机械振动——简谐运动的基本概念
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结论：对于一个简谐运动，若A、ω、φ已知，就可以写出完整的运动方程，即掌握了该运动的全部信息。因此，我们把A、ω、φ叫做描述简谐运动的三个特征量。
3．相位差：
定义：两个振动在同一时刻的相位之差或同一振动在不同时刻的相位之差。
对于同频率简谐运动、同时刻的相位差
相位差
即两个同频率的简谐运动在任意时刻的相位差是恒定的。且始终等于它们的初始相位差。
二、简谐运动的特点：
1．从受力角度来看——动力学特征
合外力f=-kx与物体相对于平衡位置的位移成正比，方向与位移的方向相反，并且总是指向平衡位置的。此合外力又称为线形回复力或准弹性力。
2．从加速度角度来看——运动学特征
加速度 与物体相对于平衡位置的位移成正比，方向与位移的方向相反，并且总是指向平衡位置的。
定义：物体在2π秒时间内所作的完全振动的次数，用ω表示，单位为弧度/秒(rad. s-1或s-1)。
说明：
1）简谐运动的基本特性是它的周期性；
2）周期、频率或圆频率均有振动系统本身的性质所决定，故称之为固有周期、固有频率或固有圆频率。
3）对于弹簧振子， ， ， 。
4）简谐运动的表达式可以表示为
三、相位(Phase)—反映振动的状态
对于给定的弹簧振子，m和k均为正值常量，令
则上式可以改写为
即
或
这就是简谐运动的微分方程。
三、简谐运动的运动学特征：
1．简谐振动的表达式（运动学方程）
简谐运动的微分方程的解具有正弦、余弦函数或指数形式。我们采用余弦函数形式，即
这就是简谐运动的运动学方程，式中A和φ是积分常数。
说明：
1）简谐运动不仅是周期性的，而且是有界的，只有正弦函数、余弦函数或它们的组合才具有这种性质，这里我们采用余弦函数。
2）考虑三角函数与复数的关系 ，则 。用复数表示简谐运动，其优点是运算比较简单。
2．简谐振动物体的速度和加速度
将简谐运动的运动学方程分别对时间求一阶和二阶导数，可得简谐运动的速度和加速度为
说明：
物体在简谐运动时，其位移、速度、加速度都是周期性变化的。
简谐运动不仅是周期性的，而且是有界的——只有正弦函数、余弦函数或它们的组合才具有这种性质——采用余弦函数。
一、振幅A(Amplitude)—反映振动幅度的大小
引入：在简谐运动的表达式中，因为余弦或正弦函数的绝对值不能大于1，所以物体的振动范围为+A与-A之间。
定义：作简谐运动的物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。
说明：(1)A恒为正值，单位为米(m);
(2)振幅的大小与振动系统的能量有关，由系统的初始条件确定。
其中圆频率是由系统本身的性质确定的，积分常数A和φ是求解简谐运动的微分方程是引入的，其值有初始条件（即在t=0时物体的位移与速度）来确定。将t=0代入位移和速度的公式，即得物体在初始时刻的位移x0和初速度v0：
由此可解得
说明：
1）一般来说φ的取值在－π和π(或0和2π)之间；
2）在应用上面的式子求φ时，一般来说有两个值，还要有初始条件来判断应该取哪个值；
简谐运动
在一切振动中，最简单和最基本的振动称为简谐运动，其运动量按正弦函数或余弦函数的规律随时间变化。任何复杂的运动都可以看成是若干简谐运动的合成。本节以弹簧振子为例讨论简谐运动的特征及其运动规律。
一、简谐运动的基本概念：
1．弹簧振子：
轻质弹簧(质量不计)一端固定，另一端系一质量为m的物体，置于光滑的水平面上。物体所受的阻力忽略不计。设在O点弹簧没有形变，此处物体所受的合力为零，称O点为平衡位置。系统一经触发，就绕平衡位置作来回往复的周期性运动。这样的运动系统叫做弹簧振子（harmonic Oscillator），它是一个理想化的模型。
1．相位
质点在某一时刻的运动状态可以用该时刻的位置和速度来描述。对于作简谐运动的物体来说，位置和速度分别为x=Acos(t+)和v=-ωAsin(t+)，当振幅A和圆频率ω给定时，物体在t时刻的位置和速度完全由t+来确定。即t+是确定简谐运动状态的物理量，称之为相位。
相位（ωt+φ）是决定谐振子运动状态的重要物理量ωt+φ，和A，ω一起决定t时刻物体运动状态，即位移x,速度v，和加速度a.
f=-kx
式中的比例系数k为弹簧的劲度系数（Stiffness），它反映弹簧的固有性质，负号表示力的方向与位移的方向相反，它是始终指向平衡位置的。离平衡位置越远，力越大；在平衡位置力为零，物体由于惯性继续运动。这种始终指向平衡位置的力称为回复力。
2．动力学方程及其解
根据牛顿第二定律，
f=ma
可得物体的加速度为
Amplitude , Period and Frequency，Phaseof Simple harmonic Vibration
现在我们讨论简谐振动运动学方程x=Acos(ωt+φ)中的A、ω、ωt+φ、φ的物理意义。它们分别是描述谐振动的特征量：振幅、频率和周期、相位和初相。
振幅、周期和相位等都是描述简谐运动的物理量。
代入公式可得
又因为x0为正，初速度v0＝0，可得
因而简谐运动的方程为：
例2．已知某质点作简谐运动，振动曲线如图所示，试根据图中数据写出振动表达式。
解：设振动表达式为
由图可见：A=2m，当t=0时，有
（1）
（2）
由（1）可得 ，由（2）可知 ，所以只能取 。
当t=1s时， （3）
（4）
由（3）可得 ，由（4） ，取 ，因而可得
2．弹簧振子运动的定性分析：
考虑物体的惯性和作用在物体上的弹性力：
B→O：弹性力向左，加速度向左，加速，O点，加速度为零，速度最大；
O→C：弹性力向右，加速度向右，减速，C点，加速度最大，速度为零；
C→O：弹性力向右，加速度向右，加速，O点，加速度为零，速度最大；
O→B：弹性力向左，加速度向左，减速，B点，加速度最大，速度为零。
证明：取物体平衡位置为坐标原点，竖直向下为x轴的正方向，如图所示。物体在平衡位置时所受的合力为零，即
mg-Fra Baidu bibliotekl=0(1)
其中mg为物体的重力，l为物体平衡时弹簧的伸长量。
在任一位置x处，物体所受的合力为
F=mg-k(x+l)(2)
比较(1)、(2)可得
F=-kx(3)
可见物体所受的合外力与位移成正比，而方向相反，所以该物体将作简谐运动。
3．从位移角度来看：
位移 是时间的周期性函数。
说明：
1）要证明一个物体是否作简谐运动，只要证明上面三个式子中的一个即可，且由其中的一个可以推出另外两个；
2）要证明一个物体是否作简谐运动最简单的方法就是受力方析，得到物体所受的合外力满足回复力的关系。
例题：一个轻质弹簧竖直悬挂，下端挂一质量为m的物体。今将物体向下拉一段距离后再放开，证明物体将作简谐运动。
3）常用方法：由 求A，然后由 两者的共同部分求φ。
例1：一弹簧振子系统，弹簧的劲度系数为k=0.72N/m，物体的质量为m=20g。今将物体从平衡位置沿桌面向右拉长到0.04m处释放。求振动方程。
解：要确定弹簧振子系统的振动方程，只要确定A、ω和φ即可。
由题可知，k=0.72N/m，m=20g=0.02kg，x0=0.04m，v0＝0，
在一次全振动中，谐振子有不同的运动状态，分别与0～2内的一个相位值对应。例如：
t
x
v
t+
0
A
0
T/4
A
T/2
A
T
A
0
2
2．初相位
在t=0时，相位为φ，称为初相位，简称初相，它是决定初始时刻物体运动状态的物理量。对于一个简谐运动来说，开始计时的时刻不同，初始状态就不同，与之对应的初相位就不同，即初相位与时间零点的选择有关。
物体在B、C之间来回往复运动。
结论：物体作简谐运动的条件：
物体的惯性——阻止系统停留在平衡位置
作用在物体上的弹性力——驱使系统回复到平衡位置
二、弹簧振子的动力学特征：
1．线性回复力
分析弹簧振子的受力情况。取平衡位置O点为坐标原点，水平向右为X轴的正方向。由胡克定律可知，物体m(可视为质点)在坐标为x(即相对于O点的位移)的位置时所受弹簧的作用力为
所以振动方程为
二、周期T(Period)与频率(Frequency)—反映振动的快慢
1．周期Period
定义：物体作一次完全振动所需的时间，用T表示，单位为秒(s)。
考虑到余弦函数的周期性，有
因而有
2．频率Frequency
定义：单位时间内物体所作的完全振动的次数，用ν表示，单位为赫兹(Hz)。
3．圆频率Angular Frequency
说明：
1） 质点2的振动超前质点1的振动
质点2的振动落后质点1的振动
2） ，同相（步调相同）
，反相（步调相反）
小结：对于一个简谐运动，若振幅、周期和初相位已知，就可以写出完整的运动方程，即掌握了该运动的全部信息，因此我们把振幅、周期和初相位叫做描述简谐运动的三个特征量。
四、积分常数A和φ的确定：
简谐运动运动学方程为x=Acos(t+)
3．相位差：
定义：两个振动在同一时刻的相位之差或同一振动在不同时刻的相位之差。
对于同频率简谐运动、同时刻的相位差
相位差
即两个同频率的简谐运动在任意时刻的相位差是恒定的。且始终等于它们的初始相位差。
二、简谐运动的特点：
1．从受力角度来看——动力学特征
合外力f=-kx与物体相对于平衡位置的位移成正比，方向与位移的方向相反，并且总是指向平衡位置的。此合外力又称为线形回复力或准弹性力。
2．从加速度角度来看——运动学特征
加速度 与物体相对于平衡位置的位移成正比，方向与位移的方向相反，并且总是指向平衡位置的。
定义：物体在2π秒时间内所作的完全振动的次数，用ω表示，单位为弧度/秒(rad. s-1或s-1)。
说明：
1）简谐运动的基本特性是它的周期性；
2）周期、频率或圆频率均有振动系统本身的性质所决定，故称之为固有周期、固有频率或固有圆频率。
3）对于弹簧振子， ， ， 。
4）简谐运动的表达式可以表示为
三、相位(Phase)—反映振动的状态
对于给定的弹簧振子，m和k均为正值常量，令
则上式可以改写为
即
或
这就是简谐运动的微分方程。
三、简谐运动的运动学特征：
1．简谐振动的表达式（运动学方程）
简谐运动的微分方程的解具有正弦、余弦函数或指数形式。我们采用余弦函数形式，即
这就是简谐运动的运动学方程，式中A和φ是积分常数。
说明：
1）简谐运动不仅是周期性的，而且是有界的，只有正弦函数、余弦函数或它们的组合才具有这种性质，这里我们采用余弦函数。
2）考虑三角函数与复数的关系 ，则 。用复数表示简谐运动，其优点是运算比较简单。
2．简谐振动物体的速度和加速度
将简谐运动的运动学方程分别对时间求一阶和二阶导数，可得简谐运动的速度和加速度为
说明：
物体在简谐运动时，其位移、速度、加速度都是周期性变化的。
简谐运动不仅是周期性的，而且是有界的——只有正弦函数、余弦函数或它们的组合才具有这种性质——采用余弦函数。
一、振幅A(Amplitude)—反映振动幅度的大小
引入：在简谐运动的表达式中，因为余弦或正弦函数的绝对值不能大于1，所以物体的振动范围为+A与-A之间。
定义：作简谐运动的物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。
说明：(1)A恒为正值，单位为米(m);
(2)振幅的大小与振动系统的能量有关，由系统的初始条件确定。
其中圆频率是由系统本身的性质确定的，积分常数A和φ是求解简谐运动的微分方程是引入的，其值有初始条件（即在t=0时物体的位移与速度）来确定。将t=0代入位移和速度的公式，即得物体在初始时刻的位移x0和初速度v0：
由此可解得
说明：
1）一般来说φ的取值在－π和π(或0和2π)之间；
2）在应用上面的式子求φ时，一般来说有两个值，还要有初始条件来判断应该取哪个值；
简谐运动
在一切振动中，最简单和最基本的振动称为简谐运动，其运动量按正弦函数或余弦函数的规律随时间变化。任何复杂的运动都可以看成是若干简谐运动的合成。本节以弹簧振子为例讨论简谐运动的特征及其运动规律。
一、简谐运动的基本概念：
1．弹簧振子：
轻质弹簧(质量不计)一端固定，另一端系一质量为m的物体，置于光滑的水平面上。物体所受的阻力忽略不计。设在O点弹簧没有形变，此处物体所受的合力为零，称O点为平衡位置。系统一经触发，就绕平衡位置作来回往复的周期性运动。这样的运动系统叫做弹簧振子（harmonic Oscillator），它是一个理想化的模型。
1．相位
质点在某一时刻的运动状态可以用该时刻的位置和速度来描述。对于作简谐运动的物体来说，位置和速度分别为x=Acos(t+)和v=-ωAsin(t+)，当振幅A和圆频率ω给定时，物体在t时刻的位置和速度完全由t+来确定。即t+是确定简谐运动状态的物理量，称之为相位。
相位（ωt+φ）是决定谐振子运动状态的重要物理量ωt+φ，和A，ω一起决定t时刻物体运动状态，即位移x,速度v，和加速度a.
f=-kx
式中的比例系数k为弹簧的劲度系数（Stiffness），它反映弹簧的固有性质，负号表示力的方向与位移的方向相反，它是始终指向平衡位置的。离平衡位置越远，力越大；在平衡位置力为零，物体由于惯性继续运动。这种始终指向平衡位置的力称为回复力。
2．动力学方程及其解
根据牛顿第二定律，
f=ma
可得物体的加速度为
Amplitude , Period and Frequency，Phaseof Simple harmonic Vibration
现在我们讨论简谐振动运动学方程x=Acos(ωt+φ)中的A、ω、ωt+φ、φ的物理意义。它们分别是描述谐振动的特征量：振幅、频率和周期、相位和初相。
振幅、周期和相位等都是描述简谐运动的物理量。
代入公式可得
又因为x0为正，初速度v0＝0，可得
因而简谐运动的方程为：
例2．已知某质点作简谐运动，振动曲线如图所示，试根据图中数据写出振动表达式。
解：设振动表达式为
由图可见：A=2m，当t=0时，有
（1）
（2）
由（1）可得 ，由（2）可知 ，所以只能取 。
当t=1s时， （3）
（4）
由（3）可得 ，由（4） ，取 ，因而可得
2．弹簧振子运动的定性分析：
考虑物体的惯性和作用在物体上的弹性力：
B→O：弹性力向左，加速度向左，加速，O点，加速度为零，速度最大；
O→C：弹性力向右，加速度向右，减速，C点，加速度最大，速度为零；
C→O：弹性力向右，加速度向右，加速，O点，加速度为零，速度最大；
O→B：弹性力向左，加速度向左，减速，B点，加速度最大，速度为零。
证明：取物体平衡位置为坐标原点，竖直向下为x轴的正方向，如图所示。物体在平衡位置时所受的合力为零，即
mg-Fra Baidu bibliotekl=0(1)
其中mg为物体的重力，l为物体平衡时弹簧的伸长量。
在任一位置x处，物体所受的合力为
F=mg-k(x+l)(2)
比较(1)、(2)可得
F=-kx(3)
可见物体所受的合外力与位移成正比，而方向相反，所以该物体将作简谐运动。
3．从位移角度来看：
位移 是时间的周期性函数。
说明：
1）要证明一个物体是否作简谐运动，只要证明上面三个式子中的一个即可，且由其中的一个可以推出另外两个；
2）要证明一个物体是否作简谐运动最简单的方法就是受力方析，得到物体所受的合外力满足回复力的关系。
例题：一个轻质弹簧竖直悬挂，下端挂一质量为m的物体。今将物体向下拉一段距离后再放开，证明物体将作简谐运动。
3）常用方法：由 求A，然后由 两者的共同部分求φ。
例1：一弹簧振子系统，弹簧的劲度系数为k=0.72N/m，物体的质量为m=20g。今将物体从平衡位置沿桌面向右拉长到0.04m处释放。求振动方程。
解：要确定弹簧振子系统的振动方程，只要确定A、ω和φ即可。
由题可知，k=0.72N/m，m=20g=0.02kg，x0=0.04m，v0＝0，
在一次全振动中，谐振子有不同的运动状态，分别与0～2内的一个相位值对应。例如：
t
x
v
t+
0
A
0
T/4
A
T/2
A
T
A
0
2
2．初相位
在t=0时，相位为φ，称为初相位，简称初相，它是决定初始时刻物体运动状态的物理量。对于一个简谐运动来说，开始计时的时刻不同，初始状态就不同，与之对应的初相位就不同，即初相位与时间零点的选择有关。
物体在B、C之间来回往复运动。
结论：物体作简谐运动的条件：
物体的惯性——阻止系统停留在平衡位置
作用在物体上的弹性力——驱使系统回复到平衡位置
二、弹簧振子的动力学特征：
1．线性回复力
分析弹簧振子的受力情况。取平衡位置O点为坐标原点，水平向右为X轴的正方向。由胡克定律可知，物体m(可视为质点)在坐标为x(即相对于O点的位移)的位置时所受弹簧的作用力为
所以振动方程为
二、周期T(Period)与频率(Frequency)—反映振动的快慢
1．周期Period
定义：物体作一次完全振动所需的时间，用T表示，单位为秒(s)。
考虑到余弦函数的周期性，有
因而有
2．频率Frequency
定义：单位时间内物体所作的完全振动的次数，用ν表示，单位为赫兹(Hz)。
3．圆频率Angular Frequency
说明：
1） 质点2的振动超前质点1的振动
质点2的振动落后质点1的振动
2） ，同相（步调相同）
，反相（步调相反）
小结：对于一个简谐运动，若振幅、周期和初相位已知，就可以写出完整的运动方程，即掌握了该运动的全部信息，因此我们把振幅、周期和初相位叫做描述简谐运动的三个特征量。
四、积分常数A和φ的确定：
简谐运动运动学方程为x=Acos(t+)