第二节 随机变量的方差和矩

E( X ) 0 ;
*
D( X * ) 1 .
证：
X E ( X ) E[ X E ( X )] E( X ) E (X ) ( X ) E( X ) E( X ) 0. (X )
*
X E ( X ) D X E ( X ) D( X ) 1. D( X ) D 2 2 (X ) (X ) (X )
证明 D(CX ) E[CX E (CX )]2
E{C [ X E( X )] }
2 2
C E[ X E( X )] C 2 D( X ).
2 2
由性质2、3可得：
D(aX+b ) = a2D(X)
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性质4 若随机变量 X , Y 相互独立，则
2
(te
t2 2
)



2
2
e
t2 2
0



1 e 2
目录
t2 2
dt 2 .
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例7
已知随机变量 X 的数学期望为 E ( X ), 标准差为
(X )
( X ) 0, 设随机变量 X * X E ( X ) , 证明：
(C 是任意常数）.
D( X C) E[( X C) E( X C)]2
E[ X C E( X ) C]2
E[ X E( X )] D( X ).
2
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性质3
D(CX ) C 2 D( X ), (C 是任意常数）.
k E ( X ) kpq k 1 p ( q )' 求和与求导
无穷递缩等比
级数求和公式


k 1
交换次序
q 1 p( q )' p( )' 1 q p k 1
k
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k 1
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E ( X 2 ) k 2 pq k 1
采用平方是为了保证一切
为X的方差.
差值X-E(X)都起正面的作用
方差的算术平方根 D( X ) 称为标准差或均方差 由于它与X具有相同的度量单位，在 实际问题中经常使用.
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D( X ) E[ X E( X )]2
方差刻划了随机变量的取值对于其数学 期望的离散程度 . 若X的取值比较集中，则方差较小；
D( X Y ) D( X ) D(Y ).
证明
因为 X , Y 独立，所以E ( XY ) E ( X ) E (Y ).
D( X Y ) E[( X Y ) 2 ] [ E ( X Y )]2
E[ X 2 2 XY Y 2 ] E ( X ) E (Y )2
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类似可证明: 若随机变量 X , Y 相互独立，有
D( X Y ) D( X ) D(Y ).
性质4可推广为有限多个相互独立随机变量和的情形
若随机变量 X1 , X 2 ,, X n 相互独立，则
D( X i ) D( X i ),
i 1
（1997年考研题）
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所以
1 2 2 2 1 2 D( X ) E ( X ) [ E ( X )] R ( R) R . 2 3 18
2 2
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例6 解
设 X N (, ), 求 D( X ).
2
由第一节知: E ( X ) ,
方差 定义1 随机变量X 与其数学期望E ( X ) 的差，
叫做 X 的离差.
注：随机变量离差的数学期望恒等于零.
E X E ( X ) E ( X ) E ( X ) 0.
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定义 2 则称
设 X 是一个 r.v ，若 E[(X-E(X)]2<∞ ， D(X)=E[X-E(X)]2
e

i 1

i 1
(i 1)
.

E( X 2 ) E[ X ( X 1)] E( X ) k (k 1)
k 0
k e
k
2 e
k 2

k 2
(k 2)
2 e e 2 ,
D( X ) E( X 2 ) [ E( X )]2 2 2
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例4 设r.v X服从几何分布，概率分布为 P(X=k)=p(1-p)k-1, k=1,2,…，n 其中0<p<1,求D(X) 解： 记q=1-p
i 1 n
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16
例3 随机变量 X P( ), 求 D( X ). i e , ( i 0,1, 2,) 解 据题意有 P{X i }
E ( X ) xi pi
i 0
i
i 0

e
i
i
i
第二节
随机变量的方差和矩
一、方差的概念 二、方差的性质 三、方差的计算
四、原点矩和中心矩
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1
一、方差的概念
上一节我们介绍了随机变量的数学期 望，它体现了随机变量取值的平均水平， 是随机变量的一个重要的数字特征.
但是在一些场合，仅仅知道平均值是 不够的.
n
n
n
i 1
D( Ci X i ) Ci2 D( X i ).
i 1 i 1
n
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13
性质5 D( X ) 0 的充要条件是 P{X E( X )} 1. 证明 充分性, 若 P{X E( X )} 1, 则
D( X ) E[ X E( X )]
利用期望 性质 展开
请自己用此公式计算常见分布的方差.
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二、方差的性质
性质1
D(C ) 0,
(C 是任意常数）.
证明
性质2 证明
D(C) E[C E(C)]2 E(C C)2 E(0) 0.
D( X C ) D( X ),
X
P
0 1
q
p
q 1 p.
求 E ( X ). 解
E ( X ) 0 q 1 p p ;
E( X ) 0 q 1 p p ;
2 2 2
D( X ) E( X ) [ E ( X )] 2 p p p(1 p) pq.
2 2
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P(X=xk)=pk
X为连续型， X~f(x)
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计算方差的常用公式
D(X)=E(X2)-[E(X)]2 证：D(X)=E[X-E(X)]2 =E{X2-2XE(X)+[E(X)]2} =E(X2)2[E(X)]2+[E(X)]2 =E(X2)-[E(X)]2
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2
引例1 某零件的真实长度为a，现用甲、 乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐 标上的点表示如图：

测量结果的 均值都是 a
a


甲仪器测量结果

a
乙仪器测量结果
较好
若让你就上述结果评价一下两台仪器的优 劣，你认为哪台仪器好一些呢？
易知
E ( X ) E (Y ) 0.
虽然它们的数学期望相同， 但它们的分布却有着 而 Y 的可能值则 显著的不同. X 的可能值比较集中， 比较分散.
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4
为此需要引进另一个数字特征,用它 来度量随机变量取值在其中心附近的离 散程度. 这个数字特征就是我们这一节要介绍的
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例2 随机变量 X B(n, p), 求 D( X ). 解 因为 X B(n, p), 则X表示n重贝努利试验中的“成功” 次数.
1 如第i次试验成功 i=1,2，…，n 若设 X i 0 如第i次试验失败
X= X1+X2+…+Xn 由例1知 D(Xi)= pq 则 所以 D(X)= D( X i ) = npq.
2
2
D( X ) [ x E ( X )] dx [ x ]
x
1 e 2
( x )2 2 2
dx

t


2
2
2
t2 2 2
t e
dt

2

2


t de
dt
t2 2


2
若X的取值比较分散，则方差较大 .
若方差D(X)=0,则r.v X 以概率1取常数值 .
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7
由定义知，方差是随机变量X的函数 g(X)=[X-E(X)]2的数学期望 .
X为离散型，
2 [ x E ( X )] pk , k D( X ) k 1 [ x E ( X )]2 f ( x)dx,
E ( X 2 ) E (Y 2 ) 2E ( XY )
E ( X )2 E (Y )2 2 E ( X ) E (Y )
{E ( X 2 ) [ E ( X )]2} {E (Y 2 ) [ E (Y )]2} D( X ) D(Y ).
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p[ k ( k 1)q
k 1

k 1
k 1
kq
k 1

k 1
]
q 1 ) qp( q )+E(X) qp( 1 q p k 1 2 1 2q 1 2 p qp 2 2 3 (1 q) p p p p
k
D(X)=E(X2)-[E(X)]2 2 p 1 1 p 2 2 2 p p p
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例5
已知连续随机变量 X 的概率密度
2r , 2 f (r ) R 0 ,
R
0 r R. 其它.
求 D( X ).
2 2r 解 E ( X ) r 2 dr R. 0 3 R 4 R 3 R 2 2 R 1 2 2 r 2 2 R. E ( X ) r 2 dr 2 0 r dr 2 0 R R 4 2 R
2 2
E[ E( X ) E( X )] E (0) 0.
必要性, 若 D( X ) 0, 即
所以
D( X ) E[ X E( X )] 0,
2
P{X E ( X )} 1.
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三、方差的计算
例1 设X服从两点分布，其概率分布为
因为乙仪器的测量结果集中在均值附近
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概率密度分别为： 引例2 设 X 与 Y 都服从均匀分布，
1 2 , x 1 ; f X ( x) 0 , x 1 .
1 200 , y 100 ; fY ( y ) y 100 . 0,
*
通常把 X *叫做标准化的随机变量.
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特别地, 若 X N (, 2 ),
则
X
*
X

N (0,1).
例8 设两个相互独立的随机变量X 与 Y 的方差 分别为4和2, 则随机变量 3 X 2Y 的方差是
A: 8 , B : 16 , C : 28 , D : 44 .