数值分析试卷及其答案8

因此，所给求积公式具有 3 次代数精度。 （6 分）
2）将 [a, b] 作 n 等分，记 h =
b−a , xi = a + ih,0 ≤ i ≤ n. n
∫
b
n −1
a
f ( x)dx = ∑ ∫
i =0 xi + 1
i
xi + 1
xi
f ( x)dx, （2 分） h2 ' [ f ( xi ) − f ' ( xi +1 )], 12
f ( 4) (ξ ) 3） R3 ( x) = ( x − x0 )( x − x1 )( x − x 2 )( x − x3 ) = x( x − 1)( x − 3)( x + 2) 4!
⎡ 1 w w⎤ ⎥ 五、给定方程组 Ax = b ，其中 A = ⎢ ⎢3w 1 0 ⎥ 。 ⎢ ⎣ w 0 1⎥ ⎦
数值分析期末考试
一、 设 ~ x = 80 ，若要确保其近似数的相对误差限为 0.1%，则它的近 似数 x 至少取几位有效数字？（4 分）
解：设 x 有 n 位有效数字。 因为 8 = 64 < 80 < 81 = 9 ，所以可得 x 的第一位有效数字为 8（1 分） 又因为 ε ≤
1 1 1 × 101−n < = × 10−2 ，令 1 − n = −2 ⇒ n = 3 ，可知 x 至少 2×8 1000 10
∫
−1
f ( x)dx ≈
（5 分）
十、龙格库塔（10 分） 取步长 h = 0.4 ，写出用经典四阶 Runge-Kutta 方法求解初值问题
⎧ dy ⎪ = x sin( x + y ) 的计算公式。 ⎨ dx ⎪ ⎩ y (1) = 0(1 ≤ x ≤ 9)
解： x n = x0 + nh = 1 + 0.4n
三、用列主元 Gauss 消元法法求解以下方程组（6 分）
x1 − 2 x 2 + 3 x3 = −20 − x1 + x 2 + 2 x 3 = −8 2 x1 + 4 x 2 + x3 = 9
4 1 9 ⎤ 1 9 ⎤ ⎡ 1 − 2 3 − 20⎤ ⎡2 ⎡2 4 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 解： ⎢ − 1 1 2 − 8 ⎥ → ⎢ − 1 1 2 − 8 ⎥ → ⎢0 3 2.5 − 3.5 ⎥ ⎥→ ⎢ ⎢ ⎢ 4 1 9 ⎥ ⎣2 ⎦ ⎣ 1 − 2 3 − 20⎥ ⎦ ⎣0 − 4 2.5 − 24.5⎥ ⎦ ⎡2 4 1 9 ⎤ 1 ⎡2 4 ⎢0 − 4 2.5 − 24.5⎥ → ⎢0 − 4 2.5 ⎢ ⎢ ⎥ ⎢0 0 35 ⎢ ⎥ ⎣0 3 2.3 − 3.5 ⎦ 8 ⎣ 9 ⎤ ⎥ − 24,5 ⎥ (4 分) − 175 ⎥ 8⎦
九、已知三点 Gauss 公式（10 分）
∫
值。
1
−1
f ( x )dx ≈
1 5 8 5 f ( 0.6 ) + f (0) + f (− 0.6 ) ，用该公式估算 ∫ x dx 的 0.5 9 9 9
解：令 t = ax + b ，于是有： ⎨
⎧1 = a + b ⎧a = 4 ，于是 t = 4 x − 3 →⎨ ⎩− 1 = 0.5a + b ⎩b = −3
(ϕ 0 , ϕ 0 ) = 1 (ϕ 0 , ϕ1 ) = 1 2 (ϕ1 , ϕ1 ) = 1 3 ( f ,ϕ 0 ) = 2 5 ( f , ϕ1 ) = 2 (4 分) 7
得法方程组：
1 2 ⎧ a+ b= ⎪ ⎪ 2 5 ⎨ ⎪1 a + 1 b = 2 ⎪ 3 7 ⎩2
解方程组得 a = −
y0 = 0
（1 分）
h ⎧ ⎪ y n +1 = y n + 6 (k1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) ⎪ ⎪k1 = f ( x n , y n ) ⎪ h h ⎪ （6 分） ⎨k 2 = f ( x n + , y n + k1 ) 2 2 ⎪ h h ⎪ ⎪k 3 = f ( x n + 2 , y n + 2 k 2 ) ⎪ ⎪ ⎩k 4 = f ( x n + h, y n + hk 3 )
f ( x2 )
( x − x 0 )( x − x1 )( x − x3 ) ( x − x0 )( x − x1 )( x − x 2 ) + f ( x3 ) = ( x 2 − x 0 )( x 2 − x1 )( x 2 − x 3 ) ( x3 − x 0 )( x3 − x1 )( x3 − x 2 ) ( x − 3)( x + 2)( x − 0) ( x − 1)( x + 2)( x − 0) + (−1) × + (1 − 3)(1 + 2)(1 − 0) (3 − 1)(3 + 2)(3 − 0)
⎧ ⎪2 x1 + 4 x 2 + x3 = 9, ⎪ 等价三角方程组为： ⎨− 4 x 2 + 2.5 x3 = −24.5, （1 分） ⎪ 35 175 ⎪ x3 = − , 8 ⎩8
回代得 x3 = −5, x 2 = 3, x1 = 1 （1 分）
四、设 f ( x) = x 4 − 3 x 3 + x 2 − 10, x 0 = 1, x1 = 3, x 2 = −2, x3 = 0. 1）求以 x0 , x1 , x 2 , x 3 为节点的 3 次 Lagrange 多项式； （6 分） 2）求以 x0 , x1 , x 2 , x 3 为节点的 3 次 Newton 多项式； （6 分） 3）给出以上插值多项式的插值余项的表达式（3 分）
p1 ( x) = −
4 36 ,b = ，于是得一次最佳平方逼近多项式为 35 35
4 36 + x （4 分） 35 35
八、写出方程的 Newton 迭代格式，并迭代一次求近似解（6 分） (1) (2) 在 x 0 = 2 附近的根。 在 x0 = 1 附近的根。
解： （1）
取 x0 = 2 ，则 x1 =
1 2
1 2
六、设 f ( x ) ∈ C 4 [a, b] ， ∫a f ( x)dx ≈
b
b−a (b − a ) 2 ' [ f (a ) + f (b)] + [ f (a) − f ' (b)] 2 12
b
求上述求积公式的代数精度，并利用求积公式给出计算 ∫a f ( x)dx 的一 个复化求积公式。 （12 分） 解：1） 当 f ( x) = 1 时，左边= b − a =右边
试 确 定 w ∈ R 的 取 值 范 围 ， 使 求 解 该 方 程 组 的 Jacobi 迭 代 法 与 Gauss-Seidel 迭代法均收敛。 （10 分）
λ w w 解：1）Jacobi 迭代格式的特征方程为 3w λ 0 = 0,即λ3 − 4w 2 λ = 0, w 0 λ
求得 λ1 = 0, λ2 = 2w, λ3 = −2w 于是当且仅当 2w < 1 → w < 时，Jacobi 迭代法收敛（5 分）
取 n = 0,1,2 ⋯,20, ，其经典四阶 Runge-Kutta 计算公式为：
0.4 ⎧ ⎪ y n +1 = y n + 6 (k1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) ⎪ ⎪k1 = (1 + 0.4n) sin(1 + 0.4n + y n ) ⎪ ⎨k 2 = (1.2 + 0.4n) sin(1.2 + 0.4n + y n + 0.2k1 ) （3 分） ⎪k = (1.2 + 0.4n) sin(1.2 + 0.4n + y + 0.2k ) n 2 ⎪ 3 ⎪k 4 = (1.4 + 0.4n) sin(1.4 + 0.4n + y n + 0.4k 3 ) ⎪ ⎩
17 9
（3 分）
（2） f ( x) = x 2 − 3 x − e x + 2, f ' ( x) = 2 x − 3 − e x 则 x k +1
x k2 − 3x k − e xk + 2 ， = xk − 2 x k − 3 − e xk
1 1+ e
取 x0 = 1 ，则 x1 =
（3 分）
λ w 2）Gauss-Seidel 迭代格式的特征方程为: 0 λ − 3w 2 0 − w2 w − 3w 2 = 0, λ − w2
1 2
求得 λ1 = 0，λ2 = 0，λ3 = 4w 2 ，于是得 w < 。 故当 w < 时，求解该方程组的 Jacobi 迭代法与 Gauss-Seidel 迭代法 均收敛。
xi f ( xi )
一阶差商
二阶差商
三阶差商
1 3 -2 0
-11 -1 34 -10 5 -7 -22 4 5 -1
则 N 3 ( x ) = −11 + 5( x − 1) + 4( x − 1)( x − 3) − ( x − 1)( x − 3)( x + 2) =
− 10 − 6 x + 6 x 2 − x 3
十一、用乘幂法计算矩阵 A 按模最大特征值和相应的特征向量。取
x ( 0) = (1,1,1)T ，迭代两步即可。 （7 分）
⎡− 4 14 0⎤ ⎥ 其中 A = ⎢ ⎢ − 5 13 0⎥ ⎢ ⎣ − 1 0 2⎥ ⎦
解： y = Ax
(1)
( 0)
⎡ − 4 14 0⎤ ⎡1⎤ ⎡10⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =⎢ ⎢ − 5 13 0⎥ ⎢1⎥ = ⎢8 ⎥ ⎢ ⎣ − 1 0 2⎥ ⎦⎢ ⎣1⎥ ⎦ ⎢ ⎣1 ⎥ ⎦
而 ∫x f ( x)dx ≈ [ f ( xi ) + f ( x i +1 )] + 由此可得复化公式
h 2
∫
b
a
n −1 h2 ⎧h f ( x)dx ≈ ∑ ⎨ [ f ( xi ) + f ( xi +1 )] + [ f ' ( xi ) − f ' ( xi +1 )] 12 0 ⎩2 i −1
1 2 1 当 f ( x ) = x 2 时，左边= (b 3 − a 3 ) =右边 3 1 当 f ( x ) = x 3 时，左边= (b 4 − a 4 ) =右边 4 1 当 f ( x ) = x 4 时，左边= (b 5 − a 5 ) ≠ 右边 5
当 f ( x ) = x 时，左边= (b 2 − a 2 ) =右边
dx =
1 1 1 t +3 1 dt ，于是 ∫ x dx = ∫ dt （5 分） 0 . 5 − 1 4 4 4
令 f (t ) =
1
1 t+3 ，就得： 4 4 5 8 5 5 1 3+ 6 8 1 3 5 1 3− 6 f ( 0.6 ) + f (0) + f (− 0.6 ) = × + × + × 9 9 9 9 4 4 9 4 4 9 4 4
具有 3 位有效数字（3 分） 。
二、求矩阵 A 的条件数 Cond( A)1 （4 分） 。 其中 A = ⎢ 解： A −1 = ⎢
⎡1 3⎤ ⎥ ⎣2 4⎦
1 ⎤ ⎡− 2 ⎥ ⎣1.5 − 0.5⎦
（1 分）
A 1 =7（1 分）
7 A −1 = （1 分） 1 2
Condwk.baidu.com A)1 =
49 （1 分） 2
0
= ∑ [ f ( xi + xi +1 )] +
h 2
h2 ' [ f (a) − f ' (b)] (4 分) 12
七、求 f ( x ) = x 在 [0,1] 上的一次最佳平方逼近多项式。 （8 分）
3 2
解：令所要求的多项式为： p1 ( x) = a + bx ，即取 ϕ 0 ( x ) = 1, ϕ1 ( x ) = x ，计算
− 11 ×
34 ×
( x − 1)( x − 3)( x − 0) ( x − 1)( x − 3)( x + 2) + (−10) × . = −10 − 6 x + 6 x 2 − x 3 (−2 − 1)(−2 − 3)(−2 − 0) (0 − 1)(0 − 3)(0 + 2)
2）计算差商表如下：
解：由 x 0 = 1, x1 = 3, x 2 = −2, x3 = 0 可得
f ( x 0 ) = −11, f ( x1 ) = −1, f ( x 2 ) = 34, f ( x3 ) = −10
即得：
L3 ( x ) = f ( x0 )
( x − x1 )( x − x 2 )( x − x3 ) ( x − x0 )( x − x 2 )( x − x3 ) + f ( x1 ) + ( x 0 − x1 )( x0 − x 2 )( x 0 − x3 ) ( x1 − x 0 )( x1 − x 2 )( x1 − x3 )