数学分析与高等代数2003

云南大学2003年硕士研究生入学考试试题

专业：基础数学、计算数学、系统分析与集成 考试科目：《数学分析与高等代数》

一、（15分）设连续，)x (f ,1x

tanx )x (f lim 0x =−→又求。

∫=10.dt )tx (f )x (F ）（1的连续性）讨论（)x (F 2);x (F ''二、（15分）设在[a,b](a>0)上连续，在（a ，b ）内可微，且使得

)x (f ），，（，，试证：存在点b a ,0)x (f '∈≠ζηξ ξ

ηζξ=)(f f '）（‘ 三、（20分）设v u ,y 2x y ,y 2x u ，以+=−=为新的自变量，变换方程 ),0y (y z 21y

z y y z 2222>∂∂=∂∂−∂∂并求解该方程。 四、（15分）设f(x)在x=0点的某个领域内具有连续的二阶导数，且

∑∞=→=1

n 0x n 1(f 0,x )x (f lim 绝对收敛求证：级数。 五、（15分）计算积分

∫∫+++++++=222333z y x dxdy

)3R z (dzdx )2R y (dydz R x I ）（

其中s 是上半球面222y x R z −−=的下侧。

六、（20分）设 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝⎛=5 4-6 5-A （1）求A 的特征值，特征向量。

（2）试求使

为正整数）。（，求为对角矩阵的n A C AC C 2n 1−七、（20分）设

,P X XD CX AXB X A P D C B A n n n n ××∈∀++→∈，：，若，，，证明：

。 可逆可逆，时，）当。（的线性变换为）（A B A 0D C 2,P A 1n n ⇒==×

八、（20分）已知：

⎥

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=0 2- 02- 1 20 2- 2A ，求一正交矩阵，使成对角形。 T AT T ‘九、（10分）证明：n 维欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的。