例谈生活中的不等式

例谈生活中的不等式
在实际生活中，常常涉及到不等式的应用问题，通过解决这些实际问题，可使我们认识到现实生活中蕴涵着大量的数学信息，数学知识无处不在.
例1国际上广泛使用“身体体重指数”（BMI ）作为判断人体健康状况的一个指标：这个指数B 等于人体的体重G （千克）除以人体身高h （米）的平方所得的商.
国内健康组织参考标准
（1）写出身体体重指数B 与G 、h 之间的关系式；
（2）如上表是国内健康组织提供的参考标准，若林老师体重G=78千克，身高h=1.75米，问他的体型属于哪一种？
（3）赵老师的身高位1.7米，那么他的体重在什么范围内属于正常？
解析: (1)根据指数B 等于人体的体重G （千克）除以人体身高h （米）的平方所得的商,得B=2
h G . (2)由B=
2h G =47.2575.1782 .对比表中参数可知林老师属于超重; (3)由20≤B<25,得20≤2h G <25,即20≤27.1G <25,解得57.8≤G<72.25. 所以赵老师的正常体重应在57.8千克至72.25千克之间.
评注:关注健康就是关注生命.本题以人的身体体重指数与健康之间的关系,编拟的一道数学问题.
例2 喷灌是一种先进的田间灌水技术，雾化指标P 是它的技术要素之一，当喷嘴的直径为d （mm ），喷头的工作压强为h(kp a )时，雾化指标P ＝100h/d.对果树喷灌时要求3000≤P ≤4000，若d ＝4mm,求h 的范围
解析： 由题意，得300≤4
100h ≤4000，解得120≤h ≤160.
评注：本题是一道和其他学科结合在一些的生活中的不等式应用问题.通过试题的解决，可以领略到高科技与数学知识的密切联系.
例3 在公路上.我们常看到以下不同的交通标志图形，它们有着不同的意义，如果设汽车载重为x ，速度为y ，宽度为l ，高度为h ，请你用不等式表示图中各种标志的意义.
限重 限宽 限高 限速
解：由题意可知，限重、限高、限宽、限速中的“限”的意义就是不超过，所以x ≤5.5t,y ≤30km,l ≤2m,h ≤3.5m.
评注:生活中的图像、徽标等信息，已成为考试中的一种素材题，解决这类题目，需要将图像信息转化为数学语言.通过本题使我们认识到关注身边的数学的重要性.
例4小王家里装修，他去商店买灯，商店柜台里现有功率为100瓦的白炽灯和40瓦的节能灯，它们的单价分别为2元和32元，经了解知这两种灯的照明效果和使用寿命都一样. 已知小王家所在地的电价为每度0.5元，请问当这两种灯的使用寿命超过多长时间时，小王选择节能灯才合算. [用电量（度）=功率（千瓦）×时间（时）
分析:解决本题要理解选节能灯合算,就是选择节能灯总的费用比白炽灯总的费用少. 解:设使用寿命为x 小时,选择节能灯才合算,根据题意,得
x x 1000
405.03210001005.02⨯+>⨯+, 解得x>1000.
即当这两种灯的使用寿命超过1000小时,小王选择节能灯才合算.
评注：创建节约型社会是每个公民的职责，通过解决本题，可使你懂得一些节约用电的知识，同时也体验了学好数学知识的重要意义.
应用不等式解决生活问题
一元一次不等式的在生活的应用十分广泛,涉及到社会生活和生产的方方面面, 为了更好的运用所学知识解决实际问题使学有所用，下面和同学们欣赏07年中考中的应用问题。

一、进货方案设计型
例1、某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半．电视机与洗衣机的进价和售价如下表：
计划购进电视机和洗衣机共100台，商店最多可筹集资金161 800元．
（1）请你帮助商店算一算有多少种进货方案？（不考虑除进价之外的其它费用）
（2）哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多？并求出最多利润．（利润＝售价－进价）
解：（1）设商店购进电视机x 台，则购进洗衣机（100－x ）台，根据题意，得
1(100),218001500(100)161800.
x x x x ⎧≥-⎪⎨⎪+-≤⎩ ，解不等式组，得 1333≤x ≤1393．
即购进电视机最少34台，最多39台，商店有6种进货方案．
（2）设商店销售完毕后获利为y 元，根据题意，得 y ＝（2000－1800）x ＋(1600－1500)(100－x )＝100x ＋10000．
∵ 100＞0，∴ 当x 最大时，y 的值最大．
即 当x ＝39时，商店获利最多为13900元
点评：本题是一道开方性的问题，不仅需要列一元一次不等式解决问题，而且要找出最佳解决方案。

二、租赁方案设计型：
例2、绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4
吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨．
（1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？
（2）若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则果农王灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？
解：（1）设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车（8－x）辆，依题意，得
4x + 2（8－x）≥20，且x + 2（8－x）≥12，
解此不等式组，得x≥2，且x≤4，即 2≤x≤4．
∵x是正整数，∴x可取的值为2，3，4．
因此安排甲、乙两种货车有三种方案：
甲种货车乙种货车
方案一2辆6辆
方案二3辆5辆
方案三4辆4辆
（2）方案一所需运费 300×2 + 240×6 = 2040元；
方案二所需运费 300×3 + 240×5 = 2100元；
方案三所需运费 300×4 + 240×4 = 2160元．
所以王灿应选择方案一运费最少，最少运费是2040元．
点评：本题要列出不等式组，并要根据实际问题设计合理方案，注意方案最优化的选择。

三、购物方案设计型：
例3、某博物馆的门票每张10元，一次购买30张到99张门票按8折优惠，一次购买100张以上（含100张）门票按7折优惠．甲班有56名学生，乙班有54名学生．（1）若两班学生一起前往该博物馆参观，请问购买门票最少共需花费多少元？
（2）当两班实际前往该博物馆参观的总人数多于30人且不足100人时，至少要有多少人，才能使得按7折优惠购买100张门票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜？
解：（1）当两个班分别购买门票时，甲班为56×10×0.8＝448（元）；乙班为54×10×0.8＝432（元）；所以两班分别购买门票共需花费880元．
当两个班一起购买门票时，甲、乙两班共（56＋54）×10×0.7＝770（元）．
（2）当多于30人且不足100人时，设有x人前往参观，才能使得按7折优惠购买100张门
票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜，根据题意，得，
解这个不等式组，得.
所以，当多于30人且不足100人时，至少有88人前往参观，才能使得按7折优惠购买100张门票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜.
四、生活娱乐问题型
例4、小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸体重为69千克，坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小宝和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时爸爸的一端仍然着地．后来小宝借来一副质量为6千克的哑铃，加在他和妈妈坐的一端，结果爸爸被跷起离地．小宝的体重可能是（ ）
Ａ．千克 Ｂ．千克 Ｃ．千克 Ｄ．千克 解:设小宝的体重是x 千克，则妈妈的体重是2x 千克.
由题意得,由此可以得出小宝的体重.
点评：本题较为新颖，只需列出不等式组即可获解。

温馨提示：以上几例可以看出，不等式应用题的取材广泛，内容丰富多彩，又紧密联系现实生活．解这类问题难点在于理清题意，寻找题目中的关键信息词，例如“不少于”、“不得超过”、“大于”、“小于”、“比……要节省”等，建立方程和不等式模型，从而解决实际问题.解答此类问题的关键是把实际问题与数学问题相联系，建立相应的数学模型.
30100,0.8101000.710.x x <<⎧⎨⨯>⨯⨯⎩87.5100x <<23.221.119.9
一道关于不等式的中考题赏析
近年来，在各地的中考试题中，常常出现一类利用不等式确定方案的题型。

解答这类题目，应先构建不等式的模型，通过确定未知数的取值来决定方案。

例（河南省课改区中考题）某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞。

现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示。

经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元。

(1)按该公司要求可以有几种购买方案？
(2)若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种购买方案？
解：（1）设购买甲种机器x台，则购买乙种机器（6－x）台，由题意，
得7x+5（6－x）≤34。

解这个不等式，得x≤2。

∵x是自然数，
∴x取0，1，2，三个值。

∴该公司按要求有以下三种购买方案：
方案一：不购买甲种机器，购买乙种机器6台；
方案二：购买甲种机器1台，乙种机器5台；
方案三：购买甲种机器2台，乙种机器4台。

（2）按方案一购买机器，所耗资金为6×5=30万元，新购买机器日生产量为6×60=360个；按方案二购买机器，所耗资金为1×7+5×5=32万元，新购买机
器日生产量为1×100+5×60=400个；按方案三购买机器，所耗资金为2×7+4×
5=34万元，新购买机器日生产量为2×100+4×60=440个。

因此，选择方案二既能达到生产力不低于380个的要求，又比方案三节约2万元资金。

故应选择方案二。

不等式应用题赏析
纵览全国各地市中考试题，以现实生活为背景，设计新颖的不等式应用题频频出现．当所给出的题目中出现“最多、最少、不低于、不超过、至多、至少”等关键词语时，常考虑借助不等式（组）来解决．解决这类问题的突破口是对题目中所给的条件进行分析，把题中所给的条件转化为相应的不等关系，然后根据题意，恰当设出未知数，列出不等式或不等式组进行求解．现撷取几例，分类进行解析．
一、利用不等式解决问题
例1 （福州课改）请你帮小健同学解答以下问题：
分析：解决此问题的关键是应理解“最多”的含义，即买辞典所花钱数（辞典单价×套数）＋买名著所花的钱数（名著单价×套数）≤总费用2 000元．而买名著的套数、单价和辞典单价均已确定，只需再设出辞典的套数，便可列出不等式，从而使问题获解．
解：设买辞典x 套．根据题意，得65×20＋40x ≤2000．解这个不等式，得x ≤17
2
1．因为x 为整数，所以x 的最大整数值为17．故最多还能买辞典17本．
二、利用不等式组解决问题
例2 （连云港）光明农场现有某种植物10 000kg ，打算全部用于生产高科技药品和保健食品．若生产高科技药品，1kg 该植物可提炼出0.01kg 的高科技药品，将产生污染物0.1kg ；若生产保健食品，1kg 该植物可制成0.2kg 的保健食品，同时产生污染物0.04kg ．已知每生产1kg 高科技药品可获利润5 000元，每生产1kg 保健食品可获利润100元．要使总利润不低于410 000元，所产生的污染物总量不超过880kg ，求用于生产高科技药品的该植物重量的范围．
分析：此题中存在两个关键词“不低于”、“不超过”，从而可得如下两个不等量关系：生产高科技药品的所获利润＋生产保健食品所获利润≥410 000；生产高科技药品所产生的污染学校准备用2000元购买名著和辞典作为科艺节的奖品，其中名著每套65元，辞典每本40元．现已购买名著20套，问最多还能买辞典
物量＋生产保健食品所产生的污染物量≤880．故可设出未知数，构建不等式组进行求解．
解：设用于生产高科技药品的该植物重量为x kg ，则用于生产保健食品的植物重量为)10000(x -kg.
根据题意，得 ⎩
⎨⎧≤-+≥-⨯+⨯.880)10000(04.01.0410000)10000(2.010001.05000x x x x ， 解得7000≤x ≤8000．
答：用于生产高科技药品的该植物重量不低于7 000kg 且不高于8 000kg ．
三、利用不等式与方程解决问题
例3（山东泰安）某“希望学校”为加强信息技术课教学，拟投资建一个初级计算机房和一个高级计算机房，每个机房只配置1台教师用机，若干台学生用机．现有厂方提供的产品推介单一份，如下表．
现知：教师配置CZXM 系列机型，学生配置CZXN 系列机型；所有机型均按八折优惠销售，两个机房购买计算机的钱数相等，并且每个机房购买计算机的钱数不少于20万元也不超过21万元．
请计算，拟建的两个机房各能配置多少台学生用机？
产品推介单
分析：由题意可得如下等量关系：购买初级机房学生用机的钱数=购买高级机房学生用机的钱数；不等量关系：20万元≤每个机房购买计算机的钱数≤21万元，设出恰当的未知多人交互
数便可列出方程和不等式，通过求其整数解，便可确定拟建的两个机房所能配置的学生用机台数．
解：设初、高级机房分别配置学生用机x台、y台．
由题意，得
(100004375)0.8(143758750)0.8 200000(100004375)0.8210000.
x y
x
+⨯=+⨯
⎧
⎨
+⨯
⎩
，≤≤
化简，得
21
54.957.7.
x y
x
-=
⎧
⎨
⎩
，
≤≤
从而26.928.4
y
≤≤．
x y
、只能取正整数，
55275728.
x y x y
∴====
，或，
答：初、高级机房各能配置学生用机55台、27台，或57台、28台．。