第九章方差分析

二、F测验
F =
s s
2 t 2 e
F测验分析的目的是判断各个处理平均数 之间是否存在显著差异，即可测验:
Ho: 1 2 k HA: 1、 2、 k 不相等
三、多重比较
如果F测验的结果为各处理间的差异 不显著，则分析结束，否则将进行多重
比较。多重比较分析的目的是进一步判
df e1 ( r 1)( a 1) df ab ( a 1)( b 1)
（一）单因素资料的方差分析 此资料为两向分组资料（交叉分组资料），其行为 处理，列为区组，为 k 行 r 列的两向表，即可看作是 试验因素具有 k 个水平和区组因素具有 r 个水平的两 因素试验。
注意：这样的模式要求行与列间不存在交互作用，
即处理效应不因区组不同而显著不同，否则，F 测验将
丧失有效性，需采用二因素随机区组试验。一般的随机
Se2的EMS是σe2；
St2的EMS是 e2 n 2 ∴ F =
s s
2 t 2 e

n
2 e
2

2 e
F测验有效性的保证条件之一是分子均方 s12 的EMS仅比分母均方 s
2 的EMS多一个分量（线性 2
组成部分）。
（三）固定模型和随机模型 固定模型是指试验的各处理都抽自其特定的处 理总体，这些总体遵循N(μi, σe2)，因而处理效应 τi =(μi - μ)是固定的。我们分析的目的就在于 研究τi ，如果重复做试验，处理不变，而所要测验 的假设则是:H0:τi =0或 H0:μi=μ对HA: 1， 2， k 不等。故我们的推断也仅限于供试处理范围之内。
或 SS T SS m SS b SS ab
SS e1
1. 平 方 和 与 自 由 度 的 分 解
df T rab 1 df a a 1 df b b 1 df e2 a ( r 1)( b 1) df T df r df t df e1
T
注意用计算器进
行各项平方和计
算的简便方法。
2. F测验
进行F测验时，应注意两个因素的模型。如果两个因 素均为固定模型，则测验A因素、B因素以及A、B因素互 作的效应是否显著时，分母均以误差方差为被比量。 3. 多重比较 不同类型平均数的多重比较需要注意标准误计算上 的区别（见表）。若互作效应未达显著，可用相加式法 选取试验优劣组合。但在互作效应显著或极显著时，采 取相加式法推断结果可能有误，需对处理组合平均数进
（2）平均数差值 ≥相应秩次距的 R0.01 ，则两 处理平均数间差异为极显著； （3）相应秩次距的R0.05 > 平均数差值 ，则两处 理平均数间差异为不显著。
表 2
各秩次距下的Rα
K SSR0.05 SSR0.01 R0.05 R0.01
2
3
4
……
多重比较结果的字母表达： （1）以小写英文字母表示α=0.05水平下的比
较结果；以大写英文字母表示α=0.01水平下
的比较结果。 （2）以相同字母表示差异不显著的比较结 果，不同字母表示差异显著。
若各处理的重复次数不相等，其分析过程 与
上述方法仅有以下三点区别，其余步骤完全相同。
1. 矫正数 C = 2. 处理平方和
T2
n
i
SS t
( n
1
k
Ti 2
i
)C
3.以n0代替n进行平均数差数标准误和平均数标 准误的计算： n0 =
一、平方和与自由度的分解
分析目的：获得各项变异来源方差的估计值。
观 察 值 总 变 异 处理间变异 处理内变异 （误差）
SST = SSt+ SSe dfT= dft+ dfe
SS t s t2 k 1 df t 2 ( x x i ) SS e 2 se k ( n 1) df e n ( x i x) 2
区组试验，往往假定处理效应是固定的，而区组效应是 随机的，一般是不存在交互作用的。
观 察 值 总 变 异
处理间变异 区组间变异 误 差
ε
１．平方和与自由度的分解
C kr SS T x 2 C 2 Tr C SS r k Tt 2 C SS t r SS e SS T SS r SS t T2
2. F测验
3. 多重比较
单个拉丁方资料的F测验和多重比较相对简单，基本 同前述单因素随机区组资料的分析，此不再赘述。
五、裂区设计资料的方差分析
区组间变异
观 察 值 总 变 异
主区部分
主处理间（A因素） 主区误差 副处理间（B因素）
副区部分
Ａ×Ｂ 副区误差
C
T2
rab SS T x 2 C Tr2 SS r C ab Ta2 SS a C rb 2 Tar SS e1 C SS r SS a b Tb2 SS b C ra 2 Tab SS ab C SS a SS b r SS e2 SS T SS r SS a SS b SS ab
df T kr 1
df r r 1 df t k 1 df e df T df r df t
２．Ｆ测验
一般来说，区组只是局部控制的手段，而不是研 究的目的，所以通常仅需将它从误差中分离出来，并 不一定要作 F 测验，更无多重比较的必要。
断两两处理平均数之间的差异显著性。
（一）保护性最小显著差数法（protected least significant difference），即 PLSD法。
步骤：1.
2.
根据 dfe 查出 tα 。
计算平均数差数标准误：
s x1 x 2 =
2 S e2 n
3. 计算显著尺度PLSDα值：
PLSDα = tα ×
s
2 e
n
3.计算各秩次距下的显著尺度LSRα或Rα
值： LSRα或Rα =
SSR S x
4.将处理平均数由大到小排序，并依次
求出各处理平均数之间的差值，将各均数差
值与相应秩次距下的显著尺度进行比较，作
出差异显著性判断。同样有：
（1）相应秩次距的 R0.01 > 平均数差值 ≥ 相应
秩次距的R0.05，则两处理平均数间差异为显著；
第九章
第一节
方差分析
方差分析的意义
当试验的处理数目K≥3时，不能直接应用两两测验方 法进行平均数假设测验的原因有三： 1. 当有K个处理平均数时，将有[k(k-1)]/2 个差数，
要对这诸多差数逐一进行比较测验，程序实为繁琐。
2. 试验误差估计的精确度要受到损失。
。 3. 两两测验的方法会随着K的增加而大大增加犯α错
差异为不显著。
（二）最小显著极差法(least significant ranges) ， 即LSR法。 主要介绍SSR法。SSR法即邓肯氏新复极差法。 步骤：1.根据平均数秩次距k和dfe查出SSRα值。
秩次距是指相比较的两个平均数之间（含这两个平
均数）包含的平均数个数。
2.计算平均数标准误：
sx =
行多重比较以确定试验优劣组合。
四、拉丁方设计资料的方差分析 行区组间变异 区组间变异 列区组间变异 处理间变异
观 察 值 总 变 异
误
差
x ijl i j l ijl
1.
平方和与自由度的分解
C 2 k SS T x 2 C 2 Tt SS t C k Tr2 SS r C k 2 Tc SS c C k SS e SS T SS t SS r SS c 2 df T k 1 df t df r df c k 1 df e ( k 1)( k 2 ) df T df t df r df c T2
s x1 x 2
4. 将处理平均数由大到小排序，并依次求出各处
理平均数之间的差值，将各均数差值均与PLSDα
相比较，作出平均数间差异显著性判断：
PLSD 0.01 x 1 x 2 PLSD 0.05
差异为显著； 差异为极显著；
x 1 x 2 PLSD 0.01
x 1 x 2 PLSD 0.05
Ｆ＝
s s
2 t 2 e
３．多重比较
此资料多重比较方法见前述，此处不赘述。
（二）复因素随机区组资料的方差分析
先了解几个概念：
简单效应：指在单因素试验中不同水平的差异。
主效应： 指复因素试验中不同条件下同一简单效应的平 均效应。 交互作用：指试验因素间相互促进或抑制而产生的效应。 分正交互作用、负交互作用及零交互作用。
第四节
常用试验设计资料的方差分析
一、完全随机设计资料的方差分析（见前述） 二、巢式设计资料的方差分析
观 察 值 总 变 异
处理间变异（组间变异） 亚组间变异 误差
（一）平方和与自由度分解
按照上述变异原因分解进行各项平方和与自由度 的计算。
（二）F测验
巢式设计的资料属于系统分组资料，应注意在进 行处理间（即组间）差异的F测验时，分母应为亚组
1 k 1 ( ni n i2
n
)
i
第三节
方差分析的数学模型
一、线性可加模型
线性可加模型是指每一个观察值可以划分成若
干个线性组成部分。它是分解平方和与自由度的理 论依据,不同类型资料的线性可加模型是各不相同的。 前述资料观察值的数学模型为：
xij
= μ + τi + εij
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（二）期望均方（EMS）
间方差；而进行亚组间差异的F测验时，分母应为误
差方差。当亚组间的差异未达到显著时，则应将亚组 间变异与误差进行合并，求出新的误差量，再对组间 差异进行F测验
（三）、多重比较
＝
SS d SS e l ( m 1) lm ( n 1)

SS d SS e l ( mn 1)
三、随机区组设计资料的方差分析
误的概率。
方差分析的基本特点是： 将全部变量看成一个整体，进行观察 值的变异原因分析，求出各变异原因方差 的估计值 → 进行F测验
，以判断各处理平均数间的差异状况 → 在此基础上，进行平均数的多重比较， 以明确两两处理之间的差异状况。
表 1 kn个观察值的单向分组资料的模式 处理 1 2 ┋ ┋ k
观察值 x
总和Ti 平均 x i T1 T2 ┋ ┋ Tk
T
x1 x2
x11 x12 x13 … … x1n x21 x22 x 23 … … x2n
┋ ┋
x
┋ ┋
xk
xk1
xk2
xk3 … … xkn
Σ xij
x
注：i = 1，2，3， … … k ; j = 1，2，3， … … n
第二节 方差分析的基本步骤 重点呦！
无交互作用时，因素彼此独立，简单效应等于主
效应。故各因素最佳水平就组成最佳组合。有交互作 用时，因素彼此相依，简单效应不等于主效应，故由 简单效应推论最佳组合一定有偏，甚至错误。 区组间变异 Ａ因素间变异 Ｂ因素间变异 Ａ、Ｂ因素间互作 （Ａ×Ｂ）
观 察 值 总 变 异
处理间变异
误
差
＋
１．平方和与自由度的分解
2 r SS r C ab 2 T ab SS t C r 2 Ta C SS a rb 2 Tb C SS b ra SS a b SS t SS a SS b SS e SS T SS r SS t SS T x2 C
随机模型是试验的各处理皆是随机抽自 N (0, 2 ) 的一组随机样本，因而处理效应 i 是随机的， 随试验的不同而不同。若重复做试验，必然是从
总体 N (0, 2 ) 中随机抽取一组新的样本。其分析
的目的不在于研究处理效应，而是在于研究 i
的变异度，故推断也不是关于某些供试处理，而 是关于抽出这些处理的整个总体。所以方差分析 要测验的假设是 H 0： 2 0 对 H A： 2 0