第十讲-棋盘中的数学(一)
小学数学 计数之对应法.教师版
前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用．将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两种事物在数量上是相同的．事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式．模块一、图形中的对应关系【例 1】在8×8的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L”形（如图），一共有多少种不同的方法？【考点】计数之图形中的对应关系【难度】3星【题型】解答【解析】注意：数“不规则几何图形”的个数时，常用对应法．第1步：找对应图形每一种取法，有一个点与之对应，这就是图中的A点，它是棋盘上横线与竖线的交点，且不在棋盘边上．第2步：明确对应关系从下图可以看出，棋盘内的每一个点对应着4个不同的取法（“L”形的“角”在2×2正方形的不同“角”上）．第3步：计算对应图形个数由于在8×8的棋盘上，内部有7×7=49（个）交叉点，第4步：按照对应关系，给出答案故不同的取法共有49×4=196（种）．评注:通过上面两个范例我们知道,当直接去求一个集合元素的个数较为困难的时候,可考虑采用相等的原则,把问题转化成求另一个集合的元素个数．【答案】196【例 2】在8×8的黑白相间染色的国际象棋棋盘中，以网格线为边的、恰包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形共有多少个？【考点】计数之图形中的对应关系【难度】3星【题型】解答【解析】首先可以知道题中所讲的13长方形中间的那个小主格为黑色，这是因为两个白格不相邻，所以不能在中间．显然，位于棋盘角上的黑色方格不可能被包含在这样的长方形中．下面分两种情况来分例题精讲教学目标7-6-3计数之对应法析：第一种情况，一个位于棋盘内部的黑色方格对应着两个这样的13⨯长方形(一横一竖)；第二种情况，位于边上的黑色方格只能对应一个13⨯长方形．由于在棋盘上的32个黑色方格中，位于棋盘内部的18个，位于边上的有12个，位于角上的有2个，所以共有1821248⨯+=个这样的长方形．本题也可以这样来考虑：事实上，每一行都有6个13⨯长方形，所以棋盘上横、竖共有13⨯长方形68296⨯⨯=个．由于棋盘上的染色具有对称性，因此包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形正好与包含两个黑色小方格与一个白色小方格的长方形具有一一对应关系，这说明它们各占一半，因此所求的长方形个数为96248÷=个．【答案】48【巩固】 用一张如图所示的纸片盖住66⨯方格表中的四个小方格，共有多少种不同的放置方法？ 【考点】计数之图形中的对应关系 【难度】3星 【题型】解答66⨯方格表中的位置．易见它不能位于四个角上；若黑格位于方格表中间如图浅色阴影所示的44⨯正方形内的某格时，纸片有4种不同的放法，共计44464⨯⨯=种；若黑格位于方格表边上如图深色阴影所示的方格中时，纸片的位置随之确定，即只有1种放法，此类放法有4416⨯=种． 所以，纸片共有641680+=种不同的放置方法．【答案】80种【例 3】 图中可数出的三角形的个数为 ．【考点】计数之图形中的对应关系 【难度】4星 【题型】填空【解析】 这个图不像我们以前数三角形那样规则，粗看似乎看不出其中的规律，不妨我们取出其中的一个三角形，发现它的三条边必然落在这个图形中的三条大线段上，而每三条大线段也正好能构成一个三角形，因此三角形的个数和三条大线段的取法是一一对应的关系，图中一共有8条大线段，因此有3856C =个三角形．【答案】56个三角形【例 4】 如图所示，在直线AB 上有7个点，直线CD 上有9个点．以AB 上的点为一个端点、CD 上的点为另一个端点的所有线段中，任意3条线段都不相交于同一个点，求所有这些线段在AB 与CD 之间的交点数．【考点】计数之图形中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答CDBA【解析】 常规的思路是这样的：直线AB 上的7个点，每个点可以与直线CD 上的9个点连9根线段，然后再分析这些线段相交的情况．如右图所示，如果注意到下面这个事实：对于直线AB 上的任意两点M 、N 与直线CD 上的任意两点P 、Q 都可以构成一个四边形MNQP ，而这个四边形的两条对角线MQ 、NP 的交点恰好是我们要计数的点，同时，对于任意四点(AB 与CD 上任意两点)都可以产生一个这样的交点，所以图中两条线段的交点与四边形有一一对应的关系．这说明，为了计数出有多少个交点，我们只需要求出在直线AB 与CD 中有多少个满足条件的四边形MNQP 就可以了！从而把问题转化为：在直线AB 上有7个点，直线CD 上有9个点．四边形MNQP 有多少个？其中点M 、N 位于直线AB 上，点P 、Q 位于直线CD 上．这是一个常规的组合计数问题，可以用乘法原理进行计算：由于线段MN 有2721C =种选择方式，线段PQ 有2936C =种选择方式，根据乘法原理，共可产生2136756⨯=个四边形．因此在直线AB 与CD 之间共有756个交点．【答案】756个交点模块二、数字问题中的对应关系【例 5】 有多少个四位数，满足个位上的数字比千位数字大，千位数字比百位大，百位数字比十位数字大？ 【考点】计数之数字问题中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 由于四位数的四个数位上的数的大小关系已经非常明确，而对于从0～9中任意选取的4个数字，它们的大小关系也是明确的，那么由这4个数字只能组成1个符合条件的四位数(题目中要求千位比百位大，所以千位不能为0，本身已符合四位数的首位不能为0的要求，所以进行选择时可以把0包含在内)，也就是说满足条件的四位数的个数与从0～9中选取4个数字的选法是一一对应的关系，那么满足条件的四位数有410109872104321C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯个．【答案】210个【巩固】 三位数中，百位数比十位数大，十位数比个位数大的数有多少个？ 【考点】计数之数字问题中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 相当于在10个数字中选出3个数字，然后按从大到小排列.共有10×9×8÷（3×2×1）=120种．实际上，前铺中每一种划法都对应着一个数．【答案】120种【例 6】 数3可以用4种方法表示为一个或几个正整数的和，如3，12+，21+，111++．问：1999表示为一个或几个正整数的和的方法有多少种？【考点】计数之数字问题中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 我们将1999个1写成一行，它们之间留有1998个空隙，在这些空隙处，或者什么都不填，或者填上“＋”号．例如对于数3，上述4种和的表达方法对应：1 1 1，1+1 1，1 1+1，1+1+1．可见，将1999表示成和的形式与填写1998个空隙处的方式之间是一一对应的关系，而每一个空隙处都有填“＋”号和不填“＋”号2种可能，因此1999可以表示为正整数之和的不同方法有1998199822222⨯⨯⨯=L 14243个相乘种． 【答案】19982种【例 7】 请问至少出现一个数码3，并且是3的倍数的五位数共有多少个？ 【考点】计数之数字问题中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】小学数学竞赛 【解析】 五位数共有90000个，其中3的倍数有30000个．可以采用排除法，首先考虑有多少个五位数是3的倍数但不含有数码3.首位数码有8种选择，第二、三、四位数码都有9种选择．当前四位的数码确定后，如果它们的和除以余数为0，则第五位数码可以为0、6、9；如果余数为1，则第五位数码可以为2、5、8；如果余数为2，则第五位数码可以为1、4、7.可见只要前四位数码确定了，第五位数码都有3种选择，所以五位数中是3的倍数但不含有数码3的数共有8999317496⨯⨯⨯⨯=个． 所以满足条件的五位数共有300001749612504-=个．【答案】12504个模块三、对应与阶梯型标数法【例 8】 游乐园的门票1元1张，每人限购1张．现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票，售票员没有准备零钱．问有多少种排队方法，使售票员总能找得开零钱？【考点】计数之对应与阶梯型标数法 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 与类似题目找对应关系．要保证售票员总能找得开零钱，必须保证每一位拿2元钱的小朋友前面的若干小朋友中，拿1元的要比拿2元的人数多，先将拿1元钱的小朋友看成是相同的，将拿2元钱的小朋友看成是相同的，可以利用斜直角三角模型．在下图中，每条小横线段代表1元钱的小朋友，每条小竖线段代表2元钱的小朋友，因为从A 点沿格线走到B 点，每次只能向右或向上走，无论到途中哪一点，只要不超过斜线，那么经过的小横线段都不少于小竖线段，所以本题相当于求下图中从A 到B 有多少种不同走法．使用标数法，可求出从A 到B 有42种走法．AB424228145141494553221111111但是由于10个小朋友互不相同，必须将他们排队，可以分成两步，第一步排拿2元的小朋友，5个人共有5120=！种排法；第二步排拿到1元的小朋友，也有120种排法，所以共有5514400⨯=！！种排队方法．这样，使售票员能找得开零钱的排队方法共有4214400604800⨯=(种)．【答案】604800种【例 9】 学学和思思一起洗5个互不相同的碗（顺序固定），思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，那么学学摞好的碗一共有 种不同的摞法．【考点】计数之对应与阶梯型标数法 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】学而思杯，5年级，第7题 【解析】 方法一：如下所示，共有42种不同的摞法：54321----，45321----，35421----，53421----，34521----，54231----，45231----，25431----，52431----，24531----，52341----，25341----，23541----，23451----，54312----，45312----，53412----，35412----，34512----，54132----，45132----，15432----，51432----，14532----，51342----，15342----，13542----，13452----，54123----，45123----，15423----，51423----，14523----，12543----，51243----，15243----，12453----，12354----，12534----，15234----，51234----，12345----。
组合数学讲义1
概述组合数学在生活中处处可见。
计算单循环、双循环赛制下比赛的场数、构造幻方、一笔画、计算扑克牌游戏中满堂红牌的手数，概率等。
扎根于数学游戏和娱乐中，计算机技术的发展促进了其发展。
解决两类问题：排列的存在性问题（这是根本性问题。
排列集合中的某些元素使其满足某些条件，其排列的存在性并非总是显而易见的，若不存在，那么什么条件下会存在）；排列的计数和分类问题。
（若存在，则会有多种方法实现，需要计数，并将其分类）。
一、棋盘的完美覆盖问题二、切割立方体三、幻方：四、四色问题五、36军官问题来自6个军团的6个军衔的军官，排成方阵，要求每行每列都有各种军衔的军官1名，并且每行每列的军官都是来自不同的军团。
六、最短路径问题组合优化的问题。
（路由选择）七、Nim 取子游戏鸽笼原理（抽屉原则）一、简单形式：把n+1个物体放入n 个盒子中，有一个盒子中至少有2个物体。
证明方法：反证法。
鸽笼原理与反证法的关系，类似于不完全归纳法与数学归纳法的关系。
例1 13个人中至少有两个人的生日在同一个月。
例2 有n 对夫妇，至少选择多少个人，才能保证至少有一对夫妇被选出？变化形式：把n 个物体放入n 个盒子中，每一个盒子中至少有1个物体，那么每一个盒子恰好有1个物体。
把n 个物体放入n 个盒子中，每一个盒子中至多有1个物体，那么每一个盒子恰好有1个物体。
例3 整数列a 1，a 2，〃〃〃〃〃〃，a m 中，一定有若干个连续的数的和能被m 整除。
构造∑==ij j i a b 1，构造所有被m 除所得余数的鸽笼，共有m 个若两个b i 被m 除的余数相同，则其差能被m 整除，现在笼子多一个，不用考虑余数为0的情况（此时已经满足要求）例4 大师11周训练，每天至少下一盘，每周不超过12盘，证明：有连续的若干天，刚好下了21盘棋。
证明：共77天，分别下a 1，a 2，〃〃〃〃〃〃，a 77构造则前i 天共下了∑==ij j i a b 1要证明存在b i ，b j ，使得b i - b j =21构造t i =21+b i ，变成证明存在t i = b j1≤b 1< b 2<〃〃〃〃〃〃<b 77≤13222≤t 1< t 2<〃〃〃〃〃〃<b 77≤153b 与t 混合在一起总共有154个，而结果只能有153个，从而必有两个数相同，但不可能同是t ，或同是b ，因为分别严格增加。
六年级下册数学试题-小升初：第十讲 计数之加乘原理与技巧(解析版)全国通用
第十讲 计数之加乘原理与技巧1． 回顾分类枚举与排列组合； 2． 精讲计数问题的经典范例。
排列最简单的计数问题，只需一一列举就可以；复杂的计数问题则需要借助排列与组合的相关知识予以解决．一般地，从n 个不同的元素中，任取m(m≤n)个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中任取m 个元素的一个排列．我们主要来研究满足某种条件的排列的个数．相同的排列应满足： 它们所含的元素均相同； 它们的顺序也一样．一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列的个数称为从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，记作：mn A (m ≤n)．从n 个元素中取出m 个元素排成一排，有多少种排法，是从n 个元素中取出m 个元素的排列数．这个问题可以看成有m 个位置，从n 个元素中取m 个元素放到m 个位置中，可分m 个步骤：第①步：第1个位置有n 种选择； 第②步：第2个位置有n -1种选择； 第③步：第3个位置有n -2种选择； ……第m 步：第m 个位置有n -m+1种选择．由乘法原理：mn A = n ×(n - 1)×(n - 2)×…×(n -m+1)．——乘积中共有m 项特别地，当m=n 时， ()1...21mnn n A A n n ==⨯-⨯⨯叫做n 个元素的全排列数．1×2×3×…×n 称为n 的阶乘，记作n!因此()!!mn n A n m =- (m≤n)．排列数乘积形式的公式：mn A =n×(n - 1)×(n - 2)×…×(n -m+1)．教学目标专题回顾本讲内容非常有趣，不过要在计数过程中达到“不重不漏”，必须掌握计数问题的原理与一些技巧才行。
在小升初的考试与其它的竞赛活动中，计数问题出现频率很高。
排列数阶乘形式的公式： ()!!mn n A n m =- (m≤n)．组合有时我们只需从若干元素中取出一些就可以了，这种问题称为组合问题，组合问题与排列问题的区别就是：组合问题是将元素取出即可，不需排序，而排列问题是取出后要进行排序．一般地，从n 个不同元素中任取m(m≤n)个不同的元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出，n 个元素的组合．从n 个不同元素中，每次取出m 个元素的组合总数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，记作mn C (m ≤n)．从n 个元素中取出m 个元素的排列问题可以看成分两步完成： 第①步：从n 个元素中取出m 个元素，这时有多少种取法?实际上就是从n 个元素中取出m 个元素的组合数mn C ；第②步：对取出的m 个元素进行排列，排法数就是mm A ．由乘法原理可知：mmmn nmA C A =，因此，mmn nm mA C A =． 将排列数公式代人得：()()().1...1.1...3.2.1mn n n n m C m m --+=-或 ()!!!mn n C n m m =-.分类枚举【例1】 ★★★（《小数报》数学竞赛决赛填空题第ll 题）方格纸上有一只小虫，从直线AB 上的一点O 出发，沿方格纸上的横线或竖线爬行．方格纸上每小段的长为1厘米．小虫爬过若干小段后仍然在直线AB 上，但不一定回到O 点．如果小虫一共爬过2厘米，那么小虫的爬行路线有____种；如果小虫一共爬过3厘米，那么小虫爬行的路线有___种．【解】为了方便，下面叙述省去“上、下、左、右”4个字前面的“向”． (1)小虫爬过2厘米，可有以下6种路线，分别是： 左，右；右，左； 上，下；下，上；左，左；右，右．(以上前4种路线均回到O点)(2)小虫爬过3厘米，可有20种路线，分别是：上，左，下；上，右，下；下，左，上；下，右，上；上，下，左；上，下，右；下，上，左；下，上，右．(以上8种都是先“上”或先“下”．)如果第一步为“左”或“右”，那么转化为第(1)题，各有6种路线，一共是8+6×2=20(种)答案是：(1)6；(2)20。
第十讲 简单抽屉原理
例题6：国王让阿凡提在8×8的国际象棋棋盘的每个格子里放米粒．结 果每个格子里至少放一粒米， 无论怎么放都至少有3个格子里的米粒 一样多， 那么至多有多少个米粒？
巩固练习
1、口袋里装有红、黄、蓝、绿4种颜色的球各5个。小华闭着眼睛从 口袋里往外摸球，每次摸出1个球．他至少要摸出多少个球，才能保 证摸出的球中每种颜色的球都有？
练习4：口袋中装有4种不同颜色的珠子，每种都是100个．要想保 证从袋中摸出3种不同颜色的珠子，并且每种至少10个，那么至少 要摸出多少个珠子？
例题5：大头把一副围棋子混装在一个盒子中（围棋子有黑、白两种颜 色），然后每次从盒子中摸出4 枚棋子，那么他至少要闭着眼睛摸几 次，才能保证其中有三次摸出棋子的颜色情况是相同的？（不必考虑 每次摸出的 4 枚棋子的顺序）
2、小钱的存钱罐中有 4 种硬币： 1分、 2 分、5 分、1角，这四种 硬币分别有 5 个、10个、 15 个、20个。小钱闭着眼睛向外摸硬币， 他至少摸出多少个硬币，才能保证摸出的硬币中至少有两种不同的面 值？至少摸出多少个硬币，才能保证摸出的硬币中既有 5 分硬币也 有 1 角硬币？
3、如果筷子颜色有黑色、白色、黄色、红色、蓝色五种，每种各有 10 根．在黑暗中取出一些筷子，为了搭配出两双颜色相同的筷子，最少要取多 少根才能保证达到要求？为了搭配出两双颜色不同的筷子，最少要取多少根 才能保证达到要求？（两根颜色相同的筷子搭配成一双筷子）
第十讲 简单抽屉原理
知识精讲
抽屉原理 I
把一些苹果随意放入若干个抽屉， 如果苹果个数多于抽屉个 数， 那么一定能找到一个抽屉，里面至少有2个苹果．
抽屉原理 II 把m个苹果放入n个抽屉 （m 大于 n），结果有两种可能： （1）如果 m÷n 没有余数，那么就一定有抽屉至少放了 “ m÷n ” 个苹果； （2）如果m÷n 有余数，那么就一定有抽屉至少放了“m÷n的商再 加 1”个苹果。
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四年级下册数学试题-奥数专题讲练：第10讲 乘法原理与加法原理 精英篇(解析版)全国通用
第十讲乘法原理与加法原理乘法原理一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，则完成这件事一共有N=m1×m2×…×m n种不同的方法．乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺一不可的，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关。
”【例1】①有5个人排成一排照相，有多少种排法？②5个人排成两排照相，前排2人，后排3人，共有多少种排法？③5个人排成一排照相，如果某人必须站在中间，有多少种排法？④5个人排成一排照相，某人必须站在两头，共有多少种排法分析：①5个人排成一排照相，从左到右共5个位置。
第一个位置可从5个人中任选一人，有5种选法；第二个位置只能从剩下的4个人中任选一人，有4种选法，同理，第三、第四、第五个位置分别有3种、2种、1种选法。
每个位置上站了一人就是一种排法。
根据乘法原理，共有5×4×3×2×1=120种排法。
②5个人排成两排照相，可先排前排、再排后排，依次也有5个位置，类似①的方法可得共有5×4×3×2×1=120种排法。
③这里，限定某人必须站在中间，他的位置固定了，而其余4人可以任意站位，类似①的分析可知共有4×3×2×1=24种排法。
④这里，限定某人必须站在两头，这件事分两步完成，第一步，安排限定的人，有2种方法；第二步，安排其它的4人，类①的分析，有4×3×2×1=24种方法，根据乘法原理，共有2×（4×3×2×1）=24×2=48种排法.【例2】（小数报数学竞赛初赛）某沿海城市管辖7个县，这7个县的位置如右图．现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给右图染色，要求任意相邻的两个县染不同颜色．共有多少种不同的染色方法？分析：用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色依次染色，根据乘法原理，共有5×4×3×3×3×3×3=4860种不同的染色方法．【例3】（1）（迎春杯决赛）如右图（1）是中国象棋盘，如果双方准备各放一个棋子，要求它们不在同一行，也不在同一列，那么总共有多少种不同的放置方法？（2）（兴趣杯少年数学邀请赛决赛）在右图（2）中放四个棋子“兵”，使得每一列有一个“兵”，每一行至多有一个“兵”．有多少种不同的放法？分析：（1）设甲方先放棋子，乙方后放棋子．那么甲方可以把棋子放在棋盘的任意位置，故甲方有：10×9=90种不同的放置方法．对应甲方的第一种放法，乙方按规定必须去掉甲方棋子所在的行与列，而放置在剩下的任意位置，所以乙方有：9×8=72种不同的放置方法．因此，总共有：72×90=6480种不同的放置方法．（2）第一列有2种放法．第一列放定后，第二列又有2种放法．…如此下去，共有2×2×2×2=16种不同的放法．【例4】有10块糖，每天至少吃一块，吃完为止。
华罗庚学校数学课本六年级
甲单独做所用天数可求出，那么乙单独做所用天数也就迎刃而解． 解：甲、乙合作12天，完成了总工程的几分之几？
＝4∶3，所以甲与乙的工效比是3∶4．这个间接条件一旦揭示出来，问题就得到解决了． 甲与乙的时间比是4∶3．
工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例，所以甲与乙的工效比是时间比的反比，为3∶4．
答：这批树一共252棵． 例9 加工一批零件，甲、乙共多少 个？
华罗庚学校数学课本（六年级·修订版）
上册
第一讲 工程问题
工程问题是应用题中的一种类型．在工程问题中，一般要出现三个量：工作总量、工作时间（完成工 作总量所需的时间）和工作效率（单位时间内完成的工作量）．
这三个量之间有下述一些关系式：
工作效率×工作时间＝工作总量，
工作总量÷工作时间＝工作效率，
工作总量÷工作效率＝工作时间．
好排完．
合作，还需要多少时间才能完成？
一半，最后余下的部分由甲、乙
分析 这道题是工程问题与分数应用题的复合题．解题时先要分别求出甲、乙工作效率，再把余下的 工作量转化为占单位“1”（总工作量）的几分之几？
比甲多植树36棵，这批树一共多少棵？
如果二人一起干，完成任务时乙
分析 求这批树一共多少棵，必须找出与36棵所对应的甲、乙工效
解：设甲做了x天．那么，
两边同乘36，得到：3x＋40－4x＝36，
x＝4．
答：甲做了4天．
例4 一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成．甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成． 如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？
华罗庚学校数学教材(六年级上)第10讲 棋盘中的数学(一)
本系列共14讲第十讲棋盘中的数学（一）——什么是棋盘中的数学.文档贡献者：与你的缘所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1）），围棋盘（下图（2）），还有国际象棋棋盘（下图（3））．以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题．这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题．解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称棋盘中的数学．作为开篇我们先解几道竞赛中的棋盘问题．例1这是一个中国象棋盘，（下图中小方格都是相等的正方形，“界河”的宽等于小正方形边长）．黑方有一个“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一个，红方有两个“相”，它们只能在8，9，10，11，12，13，14中的两个位置．问：这三个棋子（一个黑“象”和两个红“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大？解：我们设每个小方格的边长为1单位．则小方格正方形面积为1平方单位．由于三个顶点都在长方形边上的三角形面积至多为这个长方形面积的一半．所以要比较三角形面积的大小，只要比较三角形的三个顶点所在边的外接长方形面积的大小就可见端倪．直观可见，只须比较（3，10，12）或（2，10，12）与（3，10，13）或（2，12，14）这两类三角形面积就可以了．顶点为（3，10，12）或（2，10，12）的三角形面积为：×8×7=28；12顶点为（3，10，13）或（2，12，14）的三角形面积等于：×9×6=27。
12所以顶点在（2，10，12）或（3，10，12）时三角形面积最大．答：黑“象”在2或3的位置，两个红“相”分别在10，12的位置时，以这三个棋子为顶点的三角形（2，10，12）或（3，10，12）的面积最大，如下图所示．说明：本题是以棋盘格点为基础组成图形计算面积．其实，这类问题所在多有，我们把m×n的方格阵称为广义棋盘，则可以设计出许多这类的问题．例2下左图是一个围棋盘，另有一堆围棋子，将这堆棋子往棋盘上放，当按格点摆成某个正方阵时，尚多余12枚棋子，如果要将这个正方阵改摆成每边各加一枚棋子的正方阵，则差9枚棋子才能摆满．问：这堆棋子原有多少枚？解：第一次排方阵剩余12枚，加上第二次排方阵所不足的9枚，恰是原正方阵扩大后“贴边”的部分（如上右图所示），共21枚，它恰是原正方阵每边棋子数与“扩阵”每边棋子数之和．恰是两个相邻自然数之和，所以原正方阵每边10枚棋子，新正方阵每边11枚棋子．这堆棋子总数是102＋12=112枚答：这堆棋子原有112枚．说明：本题也可以列方程求解．设原正方阵每边m枚棋子，由题意得：（m＋1）2－9＝m2＋12．即2m＋1＝21，解得m＝10．所以棋子总数为102＋12＝112枚．本题与围棋盘并无本质联系，问题可改述为“一堆棋子若摆成一个实心方阵，剩余12粒棋子，若改摆每边各加一枚的方阵，则差9枚棋子，问这堆棋子原有多少枚？”应用围棋盘显得更加直观、具体．例3如下左图是一个国际象棋棋盘，A处有只蚂蚁，蚂蚁只能由黑格进入白格再由白格进入黑格这样黑白交替地行走，已经走过的格子不能第二次进入．请问，蚂蚁能否从A出发，经过每个格子最后返回到A处？若能，请你设计一种路线，若不能，请你说明理由．解：这种爬行路线是存在的．具体的设计一条，如上右图所示．例4在8×8的方格棋盘中，如下图所示，填上了一些数字1，2，3，4．试将这个棋盘分成大小和形状都相同的四块，并且每块中都恰有1、2、3、4四个数字．分析注意这个正方形的面积是8×8＝64个平方单位，因此切分后的每一块的面积为16个平方单位，即由16个小方格组成．解：①将两个并列在一起的“4”分开，先画出这段划分线，并将它分别绕中心旋转90°，180°和270°，得到另外三段划分线，如下图（1）所示．②仿照上述方法，画出所有这样的划分线，如上图（2）所示．③从最里层开始，沿着画出的划分线作设想分块，如上图（3），这个分块中要含1，2，3，4各一个，且恰为16块小方格．④将上面的阴影部分绕中心旋转180°，可以得到符合条件的另一块，空白部分的两块也符合条件，所求的划分如上页图（4）所示．例5国际象棋的棋盘有64个方格，有一种威力很大的棋子叫“皇后”，当它放在某格上时，它能吃掉此格所在的斜线和直线上对方的棋子，如下左图上虚线所示．如果有五个“皇后”放在棋盘上，就能把整个棋盘都“管”住，不论对方棋子放在哪一格，都会被吃掉．请你想一想，这五个“皇后”应该放在哪几格上才能控制整个棋盘？解：本题是构造性的题目．用五个子管住六十四格，如上右图所示就是一种放置皇后的方案．例6如下图是半张棋盘，请你用两个车、两个马、两个炮、一个相和一个兵这八个子放在这半个棋盘上，使得其余未被占据的点都在这八个点的控制之下（要符合象棋规则，“相”走田字，只能放在“相”所能到的位置，同样“兵”也只能放在“兵”所能到的位置．马走“日”字，“车”走直线，“炮”隔子控制等）．解：这仍是一个占位问题，只需要把指出的几个子排布成所要求的阵势即可，如下图所示．本节我们初步看到了一些棋盘问题，它们的特点是：①以棋盘为背景提出各种问题，无论围棋盘、中国象棋盘或是国际象棋盘．更为一般的提法是m×n方格上的数学问题．②这些问题有面积计算，图形分割，棋子计数，棋子布局等各种类型，这些问题一般属于智巧类的问题或更深一步的组合数学问题。
最新小学数学奥数基础教程(六年级)目30讲全[1]
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小学奥数基础教程(六年级)第1讲比较分数的大小第2讲巧求分数第3讲分数运算的技巧第4讲循环小数与分数第5讲工程问题(一)第6讲工程问题(二)第7讲巧用单位“1”第8讲比和比例第9讲百分数第10讲商业中的数学第11讲圆与扇形第12讲圆柱与圆锥第13讲立体图形(一)第14讲立体图形(二)第15讲棋盘的覆盖第16讲找规律第17讲操作问题第18讲取整计算第19讲近似值与估算第20讲数值代入法第21讲枚举法第22讲列表法第23讲图解法第24讲时钟问题第25讲时间问题第26讲牛吃草问题第27讲运筹学初步（一）第28讲运筹学初步（二）第29讲运筹学初步（三）第30讲趣题巧解第一讲比较分数的大小同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。
比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。
对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。
第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。
由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。
下面我们介绍另外几种方法。
1.“通分子”。
当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。
如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。
2.化为小数。
这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。
但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。
3.先约分，后比较。
有时已知分数不是最简分数，可以先约分。
4.根据倒数比较大小。
5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。
高斯小学奥数四年级上册含答案第10讲_游戏策略
第十讲游戏策略对策论又称博弈论，研究的现象与政治、经济、军事乃至人们的日常生活学 习都有密切的联系.一般地，在具有竞争或对抗性质的行为中， 参加竞争对抗的 各方具有不同的目标.为了达到各自的目标，各方既要制定出对自己最有利的方 案，又要考虑到对手所有可能采取的方案. 对策论就是研究竞争对抗中各方是否 存在最佳行动方案，以及如何找到这个最佳方案.我们将要学习的对策问题，主要是研究在两人的游戏过程中如何使自己取胜 的策略问题.如果说“统筹规划”所研究的是“死的”对象的话，那么“对策问 题”所研究的就是一个“活的”对手，因而在考虑问题时需要设想对手可能采取 的各种方刚才她岀石头，如果她还出石头、我怨 件炮如果预料到我这样想’她、 卡莉妍向墨莫学会了。
石头勇f 子 布17的游戏’正在 二］兴蚁勃勃地和他对 17战.所以我还应该\巧収她如果■^考虑过，而 C样出石头.岀布……I. 2. 3!哈哈*贏了I 騙她就要出布.就会出剪子. 出石头•“…J 以肯我没有3 乂和也疋q 她就会心案，并使己方的策略能在对手所有可能采取的方案中都处于有利位置，我们将这种状态称作“必胜状态”（否则称为“必败状态”）•那么在给定的游戏规则下，是否存在必胜状态，以及为了达到必胜状态所采取的策略就成了问题的关键.需要强调的是，我们的目标不是“可能胜”，而是“必胜”！我们不能存在侥幸心理，不能寄希望于对方的失误，而是要在假定双方都足够聪明的前提下寻找必胜策略.有12枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定甲先取，每人每次至少取1枚，最多取3枚.如果谁取走最后一枚棋子谁赢，那么谁有必胜策略？如果谁取走最后一枚棋子谁输，那么谁有必胜策略？必胜策略是什么？「分析」直接考虑12枚棋子并不容易，大家不妨试试棋子较少时谁有必胜策略，看看能否找到规律.练习1有15枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定甲先取，每人每次至少取1枚，最多取2枚.如果谁取走最后一枚棋子谁赢.那么谁有必胜策略？如果谁取走最后一枚棋子谁输，那么谁有必胜策略？必胜策略是什么？情况很复杂时，我们往往需要先从比较简单的情况开始尝试，在逐渐变复杂的过程中，寻找规律进而解决题目.这其实是一种非常重要的数学思想，高年级乃至往后的数学学习中应用的递推、数学归纳法等都是以此为基础的.利用互补的想法，我们有更一般的结论.“有m枚棋子，两人轮流取棋子，规定每人每次可以取走1至n枚，直到把棋子取完为止，谁取得最后的一枚棋子谁胜•”其取胜策略是：每次取走棋子数除以n 1的余数枚棋子，让对方面对n 1的倍数枚棋子一一必败状态，则可保证取到最后的一枚棋子而获胜.现有2014根火柴.甲、乙两个人轮流从中取出火柴，规定甲先取，每人每次至少从中取出2根，最多取出4根.如果谁无法取出火柴谁就赢，请问谁一定能赢？策略是什么？「分析」本题中每人每次最少要取出2根火柴，如果恰好剩下1根火柴，就已经无法再次取出了•能否像例题1那样，从火柴较少的情况入手，找出规律呢？现有2009个糖豆，甲、乙两个人轮流取从中出糖豆，每次至少从中取出2个，最多取出5个，谁无法取出糖豆谁就赢•如果甲先取，请问谁一定能赢？策略是什么？在一定能分出胜负的对策问题中，一方要么处于必胜状态，要么处于必败状态.处于必胜状态的一方，总能进行一次适当的操作后，把必败状态留给对手.反之，处于必败状态的一方，无论采取什么策略，都只能把必胜状态留给对手.在很多对策问题中，具有对称性的状态往往是解决问题的关键.例题3甲、乙两人玩一个游戏：有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取，个数不为零即可.规定取到最后一个球的人赢，甲先取球.如果开始时两堆分别有五个球和八个球，那么谁有必胜策略？请说明理由.「分析」直接考虑5个和8个并不容易，你能像之前一样，从最简单的情况开始分析，找到规律吗？甲、乙两个海盗分金币：有两堆金币，一堆有2009枚，一堆有2014枚.甲、乙轮流从中拿金币，每次只能从同一堆中拿，个数不为零即可.规定拿到最后一枚金币的人获胜，胜者可以获得所有金币.如果甲先拿，那么谁有必胜策略？请说明理由.例题4如下图，方格A 中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45° 走1步，最终将棋子走到方格 B 的人获胜.请问： 谁一定能获胜？必胜策略是什么？「分析」在棋盘中，有一些是必胜格，有一些是必败格.一方想要获胜，必 须每次都把棋子走到必胜格子中，使得对手下一步无论采取什么操作，都不得不 进入必败格子.本题中方格 B 就是必胜格.那么其他的格子中哪些是必胜格?哪些是必败格?例题5如下图，方格A 中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45角走1步，最终将棋子走到方格B的人获胜.请问：（1） 谁一定能获胜？必胜策略是什么？（2） 如果每次允许往同一方向（上、右或右上）走任意多步，结果又如何呢？「分析」第（1）问中，每次只能走1步，那么B 为必胜格，贝尼相邻的左、 下、左下三个格子全是必败格；第（2）问中，每次可以走任意多步，那么 B 为 必胜格，则由B 可以直接找出多少个必败格呢？例题6B A桌上有一块巧克力，它被直线划分成3行7列的21个小方块，如图所示.现在让你和对手进行一种两人轮流切巧克力的游戏，规则如下：①每人每次只许沿一条直线把巧克力切成两块；②拿走其中一块，把另一块留给对手再切；③不断重复前两步，最后谁能恰好留给对手一个小方块，谁获胜.如果你首先切巧克力，那么你第一次应该切走多少个小方块，才能保证自己最后获胜？在对策问题中，要想取得胜利，必须使自己能始终保持在必胜状态中，而使对手总是处于必败状态.明确了这一点，我们就知道了解决对策问题的关键在于弄清楚什么是必胜状态，什么是必败状态.“知己知彼，百战不殆.”哪一方的策略更胜一筹，哪一方就会取得最终的胜利.田忌赛马田忌很喜欢赛马•有一回他和齐威王约定，进行一次比赛.将马分成上、中、下三等，比赛的时候，上等马对上等马，中等马对中等马, 下等马对下等马.由于齐威王每个等级都比田忌的强，三场比下来，田忌都失败了•田忌觉得很扫兴，垂头丧气地准备离开赛马场.这时，田忌发现，他的好朋友孙膑也在人群里•孙膑招呼田忌过来，拍着他的肩膀，说：“从刚才的情形看，齐威王的马比你的马快不了多少呀……”孙膑还没说完，田忌瞪了他一眼，说：“想不到你也来挖苦我！”孙膑说：“我不是挖苦你，你再同他赛一次，我有办法让你取胜.”田忌疑惑地看着孙膑：“你是说另换几匹马？”孙膑摇摇头，说：“一匹也不用换.”田忌没有信心地说：“那还不是照样输!孙膑胸有成竹地说：“你就照我的主意办吧.齐威王正在得意洋洋地夸耀自己的马，看见田忌和孙膑过来了，便讥讽田忌: “怎么，难道你还不服气？”田忌说：“当然不服气，咱们再赛一次！”齐威王轻蔑地说：“那就来吧！”一声锣响，赛马又开始了.孙膑让田忌先用下等马对齐威王的上等马，第一场输了.接着进行第二场比赛•孙膑让田忌拿上等马对齐威王的中等马，胜了第二场•齐威王有点儿心慌了.第三场，田忌拿中等马对齐威王的下等马，又胜了一场•这下，齐威王目瞪口呆了.比赛结果，田忌胜两场输一场，赢了齐威王.还是原来的马，只调换了一下出场顺序，就可以转败为胜.1.10枚正面朝下的硬币排成一排放在桌子上，两个小朋友玩翻硬币游戏.规定：每人每次只能翻动一枚或两枚硬币使之正面朝上，翻过的硬币不能再翻. 两人轮流翻硬币，翻动最后一枚硬币的人获胜•请问：谁有必胜策略？必胜策略是什么？2.现有200个石子.甲、乙两个人轮流从中取出石子，每次最少从中取出2个，最多取出4个，谁无法取出石子谁就赢•如果甲先取，那么谁有必胜的策略？必胜策略是什么？3.甲、乙两人玩一个游戏：有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取任意多个，但不能不取.规定取到最后一个球的人输，甲先取球.(1)如果开始时两堆各有两个球，那么谁有必胜策略？请说明理由；(2)如果开始时两堆分别有两个球和三个球，那么谁有必胜策略？请说明理由.4. 甲、乙二人轮流在一个正十二边形中画对角线（即两个不相邻顶点的连线）的对角线不能与已经画出的对角线相交， 谁不能继续画谁输.甲先画，请问谁有必胜策 或向右上方沿45角走1步，最终将棋子走到方格 B 的人获胜.请问：谁一定能获胜? 必胜策略是什么?BA.规定新画 甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右 5. 枚棋子,第十讲游戏策略1. 例题1答案：（1）乙有必胜策略；（2）甲有必胜策略详解：（1）如果剩不到4枚棋子，先取的人把所有棋子取走后获胜；如果剩4枚棋子，无论先取的人如何取，所剩的棋子数都不到4枚，所以后取的人获胜；如果有12枚棋子，甲取1枚时乙取3枚，甲取2枚时乙取2枚，甲取3枚时乙取1枚，在每次甲取完后，乙可以取适当数量的棋子以保证两人一个回合共取4枚棋子，这样乙可以拿到最后1枚，乙胜.（2）如果剩1枚，那么先取的人必败；如果剩2至4枚，先取的人可以剩1枚不取，所以后取的人败.12枚的情况与4枚的情况类似，甲先取3枚，剩下9枚•之后乙取1枚时甲取3枚，乙取2枚时甲取2枚，乙取3枚时甲取1枚，甲保证两人一个回合共取4枚棋子•最后1枚必然被乙拿到，甲胜.2. 例题2答案：甲有必胜策略详解：根据上题经验，第二个人总可以保证和第一个人共取6根火柴，2014 6 335L L 4，所以2014根火柴的情况与4枚火柴的情况相同.4枚火柴时甲先取2根火柴即可获胜，因此2014 根火柴时甲也先取2根火柴，之后乙无论怎么取，甲再取时都可以保证两人一个回合共取6根火柴.2014 2 6 335L L 2，最后剩下的2根火柴留给了乙，甲无法取出火柴，甲获胜.3. 例题3答案：甲必胜详解：甲先从8个球的那堆中取出三个球，使得两堆球一样多•之后每次乙取几个球，甲就在另一堆中取相同数量的球，甲获胜.4. 例题4答案：甲必胜详解：我们给必胜格子（如方格B）标记“V”，给必败格子标记“X” •从方格B逆推，能一步走到B的格子都要标记“X” .特别地，最上边一行和最右边一列为“V”和“X”相间的标记，如左图.对于左图中的格子1和格子3,对方有办法把它移到必胜格子中，所以格子1和格子3都是必败格子•如果把棋子移到格子2中，对手无论怎么移，都只能移到必败格子中，因此格子2是必胜格子•用类似的方法分析，得到右图•因此甲有必胜策略，每次把棋子移到标有“V”的格子中即可.5.答案：（1 ）甲必胜；（2）甲必胜详解：（1 ）我们给必胜格子（如方格B）标记“V”，给必败格子标记“X” •从方格B逆推,能一步走到B 的格子都要标记“x” .特别地，最上边一行和最右边一列为“V”和“X”相间 的标记，如左图.对于左图中的格子 1和格子3,对方有办法把它移到必胜格子中，所以格子 1和格子3都是必败格子.如果把棋子移到格子 2中，对手无论怎么移，都只能移到必败格子中， 因此格子2是必胜格子•用类似的方法分析，得到右图•因此甲有必胜策略，每次把棋子移到 标有“/的格子中即可.（2） 与第（1）问方法类似，得到下图•甲有必胜策略，每次把棋子移到标有“V”的格子中 即可.6. 例题6答案：切走12个小方块详解：当只剩1行（或1列）时，但不是一个小方块，先切的人只要切剩下一个小方块就赢了.当剩2行（或2列）时，如果剩2 2的方块，那么先切的人切完后成为 1 2的方块，所以后切 的人必胜；如果剩2 3、2 4、…等情况，先切的人只要切剩下一个 2 2的方块就可以取胜. 当剩3行（或3列）时，如果剩3 3的方块，先切的人切一刀后只能剩下1 3或2 3的方块，此时后切的人获胜.当有3 7块时，先切的人切走3 4 12块，给对手留下一个3 3的正方形，接着每次都给对手留下一个1 1或2 2的正方形即可获胜. 7. 练习1答案：（1 ）乙必胜；（2）甲必胜详解：（1）甲取1枚时乙取2枚，甲取2枚时乙取1枚，乙只要保证两人一个回合共取 3枚棋 子，即可拿到最后1枚获胜.（2）甲先取2枚，剩下13枚•之后乙取1枚时甲取2枚，乙取2 枚时甲取1枚，甲保证两人一个回合共取 3枚棋子，最后1枚必然被乙拿到，甲胜.8. 练习2答案：甲必胜详解：2009 2 5 287，甲先取5个糖豆，之后乙无论怎么取，甲再取时都可以保证两人一个回合共取7个糖豆，最后剩下的2个糖豆留给了乙，甲无法再次取出糖豆，甲获胜.9. 练习3答案：甲必胜简答：甲先从2014个金币中取出5个金币，使两堆金币一样多•之后每次乙拿几个金币，甲就 在另一堆中拿相同数量的金币，最后肯定甲拿走最后一个金币，甲获胜.10. 练习4答案：甲必胜简答：策略是每次把棋子走到下图中标有“V”的格子内.11. 作业1答案：先翻动的人必胜简答：先翻硬币的小朋友翻1枚硬币，以后对手翻1枚时自己翻2枚，对手翻2枚时自己翻1 枚，保证两人一个回合共翻3枚，即可保证自己翻到最后1枚.12. 作业2答案：乙必胜简答：甲取2个乙就取4个，甲取3个乙也取3个，甲取4个乙就取2个.200 6 33L L 2，最后剩下2个石子，甲取完，乙无法再取，乙获胜.13. 作业3答案：（1 ）乙必胜；（2）甲必胜简答：（1）甲取1个乙就取2个，甲取2个乙就取1个.（2）必胜策略是从三个球的那堆中取1个球，之后乙取1个甲就取2个，乙取2个甲就取1个.14. 作业4答案：甲必胜简答：策略是先画一条经过正十二边形中心的对角线，以它为对称轴，把图形分成对称的两部分•之后乙每画一条对角线，甲就在对称的位置上画出对角线•最后肯定是乙不能继续画，甲胜.15. 作业5答案：乙必胜简答：策略是每次把棋子走到下图中标有“V”的格子内.。
部编版数学五年级上册第10讲.几何计数进阶.超常体系
第 １０ 讲
A 4. 三角形最后一条边有 n 个点，则平行四边形个数为： 3 Cn41
................................. ............................
知识点回顾
1、 图中有多少个长方形？
【分析】 C52 =10 个 2、图中共有多少个正方形？
（学案对应：超常 3，带号 3） 【分析】上面选 2 个点，下面选 2 个点，可以确定唯一的一个四边形，而一个四边形的对角线相 连，可以确定唯一的一个交点，因此这两问的结果都一样.为 C62 C72 15 21 315
例6
在一个 6 6 的方格阵内，以棋盘上的交点（含边界点和角上的点）为顶点的、面积为 1 的直角三角 形有多少个？
６ 第 ９ 级下 超常体系 教师版
第 １０ 讲
个点，可见最后一行点数不够多。如果将大三角形再往下延长一层，那么底边上的点就从 5 个变成 6 个。同时，所有与平行四边形 ABCD 方向相同的平行四边形各边延长线都会与 新的底边交于 4 个点，因此，新的底边上的四个点的选取方法和原图中与平行四边形 ABCD 方向相同的平行四边形是一一对应的。因此图中与 ABCD 方向相同的平行四边形总数为： C64 15 （个） 总数：15×3=45 老师可以总结如下结论：
8 7 2 1
28 （条）
（2）三角形有： C83
8 7 6 3 2 1
56
（个）
（3）四边形有： C84
87 6 5 4 32 1
70 （个）
第 ９ 级下 超常体系 教师版 ７
例5
如图，两条线段上分别有 6，7 个点，以这 13 个点为顶点，共可以连出多少个四边形？已知两条线 段中各任取 1 点的连线的交点互不重合，在两条已知线段之间可产生多少个交点？
六年级奥数之工程问题
六年级上册奥数知识点
• • • • • • • • • • • • • • • 第一讲工程问题 第二讲比和比例 第三讲分数、百分数应用题1 第四讲分数、百分数应用题2 第五讲长方体和正方体 第六讲立体图形的计算 第七讲旋转体的计算 第八讲应用同余解题 第九讲二进制小数 第十讲棋盘中的数学1 第十一讲棋盘中的数学2 第十二讲棋盘中的数学3 第十三讲棋盘中的数学4 第十四讲典型试题分析
3.关键：师傅先做5天接着徒弟做3天 转化为 师徒合作3天接着师傅再做2天 师傅工效 (7/10-1/6×3)÷2=1/10 徒弟工效 1/6-1/10=1/15
由公式得 师傅单独做需10天 徒弟单独做需15天 答： 师傅单独做需10天； 徒弟单独做需15天。
四、课后习题
1.一项工作，甲单独做20天可完成，乙单独做30天可完成。 现在两人合做，用16天就完成了工作。 已知在这16天中甲 休息了2天，乙休息了若干天．问：乙休息了多少天？
一.基本公式
• 工程问题是应用题中的一种类型。在工程问题中，一般要出现三个量：工作总量（即 工量）、工作时间（完成工作总量所需时间 即工时）和工作效率（单位时间内完成的 工作量 即工效）：
①工作效率×工作时间=工作总量 ②工作总量÷工作时间=工作效率 ③工作总量÷工作效率=工作时间
下面请同学来回答以上3个量之间的正反比关系~~~
②（甲工效）甲一天能完成全工程的几分之几？
（3/5-1/2）÷（16-12）=1/40 ③（乙工效）乙一天能完成全工程的几分之几？ 1/24-1/40=1/60 ④这批零件共多少个？ 3÷（1/40-1/60）=360(个) ⑤答：这批零件共360个。
例2.加工一批零件，甲乙合作24天可以完成。现在由甲先做16天，然后乙再 做12天，还剩下这批零件的2/5没有完成。已知甲每天比乙多加工3个。 求这批零件有多少个？ 分析：由于题设条件比较复杂，现采用“排除法”对工量、工时、工效进行 筛选以寻找解题突破口：
高斯小学奥数四年级上册含答案第10讲_游戏策略
第十讲游戏策略对策论又称博弈论，研究的现象与政治、经济、军事乃至人们的日常生活学习都有密切的联系．一般地，在具有竞争或对抗性质的行为中，参加竞争对抗的各方具有不同的目标．为了达到各自的目标，各方既要制定出对自己最有利的方案，又要考虑到对手所有可能采取的方案．对策论就是研究竞争对抗中各方是否存在最佳行动方案，以及如何找到这个最佳方案．我们将要学习的对策问题，主要是研究在两人的游戏过程中如何使自己取胜的策略问题．如果说“统筹规划”所研究的是“死的”对象的话，那么“对策问题”所研究的就是一个“活的”对手，因而在考虑问题时需要设想对手可能采取的各种方案，并使己方的策略能在对手所有可能采取的方案中都处于有利位置，我们将这种状态称作“必胜状态”（否则称为“必败状态”）．那么在给定的游戏规则下，是否存在必胜状态，以及为了达到必胜状态所采取的策略就成了问题的关键．需要强调的是，我们的目标不是“可能胜”，而是“必胜”！我们不能存在侥幸心理，不能寄希望于对方的失误，而是要在假定双方都足够聪明的前提下寻找必胜策略．例题1有12枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定甲先取，每人每次至少取1枚，最多取3枚．如果谁取走最后一枚棋子谁赢，那么谁有必胜策略？如果谁取走最后一枚棋子谁输，那么谁有必胜策略？必胜策略是什么？「分析」直接考虑12枚棋子并不容易，大家不妨试试棋子较少时谁有必胜策略，看看能否找到规律．练习1有15枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定甲先取，每人每次至少取1枚，最多取2枚．如果谁取走最后一枚棋子谁赢．那么谁有必胜策略？如果谁取走最后一枚棋子谁输，那么谁有必胜策略？必胜策略是什么？情况很复杂时，我们往往需要先从比较简单的情况开始尝试，在逐渐变复杂的过程中，寻找规律进而解决题目．这其实是一种非常重要的数学思想，高年级乃至往后的数学学习中应用的递推、数学归纳法等都是以此为基础的．利用互补的想法，我们有更一般的结论．“有m枚棋子，两人轮流取棋子，规定每人每次可以取走1至n枚，直到把棋子取完为止，谁取得最后的一枚棋子n+的余数枚棋子，让对方面对谁胜．”其取胜策略是：每次取走棋子数除以()1()1n+的倍数枚棋子——必败状态，则可保证取到最后的一枚棋子而获胜．现有2014根火柴．甲、乙两个人轮流从中取出火柴，规定甲先取，每人每次至少从中取出2根，最多取出4根．如果谁无法取出火柴谁就赢，请问谁一定能赢？策略是什么？「分析」本题中每人每次最少要取出2根火柴，如果恰好剩下1根火柴，就已经无法再次取出了．能否像例题1那样，从火柴较少的情况入手，找出规律呢？练习2现有2009个糖豆，甲、乙两个人轮流取从中出糖豆，每次至少从中取出2个，最多取出5个，谁无法取出糖豆谁就赢．如果甲先取，请问谁一定能赢？策略是什么？在一定能分出胜负的对策问题中，一方要么处于必胜状态，要么处于必败状态．处于必胜状态的一方，总能进行一次适当的操作后，把必败状态留给对手．反之，处于必败状态的一方，无论采取什么策略，都只能把必胜状态留给对手．在很多对策问题中，具有对称性的状态往往是解决问题的关键．例题3甲、乙两人玩一个游戏：有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取，个数不为零即可．规定取到最后一个球的人赢，甲先取球．如果开始时两堆分别有五个球和八个球，那么谁有必胜策略？请说明理由．「分析」直接考虑5个和8个并不容易，你能像之前一样，从最简单的情况开始分析，找到规律吗？练习3甲、乙两个海盗分金币：有两堆金币，一堆有2009枚，一堆有2014枚．甲、乙轮流从中拿金币，每次只能从同一堆中拿，个数不为零即可．规定拿到最后一枚金币的人获胜，胜者可以获得所有金币．如果甲先拿，那么谁有必胜策略？请说明理由．如下图，方格A 中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45°角走1步，最终将棋子走到方格B 的人获胜．请问：谁一定能获胜？必胜策略是什么？「分析」在棋盘中，有一些是必胜格，有一些是必败格．一方想要获胜，必须每次都把棋子走到必胜格子中，使得对手下一步无论采取什么操作，都不得不进入必败格子．本题中方格B 就是必胜格．那么其他的格子中哪些是必胜格？哪些是必败格？练习4如右图，方格A 中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45°角走1步，最终将棋子走到方格B 的人获胜．请问：谁有必胜策略？必胜策略是什么？例题5如下图，方格A 中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45 角走1步，最终将棋子走到方格B 的人获胜．请问：（1）谁一定能获胜？必胜策略是什么？ （2）如果每次允许往同一方向（上、右或右上）走任意多步，结果又如何呢？「分析」第（1）问中，每次只能走1步，那么B 为必胜格，则它相邻的左、下、左下三个格子全是必败格；第（2）问中，每次可以走任意多步，那么B 为必胜格，则由B 可以直接找出多少个必败格呢？例题6桌上有一块巧克力，它被直线划分成3行7列的21个小方块，如图所示．现在让你和对手进行一种两人轮流切巧克力的游戏，规则如下：①每人每次只许沿一条直线把巧克力切成两块；②拿走其中一块，把另一块留给对手再切；③不断重复前两步，最后谁能恰好留给对手一个小方块，谁获胜．如果你首先切巧克力，那么你第一次应该切走多少个小方块，才能保证自己最后获胜？「分析」直接分析并不容易，还是先来看看简单情况吧！如果只有一行或一列的小方块，谁会获胜？两行或两列呢？你能发现什么规律呢？在对策问题中，要想取得胜利，必须使自己能始终保持在必胜状态中，而使对手总是处于必败状态．明确了这一点，我们就知道了解决对策问题的关键在于弄清楚什么是必胜状态，什么是必败状态．“知己知彼，百战不殆．”哪一方的策略更胜一筹，哪一方就会取得最终的胜利．课堂内外田忌赛马田忌很喜欢赛马．有一回他和齐威王约定，进行一次比赛．将马分成上、中、下三等，比赛的时候，上等马对上等马，中等马对中等马，下等马对下等马．由于齐威王每个等级都比田忌的强，三场比下来，田忌都失败了．田忌觉得很扫兴，垂头丧气地准备离开赛马场．这时，田忌发现，他的好朋友孙膑也在人群里．孙膑招呼田忌过来，拍着他的肩膀，说：“从刚才的情形看，齐威王的马比你的马快不了多少呀……”孙膑还没说完，田忌瞪了他一眼，说：“想不到你也来挖苦我！”孙膑说：“我不是挖苦你，你再同他赛一次，我有办法让你取胜．”田忌疑惑地看着孙膑：“你是说另换几匹马？”孙膑摇摇头，说：“一匹也不用换．”田忌没有信心地说：“那还不是照样输！”孙膑胸有成竹地说：“你就照我的主意办吧．”齐威王正在得意洋洋地夸耀自己的马，看见田忌和孙膑过来了，便讥讽田忌：“怎么，难道你还不服气？”田忌说：“当然不服气，咱们再赛一次！”齐威王轻蔑地说：“那就来吧！”一声锣响，赛马又开始了．孙膑让田忌先用下等马对齐威王的上等马，第一场输了．接着进行第二场比赛．孙膑让田忌拿上等马对齐威王的中等马，胜了第二场．齐威王有点儿心慌了．第三场，田忌拿中等马对齐威王的下等马，又胜了一场．这下，齐威王目瞪口呆了．比赛结果，田忌胜两场输一场，赢了齐威王．还是原来的马，只调换了一下出场顺序，就可以转败为胜．作业1.10枚正面朝下的硬币排成一排放在桌子上，两个小朋友玩翻硬币游戏．规定：每人每次只能翻动一枚或两枚硬币使之正面朝上，翻过的硬币不能再翻．两人轮流翻硬币，翻动最后一枚硬币的人获胜．请问：谁有必胜策略？必胜策略是什么？2.现有200个石子．甲、乙两个人轮流从中取出石子，每次最少从中取出2个，最多取出4个，谁无法取出石子谁就赢．如果甲先取，那么谁有必胜的策略？必胜策略是什么？3.甲、乙两人玩一个游戏：有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取任意多个，但不能不取．规定取到最后一个球的人输，甲先取球．（1）如果开始时两堆各有两个球，那么谁有必胜策略？请说明理由；（2）如果开始时两堆分别有两个球和三个球，那么谁有必胜策略？请说明理由．4.甲、乙二人轮流在一个正十二边形中画对角线（即两个不相邻顶点的连线）．规定新画的对角线不能与已经画出的对角线相交，谁不能继续画谁输．甲先画，请问谁有必胜策略？必胜策略是什么？\5.如下图所示，方格A中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45 角走1步，最终将棋子走到方格B的人获胜．请问：谁一定能获胜？必胜策略是什么？第十讲游戏策略1.例题1答案：（1）乙有必胜策略；（2）甲有必胜策略详解：（1）如果剩不到4枚棋子，先取的人把所有棋子取走后获胜；如果剩4枚棋子，无论先取的人如何取，所剩的棋子数都不到4枚，所以后取的人获胜；如果有12枚棋子，甲取1枚时乙取3枚，甲取2枚时乙取2枚，甲取3枚时乙取1枚，在每次甲取完后，乙可以取适当数量的棋子以保证两人一个回合共取4枚棋子，这样乙可以拿到最后1枚，乙胜．（2）如果剩1枚，那么先取的人必败；如果剩2至4枚，先取的人可以剩1枚不取，所以后取的人败．12枚的情况与4枚的情况类似，甲先取3枚，剩下9枚．之后乙取1枚时甲取3枚，乙取2枚时甲取2枚，乙取3枚时甲取1枚，甲保证两人一个回合共取4枚棋子．最后1枚必然被乙拿到，甲胜．2.例题2答案：甲有必胜策略详解：根据上题经验，第二个人总可以保证和第一个人共取6根火柴，201463354÷=L L，所以2014根火柴的情况与4枚火柴的情况相同．4枚火柴时甲先取2根火柴即可获胜，因此2014根火柴时甲也先取2根火柴，之后乙无论怎么取，甲再取时都可以保证两人一个回合共取6根火柴．()-÷=L L，最后剩下的2根火柴留给了乙，甲无法取出火柴，甲获胜．20142633523.例题3答案：甲必胜详解：甲先从8个球的那堆中取出三个球，使得两堆球一样多．之后每次乙取几个球，甲就在另一堆中取相同数量的球，甲获胜．4.例题4答案：甲必胜详解：我们给必胜格子（如方格B）标记“√”，给必败格子标记“×”．从方格B逆推，能一步走到B的格子都要标记“×”．特别地，最上边一行和最右边一列为“√”和“×”相间的标记，如左图．对于左图中的格子1和格子3，对方有办法把它移到必胜格子中，所以格子1和格子3都是必败格子．如果把棋子移到格子2中，对手无论怎么移，都只能移到必败格子中，因此格子2是必胜格子．用类似的方法分析，得到右图．因此甲有必胜策略，每次把棋子移到标有“√”的格子中即可．5.例题5答案：（1）甲必胜；（2）甲必胜详解：（1）我们给必胜格子（如方格B）标记“√”，给必败格子标记“×”．从方格B逆推，能一步走到B 的格子都要标记“×”．特别地，最上边一行和最右边一列为“√”和“×”相间的标记，如左图．对于左图中的格子1和格子3，对方有办法把它移到必胜格子中，所以格子1和格子3都是必败格子．如果把棋子移到格子2中，对手无论怎么移，都只能移到必败格子中，因此格子2是必胜格子．用类似的方法分析，得到右图．因此甲有必胜策略，每次把棋子移到标有“√”的格子中即可．（2）与第（1）问方法类似，得到下图．甲有必胜策略，每次把棋子移到标有“√”的格子中即可．6.例题6答案：切走12个小方块详解：当只剩1行（或1列）时，但不是一个小方块，先切的人只要切剩下一个小方块就赢了． 当剩2行（或2列）时，如果剩22⨯的方块，那么先切的人切完后成为12⨯的方块，所以后切的人必胜；如果剩23⨯、24⨯、…等情况，先切的人只要切剩下一个22⨯的方块就可以取胜． 当剩3行（或3列）时，如果剩33⨯的方块，先切的人切一刀后只能剩下13⨯或23⨯的方块，此时后切的人获胜．当有37⨯块时，先切的人切走3412⨯=块，给对手留下一个33⨯的正方形，接着每次都给对手留下一个11⨯或22⨯的正方形即可获胜． 7.练习1答案：（1）乙必胜；（2）甲必胜详解：（1）甲取1枚时乙取2枚，甲取2枚时乙取1枚，乙只要保证两人一个回合共取3枚棋子，即可拿到最后1枚获胜．（2）甲先取2枚，剩下13枚．之后乙取1枚时甲取2枚，乙取2枚时甲取1枚，甲保证两人一个回合共取3枚棋子，最后1枚必然被乙拿到，甲胜． 8.练习2 答案：甲必胜详解：()200925287÷+=，甲先取5个糖豆，之后乙无论怎么取，甲再取时都可以保证两人一个回合共取7个糖豆，最后剩下的2个糖豆留给了乙，甲无法再次取出糖豆，甲获胜．9.练习3答案：甲必胜简答：甲先从2014个金币中取出5个金币，使两堆金币一样多．之后每次乙拿几个金币，甲就在另一堆中拿相同数量的金币，最后肯定甲拿走最后一个金币，甲获胜．10.练习4答案：甲必胜简答：策略是每次把棋子走到下图中标有“√”的格子内．11.作业1答案：先翻动的人必胜简答：先翻硬币的小朋友翻1枚硬币，以后对手翻1枚时自己翻2枚，对手翻2枚时自己翻1枚，保证两人一个回合共翻3枚，即可保证自己翻到最后1枚．12.作业2答案：乙必胜简答：甲取2个乙就取4个，甲取3个乙也取3个，甲取4个乙就取2个．2006332÷=L L，最后剩下2个石子，甲取完，乙无法再取，乙获胜．13.作业3答案：（1）乙必胜；（2）甲必胜简答：（1）甲取1个乙就取2个，甲取2个乙就取1个．（2）必胜策略是从三个球的那堆中取1个球，之后乙取1个甲就取2个，乙取2个甲就取1个．14.作业4答案：甲必胜简答：策略是先画一条经过正十二边形中心的对角线，以它为对称轴，把图形分成对称的两部分．之后乙每画一条对角线，甲就在对称的位置上画出对角线．最后肯定是乙不能继续画，甲胜．15.作业5答案：乙必胜简答：策略是每次把棋子走到下图中标有“√”的格子内．。
(完整版)小学数学奥数基础教程(六年级)目30讲全
小学奥数基础教程(六年级)第1讲比较分数的大小第2讲巧求分数第3讲分数运算的技巧第4讲循环小数与分数第5讲工程问题(一)第6讲工程问题(二)第7讲巧用单位“1”第8讲比和比例第9讲百分数第10讲商业中的数学第11讲圆与扇形第12讲圆柱与圆锥第13讲立体图形(一)第14讲立体图形(二)第15讲棋盘的覆盖第16讲找规律第17讲操作问题第18讲取整计算第19讲近似值与估算第20讲数值代入法第21讲枚举法第22讲列表法第23讲图解法第24讲时钟问题第25讲时间问题第26讲牛吃草问题第27讲运筹学初步（一）第28讲运筹学初步（二）第29讲运筹学初步（三）第30讲趣题巧解第一讲比较分数的大小同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。
比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。
对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。
第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。
由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。
下面我们介绍另外几种方法。
1.“通分子”。
当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。
如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。
2.化为小数。
这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。
但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。
3.先约分，后比较。
有时已知分数不是最简分数，可以先约分。
4.根据倒数比较大小。
5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。
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学而思教材目录一年级寒假班：第一讲：突破加减竖式第二讲：巧填算符初步第三讲：剪拼图形第四讲：图文代换第五讲：巧移物体第六讲：左右脑开发3（逻辑推理）第七讲：期末测评二年级寒假班：第一讲：认识倍第二讲：带余除法初步第三讲：有趣的自然数串第四讲：分割图像第五讲：枚举法的妙用第六讲：鸡兔同笼初步第七讲：期末测评三年级寒假班：第一讲：角度初识第二讲：速算与巧算之四则运算第三讲：字母表示数第四讲：和差倍第五讲：倒退与图示第六讲：方阵第七讲：期末测评三年级春季班：第一讲：巧填算符第二讲：小数的认识第三讲：平行四边形与梯形第四讲：年龄问题第五讲：带余除法初步第六讲：简单统计第七讲：图形计数初步第八讲：组合中的点线关系第九讲：等差数列初步第十讲：页码问题第十一讲：标数法第十二讲：简易方程第十三讲：简易方程应用第十四讲：路程速度与时间第十五讲：期末测评四年级暑假班：第一讲：简单抽屉原理第二讲：奇数和偶数第三讲：二次相遇问题第四讲：应用题：假设法和还原法（鸡兔同笼，还原问题，方阵综合应用）第五讲：应用题：图示法和对应法（年龄，盈亏，平均数综合）第六讲：图形计数进阶第七讲：余数和周期第八讲：四边形中的基本图形第九讲：体育比赛中的数学第十讲：期末测评四年级秋季班：第一讲：定义新运算第二讲：体育比赛中的数学问题第三讲：图形计数进阶第四讲：多位数计算第五讲：等积变型第六讲：一半模型第七讲：最值问题初步第八讲：数阵图初步—从幻方谈起第九讲：平均数进阶第十讲：破译乘除法竖式第十一讲：方程和方程组第十二讲：方程组解应用题第十三讲：环形跑道第十四讲：火车过桥第十五讲：期末测评四年级寒假班：第一讲：小数巧算第二讲：格点与割补第三讲：数表从日历谈起第四讲：第五种运算（乘方的认识，运算性质，平方差认识）第五讲：质数合数初步第六讲：包含与排除第七讲：期末测评四年级春季班：第一讲：等积变形第二讲：整数与数列第三讲：统筹和最优化第四讲：加乘原理进阶第五讲：最值问题进阶第六讲：抽屉原理初步第七讲：流水行船第八讲：方程与方程组第九讲：一半模型第十讲：相遇与追及综合第十一讲：平移、选择和对称第十二讲：破译横式（奇偶分析，枚举试算）第十三讲：进位制初步第十四讲：数阵图进阶第十五讲：期末测评五年级暑假班：第一讲：分数乘除第二讲：分数加减第三讲：棋盘中的数学第四讲：枚举法进阶。
国际象棋教学ppt讲义
第09讲 基本残局—双象杀王
双象杀王
1、把对方K赶到四个角落才能杀王； 2、两个B “并排作战”； 3、小心逼和。
12
第10讲 基本残局—单兵升变
单兵升变
1、对方要先手对王，保持不败； 顶住对方的兵。
2、兵方要先手对王，可赢得胜利； 3、正方形法则：
先走到正方形区，可追上升变的兵 注意：1、正方形区域内没有阻挡若方
（1）过路兵：起始兵走两步与对方的兵在同一条直线上，对方可立即吃掉； （必须是起始走两步，必须吃，走两步时，越过了对方控制线）
（2）王翼易位（短易位）：王走2步，车走2步 0-0
后翼易位（长易位）：王走2步，车走3步 0-0-0
易位条件 1）王和车都没动过；
2）易位是不能越过对方控制线（对方在经过的格有将军）；
3、马象联合杀王
4、底线闷杀
5、车象联合杀王
6、后车杀王
R、Q 均可
5
第04讲 棋局胜负—十大杀势
7、后象杀王
8、车马杀王
9、车兵杀王
10、后兵杀王
6
第05讲 棋局的平局（和棋）
1、理论和棋，双方都无力将杀对方，如各剩王及象和王； （1）单方是单B、单N都赢不了； （2）双N将不死单王（理论上）； （3）都只剩K和棋；
3）被将军是不能易位；
4）中间有棋子是不能易位；
5）易位后被将军不能易位。
8
第06讲 棋子的价值及特殊走法(2)
易位的目的： 1、保护王的安全； 2、R能尽早投入战斗。
（3）兵的升变 当兵达到次底线（对方下二路），再往前走一步即可升变 可升变成B、N、R、Q
9
第07讲 基本残局—单后及双车杀王
单后杀王
Hale Waihona Puke 双车杀王1、Q和K 形成“马”步格；
第10讲_游戏策略
第十讲游戏策略对策论又称博弈论，研究的现象与政治、经济、军事乃至人们的日常生活学习都有密切的联系．一般地，在具有竞争或对抗性质的行为中，参加竞争对抗的各方具有不同的目标．为了达到各自的目标，各方既要制定出对自己最有利的方案，又要考虑到对手所有可能采取的方案．对策论就是研究竞争对抗中各方是否存在最佳行动方案，以及如何找到这个最佳方案．我们将要学习的对策问题，主要是研究在两人的游戏过程中如何使自己取胜的策略问题．如果说“统筹规划”所研究的是“死的”对象的话，那么“对策问题”所研究的就是一个“活的”对手，因而在考虑问题时需要设想对手可能采取的各种方案，并使己方的策略能在对手所有可能采取的方案中都处于有利位置，我们将这种状态称作“必胜状态”（否则称为“必败状态”）．那么在给定的游戏规则下，是否存在必胜状态，以及为了达到必胜状态所采取的策略就成了问题的关键．需要强调的是，我们的目标不是“可能胜”，而是“必胜”！我们不能存在侥幸心理，不能寄希望于对方的失误，而是要在假定双方都足够聪明的前提下寻找必胜策略．例题1. 有12枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定甲先取，每人每次至少取1枚，最多取3枚．如果谁取走最后一枚棋子谁赢，那么谁有必胜策略？如果谁取走最后一枚棋子谁输，那么谁有必胜策略？必胜策略是什么？「分析」直接考虑12枚棋子并不容易，大家不妨试试棋子较少时谁有必胜策略，看看能否找到规律．练习1.有15枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定甲先取，每人每次至少取1枚，最多取2枚．如果谁取走最后一枚棋子谁赢．那么谁有必胜策略？如果谁取走最后一枚棋子谁输，那么谁有必胜策略？必胜策略是什么？情况很复杂时，我们往往需要先从比较简单的情况开始尝试，在逐渐变复杂的过程中，寻找规律进而解决题目．这其实是一种非常重要的数学思想，高年级乃至往后的数学学习中应用的递推、数学归纳法等都是以此为基础的．利用互补的想法，我们有更一般的结论．“有m枚棋子，两人轮流取棋子，规定每人每次可以取走1至n枚，直到把棋子取完为止，谁取得最后的一枚棋子n+的余数枚棋子，让对方面对谁胜．”其取胜策略是：每次取走棋子数除以()1()1n+的倍数枚棋子——必败状态，则可保证取到最后的一枚棋子而获胜．例题2现有2014根火柴．甲、乙两个人轮流从中取出火柴，规定甲先取，每人每次至少从中取出2根，最多取出4根．如果谁无法取出火柴谁就赢，请问谁一定能赢？策略是什么？「分析」本题中每人每次最少要取出2根火柴，如果恰好剩下1根火柴，就已经无法再次取出了．能否像例题1那样，从火柴较少的情况入手，找出规律呢？练习2现有2009个糖豆，甲、乙两个人轮流取从中出糖豆，每次至少从中取出2个，最多取出5个，谁无法取出糖豆谁就赢．如果甲先取，请问谁一定能赢？策略是什么？在一定能分出胜负的对策问题中，一方要么处于必胜状态，要么处于必败状态．处于必胜状态的一方，总能进行一次适当的操作后，把必败状态留给对手．反之，处于必败状态的一方，无论采取什么策略，都只能把必胜状态留给对手．在很多对策问题中，具有对称性的状态往往是解决问题的关键．例题3. 甲、乙两人玩一个游戏：有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取，个数不为零即可．规定取到最后一个球的人赢，甲先取球．如果开始时两堆分别有五个球和八个球，那么谁有必胜策略？请说明理由．「分析」直接考虑5个和8个并不容易，你能像之前一样，从最简单的情况开始分析，找到规律吗？练习3甲、乙两个海盗分金币：有两堆金币，一堆有2009枚，一堆有2014枚．甲、乙轮流从中拿金币，每次只能从同一堆中拿，个数不为零即可．规定拿到最后一枚金币的人获胜，胜者可以获得所有金币．如果甲先拿，那么谁有必胜策略？请说明理由．例题4如下图，方格A中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45°角走1步，最终将棋子走到方格B的人获胜．请问：谁一定能获胜？必胜策略是什么？「分析」在棋盘中，有一些是必胜格，有一些是必败格．一Array方想要获胜，必须每次都把棋子走到必胜格子中，使得对手下一步无论采取什么操作，都不得不进入必败格子．本题中方格B就是必胜格．那么其他的格子中哪些是必胜格？哪些是必败格？练习4. 如右图，方格A 中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45°角走1步，最终将棋子走到方格B 的人获胜．请问：谁有必胜策略？必胜策略是什么？例题5如下图，方格A 中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45 角走1步，最终将棋子走到方格B 的人获胜．请问：（1）谁一定能获胜？必胜策略是什么？（2）如果每次允许往同一方向（上、右或右上）走任意多步，结果又如何呢？「分析」第（1）问中，每次只能走1步，那么B 为必胜格，则它相邻的左、下、左下三个格子全是必败格；第（2）问中，每次可以走任意多步，那么B 为必胜格，则由B 可以直接找出多少个必败格呢？例题6桌上有一块巧克力，它被直线划分成3行7列的21个小方块，如图所示．现在让你和对手进行一种两人轮流切巧克力的游戏，规则如下：①每人每次只许沿一条直线把巧克力切成两块； ②拿走其中一块，把另一块留给对手再切； ③不断重复前两步，最后谁能恰好留给对手一个小方块，谁获胜． 如果你首先切巧克力，那么你第一次应该切走多少个小方块，才能保证自己最后获胜？「分析」直接分析并不容易，还是先来看看简单情况吧！如果只有一行或一列的小方块，谁会获胜？两行或两列呢？你能发现什么规律呢？在对策问题中，要想取得胜利，必须使自己能始终保持在必胜状态中，而使对手总是处于必败状态．明确了这一点，我们就知道了解决对策问题的关键在于弄清楚什么是必胜状态，什么是必败状态．“知己知彼，百战不殆．”哪一方的策略更胜一筹，哪一方就会取得最终的胜利．田忌赛马田忌很喜欢赛马．有一回他和齐威王约定，进行一次比赛．将马分成上、中、下三等，比赛的时候，上等马对上等马，中等马对中等马，下等马对下等马．由于齐威王每个等级都比田忌的强，三场比下来，田忌都失败了．田忌觉得很扫兴，垂头丧气地准备离开赛马场．这时，田忌发现，他的好朋友孙膑也在人群里．孙膑招呼田忌过来，拍着他的肩膀，说：“从刚才的情形看，齐威王的马比你的马快不了多少呀……”孙膑还没说完，田忌瞪了他一眼，说：“想不到你也来挖苦我！”孙膑说：“我不是挖苦你，你再同他赛一次，我有办法让你取胜．”田忌疑惑地看着孙膑：“你是说另换几匹马？”孙膑摇摇头，说：“一匹也不用换．”田忌没有信心地说：“那还不是照样输！”孙膑胸有成竹地说：“你就照我的主意办吧．”齐威王正在得意洋洋地夸耀自己的马，看见田忌和孙膑过来了，便讥讽田忌：“怎么，难道你还不服气？”田忌说：“当然不服气，咱们再赛一次！”齐威王轻蔑地说：“那就来吧！”一声锣响，赛马又开始了．孙膑让田忌先用下等马对齐威王的上等马，第一场输了．接着进行第二场比赛．孙膑让田忌拿上等马对齐威王的中等马，胜了第二场．齐威王有点儿心慌了．第三场，田忌拿中等马对齐威王的下等马，又胜了一场．这下，齐威王目瞪口呆了．比赛结果，田忌胜两场输一场，赢了齐威王．还是原来的马，只调换了一下出场顺序，就可以转败为胜．作业1.10枚正面朝下的硬币排成一排放在桌子上，两个小朋友玩翻硬币游戏．规定：每人每次只能翻动一枚或两枚硬币使之正面朝上，翻过的硬币不能再翻．两人轮流翻硬币，翻动最后一枚硬币的人获胜．请问：谁有必胜策略？必胜策略是什么？2.现有200个石子．甲、乙两个人轮流从中取出石子，每次最少从中取出2个，最多取出4个，谁无法取出石子谁就赢．如果甲先取，那么谁有必胜的策略？必胜策略是什么？3.甲、乙两人玩一个游戏：有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取任意多个，但不能不取．规定取到最后一个球的人输，甲先取球．（1）如果开始时两堆各有两个球，那么谁有必胜策略？请说明理由；（2）如果开始时两堆分别有两个球和三个球，那么谁有必胜策略？请说明理由．4.甲、乙二人轮流在一个正十二边形中画对角线（即两个不相邻顶点的连线）．规定新画的对角线不能与已经画出的对角线相交，谁不能继续画谁输．甲先画，请问谁有必胜策略？必胜策略是什么？\5.如下图所示，方格A中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45 角走1步，最终将棋子走到方格B的人获胜．请问：谁一定能获胜？必胜策略是什么？。
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第十讲棋盘中的数学（一）
——什么是棋盘中的数学
所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1）），围棋盘（下图（2）），还有国际象棋棋盘（下图（3））．以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题．这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题．解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称棋盘中的数学．
作为开篇我们先解几道竞赛中的棋盘问题．
例1 这是一个中国象棋盘，（下图中小方格都是相等的正方形，“界河”的宽等于小正方形边长）．黑方有一个“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一个，红方有两个“相”，它们只能在8，9，10，11，12，13，14中的两个位置．
问：这三个棋子（一个黑“象”和两个红“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大？
解：我们设每个小方格的边长为1单位．则小方格正方形面积为1平方单位．
由于三个顶点都在长方形边上的三角形面积至多为这个长方形面积的一半．所以要比较三角形面积的大小，只要比较三角形的三个顶点所在边的外接长方形面积的大小就可见端倪．
直观可见，只须比较（3，10，12）或（2，10，12）与（3，10，13）或（2，12，14）这两类三角形面积就可以了．
顶点为（3，10，12）或（2，10，12）的三角形面积为：
1
×8×7=28；
2
顶点为（3，10，13）或（2，12，14）的三角形面积等于：
1
×9×6=27。
2
所以顶点在（2，10，12）或（3，10，12）时三角形面积最大．
答：黑“象”在2或3的位置，两个红“相”分别在10，12的位置时，以这三个棋子为顶点的三角形（2，10，12）或（3，10，12）的面积最大，如下图所示．
说明：本题是以棋盘格点为基础组成图形计算面积．其实，这类问题所在多有，我们把m×n的方格阵称为广义棋盘，则可以设计出许多这类的问题．例2 下左图是一个围棋盘，另有一堆围棋子，将这堆棋子往棋盘上放，当按格点摆成某个正方阵时，尚多余12枚棋子，如果要将这个正方阵改摆成每边各加一枚棋子的正方阵，则差9枚棋子才能摆满．
问：这堆棋子原有多少枚？
解：第一次排方阵剩余12枚，加上第二次排方阵所不足的9枚，恰是原正方阵扩大后“贴边”的部分（如上右图所示），共21枚，它恰是原正方阵每边棋子数与“扩阵”每边棋子数之和．恰是两个相邻自然数之和，所以原正方阵每边10枚棋子，新正方阵每边11枚棋子．这堆棋子总数是
102＋12=112枚
答：这堆棋子原有112枚．
说明：本题也可以列方程求解．
设原正方阵每边m枚棋子，由题意得：
（m＋1）2－9＝m2＋12．
即2m＋1＝21，
解得m＝10．
所以棋子总数为102＋12＝112枚．
本题与围棋盘并无本质联系，问题可改述为“一堆棋子若摆成一个实心方阵，剩余12粒棋子，若改摆每边各加一枚的方阵，则差9枚棋子，问这堆棋子原有多少枚？”应用围棋盘显得更加直观、具体．
例3 如下左图是一个国际象棋棋盘，A处有只蚂蚁，蚂蚁只能由黑格进入白格再由白格进入黑格这样黑白交替地行走，已经走过的格子不能第二次进入．请问，蚂蚁能否从A出发，经过每个格子最后返回到A处？若能，请你设计一种路线，若不能，请你说明理由．
解：这种爬行路线是存在的．具体的设计一条，如上右图所示．
例4 在8×8的方格棋盘中，如下图所示，填上了一些数字1，2，3，4．试将这个棋盘分成大小和形状都相同的四块，并且每块中都恰有1、2、3、4四个数字．
分析注意这个正方形的面积是8×8＝64个平方单位，因此切分后的每一块的面积为16个平方单位，即由16个小方格组成．
解：①将两个并列在一起的“4”分开，先画出这段划分线，并将它分别绕中心旋转90°，180°和270°，得到另外三段划分线，如下图（1）所示．
②仿照上述方法，画出所有这样的划分线，如上图（2）所示．
③从最里层开始，沿着画出的划分线作设想分块，如上图（3），这个分块中要含1，2，3，4各一个，且恰为16块小方格．
④将上面的阴影部分绕中心旋转180°，可以得到符合条件的另一块，空白部分的两块也符合条件，所求的划分如上页图（4）所示．
例5 国际象棋的棋盘有64个方格，有一种威力很大的棋子叫“皇后”，当它放在某格上时，它能吃掉此格所在的斜线和直线上对方的棋子，如下左图上虚线所示．如果有五个“皇后”放在棋盘上，就能把整个棋盘都“管”住，不论对方棋子放在哪一格，都会被吃掉．
请你想一想，这五个“皇后”应该放在哪几格上才能控制整个棋盘？
解：本题是构造性的题目．用五个子管住六十四格，如上右图所示就是一种放置皇后的方案．
例6 如下图是半张棋盘，请你用两个车、两个马、两个炮、一个相和一个兵这八个子放在这半个棋盘上，使得其余未被占据的点都在这八个点的控制之下（要符合象棋规则，“相”走田字，只能放在“相”所能到的位置，同样“兵”也只能放在“兵”所能到的位置．马走“日”字，“车”走直线，“炮”隔子控制等）．
解：这仍是一个占位问题，只需要把指出的几个子排布成所要求的阵势即可，如下图所示．
本节我们初步看到了一些棋盘问题，它们的特点是：
①以棋盘为背景提出各种问题，无论围棋盘、中国象棋盘或是国际象棋盘．更为一般的提法是m×n方格上的数学问题．
②这些问题有面积计算，图形分割，棋子计数，棋子布局等各种类型，这些问题一般属于智巧类的问题或更深一步的组合数学问题。
习题十
1．在4×4的棋盘中每一格分别填入字母A、B、C、D．要求每行、每列、
两条斜线的四个格都恰有A、B、C、D各一个．
2．把A、B、C、D四个棋子放在4×4的棋盘的方格里，使每行每列只能出现一个棋子．问共有多少种不同的放法？
3．下图是16×16棋盘，每个小正方格面积都是1，求图中这只狗所占的图形的面积．
4．中国象棋规定马走“日”字．定义：在中国象棋盘上从点A到B马走的最少步数称为A与B的马步距离，记作｜AB｜m．如下图在3×3的棋盘格中，标出了A、B、C、D、E五个点，则在｜AB｜m，｜AC｜m，｜AD｜m，｜AE｜
中最大者是多少？最小者是多少？
m
5．在6×6的棋盘中至少要放入多少个棋子，（每个小方格内至多放一个），才能使得随意划掉3行3列上的棋子后，在剩下的方格中至少要留有一枚棋子？。