数学分析第一章函数

第一章函数(四则运算没有)

1.1实数概述

教学目的：使学生掌握实数的基本性质．

教学重点：1. 理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；

2. 牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要

工具）

教学难点：实数集的概念及其应用．

教学方法：讲授．（部分内容自学）

一．复习引新：

1.实数集：回顾中学中关于实数集的定义.

2.四则运算封闭性:

3.三歧性( 即有序性 ):

4.Rrchimedes性:

5.稠密性: 有理数和无理数的稠密性, 给出稠密性的定义.

6.实数集的几何表示───数轴:

7.两实数相等的充要条件:

8.区间和邻域:

二. 讲授新课：

几个重要不等式:

1. 绝对值不等式: 定义

2. 其他不等式:

⑴

⑵均值不等式: 对记

(算术平均值)

(几何平均值)

(调和平均值) 有平均值不等式:

时成立.

等号当且仅当

⑶ Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过)

有不等式

当且, 且时, 有严格不等式

证：由且

⑷利用二项展开式得到的不等式: 对由二项展开式

有

上式右端任何一项.

1.2 函数的概念

一 .函数

１．定义１ 设,X Y R ⊂，如果存在对应法则f ，使对x X ∀∈，存在唯一的一个数y Y ∈与之对应，则称f 是定义在数集X 上的函数，记作:f X Y →(|x y →).也记作|()x f x →。习惯上称x 自变量，y 为因变量。函数f 在点x 的函数值，记为()f x ，全体函数值的集合称为函数f 的值域，记作()f X 。即

{}()|(),f X y y f x x X ==∈。

２．注

（1） 函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域。

例：1）()1,,f x x R =∈ {}()1,\0.g x x R =∈（不相同，对应法则相同，定义域不同）

2）()||,,x x x R ϕ=∈ 2(),.x x x R ψ=∈（相同，对应法则的表达形式不同）

。 （2）函数的记号中的定义域Ｄ可省略不写，而只用对应法则f 来表示一个函数。即“函数()y f x =”或“函数f ”。

（3）“映射”的观点来看，函数f 本质上是映射，对于a D ∈，()f a 称为映射f 下a 的象。a 称为()f a 的原象。

3. 函数的表示方法

主要方法：解析法（分式法）、列表法和图象法。

可用“特殊方法”来表示的函数。

（１） 分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示。

例： 1,0s g n 0,01,0

x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，（符号函数）

（２）用语言叙述的函数。

例： １）[]y x =（x 的最大整数部分）

２）1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩

当为有理数,当为无理数,（Ｄirichlet ） 1.3函数的几种特性

1、单调函数

定义2 设f 为定义在X 上的函数，1212,,,x x X x x ∀∈< （１）若12()()f x f x ≤，则称f 为X 上的

增函数；若12()()f x f x <，则称f 为X 上的严格增函数。（２）若12()()f x f x ≥，则称f 为X 上的减函数；若12()()f x f x >，则称f 为X 上的严格减函数。

例：证明：3y x =在(,)-∞+∞上是严格增函数。

例：讨论函数[]y x =在Ｒ上的单调性。

注：单调性与所讨论的区间有关，区间必须关于原点对称。

2、奇函数和偶函数

定义 3 设X 为对称于原点的数集，f 为定义在X 上的函数。若对每一个x X ∈，有（１）()()f x f x -=-，则称f 为Ｄ上的奇函数；（２）()()f x f x -=，则称f 为X 上的偶函数。

注：（１）从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称（中心对称），偶函数的图象关于y 轴对称； （２）奇偶性的前提是定义域对称；

（３）从奇偶性角度对函数分类：⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩奇函数偶函数非奇非偶函数既奇又偶函数

。

3、周期函数

定义4. 设f 为定义在数集X 上的函数，若存在0T >，使得对一切x T ∈有()()f x T f x +=，则称f 为周期函数，T 称为f 的一个周期。

注：（1）若T 是f 的周期，则()nT n N +∈也是f 的周期，所以周期不唯一。（2）任给一个函数即使存在周期也不一定有最小正周期，如： y C =（Ｃ为常数），任何正数都是它的周期。

1.4函数的四则运算,反函数与复合函数

一 复合函数

１．引言

先考察一个例子。

例：质量为m 的物体自由下落，速度为v ，则功率E 为

2221122E mv E mg t v gt ⎫=⎪⇒=⎬⎪=⎭

. 我们得到两个函数21(),2

f v mv v gt ==，把v 代入f ，即得

221()2

f v m

g t =

. 这样得到的函数称为“复合函数”。 2． 定义（复合函数） 设有两个函数(),,(),y u u U u f x x X ϕ=∈=∈，若()f X U ⊂内，则对每一个x X ∈，通过f 对应U 内唯一一个值u ，而u 又通过ϕ对应唯一一个值y ，这就确定了一个定义在X 上的函数，它以x 为自变量，y 因变量，记作(()),y f x x X ϕ=∈。这种函数成为复合函数。

注：两个函数能复合，第一个函数的值域必须包含在第二个函数的定义域中。

3. 例子

例： 讨论函数(),[0,)y f u u u ==∈+∞与函数3()1,u g x x x R ==-∈能否进行复合。

4 说明 例：3sin ,,1y u u v v x ===-，复合成：3sin 1,[1,1]y x x =-∈-.

２）不仅要会复合，更要会分解。

①2sin

222,,sin .x u y y u v v x =→=== 二、反函数

１ 反函数概念

设函数(),y f x x X =∈。满足：对于值域()f X 中的每一个值y ，X 中有且只有一个值x ，使得()f x y =，则按此对应法则得到一个定义在()f X 上的函数，称这个函数为f 的反函数，记作

1(),()x f y y f X -=∈.

2 注：

a) 并不是任何函数都有反函数；

b) 函数f 与1f -互为反函数，并有:1(()),,f

f x x x X -≡∈ 1(()),().f f x y y f X -≡∈ c) ，则函数f 的反函数1f -通常记为

1(),()y f x x f X -=∈.

定理．设(),y f x x X =∈为严格增（减）函数，则f 必有反函数1f

-，且1f -在其定义域()f X 上也是

严格增（减）函数。

1.5初等函数

1.．基本初等函数（7类）

常量函数 y C =（Ｃ为常数）；

幂函数 ()y x R αα=∈；