程0()cos X t A t ω=，其中0ω为常数，随机变量A 服从标准高斯分布。求000,3,2t πωπω=三个时刻()X t 的一维概率密度？

解：2

2

~(0,1)..........()A a A N f a -

=

212

11

()~(0,1)(0)t X x X t A N f x e

-==⇒

=；，

2

223203A 1

2()~(0,)()24

X t x X t N f x e πωπ

ω-==⇒；，

00

2323()

0()()

t X t f x x πωπ

ωδ==Q ＝，；

(离散型随机变量分布律)

2-2 如图2.23所示，已知随机过程()X t 仅由四条样本函数组

成，出现的概率为1131

,,,8484。

t

()

X t 1

2345

61

2

t 1()x t 2()x t 3()x t 4(x t o

图2.23 习题2-2

在1

t 和2

t

求

？

1212[()],[()],[()()]E X t E X t E X t X t ()4

11

29

[()]8k k k E X t x p t ===

∑221

[()]8

E X t =

()()(){}

1

2

1212121122[()()],,X k k E X t X t R t t k k p X t k X t k ====∑∑

2－23

[][]12()cos (0,1)(;),()()(,)X X X t A t XH A U f x t E X t D X t R t t =+~随机过程，其中（均匀分布）。求,,？[][][][][][][][]

[][][]()()()22

2

2

12122211212

2

2()cos cos ()()()()cos cos cos cos 12

(,)cos cos cos cos cos cos 1cos c 232o X XY

D a

E X t E A t XH t EA XH

D X t

E X t E X t D X t D A t XH D A t D XH t t DA R t t E A t XH X a D X b D Y abC EA EA A t XH t t XH t t XH t =+=⋅+⎡⎤=-⎣⎦

=+=+=⋅=

++⎡⎤⎣⎦+==+=+++g 公式：＋b =Ｙ方法：

()2212s cos cos 2

XH t t t XH +++

()()

()()22cos 0

22~,322cos 022

~,cos 0()2

1

22,cos 2cos cos cos c 2

1322,(;)cos o 2

s 2X k t k t t

X t U XH XH k t k t t X t U XH XH t k t X t XH

k t k XH x XH t k t k XH x XH f x t t x X t t t t π

π

πππ

π

πππ

πππππππππδ-

+<<

+>+<<+<=

+==-+<<+<<-++<<+<+++<=-对某一固定时刻对某一固定时刻概率密度用冲激函数表示

()

,20H t k x XH else π

π⎧⎪⎪

⎪⎪

⎨⎪=+=⎪⎪

⎪⎩

2-4 已知随机过程()X t A Bt =+，其中,A B 皆为随机变量。①求随机过程的期望[()]E X t 和自相关函数12(,)X R t t ？②若已知随机变量相互独立，

,A B

它们的概率密度分别为()A f a 和()B f b ，求()X t 的一

维概率密度(;)X f x t

第②问

方法一：用雅克比做（求随机变量函数的分布） 步骤：

t 时刻，()X t A Bt =+为两个随机变量的函数 ①设二维的随机矢量

12X A Bt X A

=+⎧⎨

=⎩（题目要求的）（自己设的量,可以是其它量）

②求反函数

③求雅克比行列式J ，得到|J| ④利用公式1

2

X X 12(,)(,)AB x x f b J f a =⋅

()AB ()AB A B f f a f b ⇔=g 相互独立

⑤由联合概率密度求边缘概率密度()1

X f x ⑥t 为变量，则得到(;)X f x t

,(,)()()

()

01()1

()()11()11(,;)(,)(,)()()

1(;)(,;)()(),(;)AB A B XY AB AB A B X XY A B X A B f a b f a f b A Y t X t A Bt J X t Y t Y t t B t t t x y x y

f x y t f a b f y f y f t t t t x y

f x t f x y t dy f A dy y f t t

f x t y J a +∞+∞

-∞

-∞

∴=⋅=⎧=+⎧⎪⇒==--⎨

⎨==-⎩⎪⎩

--=⋅=⋅=⋅⋅-===⋅⋅∴⎰

⎰

Q Q 与独立()1()()A B x a f a f d a t t

+∞-∞

-=⋅⋅⎰

()()()();1X A B A B a b

x a f x t f a f d t t f x bt f b d ∞

-∞∞

-∞

-⎛⎫

=⋅ ⎪⎝⎭

=-⋅⎰⎰

方法二： 用特征函数定义和性质（独立变量和