带有绝对值函数的积分方法

∫ ∫ ∫ 解 3
x 2 - 2x - 3 dx =
-1
(x 2 - 2x - 3) dx +
3
-
(x 2 - 2x - 3) dx = 13
-2
-2
-1
∫b
212 f ( x ) dx 类型积分求法 a
由于 f ( x ) 为偶函数, 若已知 f (x ) 的一个原函数 F (x ) , 则
1997 年 第 15 卷 第 2 期 长 春 邮 电 学 院 学 报 1997 V o l115 N o 12 JOU RNAL O F CHAN GCHU N PO ST AND T EL ECOMM U N ICA T ION IN ST ITU T E
带有绝对值函数的积分方法α
1981
A in teg ra l m e tho d o f the funct io n w ith ab so lu te va lue
W ei L ing
(Co llege of A du lt Education, Changchun Po st and T elecomm un. In st. , 130012 Changchun)
-2
-2
2
∫ ∫ ∫ 2
1
(x 2 + 2x - 3) dx +
0
2
(x 2 + 2x - 3) dx +
1
3
(x 2 + 2x -
2
3) dx =
49 3
参 考 文 献
1 同济大学数学研究室. 高等数学习题集. 北京: 人民教育出版社, 1965 2 吉米多维奇 БП. 数学分析习题集题解. 费定晖, 周学圣编演. 济南: 山东科学出版社,
F (x ) = (x + 3) 2 2 + C 2 - (x + 3) 2 2 + C 3
取 C 0 = 0, 由 F (x ) 的连续性可得: C 1 = 0, C 2 = C 3 = - 9.
∫ 故 x - 3 dx = F (x ) + C.
2 定积分
在计算含有绝对值的定积分时, 可根据被积函数的正负值将积分区间分开或者根据
ex + C 1
x< 0
取 C 0 = 0, 据 F (x ) 的连续性可得 C 1 = - 2, 则
F (x ) = - e- x x ≥ 0
ex - 2
x< 0
∫ 故 e- x dx = F (x ) + C.
∫ 113 f ( x ) dx 类型积分求法
∫ 此类型积分可综合上述 111, 112 类型方法求得, 仅举例求不定积分 x - 3 dx 说
∫ ∫ b
b
b
当 0 ≤ a < b 时, 有 f ( x ) dx = f (x ) dx = F (x )
a
a
a
∫ ∫ ∫ b
-b
-a
-a
当 a < b ≤ 0 时, 有 f ( x ) dx = -
f (x ) dx = f (x ) dx = F (x )
a
-a
-b
-b
∫ ∫ ∫ b
Abstract A so lu t ion fo r bo th defin ite and indefin ite in teg ra ls in the fo rm s of f (x ) , f ( x ) , and f ( x ) ha s been in t roduced.
Keywords In teg ra ls; A b so lu te va lue; Funct ion s
函数的有关性质把被积函数化为不含绝对值函数再积分。
∫b
211 f (x ) dx 类型积分方法 a
首先求出 f (x ) 的零点, 假设零点个数为有限, 然后根据零点把 [a, b ] 分成小区间,
并根据函数在小区间上的正负, 将含有绝对值的积分化为不带绝对值的函数的定积分。
∫ 例 求定积分 3 x 2 - 2x - 3 dx -2
可适当选取积分常数, 使 F (x ) 在 x = x 0 处连续, 当 f (x ) 有有限个零点时, 可依次仿此 讨论。
∫ 例 求不定积分 x dx.
∫ ∫∫ 解
x dx =
x dx x ≥ 0 - x dx x < 0
α 收稿日期: 1997201215 魏玲 女 1955 年生 讲师
性, 在求 F (x ) 时, 可取 C 0 = 0, 使计算方便。
∫ 例 求不定积分 e- x dx.
解 设 F (x ) , G (x ) 分别为 e- x 和 e- x (x ≥ 0) 的一个原函数。
∫e- x dx
- e- x + C 0
x ≥0
由
F (x ) =
=
∫ex dx
x →0-
x →0+
所以 C 1 = 0, 即 F (x ) =
x2
2 -
x
x2
x
2
≥0 或 F (x )
<0
=
xx 2
∫ 故 x dx = x x 2 + C.
∫ 112 f ( x ) dx 类型积分求法
设 F (x ) 为 f ( x ) 的一个原函数, G (x ) 为 f (x ) 的一个原函数。
1 不定积分
∫ 111 f (x ) dx 类型积分求法
由
f (x ) = f (x ) f (x ) ≥ 0 - f (x ) f (x ) < 0
当 f (x ) 仅有一个零点, 即只有 x 0 使 f (x 0) = 0, 并设当 x ≥ x 0 时, f (x ) ≥ 0, 当 x <
x 0 时, f (x ) < 0, 则有
f (x ) x ≥ x 0 f (x ) = - f (x ) x < x 0
令 F (x ) 为 f (x ) 的一个原函数, 则
F (x ) =
∫f (x ) dx x ≥ x 0 ∫ - f (x ) dx x < x 0
魏 玲
(长春邮电学院成人教育学院, 130012 长春)
摘要 讨论了形如 f (x ) , f ( x ) , f ( x ) 的不定积分与定积分的求法。
关键词 积分; 绝对值; 函数 中图法分类号 O 17212
文献 [ 1, 2 ] 对函数 f (x ) 的不定积分及定积分给出了求法。在此基础上, 本文进一 步讨论形如 f (x ) , f ( x ) , f ( x ) 的不定积分与定积分的求法。 在下面的讨论中假 设函数 f (x ) 为连续函数。
58
长春邮电学院学报
第 15 卷
设 F (x ) 是 x 的一个原函数, 为方便, 可取一个积分常数为 0, 那么
F (x ) =
x2
2 -
x2 2
+
x
C1
x
≥0 C 1 为待定常数
<0
由 F (x ) 连续, 则在 x = 0 处有
lim F (x ) = lim F (x ) = F (0) = 0
明之。
解
第2期
魏玲: 带有绝对值函数的积分方法
59
∫(x - 3) dx x ≥ 3
∫x
-
3 dx =
∫- (x - 3) dx 0 ≤ x < 3 ∫(x + 3) dx - 3 ≤ x < 0
∫- (x + 3) dx x < - 3
设 F (x ) 为 x - 3 的一个原函数, 则 (x - 3) 2 2 + C 0 - (x - 3) 2 2 + C 1
·简讯·
我院重新调整院学术委员会
1997 年初, 我院学术委员会进行了较大调整。调整后的院学术委员会突出 了学术上的权威性和人员的年轻化。 新一届院学术委员会主任由盛德深教授担
任, 范殿富、 夏秉荣、 王伯欣为副主任, 委员有于杰、 马焕友、 王志学、 王伯
欣、 石文孝、 厉复魁、 孙兆民、 刘岩、 刘希林、 刘国亮、 汤吉群、 陈传硕、 张
德才、杨树勋、赵晓晖、赵国谦、徐勇、徐淳宁、夏秉荣、范殿富、郭殿龙、贾
易荣、 唐方江、 唐洪学、 黄占江、 盛德深、 康健、 彭蕴珠、 韩庆全, 徐勇任秘
书长, 叶修齐为秘书。
(学报编辑部)
213 f ( x ) dx 类型积分求法 a
此类型的定积分可综合上述 211, 212 两种类型的方法求出。
∫ 例 计算定积分 3 x 2 + 2 x - 3 dx -2
解 由于被积分函数是偶函数, 所以
∫ ∫ ∫ 3
2
3
x 2 + 2 x - 3 dx =
x 2 + 2 x - 3 dx + x 2 + 2x - 3 dx =
解
60
长春邮电学院学报
第 15 卷
∫3 x2 - 2 x + -2
x
1 +
1Fra Baidu bibliotek
dx =
∫ ∫ 0 x2 - 2 x + -2
x
1 +
1
dx
+
3
(x 2 - 2 x +
0
x
1 +
1
dx =
∫ ∫ 2 x2 0
2x +
1 x+
1
dx +
3
x2 -
0
2x +
1 x+
1
dx =
ln 12 -
4 3
∫b
0
b
当 a < 0 < b 时, 有 f ( x ) dx = f ( x ) dx + f ( x ) dx =
a
a
0
∫ ∫ - a
b
-a
b
f (x ) dx + f (x ) dx = F (x ) + F (x )
0
0
0
0
∫ 例 求定积分 3 x 2 - 2 x + -2
x
1 +
1
dx
∫ ∫∫ 由 f ( x ) dx =
f (x ) dx
x ≥0
f (- x ) dx
x< 0
得 F (x ) = G (x ) + C 0
x ≥ 0
- G (- x ) + C1
x< 0
其中 C 0, C 1 为待定常数, 仿上面 111, 此类型积分可由 F (x ) 的连续性求得。为不失一般