函数零点性质的应用

函数零点性质的应用

函数零点的性质不仅体现了函数与方程的紧密联系，而且有着广泛的应用． 应用一：判断方程是否存在实根

例1 判断方程3210x x -+=在区间[1

0]-，内有没有实根，并说明理由． 解析：设32()1f x x x =-+，则()f x 的图象是一条连续曲线．

∵32(1)(1)(1)110f -=---+=-<，32(0)00110f =-+=>，(1)

(0)0f f -<·． ∴()f x 在区间[1

0]-，内有零点，即方程3210x x -+=在[10]-，内有实根． 点评：要判断方程()0f x =是否存在实根，若无法直接求出根可判断对应的连续函数()y f x =的图象是否与x 轴有交点，即只要看能否找到图象上的两点，满足一点在x 轴上方，另一点在x 轴下方即可．

应用二：求函数的零点（即方程的根）的个数

例2 设3()f x x bx c =++是[11]-，上的增函数，且11022f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭

·，则方程()0f x =在 [11]-，内（ ） A ．可能有3个实数根 B ．可能有2个实数根

C ．有惟一的实数根

D ．没有实数根

解析：由11022f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭·，知方程()0f x =在1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

，，内有实数根，而()f x 在[11]-，上递增，故102f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，102f ⎛⎫> ⎪⎝⎭

，所以方程()0f x =在[11]-，内只有惟一实数根，故选（C ）． 点评：在区间[]a b ，上单调且图象连续的函数()y f x =，若()()0f a f b <·

，则函数()y f x =在()a b ，内有惟一的零点．

应用三：求参数的取值范围

例3 已知函数()24f x mx =+，若在[21]-，

上存在0x ，使0()0f x =，则实数m 的取值范围是（ ）

A ．542⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

， B ．(][)21--+ ，，∞∞ C ．[1

2]-， D ．(21)-， 解析：∵()f x 在[21]-，上存在0x ，使0()0f x =，则(2)(1)0f f -·≤，

∴(44)(24)0m m -++≤，解得2m -≤或1m ≥．

故答案为（B ）．

点评：一次函数具有性质：设在给定区间[]a b ，上的一次函数()y f x =，则①()f x 恒大于零()0f a ⇔>且()0f b >；②()f x 恒小于零()0f a ⇔<且()0f b <；③()f x 恒正或恒负()()0f a f b ⇔>·；④()f x 有正有负()()0f a f b ⇔<·．

应用四：解决实际应用问题

例4 一张四条腿等长的方桌放在不平的地面上，是否总有办法使四条腿同时着地？ 解析：如右图，以A B C D ，，，分别表示方桌的四条腿的终端，则ABCD 是一个正方形，

O 表示它的中心，建立以O 为原点，AC 为x 轴，BD 为y 轴的平面直角坐标系．

当方桌绕O 点转动时，设对角线A C ''与x 轴的夹角为θ，并用()()f g θθ，分别表示A 和C 及B 和D 两腿端点到地面的距离之和，目前，至少可使方桌三条腿同时着地，即对于()f θ与()g θ中，总有一个为零．

若()()0f g θθ==，则问题解决．

若()()f g θθ≠，不妨设()0f θ=，()0g θ>，且记()()()d f g θθθ=-，由于函数()d θ在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上图象连续且(0)(0)(0)0d f g =-<，πππ(0)(0)0222d f g g f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

（此时A C ，与B D ，互换位置），则由“零点的性质”知存在一点π02c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

，，使()()()0dc fc gc =-=，即问题解决，具体作法，只须将方桌绕着O 点旋转直至四腿同时着地为止．

点评：用数学的眼光看世界，提高将实际问题“数学化”的能力，是我们学习数学的真谛．