人教A版高中数学必修四 ：.2弧度制 课件
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人教A版高中数学必修四课件1.1.2《弧度制》
1.1.2 弧度制
复习引入
1.角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 ⑵“正角”与“负角”“0角” 2.把用度做单位来度量角的制度叫做角度制 .
讲解新课：
1． 定义：长度等于半径长的弧所对的圆 心角称为1弧度的角它的单位是rad读作弧 度，这种用“弧度”做单位来度量角的制 度叫做弧度制．
探究：
⑴平角、周角的弧度数，（平角=rad、周角=2rad）
例2 把3.14 rad化成角度（用度表示 ，精确到0.001）
例3利用弧度制证明下列关于扇形的公式 (1)
(2)
(3)
例4．利用计算器比较sin1.5和sin 大小
的
例5. 将下列各角化成0到 上的形式 ⑴ ⑵
的角加
例6 已知扇形周长为10cm，面积 为6 ，求扇形中心角的弧度数 ．
课堂练习：P9练习 课后作业：作业: P9习题1.1 4,6，7，8，9，10 B组1,2，3 A组
⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数， 零角的弧度数是0
⑶角的弧度数的绝对值
（l为弧长，r为半径）源自⑷用角度制和弧度制来度量零角，单位不同， 但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度 量任一非零角，单位不同，量数也不同
2.角度制与弧度制的换算： 360=2rad
,
180= rad
例1 按照下列要求，把 化成弧度 （1）精确值；（2）精确到0.001的近似 值。
复习引入
1.角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 ⑵“正角”与“负角”“0角” 2.把用度做单位来度量角的制度叫做角度制 .
讲解新课：
1． 定义：长度等于半径长的弧所对的圆 心角称为1弧度的角它的单位是rad读作弧 度，这种用“弧度”做单位来度量角的制 度叫做弧度制．
探究：
⑴平角、周角的弧度数，（平角=rad、周角=2rad）
例2 把3.14 rad化成角度（用度表示 ，精确到0.001）
例3利用弧度制证明下列关于扇形的公式 (1)
(2)
(3)
例4．利用计算器比较sin1.5和sin 大小
的
例5. 将下列各角化成0到 上的形式 ⑴ ⑵
的角加
例6 已知扇形周长为10cm，面积 为6 ，求扇形中心角的弧度数 ．
课堂练习：P9练习 课后作业：作业: P9习题1.1 4,6，7，8，9，10 B组1,2，3 A组
⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数， 零角的弧度数是0
⑶角的弧度数的绝对值
（l为弧长，r为半径）源自⑷用角度制和弧度制来度量零角，单位不同， 但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度 量任一非零角，单位不同，量数也不同
2.角度制与弧度制的换算： 360=2rad
,
180= rad
例1 按照下列要求，把 化成弧度 （1）精确值；（2）精确到0.001的近似 值。
《弧度制》示范课教学课件【高中数学人教A版】
一点Q（不同于点O和P），OQ＝r1．在旋转过程中，点Q所形成的的圆弧OQ1的长为l1，那么l1与r1的比值是多少？你能得出什么结论？
因此可以用弧长和半径的比值表示圆心角．
只与α的大小有关，也就是说，这个比值随α的确定而唯一确定．
新知探究
新知探究
★资源名称： 【数学探究】认识弧度制★使用说明：本资源为“认识弧度制”知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣．辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．注：此图片为“动画”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．
弧度制
因为用了不同的单位．再如，度量重量可以用千克、斤、磅等不同的单位制，度量体积可以用立方米、升等不同的单位制．
创设情境
问题1 我们知道：篮球明星姚明的身高是2.26米，但在NBA官方数据中却是7.5英尺，为什么？你还知道哪些量有不同的度量制？举例说明．
新知探究
问题2 度量角除了角度制，还有什么单位制呢？
45°
120°
135°
150°
360°
弧度
0
π
2π
新知探究
60°
90°
180°
270°
（1） ； （2） ； （3） ．
其中R是圆的半径， α(0<α<π)为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积．
下面证明（2）（3）．
（1）你觉得这样定义弧度制合理吗？
（2）在度量角的时候你觉得需要注意哪些问题？
（3）你现在觉得用弧度制度量角有什么好处？为什么会出现这种情况？
（4）你能画一个知识结构图来反映本节课的研究内容与路径吗？
归纳小结
问题4 通过本节课的学习，你学会用弧度制度量角了吗？
因此可以用弧长和半径的比值表示圆心角．
只与α的大小有关，也就是说，这个比值随α的确定而唯一确定．
新知探究
新知探究
★资源名称： 【数学探究】认识弧度制★使用说明：本资源为“认识弧度制”知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣．辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．注：此图片为“动画”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．
弧度制
因为用了不同的单位．再如，度量重量可以用千克、斤、磅等不同的单位制，度量体积可以用立方米、升等不同的单位制．
创设情境
问题1 我们知道：篮球明星姚明的身高是2.26米，但在NBA官方数据中却是7.5英尺，为什么？你还知道哪些量有不同的度量制？举例说明．
新知探究
问题2 度量角除了角度制，还有什么单位制呢？
45°
120°
135°
150°
360°
弧度
0
π
2π
新知探究
60°
90°
180°
270°
（1） ； （2） ； （3） ．
其中R是圆的半径， α(0<α<π)为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积．
下面证明（2）（3）．
（1）你觉得这样定义弧度制合理吗？
（2）在度量角的时候你觉得需要注意哪些问题？
（3）你现在觉得用弧度制度量角有什么好处？为什么会出现这种情况？
（4）你能画一个知识结构图来反映本节课的研究内容与路径吗？
归纳小结
问题4 通过本节课的学习，你学会用弧度制度量角了吗？
高中数学--弧度制(二)新人教A版必修4 ppt课件
是用度做单位来度量角，1°的角是如
何定义的？
周角的 1 叫做1度角,记为1°
360
我们把用度做单位来度量角的制度
叫做角度制，在数学和其他许多科学
研究中还要经常用到一种度量角的制
度—弧度制，它是如何定义呢？
PPT课件
3
弧度制定义 我们把等于半径长的圆弧所对的圆心
角叫做1弧度的角．
演示课件
若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度 数是多少？ 若弧是一个整圆呢？
弧 度
0
6
4
3
2
2 3 5
346
3 2
2
PPT课件
15
角的概念推广以后,在弧度制下,角的集 合与实数集R之间建立了一一对应关系
一一对应
正实
正角
数
零角
0
负角
负实
数
任意角的集合 实数集R
PPT课件
16
例3 利用弧度制证明下列关于扇形公式:
1l R 2 S 1 R2 3 S 1 lR
2
2
其中R是半径，l是弧长，α(0<α<2π)为圆心角,S 是扇形面积.
PPT课件
4
为什么可以用弧长与其半径的比 值来度量角的大小呢？即这个比值是 否与所取的圆的半径大小无关呢？
演示课件
PPT课件
5
探究
半径为r的圆的圆心与原点重合,角α的终边与x 轴的正半轴重合,交圆于点A,终边与圆交于点B. 请完成表格.
y B
αA ox
PPT课件
6
»AB 的长
πr 2πr
r 2r πr 0 πr 2πr
OB旋转的 ∠AOB的弧
方向
度数
人教A版数学必修4第一章1.1.2 弧度制 课件(共22张PPT)
§1.1.2 弧 度 制
2020/6/7
1
有人问姚明有多高
时，有人回答身高 2.26米 ，也有人回 答约7.41尺，请问 哪种回答是正确的？ （1米=3.28043英 尺）
2020/6/7
2
在角的度量里面，除了角度制外，数学 上还采用角的另外一种度量制---弧度制.
2020/6/7
3
角度制的回顾： 角度制
16
用弧度数证明下列扇形的面积公式：
(1)S1R(2)S1l R
2
2
证明：由于半径为R，圆心角为n度的扇形的弧长公式和
面积公式为别是：
l
l n r
180
S扇形 3n6R 02
将n度角转换为弧度，得 nπ
于是有： S 1R2
180
2
1
将 l||r 代入上式，即得 S lR
2
2020/6/7
17
例：已知扇形的周长为8cm，圆心角 为2弧度，求该扇形的面积.
解：设扇形的半径为r，弧长为 l ，则有
2lr2lr,8,解得rl42 故扇形的面积为S1rl4(cm2).
2
2020/6/7
18
3.角度制和弧度制的比较 (1)弧度制与角度制是以不同单位来度量角的单位制． (2)1 弧度的角与 1 度的角所指含义不同，大小更不同． (3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角 的大小都是一个与“半径”大小无关的值．
2020/6/7
22
单位：弧度 (rad)
2、1 rad的角是怎样定义的？
我们把长度等于半径长的弧,所对的圆
心角叫做1弧度的角。符号用rad表示，
读作弧度。
O
即用弧度制度量时，这样的圆心角等
2020/6/7
1
有人问姚明有多高
时，有人回答身高 2.26米 ，也有人回 答约7.41尺，请问 哪种回答是正确的？ （1米=3.28043英 尺）
2020/6/7
2
在角的度量里面，除了角度制外，数学 上还采用角的另外一种度量制---弧度制.
2020/6/7
3
角度制的回顾： 角度制
16
用弧度数证明下列扇形的面积公式：
(1)S1R(2)S1l R
2
2
证明：由于半径为R，圆心角为n度的扇形的弧长公式和
面积公式为别是：
l
l n r
180
S扇形 3n6R 02
将n度角转换为弧度，得 nπ
于是有： S 1R2
180
2
1
将 l||r 代入上式，即得 S lR
2
2020/6/7
17
例：已知扇形的周长为8cm，圆心角 为2弧度，求该扇形的面积.
解：设扇形的半径为r，弧长为 l ，则有
2lr2lr,8,解得rl42 故扇形的面积为S1rl4(cm2).
2
2020/6/7
18
3.角度制和弧度制的比较 (1)弧度制与角度制是以不同单位来度量角的单位制． (2)1 弧度的角与 1 度的角所指含义不同，大小更不同． (3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角 的大小都是一个与“半径”大小无关的值．
2020/6/7
22
单位：弧度 (rad)
2、1 rad的角是怎样定义的？
我们把长度等于半径长的弧,所对的圆
心角叫做1弧度的角。符号用rad表示，
读作弧度。
O
即用弧度制度量时，这样的圆心角等
人教A版必修4 弧度制 课件(43张) (2)
数 学 必修4
第一章
三角函数
学案· 新知自解 教案· 课堂探究 练案· 学业达标
[边听边记]
(1)因为－2 010° ＝－6×360° ＋150° ，
所以与－2 010° 终边相同的最小正角是 150° . (2)①60° 是第一象限角，S＝{β|β＝60° ＋ k· 360° ，k∈Z}，S 中适合－360° ≤β ＜360° 的元素是：60° ＋(－1)×360° ＝－300° ；60° ＋0×360° ＝60° . ②－21° 是第四象限角，S＝{β|β＝－21° ＋k· 360° ，k∈Z}，S 中适合－360° ≤β ＜360° 的元素是：－21° ＋0×360° ＝－21° ；－21° ＋1×360° ＝339° .
数 学 必修4
第一章
三角函数
学案· 新知自解 教案· 课堂探究 练案· 学业达标
象限角的判断 自主练透型 (1)给出下列四个结论：①－15° 是第四象限角；②185° 是第三象限 角；③475° 是第二象限角；④－350° 是第一象限角．其中正确的个数为( A．1 C．3 B．2 D．4 )
α (2)已知 α 是第三象限角，判断 是第几象限角． 2
α
2
＜ n· 360° ＋135° ，
α
2
是第二象限角．
当 k＝2n＋1(n∈Z)时，
数 学 必修4
第一章
三角函数
学案· 新知自解 教案· 课堂探究 练案· 学业达标
270°＋n· 360° ＜ 所以
α
2
＜ n· 360° ＋315° ，
α
2
是第四象限角，
综上，
α
2
为第二象限角或第四象限角．
答案：
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练习
P9：第1—3题
2021/3/11
人教A版高中数学必修四第一章：.2弧 度制pp t下载 【PPT教 研课件 】
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例3: 利用弧度制证明下列关于扇形公式:
1l R 2 S 1R2 3 S 1 lR
2
2
其中R是半径，l是弧长，α(0<α<2π)为圆心 角,S是扇形面积.
填定下列特殊角的度数与弧度数的对应表
角 度
0 30
45
60 9 0 120 135 1 5 0 1 8 0 270 3 6 0
弧 度
0
6
ห้องสมุดไป่ตู้ 4
3
2
2 3
3 4
5 6
3
2
2
2021/3/11
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2021/3/11
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正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数， 零角的弧度数是0.
公式： l
r 表示的是在半径为r的圆中，弧长为l的
弧所对的圆心角是αrad。
P5练习1、2、3、4、5
角度制
在平面几何中研究角的度量，当 时是用度做单位来度量角，如下图：
1°的角
O
2021/3/11
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P9：第1—3题
2021/3/11
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例3: 利用弧度制证明下列关于扇形公式:
1l R 2 S 1R2 3 S 1 lR
2
2
其中R是半径，l是弧长，α(0<α<2π)为圆心 角,S是扇形面积.
填定下列特殊角的度数与弧度数的对应表
角 度
0 30
45
60 9 0 120 135 1 5 0 1 8 0 270 3 6 0
弧 度
0
6
ห้องสมุดไป่ตู้ 4
3
2
2 3
3 4
5 6
3
2
2
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正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数， 零角的弧度数是0.
公式： l
r 表示的是在半径为r的圆中，弧长为l的
弧所对的圆心角是αrad。
P5练习1、2、3、4、5
角度制
在平面几何中研究角的度量，当 时是用度做单位来度量角，如下图：
1°的角
O
2021/3/11
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人教高中数学必修4PPT课件：.2弧度制.
5.弧长公式 l l r
r 6.扇形的公式:
(1)l R;(2)S 1 R2;(3)S 1 lR.
2
2
其中R是圆的半径,l是弧长,
(0 2 )为圆心角,
S是扇形的面积.
OB旋转方向 逆时针 逆时针
逆时针 顺时针
顺时针 不旋转
逆时针
AOB的弧度数 AOB的度数
1800
2
3600
1
(180 )0
2
( 360 )0
1800
0
00
1800
人 教 高 中 数 学必修 4PPT课 件：.2 弧度制 .
2.弧度制的性质
①半圆所对的圆心角为 r .
r
②整圆所对的圆心角为2 r 2 .
思考: 一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比
值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？
答: 一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是
唯一确定的,与圆的半径无关.
由弧度的定义可知：
圆心角AOB的弧度数等于它所对的弧的长与半径
长的比的绝对值。
注：比值
定
B
义
B
l=r
的 合 理
1弧度
l=r
1弧度
OO r r A
正角 零角 负角
正实数
零 负实数
3.角度制与弧度制的换算:
360º = 2π rad, 180º = π rad
1º=
π
180
rad0.01745rad
1rad = (
180
π
) º 57.3º =57º 18′
4.特殊角的度数与弧度数的对应表:
0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 0 4 3 2 23
人教A版高中数学必修四《1.1.2弧度制》ppt课件.ppt
• 20、No man is happy who does not think himself so.——Publilius Syrus认为自己不幸福的人就不会幸福。2020年8月5日星期三11时1分19秒11:01:195 August 2020
• 21、The emperor treats talent as tools, using their strongpoint to his advantage. 君子用人如器，各取所长。上午11时1分19秒上午11时1分11:01:1920.8.5
3
．
1．什么叫1弧度角? 2.“角度制”与“弧度制”的联系与区别； 3．弧长公式与扇形面积公式．
把希望建筑在意欲和心愿上面的人们，二十 次中有十九次都会失望。
——大仲马
• 1、Genius only means hard-working all one's life. (Mendeleyer, Russian Chemist) 天才只意味着终身不懈的努力。20.8.58.5.202011:0311:03:10Aug-2011:03
• •
THE END 8、For man is man and master of his fate.----Tennyson人就是人，是自己命运的主人11:0311:03:108.5.2020Wednesday, August 5, 2020
9、When success comes in the door, it seems, love often goes out the window.-----Joyce Brothers成功来到门前时，爱情往往就走出了窗外。 11:038.5.202011:038.5.202011:0311:03:108.5.202011:038.5.2020
课件2：1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
5
5
角度制与弧度制互化时要抓住 180
弧度这个关键．
课堂小结
总结提炼
（1）
180°=π 弧度；
（2）“角化弧”时，将 n乘以 π/180° ；
“弧化角”时，将α 乘以 180/π
课堂练习
把 67 30 化成弧度．
1
解：∵ 67 30 67
2
∴
67 30
（2）把112º30′化成弧度（用π表示）。
典型例题
解： （1）112º30′=112.5º，
1
180
0.0175
所以112º30′≈112.5×0.0175≈1.969rad.
5
(2) 112º30′=112.5×
=
180 8
.
典型例题
4
把 π rad 化成度．
5
4
4
解： rad 180 144
分析：在书写角时，“弧度”两个字常省略不写，但用
“角度”表示时，“度”或“0”不能省略。
解析：
因为 -1485°=-5× ° + °，又° = ×
39
59
180 36 ,所以-1485°=-10π+ 36 .
典型例题
（1)）把112º30′化成弧度(精确到0.001)；
角 的弧度数的绝对值是 ，这里， 的正负由
角 的终边的旋转方向决定。
知识点1：
1“弧度制”与“角度制”是度量角的两种制
度。引进了弧度制，使得每一个角都对应一个实
数（即这个角的弧度数），反过来每一个实数都
对应一个弧度数（角的弧度数等于这个实数），
5
角度制与弧度制互化时要抓住 180
弧度这个关键．
课堂小结
总结提炼
（1）
180°=π 弧度；
（2）“角化弧”时，将 n乘以 π/180° ；
“弧化角”时，将α 乘以 180/π
课堂练习
把 67 30 化成弧度．
1
解：∵ 67 30 67
2
∴
67 30
（2）把112º30′化成弧度（用π表示）。
典型例题
解： （1）112º30′=112.5º，
1
180
0.0175
所以112º30′≈112.5×0.0175≈1.969rad.
5
(2) 112º30′=112.5×
=
180 8
.
典型例题
4
把 π rad 化成度．
5
4
4
解： rad 180 144
分析：在书写角时，“弧度”两个字常省略不写，但用
“角度”表示时，“度”或“0”不能省略。
解析：
因为 -1485°=-5× ° + °，又° = ×
39
59
180 36 ,所以-1485°=-10π+ 36 .
典型例题
（1)）把112º30′化成弧度(精确到0.001)；
角 的弧度数的绝对值是 ，这里， 的正负由
角 的终边的旋转方向决定。
知识点1：
1“弧度制”与“角度制”是度量角的两种制
度。引进了弧度制，使得每一个角都对应一个实
数（即这个角的弧度数），反过来每一个实数都
对应一个弧度数（角的弧度数等于这个实数），
新课标高中数学人教A版必修四全册课件1.1.2弧度制(一)
弧 度
0
6
4
3
2
23
角 度
135o
150o
180o
270o
360o
弧 度
第三十五页，编辑于星期日：十三点 十八分。
特殊角的弧度
角 度
0o
30o
45o
60o
90o 120o
弧 度
0
6
4
3
2
23
角 度
135o
150o
180o
弧 3
度4
270o
360o
第三十六页，编辑于星期日：十三点 十八分。
特殊角的弧度
r ③正角的弧度数是一个正数．
④负角的弧度数是一个负数．
⑤零角的弧度数是零．
⑥角的弧度数的绝对值||=
l. r
第十七页，编辑于星期日：十三点 十八分。
角度与弧度之间的转换
①将角度化为弧度：
第十八页，编辑于星期日：十三点 十八分。
角度与弧度之间的转换
①将角度化为弧度：
第十九页，编辑于星期日：十三点 十八分。
270o
360o
第三十八页，编辑于星期日：十三点 十八分。
特殊角的弧度
角 度
0o
30o
45o
60o
90o 120o
弧 度
0
6
4
3
2
23
角 度
135o
150o
180o
弧 3 5
度4 6
270o
3
2
360o
第三十九页，编辑于星期日：十三点 十八分。
特殊角的弧度
角 度
0o
30o
45o
60o
人教版高中数学必修四弧度制和弧度制与角度制的换算公开课教学课件共18张PPT
当堂检测(限时5分钟，满分10分）
2、
-144o
3、－25º 4、 所求扇形的中心角的弧度数为
小结
圆周角度360
换
算 等价
六十进制 区别
十进制
圆周弧度2
角度制
弧度制
角的度量
三角函数
温故而知新
1、角度制：初中时我们用角度制度量角，1度的角 等于周角的1/360。
周角的 1/360
1°
n° l R
1弧度的概念
如图，把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度的角，记作1rad，读作1弧度.
探究1：深化弧度的概念
思考1：1弧度圆心角的大小与所在圆的半径的大小 是否有关？为什么？
B’ B l=R
1弧度
1弧度l=r O r R A A’
思考2：如果将半径为r圆的一条半径OA，绕圆心旋转 到OB，若弧AB长为2r，那么∠AOB的大小为多少弧度？
2rad
2r
B
r
A O
思考3：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l， 那么，角α的弧度数的绝对值如何计算？
探究2：角度与弧度的换算
解的？
正角
正实数
零角
零
十进制
负角
负实数
探究3：与扇形有关的公式
思考1：角度制下，扇形的圆心角是n°,则扇形的面积是？
思考2：类比思考1，在弧度制下，若扇形的圆心角是 弧 度，则扇形的面积是？还有其它的表示方法么？
A
r
OS l B
例题讲解
例1 把
解：∵ ∴
化成弧度。
例2 把 化成度。
解：∵ 1rad=
人教版高中数学必修四 弧度制和弧度制与角度 制的换算公开课教学课
高中数学必修4弧度制_ PPT 课件
（1）用角度表示
与终边相同的角可以表示为： k3 6 ， k0 Z
它们构成一个集合：
S =| = k 3 ,k 6 Z 0
（2）用弧度表示
与终边相同的角可以表示为： 2k， k Z
它们构成一个集合：
S = |= 2 k ,k Z
180 把弧度换成角度
1ra=d18 05.73 0=5 71'8
正角 零角 负角
任意角的集合
正实数
0
负实数 实数集R
注意几点：
1．今后在具体运算时，“弧度”二字和 单位符号“rad”可以省略 如：3表示 3rad , sin表示rad角的正弦
2．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应 该记住（见课本P8表）
—弧度制，它是如何定义呢？
弧度制 ：
定义： 我们把长度等于半径长的弧所对的 圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时， 这样的圆心角等于1rad。
单位符号 ：rad
B
l =r
1rad
Oo r
A
读作弧度
C
l = 2r
2rad
A
r
Oo
AOB=1rad
AOC=2rad
(1)正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数， 零角的弧度数是0
角度制与弧度制的比较
①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制 是以“度”为单位度量角的制度；
②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）
的大小，而 1
是圆的
1 360
所对的圆心角（或该弧）
的大小；
③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是 一 个与半径大小无关的定值．
终边相同的角
与终边相同的角可以表示为： k3 6 ， k0 Z
它们构成一个集合：
S =| = k 3 ,k 6 Z 0
（2）用弧度表示
与终边相同的角可以表示为： 2k， k Z
它们构成一个集合：
S = |= 2 k ,k Z
180 把弧度换成角度
1ra=d18 05.73 0=5 71'8
正角 零角 负角
任意角的集合
正实数
0
负实数 实数集R
注意几点：
1．今后在具体运算时，“弧度”二字和 单位符号“rad”可以省略 如：3表示 3rad , sin表示rad角的正弦
2．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应 该记住（见课本P8表）
—弧度制，它是如何定义呢？
弧度制 ：
定义： 我们把长度等于半径长的弧所对的 圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时， 这样的圆心角等于1rad。
单位符号 ：rad
B
l =r
1rad
Oo r
A
读作弧度
C
l = 2r
2rad
A
r
Oo
AOB=1rad
AOC=2rad
(1)正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数， 零角的弧度数是0
角度制与弧度制的比较
①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制 是以“度”为单位度量角的制度；
②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）
的大小，而 1
是圆的
1 360
所对的圆心角（或该弧）
的大小；
③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是 一 个与半径大小无关的定值．
终边相同的角
高中数学人教A版必修四.2弧度制 精品课件
| | l
r
l r
怎样推导弧度制中的扇形面积公式呢？
高中数学人教A版必修四1.1.2弧度制 课件
例 3 已知扇形的周长为 8cm，圆心角为 2rad，求该扇形的面积.
高中数学人教A版必修四1.1.2弧度制 课件
高中数学人教A版必修四1.1.2弧度制 课件
课堂小结
角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集 R 之间建立起一一
用弧度作单位来度量角的单位制叫做弧度制.
180 rad
1 rad 0.01745rad
180
1
rad
180
57.30 5718'
探究2:如何进行弧度与角度的换算？
探究2:如何进行弧度与角度的换算？ 特殊角的度数与弧度数
度 数 0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 360º 弧 度 数
对应的关系：
正角 零角 负角
正实数 0
负实数
角的集合
实数集R
我们的研究思路是怎样的？
高中数学人教A版必修四1.1.2弧度制 课件
高中数学人教A版必修四1.1.2弧度制 课件
课后任务：
1. 完成必修四课时作业《三》。 2. 每日一题。
注：第4节晚自习前交科代表处。
高中数学人教A版必修四1.1.2弧度制 课件
高中数学人教A版必修四1.1.2弧度制 课件
探究2:如何进行弧度与角度的换算？
【1】把下列角度化成弧度.
（1）22°30′0°
【2】把下列弧度化成角度.
高中数学人教A版必修四1.1.2弧度制 课件
探究3:如何给出弧度制下扇形的弧长及面积公式？
在半径为 r 的圆中，圆心角的弧度数为 ，弧长为 l .
高中数学 112弧度制课件 新人教A版必修4课件
3、任一正角的弧度数都是一个正实数；
任一负角的弧度数都是一个负实数；
零角的弧度数是 0. 这种用弧度为单位来度量角的 制度叫做弧度制
弧度制下的角与实数之间的关系是怎样的呢 ?
4、用弧度来度量角，实际上角的集合 与实数集 R 之间建立一一对应的关系：
正角
正实数
对应角的 弧度数
零角
零
负角
负实数
角的集合
分析1 : 因为扇形为整个圆的 l ,
?1?l ? Rα;
所以扇形面积为 2?R
?2?S
?
12 αR ;
2
S扇形
?
l
2?R
?S圆
?3?S ? 1 lR;
2
? l ?? ?R2? 1 lR
2?R
2
分析2：S扇
?
S圆
α ? 2π
α ? πr 2 ?
?
1 α ?r 2 ?
1 l ?r（α
? 2π）
2π 2
2、在同一个圆中，圆心角的大小与它所对的弧 长一一对应.
当半径不同时，同样大的圆心角所对的弧 长不相等.
? 35036/ ? 44024/
? 800
练习: 当n=30 0时
n?r
可以计算弧长L= 180
半径r
弧长L 弧长与半径的比值
r1=1
?
6
?
6
r2=2
?
3
?
6
r3=3
r4=4
?
2?
2
3
?
?
6
6
360= ?
5
?
1200= 3
-1350= ? 3 ?
4
? ? 120 15
任一负角的弧度数都是一个负实数；
零角的弧度数是 0. 这种用弧度为单位来度量角的 制度叫做弧度制
弧度制下的角与实数之间的关系是怎样的呢 ?
4、用弧度来度量角，实际上角的集合 与实数集 R 之间建立一一对应的关系：
正角
正实数
对应角的 弧度数
零角
零
负角
负实数
角的集合
分析1 : 因为扇形为整个圆的 l ,
?1?l ? Rα;
所以扇形面积为 2?R
?2?S
?
12 αR ;
2
S扇形
?
l
2?R
?S圆
?3?S ? 1 lR;
2
? l ?? ?R2? 1 lR
2?R
2
分析2：S扇
?
S圆
α ? 2π
α ? πr 2 ?
?
1 α ?r 2 ?
1 l ?r（α
? 2π）
2π 2
2、在同一个圆中，圆心角的大小与它所对的弧 长一一对应.
当半径不同时，同样大的圆心角所对的弧 长不相等.
? 35036/ ? 44024/
? 800
练习: 当n=30 0时
n?r
可以计算弧长L= 180
半径r
弧长L 弧长与半径的比值
r1=1
?
6
?
6
r2=2
?
3
?
6
r3=3
r4=4
?
2?
2
3
?
?
6
6
360= ?
5
?
1200= 3
-1350= ? 3 ?
4
? ? 120 15
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人教A版高中数学必修四第一章：1.1. 2弧度 制 课件
弧度制与角度制相比：
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单 位制，角度制是以“度”为单位来度量角的 单位制；1弧度≠1º；
（2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆 心角的大小，而1度是圆周 1 的所对的圆心
360
角的大小； （3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实数 表示，而角度制是六十进制；
我们把用度做单位来度量角的制度叫做角 度制，在数学和其他许多科学研究中还要经常 用到一种度量角的制度
—弧度制，它是如何定义呢？
2021/3/1
人教A版高中数学必修四第一章：1.1. 2弧度 制 课件
结论：可以用圆的半径作单位去度量角。
定义： 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧 度的角，弧度记作rad。这种以弧度为单位来 度量角的制度叫做弧度制。 注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字 或rad可以略去不写。
2
2
2021/3/1
人教A版高中数学必修四第一章：1.1. 2弧度 制 课件
人教A版高中数学必修四第一章：1.1. 2弧度 制 课件
练习 P9：第5、6题
2021/3/1
人教A版高中数学必修四第一章：1.1. 2弧度 制 课件
人教A版高中数学必修四第一章：1.1. 2弧度 制 课件
小结
（1） 180 弧度；
(2）“角化弧”时, 将n乘以
1
8
0；
“弧化角”时，将α乘以 1 8；0
（3）弧长公式：l r
扇形面积公式： S 1lr 1r2
22
（其中l为圆心角α所对的弧长,α为圆心 角的弧度数,r为圆半径.)
2021/3/1
人教A版高中数学必修四第一章：1.1. 2弧度 制 课件
作业布置
课本第9-10页A组： 第4、7、8题，第9题(结果用弧度 表示)，第10题(结果用分数表示)
1.1.2弧度制
2021/3/1
复习回顾：正角：射线按逆时针方向旋
1.任意角
转形成的角 负角：射线按顺时针方向
的概念 旋转形成的角
零角：射线不作旋转形成的角
1)把角的顶点放在原点 2.象限角 2)始边重合于X轴的非负半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
3 . 终边与 角ａ相同的角
2021/3/1 S={β|β=α+k·360°,k∈Z}
2021/3/1
人教A版高中数学必修四第一章：1.1. 2弧度 制 课件
正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数， 零角的弧度数是0.
公式： l
r 表示的是在半径为r的圆中，弧长为l的
弧所对的圆心角是αrad。
2021/3/1
人教A版高中数学必修四第一章：1.1. 2弧度 制 课件
人教A版高中数学必修四第一章：1.1. 2弧度 制 课件
P5练习1、2、3、4、5
角度制
在平面几何中研究角的度量，当 时是用度做单位来度量角，如下图：
1°的角
O
2021/3/1
在角度制下，当把两个带着度、分、秒 各单位的角相加、相减时，由于运算进制非 十进制，总给我们带来不少困难．那么我们 能否重新选择角单位，使在该单位制下两角 的加、减运算与常规的十进制加减法一样去 做呢？
角度与弧度间的换算
3602rad 180 rad
把角度换成弧度
1 ra d0.017r4 a5 d
180 把弧度换成角度
1ra d180 5.730 5718 '
2021/3/1
人教A版高中数学必修四第一章：1.1. 2弧度 制 课件
人教A版高中数学必修四第一章：1.1. 2弧度 制 课件
例1. （1) 把112º30′化成弧度(精确到0.001)；
2021/3/1
人教A版高中数学必修四第一章：1.1. 2弧度 制 课件
人教A版高中数学必修四第一章：1.1. 2弧度 制 课件
证明:由公式 =得rl l=αR 而圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公
式分别是 l nR,S nR2
180 360
R nR得： n 18n 0
180
180
代入面积公式，得 S 1 R 2 S 1 lR
人教A版高中数学必修四第一章：1.1. 2弧度 制 课件
例2. 把
8 5
化成角度。
解：1rad=
Байду номын сангаас
(
1
8
0
)
8 8 (180)
5
5
288
“弧化角”时，将α乘以
1
8
0； 0
2021/3/1
人教A版高中数学必修四第一章：1.1. 2弧度 制 课件
人教A版高中数学必修四第一章：1.1. 2弧度 制 课件
第5题做在书上
2021/3/1
练习
P9：第1—3题
2021/3/1
人教A版高中数学必修四第一章：1.1. 2弧度 制 课件
人教A版高中数学必修四第一章：1.1. 2弧度 制 课件
例3: 利用弧度制证明下列关于扇形公式:
1l R 2 S 1R2 3 S 1 lR
2
2
其中R是半径，l是弧长，α(0<α<2π)为圆心 角,S是扇形面积.
（2）把112º30′化成弧度（用π表示）。
解： （1）112º30′=112.5º，
1 0.0175
180
所以112º30′≈112.5×0.0175≈1.969rad.
5
(2) 112º30′=112.5× 1 8 0 = 8 .
“角化弧”时, 将α乘以 ；
180
2021/3/1
人教A版高中数学必修四第一章：1.1. 2弧度 制 课件
填定下列特殊角的度数与弧度数的对应表
角 度
0 30
45
60 9 0 120 135 1 5 0 1 8 0 270 3 6 0
弧 度
0
6
4
3
2
2 3
3 4
5 6
3
2
2
2021/3/1
人教A版高中数学必修四第一章：1.1. 2弧度 制 课件
人教A版高中数学必修四第一章：1.1. 2弧度 制 课件
弧度制与角度制相比：
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单 位制，角度制是以“度”为单位来度量角的 单位制；1弧度≠1º；
（2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆 心角的大小，而1度是圆周 1 的所对的圆心
360
角的大小； （3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实数 表示，而角度制是六十进制；
我们把用度做单位来度量角的制度叫做角 度制，在数学和其他许多科学研究中还要经常 用到一种度量角的制度
—弧度制，它是如何定义呢？
2021/3/1
人教A版高中数学必修四第一章：1.1. 2弧度 制 课件
结论：可以用圆的半径作单位去度量角。
定义： 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧 度的角，弧度记作rad。这种以弧度为单位来 度量角的制度叫做弧度制。 注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字 或rad可以略去不写。
2
2
2021/3/1
人教A版高中数学必修四第一章：1.1. 2弧度 制 课件
人教A版高中数学必修四第一章：1.1. 2弧度 制 课件
练习 P9：第5、6题
2021/3/1
人教A版高中数学必修四第一章：1.1. 2弧度 制 课件
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小结
（1） 180 弧度；
(2）“角化弧”时, 将n乘以
1
8
0；
“弧化角”时，将α乘以 1 8；0
（3）弧长公式：l r
扇形面积公式： S 1lr 1r2
22
（其中l为圆心角α所对的弧长,α为圆心 角的弧度数,r为圆半径.)
2021/3/1
人教A版高中数学必修四第一章：1.1. 2弧度 制 课件
作业布置
课本第9-10页A组： 第4、7、8题，第9题(结果用弧度 表示)，第10题(结果用分数表示)
1.1.2弧度制
2021/3/1
复习回顾：正角：射线按逆时针方向旋
1.任意角
转形成的角 负角：射线按顺时针方向
的概念 旋转形成的角
零角：射线不作旋转形成的角
1)把角的顶点放在原点 2.象限角 2)始边重合于X轴的非负半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
3 . 终边与 角ａ相同的角
2021/3/1 S={β|β=α+k·360°,k∈Z}
2021/3/1
人教A版高中数学必修四第一章：1.1. 2弧度 制 课件
正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数， 零角的弧度数是0.
公式： l
r 表示的是在半径为r的圆中，弧长为l的
弧所对的圆心角是αrad。
2021/3/1
人教A版高中数学必修四第一章：1.1. 2弧度 制 课件
人教A版高中数学必修四第一章：1.1. 2弧度 制 课件
P5练习1、2、3、4、5
角度制
在平面几何中研究角的度量，当 时是用度做单位来度量角，如下图：
1°的角
O
2021/3/1
在角度制下，当把两个带着度、分、秒 各单位的角相加、相减时，由于运算进制非 十进制，总给我们带来不少困难．那么我们 能否重新选择角单位，使在该单位制下两角 的加、减运算与常规的十进制加减法一样去 做呢？
角度与弧度间的换算
3602rad 180 rad
把角度换成弧度
1 ra d0.017r4 a5 d
180 把弧度换成角度
1ra d180 5.730 5718 '
2021/3/1
人教A版高中数学必修四第一章：1.1. 2弧度 制 课件
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例1. （1) 把112º30′化成弧度(精确到0.001)；
2021/3/1
人教A版高中数学必修四第一章：1.1. 2弧度 制 课件
人教A版高中数学必修四第一章：1.1. 2弧度 制 课件
证明:由公式 =得rl l=αR 而圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公
式分别是 l nR,S nR2
180 360
R nR得： n 18n 0
180
180
代入面积公式，得 S 1 R 2 S 1 lR
人教A版高中数学必修四第一章：1.1. 2弧度 制 课件
例2. 把
8 5
化成角度。
解：1rad=
Байду номын сангаас
(
1
8
0
)
8 8 (180)
5
5
288
“弧化角”时，将α乘以
1
8
0； 0
2021/3/1
人教A版高中数学必修四第一章：1.1. 2弧度 制 课件
人教A版高中数学必修四第一章：1.1. 2弧度 制 课件
第5题做在书上
2021/3/1
练习
P9：第1—3题
2021/3/1
人教A版高中数学必修四第一章：1.1. 2弧度 制 课件
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例3: 利用弧度制证明下列关于扇形公式:
1l R 2 S 1R2 3 S 1 lR
2
2
其中R是半径，l是弧长，α(0<α<2π)为圆心 角,S是扇形面积.
（2）把112º30′化成弧度（用π表示）。
解： （1）112º30′=112.5º，
1 0.0175
180
所以112º30′≈112.5×0.0175≈1.969rad.
5
(2) 112º30′=112.5× 1 8 0 = 8 .
“角化弧”时, 将α乘以 ；
180
2021/3/1
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填定下列特殊角的度数与弧度数的对应表
角 度
0 30
45
60 9 0 120 135 1 5 0 1 8 0 270 3 6 0
弧 度
0
6
4
3
2
2 3
3 4
5 6
3
2
2
2021/3/1
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