确定抛物线焦点位置的五种方法
抛物线的基本知识点(5篇)
抛物线的基本知识点(5篇)抛物线的基本学问点(5篇)抛物线的基本学问点范文第1篇重点:娴熟把握抛物线的定义及四种不同的标准方程形式,会依据抛物线的标准方程讨论得出性质,会由几何性质确定抛物线的标准方程. 娴熟运用坐标法,理解数形结合思想,把握相关代数学问、平面几何学问的运用. 难点:把几何条件转化为代数语言,进而把“形”转化为“数”. 选择合理、简捷的运算途径,并实施正确的运算. 敏捷利用概念、平面几何学问.1. 抛物线及其性质的基本思路求抛物线方程时,若由已知条件可知方程的形式,一般用待定系数法;若由已知条件可知动点的运动规律,一般用轨迹法;凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要留意运用韦达定理;解决焦点弦问题,抛物线的定义有广泛的应用,还应留意焦点弦的几何性质,针对y2=2px(p>0),设焦点弦为x=my+■,既便利消元,又可避开斜率不存在的状况;可能的状况下,留意平面几何学问的应用,达到“不算而解”的目的.2. 抛物线及其性质的基本策略(1)求抛物线的标准方程①定义法:依据条件确定动点满意的几何特征,从而确定p的值,得到抛物线的标准方程.②待定系数法:先定位,后定量.依据条件设出标准方程,再确定参数p的值,这里要留意抛物线标准方程有四种形式,从简洁化角度动身,焦点在x 轴上,设为y2=ax(a≠0);焦点在y轴上,设为x2=by(b≠0).(2)焦点弦问题和焦半径①焦半径:抛物线y2=2px(p>0)上一点P(x0,y0)到焦点F■,0的距离PF=x0+■.②通径:过焦点F■,0且与x轴垂直的弦PQ叫通径,PQ=2p.③焦点弦的性质:过F■,0的弦AB所在的直线方程为y=kx-■(k不存在时为通径).④弦长:AB=x1+x2+p=■(θ为弦AB的倾斜角);x1·x2=■,y1·y2= -p2;■+■=■;以弦AB为直径的圆与准线相切.在抛物线y2=4x上找一点M,使MA+MF最小,其中A(3,2),F(1,0),求点M 的坐标及此时的最小值.思考“看准线想焦点,看焦点想准线”,可依据抛物线的定义进行相互转化从而获得简捷、直观的求解. 数形结合是敏捷解题的一条捷径.破解如图1,点A在抛物线y2=4x的内部,由抛物线的定义可知,MA+MF=MA+MH,其中MH为M到抛物线的准线的距离,过A作抛物线准线的垂线交抛物线于M1,垂足为B,则MA+MF=MA+MH≥AB=4,当且仅当点M在M1的位置时等号成立,此时点M1的坐标为(1,2).斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.思考求焦点弦的弦长有多种方法,既要把握运算方法,也要考虑一些不算或少算的方法. 数形结合是解析几何中重要的思想方法之一. 一些问题中,充分发挥“形”的作用,可以最大限度地削减运算,“看出结果”. 我们不妨考虑问题的一般情形:斜率为k(倾斜角为θ)的直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,如何“看出”焦点弦的弦长?如图2,由图可以看出,FA=p-FAcosθ,FB=FBcosθ+p,所以AB=FA+FB=■+■=■. 求解过程特别直观,在已知直线倾斜角的情形下,可以直接“看出”焦点弦的弦长. 直线斜率存在时,由k=tanθ,破解例2中,k=1(θ=45°),p=2,所以AB=8.在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为■.(1)求抛物线C的方程;(2)是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由.思考 (1)由抛物线C的标准形式可得点F的坐标和准线方程,由圆心Q 在弦OF的中垂线上可得点Q的纵坐标,再由点Q到抛物线C的准线的距离列出方程,确定p的值.(2)存在性问题的常用方法是:先假设结论存在,进行演绎推理,若推出冲突,则否定假设;若推出合理的结果,说明假设成立.思路1:先求切线MQ的方程,结合弦OF的中垂线方程解点Q的坐标,再由点Q在弦OM的中垂线上解题即可.思路2:先由点Q在弦OF,OM的中垂线上,再结合切线QM斜率的不同形式表示,列出方程思索.1. 立足课本,夯实基础把握抛物线的定义、标准方程、简洁性质等基础学问,深化对基础学问的理解,重视学问间的内在联系,提高应用数学思想方法解决问题的意识和力量.2. 娴熟通法,步步过关对相对固定的题型,如弦长问题、面积问题等,解题思路、步骤相对固定,要以课本为例,以习题为模型,淡化技巧,理解通性通法,娴熟步骤,能作出合理的算法途径设计,基本问题运算过关,破解“想得出,算不出、算不对”的瓶颈.3. 重视抛物线的综合问题重视抛物线与直线、圆等的综合讨论,尤其是对性质中的一些定点、定值及相关结论的深化探究.高考试题往往有对圆锥曲线某方面几何性质的考虑,对性质深化的探究不在于知道一些结论,而是在这一过程中把握探究的方法,理解解析几何的基本思想方法.抛物线的基本学问点范文第2篇一、教材分析（一）教学内容的特点本节课是“抛物线及其标准方程”的第一节课，主要学习内容为抛物线的定义和标准方程。
高考数学——抛物线-考点复习
【名师点睛】本题主要考查了抛物线的定义，抛物线的标准方程，属于中档题. @#网
典例 2 抛物= 线 y2 2 px( p > 0) 上的动点 Q 到其焦点的距离的最小值为 1，则 p =
1
A．
2
C．2
B．1 D．4
【答案】C
本题选择 C 选项. 【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.由题意结合 抛物线的定义确定点的位置，然后求解 p 的值即可.
3
B．
2 9
D．
4
8．曲线 y = 2x2 上两点 A( x1, y1 )、B ( x2 , y2 ) 关于直线 y=
3
A．
2 5
C．
2
B． 2 D． 3
x
+
m 对称，且
x1
⋅
x2
=− 1 2
，则
m
的值为
9．已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,抛物线上的两个动点 A,B 始终满足∠AFB=60°,过弦 AB 的中点 H 作抛
PF= x + p 或 PF= y + p ，使问题简化．
2
2
3
典例 1 平面内动点 P 到点 F (0, 2) 的距离和到直线 l ： y = −2 的距离相等，则动点 P 的轨迹方程为是
_____________.
【答案】 x2 = 8 y
【解析】由题意知，该点轨迹是以 F (0, 2) 为焦点，y = −2 为准线的抛物线，其中 p = 4 ，所以方程为 x2 = 8 y .
则 △OFM 的周长为
A． 4
B． 2 5 +1
C． 5 + 2 或 4
抛物线上的点到焦点的公式
抛物线上的点到焦点的公式抛物线是一条曲线，由一个动点P和一个定点F及其连线确定，在物理学、数学、计算机图形学等领域中经常出现。
抛物线的性质和公式有许多应用，其中一个重要的应用就是求解抛物线上一点到焦点的距离。
抛物线上的点到焦点的距离可以通过焦点F、顶点V和点P的坐标来求解。
设抛物线的焦点为F(x1,y1)，顶点为V(x2,y2)，点P任意在抛物线上，坐标为P(x,y)。
要求解点P到焦点F的距离，可以使用解析几何中的距离公式。
关于抛物线的基本知识可以参考一些书籍或者网络教材，以下将介绍如何推导并使用点P到焦点F的距离公式。
1. 定义抛物线的标准方程：抛物线的标准方程为y = ax^2 + bx + c，其中a不等于0。
2.将焦点F和顶点V的坐标代入方程：由焦点和顶点的定义可知，抛物线过焦点F和顶点V，将它们的坐标代入标准方程可以得到两个方程：- y1 = ax1^2 + bx1 + c- y2 = ax2^2 + bx2 + c3.求解方程组：将两个方程联立可以消除c项，得到一个关于a和b 的方程。
将方程简化后，可以得到：-a=(y2-y1)/(x2-x1)^2-b=((x1^2)(y2-y1)+x2^2y1-x1^2y2)/(x1-x2)^24.得到抛物线的标准方程：将求得的a和b代入抛物线的标准方程，可以得到a和b的关系：-y=((y2-y1)/(x2-x1)^2)x^2+((x1^2)(y2-y1)+x2^2y1-x2^2y1)/(x1-x2)^2)x+y1-简化后可以得到：y=((y2-y1)/(x2-x1)^2)x^2+(2(x1y2-x2y1)/(x2-x1)^2)x+y1-((x1^2)(y2-y1)+x2^2y1-x2^2y1)/(x1-x2)^25.点P到焦点F的距离公式：接下来需要求解点P(x,y)到焦点F(x1,y1)的距离。
设这个距离为d，可以使用距离公式：-d=√((x-x1)^2+(y-y1)^2)6.化简距离公式：将抛物线的标准方程代入距离公式，并进行化简，可以得到点P到焦点F的距离公式：-d=√((x-x1)^2+(((y2-y1)/(x2-x1)^2)x^2+(2(x1y2-x2y1)/(x2-x1)^2)x+y1-((x1^2)(y2-y1)+x2^2y1-x2^2y1)/(x1-x2)^2-y1)^2)根据以上推导可以得到抛物线上的点到焦点的公式。
第11课 抛物线的画法和性质
第十一课 抛物线的画法和性质一．抛物线的定义1．在平面内，与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
定点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。
2．抛物线的标准方程：从定点F 向定直线l 作垂线，垂足为K ，取KF 的中点O 作为原点，KF 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设|KF |＝p ，则F 点的坐标是 (2p, 0),准线l 的方程是x ＝－2p，设抛物线上任意一点的坐标是M (x , y )，自M 点向准线作垂线，垂足是D ，则|MF |＝|MD |∴ 22y )2p x (+-＝|x ＋2p| 图11－1整理得到抛物线的标准方程为 y 2＝2px . (p >0)二．抛物线的画法 画法1：图11－21．先画出定点F 和定直线l ，按要求画出直角坐标系；2．在图形外画一条射线BC ，在射线BC 上取一点M (M 点为动点)； 3．在BC 反方向上取一点A ，使|AB |＝|OF |，作线段AM ；A B4．以F为圆心，|AM|为半径作圆；5．先后选定A、M点，用“变换”菜单中的“标记向量”功能，标记向量AM，选中直线l，用“变换”菜单中的“平移”功能，将直线l平移；6．平移后的直线与圆相交，定义交点为P、Q；将它们定义为“追踪点”；先后选定P、M两点，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，得到抛物线的一部分，同样先后选定Q、M两点，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，得到抛物线的另一部分；在射线BC上拖动M点，则P、Q两点的轨迹画出抛物线。
理论根据：P点在以F为圆心，|AM|为半径的圆上，∴|PF|＝|AM|，又将准线l平移了AM的长度，∴P点到准线的距离等于|AM|。
画法2图11－31．先画出定点F和定直线l，按要求画出直角坐标系；2．在直线l上取一点M(M点为动点)；3．连接MF，作线段MF的中垂线；4．过M点作直线l的垂线与MF的中垂线相交于P点，将它定义为追踪点；5．先后选定P、M两点，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，得到抛物线；6．在直线l上拖动M点，则P点的轨迹是抛物线理论根据：PM⊥准线l，PM是P点到准线的距离，又|PF|是P点到焦点F的距离，P点在MF的中垂线上，所以|PM|＝|PF|。
简解抛物线问题的六种途径
简解抛物线问题的六种途径一、回归定义例1已知点P(3，2)在抛物线y2＝4x的内部，F是抛物线的焦点，在抛物线上求一点M，使|MP|＋|MF|有最小值，并求此最小值．解：过M作准线l的垂线MA，垂足有A，则由抛物线的定义有|MF|＝|MA|．∴|MP|＋|MF|＝|MP|＋|MA|，显然当P、M、A三点共线时，即|MP|＋|MF|最小．此时，M点的坐标为(1，2)，最小值为4．二、巧设方程例2抛物线顶点在顶点，焦点在x轴，而且被直线y＝2x＋1所截得的弦长AB为求抛物线的方程．分析：此题仅焦点位置定，而开口未定，常规方法要分类讨论．其实可巧设方程y2＝ax(a≠0)而得简解．解：由题意，可设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，将直线方程y＝2x＋1代入抛物线方程，并消去y，整理，得4x2＋(4－a)x＋1＝0．则x1＋x2＝44a-，x1x2＝41．再由弦长公式|AB|＝∴，即a2－8a－48＝0．解得a＝12或a＝－4．故所求的抛物线方程为y2＝12x，或y2＝－4x．三、设而不求例3 已知抛物线y 2＝－8x 的弦PQ 被点A (－1，1)平分，求弦PQ 所在的直线方程．解：设PQ 的端点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则有21122288y x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝－8(x 1－x 2)， ∴2121y y x x --＝－4， 即P Qk ＝－4．故PQ 所在的直线方程为y －1＝－4(x ＋1)，即4x ＋y ＋3＝0．四、运用性质抛物线y 2＝2px (p ＞0)的性质很多，特别是过焦点F 的弦AB 的性质非常重要，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有性质：①y 1y 2＝－p 2；②x 1x 2＝24p ；③1A F＋1B F＝2p等等．例4过抛物线y 2＝2px 焦点F 的一条直线与抛物线交于P ，Q 两点，过P 与抛物线顶点的直线交准线于M ，求证：MQ 平行于抛物线的对称轴．证明：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，则由结论，得y 2＝21py -．又焦点F (2p ，0)，准线x ＝－2p ，则OP 所在的直线方程为y ＝11y xx ．则得M 点的纵坐标为y 3＝－2p •11y x ，又x 1＝212y p，故y 3＝－121p y y p＝－21py ．∴y 2＝y 3．所以直线MQ 平行于抛物线的对称轴．五、选取特例特别是有关定值的抛物线问题，或是有关抛物线的选择题，常常可用此法．例5 过抛物线()02>=a axy 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p、q，则11pq+等于 ()(A)2a(B)12a(C) 4a(D)4a解：取直线PQ 平行于x 轴，则p ＝q ＝12a，则11p q+＝2p＝4a ，选(C)．六、运用向量 例6 过抛物线yp x p 220=>()的焦点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，自A 、B 两准线作垂线，垂足分别为A B ''、，求证：∠=︒A F B ''90．解：抛物线的焦点F p ()20，，设A 、B 两点的纵坐标分别为y y 12，，易得y y p122=-，又A p yB p y '()'()--2212，，，，则F A p y P B p y '()'()→=-→=-，，，12， 故F A F B p y y p p ''→⋅→=+=-=21222，则F A F B ''→⊥→，即∠=︒A F B ''90。
抛物线角度问题解题方法
抛物线角度问题解题方法引言抛物线角度问题是物理学和工程学中常见的问题，涉及到抛物线的轨迹以及不同角度对于抛物线的影响。
解决这类问题，需要理解抛物线的特性和相关的数学原理，以及应用合适的解题方法。
本文将从抛物线轨迹的基本性质出发，探讨抛物线角度问题的解题方法。
抛物线基本性质抛物线是一种二次曲线，它的轨迹由平面直角坐标系中的一般二次方程所描述。
抛物线的一般方程为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c分别为常数，a ≠ 0。
抛物线的顶点坐标为：(-b/2a , -Δ/4a)，其中Δ = b^2 - 4ac抛物线开口向上或向下取决于a的正负。
求解抛物线角度的一般方法要求解抛物线角度，通常需要确定抛物线上两点的坐标，然后再计算这两点间的夹角。
下面介绍常用的求解方法。
步骤一：确定抛物线上两点的坐标为了计算抛物线上两点的坐标，我们可以选择抛物线上的特定点，如顶点、焦点等，并确定该点的坐标。
步骤二：计算夹角计算夹角的方法有多种，下面介绍两种常用的方法。
方法一：向量法1.计算两个点的位置矢量，即从原点指向这两个点的向量；2.根据向量的内积公式，计算两个向量的内积；3.根据内积的性质，计算夹角。
方法二：导数法1.根据抛物线方程，求解导数，得到斜率表达式；2.分别计算两点的斜率；3.根据斜率的性质，计算夹角。
步骤三：转换为角度通常，我们习惯用角度来表示夹角，因此还需要将计算出的弧度转换为角度。
抛物线角度实例分析为了更好地理解抛物线角度问题的解题方法，我们来分析一个具体的实例。
示例：求解抛物线在顶点处的切线角度1.确定顶点坐标：假设抛物线的方程为y = ax^2 + bx + c，求解方程d(y)/d(x) = 0，即求导得到抛物线的斜率表达式，并令斜率为0，解方程得到抛物线的顶点坐标。
2.计算导数：求解抛物线方程的导数，得到斜率表达式。
3.计算角度：根据斜率的性质，计算夹角。
4.转换为角度：将计算出的弧度转换为角度。
求抛物线方程的三种方法
求抛物线方程的三种方法作者：欧阳威来源：《中学课程辅导·教师教育》 2018年第11期【摘要】求解抛物线方程是历年高考保留节目。
破解抛物线方程问题一般有三种方法：一是直接法，二是待定系数法，三是定义法。
【关键词】数学抛物线方程【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2018）11-171-01一、直接法所谓直接法就是直接利用题中的条件确定焦参数p或根据条件转化求解抛物线方程。
这类问题解题的关键是要充分挖掘题中的条件，特别是隐含条件，然后结合方程思想或转化思想求解。
分析：这类轨迹方程的求解只要直接根据题意通过列方程，结合转化思想就能破解.解题时要特别注意的是等价变形。
点评：直接法求解抛物线方程问题，实际上是一种求解圆锥曲线的基本策略，破解时要注意的地方是等价变形和挖掘条件列方程。
二、待定系数法所谓待定系数法就是先设出抛物线的方程，再根据题中的条件，确定焦参数p，这类问题一般要结合方程思想进行，通过方程求解参数。
例2.在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线关于y轴对称，顶点在原点O，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是分析：已知抛物线关于y轴对称，顶点在原点O，故知其方程为标准形式，又过第一象限内点P(2,4)，只需引进参数p，设出标准方程x2=2py，代点P便可求得方程。
解析：由题意,可设抛物线方程为x2=2py，又过P(2,4)，∴p=1/2,抛物线方程为x2=y点评：对于待定系数法求抛物线方程关键是用方程思想求参数，通过已知条件列出一元方程，通过一元方程便可化解。
例3.已知抛物线顶点在原点，对称轴为轴，抛物线上的点(x0,-8)到焦点的距离等于17，求抛物线方程.分析：已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，故知其方程为开口向左或向右的标准形式，只需引进参数p，根据点(x0,-8)在直线y=-8上,设出标准方程y2=2px或y2=-2px，求出p 即可。
3.3.2第1课时(抛物线的简单几何性质)课件(人教版)
五、课堂小结
1.抛物线的简单几何性质：
图形 y
l
O Fx
方程 焦点 y2=2px F( p ,0) (p>0) 2
准线
x=-p 2
yl FO x
y2=-2px (p>0)
F(-
p 2
,0)
x=p 2ຫໍສະໝຸດ yF x x2=2py F(0,p) y = - p
O
(p>0)
2
2
l
ly
O F
x
x2=-2py (p>0)
四、典型例题
例2 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 M(2, -2 2 )，求它的标准方程.
四、典型例题
顶点在原点，对称轴是坐标轴,并且经过点M(2, -2 2 )的抛物 线有几条?求出这些抛物线的标准方程.
四、典型例题
方法归纳
求抛物线方程,通常用待定系数法. (1)若能确定抛物线的焦点位置,则可设出抛物线的标准方程, 求出p值即可. (2)若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论. (3)焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2=ax(a≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可设为x2=ay(a≠0).
二、探究新知
类比用方程研究对椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你 认为应研究抛物线
y2=2px(p>0) 的哪些几何性质?如何研究这些性质?
三、抛物线的简单几何性质
视察右下图,类比研究椭圆、双曲线范围的方法，发现抛物线 y2=2px(p>0)上点的横坐标、纵坐标的范围是多少？ 你能利用方 程(代数方法)解释它的范围吗？
三、抛物线的简单几何性质
在①同y2=一4x坐标②系y画2=下2x列抛③物y线2=,x视察④开y口2 =大21 x小与p的关系.
高中数学抛物线解题方法总结归纳
圆锥曲线抛物线知识点归纳1抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．2抛物线的图形和性质： ①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
②焦准距：FK p = ③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p 。
④顶点平分焦点到准线的垂线段：2p OF OK ==。
3抛物线标准方程的四种形式：特点：焦点在一次项的轴上，开口与“±2p ”方向同向4抛物线px y 22=的图像和性质：①焦点坐标是：⎪⎭⎫⎝⎛02，p ，②准线方程是：2p x -=。
③焦半径公式： （称为焦半径）是：02pPF x =+， ④焦点弦长公式：过焦点弦长121222p pPQ x x x x p =+++=++ ⑤抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y p y或2(2,2)P pt pt5一般情况归纳：题型讲解 （1）过点（－3，2）的抛物线方程为 ；y 2=－34x 或x 2=29y ， （2）焦点在直线x －2y －4=0y 2=16x 或x 2=－8y ，（3）抛物线 的焦点坐标为 ；（4）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，抛物线上的点 到焦点F 的距离为5，则抛物线方程为 ；或或.（5）已知点),4,3(A F 是抛物线x y 82=的焦点,M 是抛物线上的动点,当MF MA +最小时,M 点坐标是 )4,2(例2．斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ,且与抛物线相交于A B 、两点,求线段AB 的长． 解：法一 通法法二 设直线方程为1y x =-， 1122(,)(,)A x y B x y 、，则由抛物线定义得1212||||||||||22p pAB AF FB AC BD x x x x p =+=+=+++=++，又1122(,)(,)A x y B x y 、是抛物线与直线的交点，由24,1,y x y x ⎧=⎨=-⎩得2610x x -+=，则126x x +=，所以||8AB =．例3．求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切． 证明：（法一）设抛物线方程为22y px =，则焦点(,0)2p F ，准线2px =-．设以过焦点F 的弦AB 为直径的圆的圆心M ，A 、B 、M 在准线l 上的射影分别是1A 、1B 、1M ，则11||||||||||AA BB AF BF AB +=+=，又111||||2||AA BB MM +=，∴11||||2MM AB =，即1||MM 为以AB 为直径的圆的半径，且准线1l MM ⊥， ∴命题成立．（法二）设抛物线方程为22y px =，则焦点(,0)2p F ，准线2px =-．过点F 的抛物线的弦的两个端点11(,)A x y ，22(,)B x y ，线段AB 的中点00(,)M x y ，则1212||22p pAB x x x x p =+++=++，∴以通过抛物线焦点的弦为直径的圆的半径1211||()22r AB x x p ==++．M 1M点M 到准线2p x =-的距离120121()2222p x x p d x x x p +=+=+=++，∴圆M 与准线相切．例4．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 22(0)y px p =>上，求这个正三角形的边长． 解：设正三角形OAB 的顶点A 、B 在抛物线上，且设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2112y px =，2222y px =，又||||OA OB =，所以22221122x y x y +=+，即221212()2()0x x p x x -+-=， 1212()(2)0x x x x p -++=．∵10x >，20x >，20p >，∴12x x =．由此可得12||||y y =，即线段AB 关于x 轴对称． 因为x 轴垂直于AB ，且30AOx ∠=，所以113tan 303y x ==． ∵2112yx p=，∴123y p =，∴1||243AB y p ==．例5 A,B 是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点，满足OA ⊥OB(O 为坐标原点)求证：(1)A,B 两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；(2)直线AB 经过一个定点解：(1)设A(x 1,y 1), B(x 2,y 2), 则y 12=2px 1, y 22=2px 2, ∴y 12y 22=4p 2x 1x 2,∵OA ⊥OB, ∴x 1x 2+y 1y 2=0,由此即可解得：x 1x 2=4p 2, y 1y 2=─4p 2 (定值)(2)直线AB 的斜率k=1212x x y y --=py p y y y 22212212--=212y y p+, ∴直线AB 的方程为y─y 1=212y y p+(x─p y 221),即y(y 1+y 2)─y 1y 2=2px, 由(1)可得 y=212y y p+(x─2p),直线AB 过定点C(2p,0) 例6．定长为3的线段AB 的两端点在抛物线2y x =上移动，设点M 为线段AB 的中点，求点M 到y 轴的最小距离．解：抛物线焦点1(,0)4F ，准线l ：14x =-，设点A 、B 、M 在准线l 上的射影分别是 1A 、1B 、1M ，设点00(,)M x y ，则11||||||||||AA BB AF BF AB +=+≥，M1M A又11111||(||||)||22MM AA BB AB =+≥，又101|4MM x =+，||3AB =，∴01342x +≥，所以054x ≥，即0x 的最小值是54．∴点M 到y 轴的最小距离是54，当且仅当AB 过点F 是取得最小距离例7 设抛物线y 2=2px （p >0）的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴证明直线AC 经过原点O分析：证直线AC 经过原点O ，即证O 、A 、C 三点共线，为此只需证k OC =k OA 本题也可结合图形特点，由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决证法一：设AB ：x =my +2p ，代入y 2=2px ，得y 2－2pmy －P 2=0由韦达定理，得y A y B =－p 2， 即y B =－Ay p2∵BC ∥x 轴，且C 在准线x =－2p上， ∴C （－2p，y B ） 则k OC =2p y B -=A y p 2=A Ax y =k OA 故直线AC 经过原点O证法二：如图，记准线l 与x 轴的交点为E ，过A 作AD ⊥l ，垂足为D 则AD ∥EF ∥BC 连结AC 交EF 于点N ，则||||AD EN =||||AC CN =||||AB BF ，BCNF ||=||||AB AF ∵|AF |=|AD |，|BF |=|BC |， ∴|EN |=||||||AB BF AD ⋅=||||||AB BC AF ⋅=|NF |，即N 是EF 的中点从而点N 与点O 重合，故直线AC 经过原点O点评：本题的“几何味”特别浓，这就为本题注入了活力在涉及解析思想较多的证法中，关键是得到y A ·y B =－p 2这个重要结论还有些证法充分利用了平面几何知识，这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视，也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何的题目例8 、已知抛物线 ，点A(2,3)，F 为焦点，若抛物线上的动点到A 、F 的距离之和的最小值为，求抛物线方程.N O CBD EF A y x分析：在解析几何中，关于到两个定点的距离之和的最小值（或距离之差的最大值）问题，运用纯代数方法解，导致复杂运算，因而常运用几何方法与相关曲线的定义。
考点40 抛物线-备战2021年高考数学(理)一轮复习考点一遍过
考点40 抛物线抛物线也是高考的重点、难点，常出现在高考的选择题或填空题中，多考查抛物线的几何性质，也常出现在高考中的解答题中，作为压轴题，多考查直线与抛物线的位置关系.(1)了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. (2)掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.一、抛物线的定义和标准方程 1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点F 与准线垂直的直线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴．注意：直线l 不经过点F ，若l 经过F 点，则轨迹为过定点F 且垂直于定直线l 的一条直线． 2．抛物线的标准方程(1)顶点在坐标原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线的标准方程为22(0)y px p =>； (2)顶点在坐标原点，焦点在x 轴负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)y px p =->； (3)顶点在坐标原点，焦点在y 轴正半轴上的抛物线的标准方程为22(0)x py p =>； (4)顶点在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)x py p =->.注意：抛物线标准方程中参数p 的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以p 的值永远大于0，当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现p ＜0的错误. 二、抛物线的几何性质 1．抛物线的几何性质标准方程22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =->图 形几 何 性质范 围 0,x y ≥∈R0,x y ≤∈R0,y x ≥∈R0,y x ≤∈R对称性 关于x 轴对称关于x 轴对称关于y 轴对称关于y 轴对称焦点(,0)2p F (,0)2p F -(0,)2p F(0,)2p F -准线方程 2p x =-2p x =2p y =-2p y =顶 点 坐标原点(0，0)离心率1e =2．抛物线的焦半径抛物线上任意一点00(),P x y 与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径． 根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表：抛物线方程22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =->焦半径公式0||2pPF x =+ 0||2pPF x =- 0||2pPF y =+ 0||2pPF y =- 3．抛物线的焦点弦抛物线的焦点弦即过焦点F 的直线与抛物线所成的相交弦．焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标，再利用两点间的距离公式得到，设AB 为焦点弦，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A ，B 两点的线段AB ，称为抛物线的通径． 对于抛物线22(0)y px p =>，由(,)2p A p ，(,)2pB p -，可得||2AB p =，故抛物线的通径长为2p ． 4．必记结论直线AB 过抛物线22(0)y px p =>的焦点，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如图：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥p ，即当x 1＝x 2时，弦长最短为2p . (3)1|AF |＋1|BF |为定值2p. (4)弦长AB ＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)．(5)以AB 为直径的圆与准线相切．(6)焦点F 对A ，B 在准线上射影的张角为90°.考向一 抛物线的定义和标准方程1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M ，一个定点F (抛物线的焦点)，一条定直线l (抛物线的准线)，一个定值 1(抛物线的离心率).2．抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即2PF p x =+或2PF py =+，使问题简化．典例1 设定点(0,1)F ，动圆D 过点F 且与直线1y =-相切，则动圆圆心D 的轨迹方程为 A ．24x y = B ．22x y = C ．24y x =D ．22y x =【答案】A【解析】由题意知，动圆圆心到定点(0,1)F 与到定直线1y =-的距离相等， 所以动圆圆心的轨迹是以F 为焦点的抛物线，则方程为24x y =. 故选A.【名师点睛】本题考查抛物线的定义，属于简单题.由题意，动圆圆心的轨迹是以F 为焦点的抛物线，求得p ，即可得到答案.典例2 已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)A ．)B ．(0)C ．)D ．(0，)【答案】A【解析】抛物线y 2＝2px (p ＞0)，即2p=则抛物线的焦点坐标为0)．故选A ．【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义和准线方程，属于基础题．抛物线上的点到准线的最小距离即为顶点到焦点的距离，进而列方程求解即可.1．已知抛物线24y x =上一点P 到焦点的距离是它到y 轴的距离的2倍，则点P 到焦点的距离为_________．考向二求抛物线的标准方程1．求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.2．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程.典例3 若点A,B在抛物线y2=2px(p>0)上,O是坐标原点,若正三角形OAB的面积为4√3,则该抛物线的方程是x B．y2=√3xA．y2=3C．y2=2√3x D．y2x【答案】A【解析】根据对称性,可知AB⊥x轴,由于正三角形OAB的面积是4√3,2=4√3,故AB=4,正三角形OAB的高为2√3,故可设点A的坐标为(2√3,2),代入抛物线方程得4=4√3p,解得p,故所求抛物线的方程为y2=x.典例4 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求出对应抛物线的准线方程．(1)过点(32)-，；(2)焦点在直线240x y --=上．【解析】(1)设所求抛物线的方程为22y px =-或20)2(x py p >=．∵过点(32)-，，∴3()42p =-⨯-或922p =⨯(2)令0x =得2y =-∴抛物线的焦点为(4)0，或(0)2-，．当焦点为(4)0，8p =，此时抛物线的方程为216y x =；当焦点为(0)2-，4p =，此时抛物线的方程为28x y =-. 故所求抛物线的方程为216y x =或28x y =-，对应的准线方程分别是4x =-，2y =.2．已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点A 作l 的垂线AB ，垂足为B且ABF 是边长为8的正三角形，则抛物线C 的方程为( ) A ．24x y = B ．26x y = C ．28x y =D ．210x y =考向三 抛物线的简单几何性质及其应用确定及应用抛物线性质的关键与技巧：(1)关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程． (2)技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.典例5 已知等腰三角形OPM 中，OP ⊥MP ，O 为抛物线2y =2px (p >0)的顶点，点M 在抛物线的对称轴上，点P 在抛物线上，则点P 与抛物线的焦点F 之间的距离是A ．B ．52pC ．2pD p【答案】B【解析】由题意得222,P P P P P y x x px x p =∴=∴=因此点P 与抛物线的焦点F 之间的距离为522P p px +=，选B. 【名师点睛】(1)凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．(2)解答本题的关键是画出图形，利用抛物线的简单几何性质转化求解即可．3．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点F 在x 轴正半轴上，点M 为圆22:12O x y +=与C 的一个交点，且3MF =，则C 的标准方程是( ). A ．22y x = B ．23y x = C ．24y x =D ．26y x =考向四 焦点弦问题与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解.解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定，是p 与交点横(纵)坐标的和还是与交点横(纵)坐标的差，这是正确解题的关键.典例6 过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1,y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |=7，求AB 的中点M 到抛物线准线的距离.【解析】抛物线的焦点为F (1,0),准线方程为x =－1.由抛物线的定义知|AB|=|AF|+|BF|=x 1+p2+x 2+p2=x 1+x 2+p ,即x 1+x 2+2=7,得x 1+x 2=5,于是弦AB 的中点M 的横坐标为52, 因此点M 到抛物线准线的距离为57122+=.典例7 已知过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点,斜率为2√2的直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 1<x 2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程;(2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求λ的值. 【解析】(1)直线AB 的方程是y =2√2(x-2p),与y 2=2px 联立,从而有4x 2-5px+p 2=0, 所以x 1+x 2=54p . 由抛物线的定义,得|AB|=x 1+x 2+p =9, 所以p =4,从而抛物线的方程是y 2=8x . (2)因为p =4,所以4x 2-5px+p 2=0，可简化为x 2-5x+4=0, 从而x 1=1,x 2=4,y 1=-2√2,y 2=4√2, 从而A (1,-2√2),B (4,4√2).设C (x 3,y 3),则OC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 3,y 3)=(1,-2√2)+λ(4,4√2)=(4λ+1,4√2λ-2√2). 又y 32=8x 3, 所以[2√2(2λ-1)]2=8(4λ+1),即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.4．过抛物线22y px =焦点F 的直线，与抛物线交于A 、B 两点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1212y y x x = ( ) A ．-4 B ．4 C ．4pD ．-4p考向五 抛物线中的最值问题1.抛物线中经常根据定义把点到焦点的距离和点到准线的距离进行互相转化，从而求解.2.有关抛物线上一点M 到抛物线焦点F 和到已知点E (E 在抛物线内)的距离之和的最小值问题，可依据抛物线的图形，过点E 作准线l 的垂线，其与抛物线的交点到抛物线焦点F 和到已知点E 的距离之和是最小值.典例8 如图,已知点Q(2√2,0)及抛物线24xy 上的动点Ρ(x,y),则y+|ΡQ|的最小值是A．2 B．3C．4 D．2√2【答案】A【解析】如图,作ΡB⊥x轴于A点,并与准线相交于B点.抛物线x2=4y的焦点为F(0,1),准线为y=−1,由抛物线的几何意义可得|ΡB|=|ΡF|,所以y+|ΡQ|= |ΡA|+|ΡQ|=| ΡB|+|ΡQ|−1=| ΡF|+|ΡQ|−1≥|FQ|−1=√1+8−1=2.故选A.典例9 已知抛物线的方程为x2=8y,F是焦点,点A(-2,4),在此抛物线上求一点P,使|PF|+|PA|的值最小.【解析】∵(-2)2<8×4,∴点A(-2,4)在抛物线x2=8y的内部.如图所示,设抛物线的准线为l,过点P作PQ⊥l于点Q,过点A作AB⊥l于点B,连接AQ.由抛物线的定义可知,|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|≥|AQ|≥|AB|,当且仅当P,Q,A三点共线时,|PF|+|PA|取得最小值,即|AB|.∵A(-2,4),∴不妨设|PF|+|PA|的值最小时,点P的坐标为(-2, y0),代入抛物线方程x2=8y得y0=1 2 .∴使|PF|+|PA|的值最小的抛物线上的点P的坐标为(-2,1 2 ).5．已知M 是抛物线24y x =上一点，F 为其焦点，点A 在圆22:(6)(1)1C x y -++=上，则||||MA MF +的最小值是__________.1．抛物线214x y =的准线方程为( ) A ．1x =- B ．116x =-C ．1y =-D ．116y =-2．若抛物线24y x =上的点M 到焦点的距离为10，则M 点到y 轴的距离是( ) A ．6 B ．8 C ．9D ．103．已知抛物线2:C y x =的焦点为F ，00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x =( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．84．过抛物线E ：y 2＝2x 焦点的直线交E 于A ，B 两点，线段AB 中点M 到y 轴距离为1，则|AB |＝( ) A ．2 B ．52C ．3D ．45．抛物线2(0)y mx m =≠的准线与直线1y =的距离为3，则此抛物线的方程为( ) A ．216x y =-B ．28x y =C ．216x y =或28x yD ．28x y =或216x y =-6．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22154x y -=的右焦点重合，则下列各点中，在抛物线22y px =上的是( ) A ．(1,2) B ．(3,6)-C ．(2,2)-D ．7．已知抛物线22(0)y px p =>上一点M 到其准线及对称轴的距离分别为3和，则p =( ) A ．2 B ．2或4 C ．1或2D ．18．已知抛物线28x y =的焦点为F ，点P 在抛物线上，且6PF =，点Q 为抛物线准线与其对称轴的交点，则PFQ ∆的面积为( )A ．B ．C ．D ．9．如果1P ，2P ，…，n P 是抛物线C ：()220y px p =>上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，n x ，点F 是抛物线C 的焦点.若12+n x x x ++…=10，12+++n PF P F P F …=10+n ，则p 等于( ) A ．2 B ．32C ．52D ．410．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点A ，B 在抛物线C 上，过线段AB 的中点M 作抛物线C 的准线的垂线，垂足为N ，若90AFB ∠=︒，则||||AB MN 的最小值为( )A ．1 BC ．2D11．若抛物线2:2(0)C x py p =>上的点P 到焦点的距离为8，到x 轴的距离为6，则抛物线C 的方程是_________.12．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线()220x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为______.13．已知点1(,0)2A -，抛物线22y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，且|||AP PF =，则||___.OP = 14．已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，过点P 作l 的垂线交l 于点E ，且60PFE ∠=，4PF =，则抛物线C 的方程为：______________.15．已知点(0,2)A ，抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，线段FA 交抛物线于点B ．过B 作l 的垂线，垂足为M ，若AM MF ⊥，则三角形AFM 的面积S =__________． 16．已知动圆M 过点(2,0)F ，且与直线2x =-相切． (1)求圆心M 的轨迹E 的方程；(2)斜率为1的直线l 经过点F ，且直线l 与轨迹E 交于点,A B ，求线段AB 的垂直平分线方程．17．已知抛物线22(0)i C y px p =>过点()1,1，(1)求物线C 的方程；(2)O 为坐标原点，A ､B 为抛物线C 上异于原点O 的不同两点，直线,OA OB 的斜率分别为12,k k ，若122k k =-，求证：直线AB 过定点.18．已知抛物线C 的顶点在原点，对称轴是x 轴，并且经过点()1,2-，抛物线C 的焦点为F ，准线为l . (1)求抛物线C 的方程；(2)过F 的直线h 与抛物线C 相交于两点A 、B ，过A 、B 分别作准线l 的垂线，垂足分别为D 、E ，求四边形ABED 的面积.1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A 为抛物线C :y 2=2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p = A ．2 B ．3C ．6D ．92．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为A ． 1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ． 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ． (1,0)D ． (2,0)3．【2020年高考北京】设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线A ． 经过点OB ． 经过点PC ． 平行于直线OPD ． 垂直于直线OP4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．85．【2018新课标I 理】设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点(–2，0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅= A ．5 B ．6 C ．7D ．86．【2017新课标全国I 理科】已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12D ．107．【2017新课标全国II 理科】已知F 是抛物线:C 28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则FN =_______________．8．【2018新课标Ⅰ理】已知点()11M -，和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________．9．【2020年新高考全国ⅠC ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB=________．10．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为的直线l 与C 的交点为A ，B ，32与x 轴的交点为P ．(1)若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； (2)若，求|AB |．11．【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点(2，−1)．(1)求抛物线C 的方程及其准线方程；(2)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．12．【2019年高考浙江卷】如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ．3AP PB =(1)求p 的值及抛物线的准线方程； (2)求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．13．【2018新课标Ⅱ理】设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． (1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．1．【答案】2 【分析】设点P 的横坐标为()0m m >，利用抛物线的定义和条件建立方程求出m 即可. 【详解】设点P 的横坐标为()0m m >因为抛物线的方程为24y x =，所以其准线方程为1x =-所以根据抛物线的定义可得，点P 到焦点的距离为+1m ，所以+1=2m m ，解得1m = 所以点P 到焦点的距离为2. 故答案为：2. 2．【答案】C 【分析】依题意，画出草图，则8BF =，30DBF ∠=︒，即可求出p ，即可得解； 【详解】解：依题意，设准线l 与y 轴相交于点D ，则8BF =，60ABF ∠=︒，所以30DBF ∠=︒，所以4DF =，即4p =，所以抛物线方程为28x y =故选：C【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，属于基础题. 3．【答案】C【分析】根据条件作出图示，分别表示出22,,MO MM M O ，利用勾股定理求解出抛物线方程中参数p 的值，由此确定出C 的方程. 【详解】设抛物线的方程为22y px =，连接MO ，过M 作1MM ⊥准线，交y 轴于2M ，因为32M p MF x ==+，所以232M pMM x ==-，所以2M M O y === 在2Rt OMM 中有：22222M O M M MO +=，所以2263122p p p ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，解得：2p =，所以抛物线的方程为：24y x =，故选：C. 【点睛】结论点睛：本题考查圆与抛物线的综合应用，其中涉及抛物线的焦半径公式的运用，属于中档题.抛物线的焦半径公式如下：(p 为焦准距)(1)焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =+； (2)焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF x =-+；(3)焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF y =+；(4)焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF y =-+.4．【答案】A 【分析】设直线AB 的方程为2p my x =-，与抛物线方程联立，化为2220y pmy p --=，利用根与系数的关系即可得出 【详解】解：设直线AB 的方程为2pmy x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ， 联立222p my x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 消去x 化为2220y pmy p --=，所以21212,2y y p y y pm =-+=，所以2212121212()()()2224p p mp p x x my my m y y y y =++=+++22222244mp p p p m mp =-+⨯+=， 所以21221244y y p px x -==-， 故选：A 【点睛】结论点睛：此题考查抛物线的焦点弦问题，焦点弦有如下常用的结论设AB 是过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的弦，若1122(,),(,)A x y B x y ，则(1)2212124p x x y y p ==-；(2)弦长1222sin pAB x x p α=++=(α是直线AB 的倾斜角)； (3)112FA FB p+= 5．【答案】6【分析】根据抛物线方程求得准线方程，过点M 作MN 垂直于准线于N ，根据抛物线的定义判断MN MF =，问题转化为求||||MA MN +的最小值，根据A 在圆C 上，判断出当,,M N C 三点共线时，||||MA MN +有最小值，进一步求出结果 【详解】解：M 是抛物线24y x =上一点，抛物线的准线方程为1x =-， 过点M 作MN 垂直于准线于N ，则MN MF =， 所以||||MA MF MA MN +=+，因为点A 在圆C 上，圆22:(6)(1)1C x y -++=的圆心(6,1)C -，半径为1， 所以当,,M N C 三点共线时，||||MA MN +取得最小值6， 故答案为：6【点睛】关键点点睛：此题考查了抛物线的简单性质的应用，解题的关键是利用了抛物线的定义，结合图形将||||MA MF +转化为||||MA MN +进行求解，考查数形结合的思想和转化思想，属于中档题.1．【答案】D 【分析】求出1216p =，即得抛物线214x y =的准线方程. 【详解】 因为124p =， 所以1216p =， 故准线方程为116y =-． 故选：D 2．【答案】C 【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义转化求解即可． 【详解】抛物线24y x =的焦点()10F ，，准线为1x =-，由M 到焦点的距离为10， 可知M 到准线的距离也为10，故到M 到的距离是9，故选C ． 【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力． 3．【答案】A 【分析】利用抛物线的定义、焦半径公式列方程即可得出． 【详解】由抛物线2:C y x =可得11,224p p ==， 准线方程14x =-，0(A x ，0)y 是C 上一点，054AF x =，00x >． ∴00051442p x x x =+=+， 解得01x =． 故选：A ．4．【答案】C 【分析】设焦点为F ，过A ，B ，M 分别作准线12x =-的垂线，垂足为A′，B′，M′，求出3||2MM '=，即得解.【详解】设焦点为F ，过A ，B ，M 分别作准线12x =-的垂线，垂足为A′，B′，M′，则有|AA′|＝|AF |，|BB′|＝|BF |，|AA′|+|BB′|＝2|MM′|， ∵M 到y 轴距离为1， ∴3||2MM '=， ∴|AB |＝|AF |+|BF |＝2|MM′|＝3． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5．【答案】D 【分析】将抛物线的方程化为标准形式，求出准线方程14y m =-，根据题意可得124m -=-或144m-=，解方程即可. 【详解】将2(0)y mx m =≠化为21x y m=， 其准线方程为14y m=-.由题意知124m -=-或144m-=，解得18m =或116m =-.则所求抛物线的标准方程为28x y =或216x y =-. 故选：D 【点睛】本题考查了抛物线的标准方程、由抛物线的定义求标准方程，属于基础题. 6．【答案】B 【分析】求出双曲线的焦点，即为抛物线的焦点，根据焦点坐标求出抛物线的方程，逐项验证点的坐标是否满足抛物线的范围即可. 【详解】因为双曲线22154x y -=的右焦点为(3,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(3,0)，因此362pp =⇒=，则抛物线方程为212y x =， 当3x =时，2366y y =⇒=±，所以点(3,6)-在该抛物线上. 故选：B 【点睛】本题考查双曲线的焦点、根据焦点求抛物线的方程，属于基础题. 7．【答案】B 【分析】由题意，得到32M M y px ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，结合抛物线方程，即可求出结果. 【详解】因为抛物线22(0)y px p =>上一点M 到其准线及对称轴的距离分别为3和所以32M M y p x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，即32M M y p x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，代入抛物线方程可得8232p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 整理得2680p p -+=，解得2p =或4p =.故选：B. 8．【答案】D 【分析】先由抛物线的方程得到焦点坐标和准线方程，进而求出点Q 的坐标，再由定义求出点P 坐标，结合三角形面积公式可得出结果. 【详解】因为28x y =，所以其焦点()02F ，，准线为y 2=-,所以()0,2Q -设().P m n ,由6PF =得26n +=，所以4n =，所以m =±则11S 422PFQ FQ m ∆=⨯⨯=⨯⨯=【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质，属于基础题型. 9．【答案】A 【分析】根据抛物线的定义得n 个等式，相加后，利用已知条件可得结果. 【详解】抛物线C ：()220y px p =>的准线为2px =-， 根据抛物线的定义可知，11||2p PF x =+，22||2p PF x =+，，||2n n p PF x =+， 所以1212||||||222n n p p pPF PF PF x x x +++=++++++，所以12102n npn x x x +=++++，所以10102npn +=+，所以2p =.故选：A 【点睛】关键点点睛：利用抛物线的定义解题是解题关键，属于基础题. 10．【答案】B 【分析】设AF m =，BF n =，由抛物线的定义可得112AA BB MN +=再根据勾股定理及不等式求出2||AB数值，代入22||||AB MN 化简即得答案．【详解】设AF m =，BF n =，过点A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为1A ，1B ，由抛物线的定义可得1AA m =，1BB n =，因为M 为线段AB 的中点，所以112AA BB MN +==2m n+，又90AFB ∠=︒，所以222||AB m n =+，所以()()()2222224||241||m n AB mn MN m n m n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦，又()24m n mn +≥，所以()2212mnm n ≤+，当且仅当m n =时取等号，所以22||1412||2AB MN ⎛⎫≥⨯-= ⎪⎝⎭，即AB MN≥AB MNB ．【点睛】本题考查抛物线的定义、简单几何性质，基本不等式求最值，勾股定理的应用等知识，属于中档题． 11．【答案】28x y = 【分析】根据抛物线的定义，可得结果. 【详解】 根据抛物线定义，8622p=-=，解得4p =， 故抛物线C 的方程是28x y =. 故答案为：28x y = 【点睛】本题考查抛物线的定义，一般来讲，抛物线中焦点和准线伴随出现，属基础题. 12．【答案】6 【分析】根据抛物线的定义可得，点到准线的距离也是4，从而可得p ，即可求抛物线的焦点到准线的距离. 【详解】因为抛物线()220x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，所以由抛物线定义可知该点到准线的距离也是4，即142p+=， 所以6p，即该抛物线的焦点到准线的距离为6.故答案为：6 【点睛】本题主要考查抛物线的定义，根据定义两种距离的相互转化是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.13【分析】 设21,2P m m ⎛⎫⎪⎝⎭，根据条件结合距离公式求出21m =，即可求得||OP . 【详解】 由已知可得1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，设21,2P m m ⎛⎫⎪⎝⎭，|||AP PF =，222AP PF ∴=则22222211()2()2222m m m m ⎡⎤++=-+⎢⎥⎣⎦，解得21m =，∴OP ===.. 14．【答案】24x y = 【分析】如图作PE l ⊥，60PFE ∠=，由抛物线定义知PFE △是等边三角形，再过焦点F 作FM PE ⊥，知M 为PE 的中点，所以2PM ME ==，即焦点到准线的距离是2p =，即可求得抛物线方程.【详解】抛物线C ：()220x py p =>，焦点(0,)2p F ，准线:2p l y =-如图，PE l ⊥，60PFE ∠=，4PF =，由抛物线定义知4PF PE ==，故PFE △是等边三角形， 过焦点F 作FM PE ⊥，交PE 于M ，则M 为PE 的中点，所以2PM ME ==，即焦点到准线的距离是2p = 故答案为：24x y =【点睛】关键点睛：本题考查球抛物线的方程，解题的关键是要熟悉抛物线的定义，动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，即可知PF PE =，再利用60PFE ∠=知PFE △是等边三角形，再利用等边三角形性质求解，考查学生的逻辑推导能力，属于中档题.15 【分析】由抛物线的定义可知BF BM =，(2pF ，0)，再由直角三角形的性质可知，点B 为AF 的中点，利用中点坐标公式求出点B 的坐标，代入抛物线方程求出p 的值，根据2AFM BMF S S ∆∆=即可算出结果．【详解】 解：如图所示：，由抛物线的定义可知BF BM =，(2pF ，0)， 又AM MF ⊥，∴由直角三角形的性质可知，点B 为AF 的中点，(4pB ∴，1)，把点(4p B ，1)代入抛物线方程：22(0)y px p =>得，124p p =⨯，解得p =，4B ∴，1)，1221()2424AFM BFM S S ∆∆∴==⨯⨯⨯+=，． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了抛物线的性质，解题的关键是结合图形由抛物线的定义得BF BM =，(2pF ，0)，再由直角三角形的性质得，点B 为AF 的中点，利用中点坐标公式表示出点B 的坐标，考查了直角三角形的性质，是中档题． 16．【答案】(1)28y x =；(2)100x y +-=. 【分析】(1)由题意得圆心M 到点(2,0)F 等于圆心到直线2x =-的距离，利用两点间距离公式，列出方程，即可求得答案.(2)求得直线l 的方程，与椭圆联立，利用韦达定理，可得1212,x x x x +的值，即可求得AB 中点00(,)P x y 的坐标，根据直线l 与直线AB 垂直平分线垂直，可求得直线AB 垂直平分线的斜率，利用点斜式即可求得方程. 【详解】(1)设动点(,)M x y |2|x =+， 化简得轨迹E 的方程：28y x =；(2)由题意得：直线l 的方程为：2y x =-，由228y x y x=-⎧⎨=⎩，得21240x x -+=，2124140∆=-⨯⨯>， 设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点00(,)P x y 则121212,4x x x x +==， 所以12062x x x +==，0024y x =-=， 又AB 垂直平分线的斜率为-1，所以AB 垂直平分线方程为100x y +-=. 【点睛】本题考查抛物线方程的求法，抛物线的几何性质，解题的关键是直线与曲线联立，利用韦达定理得到1212,x x x x +的表达式或值，再根据题意进行化简和整理，考查计算求值的能力，属基础题.17．【答案】(1)2y x =；(2)证明见解析. 【分析】(1)根据抛物线22(0)i C y px p =>过点()1,1，由12p =求解.(2)设点A ､B 的坐标分别为()()221122,,,y y y y ，由122k k =-，易得1212y y =-，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为(0)y kx m m =+≠，联立方程2y x y kx m⎧=⎨=+⎩，利用韦达定理由1212m y y k ==-求解即可.注意直线AB 的斜率不存在的情况. 【详解】(1)因为抛物线22(0)i C y px p =>过点()1,1，所以12p =，解得12p =， 所以抛物线C 的方程为2y x =.(2)设点A ､B 的坐标分别为()()221122,,,y y y y ， 所以121222112211,y y k k y y y y ====， 由题意有121212k k y y ==-，得1212y y =-， ①当直线AB 的斜率不存在时，此时12y y =-，直线AB 的方程为12x =， ②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为(0)y kx m m =+≠，联立方程2y x y kx m⎧=⎨=+⎩，消去x 后整理为20ky y m -+=，可得1212m y y k ==-，得2k m =-， 直线AB 的方程为2y mx m =-+，可化为122y m x ⎛⎫=--⎪⎝⎭， 由①②知直线AB 过定点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意． 18．【答案】(1)24y x =；(2)9【分析】(1)设抛物线为()220y px p =>，根据点()1,2-在抛物线上，求出p ，得到结果；(2)不妨设()11,A x y ，()22,B x y ，直线h的方程为)1y x =-，联立直线与抛物线得231030x x -+=，解出方程，然后求解A 、B 坐标，转化求解四边形的面积.【详解】(1)根据题意，设抛物线为()220y px p =>，因为点()1,2-在抛物线上，所以()222p -=，即2p =，所以抛物线的方程为24y x =.(2)由(1)可得焦点()10F ，，准线为:1l x =-， 不妨设()11,A x y ，()22,B x y ()12x x >，过F的直线h的方程为)1y x =-，由)24 1y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得231030x x -+=，所以13x =，213x =，代入)1y x =-，得1y =2y =，所以(3,A，1,3B ⎛ ⎝⎭， 所以142p AD x +==，2423p BE x +==，12DE y y =-= 因为四边形ABED 是直角梯形，所以四边形ABED 的面积为()129AD BE DE +⨯=.【点睛】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.1．【答案】C【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p.故选：C ．【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题. 2．【答案】B【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B ．【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目. 3．【答案】B【解析】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P . 故选：B ．【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题. 4．【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2p p p -=，。
抛物线中的焦点定值问题的四种模型
抛物线中的焦点定值问题的四种模型抛物线是数学中的一种曲线形状，在很多领域中都有广泛的应用。
其中一个重要的问题是抛物线中焦点定值问题，即给定一条抛物线，如何确定其焦点的位置。
本文将介绍四种模型来解决这个问题。
第一种模型：几何构造法基于几何构造法，我们可以通过以下步骤确定抛物线的焦点位置：1. 绘制抛物线，并标记出其中一个焦点（我们称之为A）和对称轴上的一点B。
2. 以点B为基准，作出与抛物线相切的直线。
3. 以A为焦点，过点B作出一条与该直线平行的直线。
4. 该条平行直线与抛物线的交点C即为其焦点位置。
这种方法简单直观，适用于已知抛物线形状，且能够精确绘制的情况。
第二种模型：焦点定位关系法基于焦点A与顶点O、焦距f之间的定位关系，我们可以通过以下公式来计算焦点的位置：1. 设抛物线的方程为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
2. 根据焦点与顶点的距离关系，有f = 1/(4a)。
3. 综合焦点的定位与顶点的坐标关系，可以得到焦点的坐标为(x, y)，其中x = -b/(2a)，y = c - b^2/(4a)。
这种方法适用于已知抛物线方程的情况，通过求解方程中的参数即可确定焦点的位置。
第三种模型：导数法基于导数法，我们可以通过求解抛物线函数的导数来确定焦点的位置：1. 设抛物线的方程为y = ax^2 + bx + c。
2. 求解方程的导数，即y' = 2ax + b。
3. 将导数的值置为0，解方程2ax + b = 0，得到x = -b/(2a)。
4. 将x的值代入原始方程，可得到焦点的坐标为(x, y)，其中y = ax^2 + bx + c。
这种方法适用于已知抛物线方程且方程可导的情况，通过求解导数的根即可确定焦点的位置。
第四种模型：离心率法基于离心率法，我们可以通过抛物线的离心率来确定焦点的位置：1. 设抛物线的方程为y = ax^2 + bx + c。
2. 计算离心率e，公式为e = √(1 + 1/4a^2)。
有关抛物线的所有知识点
有关抛物线的所有知识点在数学的世界中，抛物线是一个非常重要的概念，它在许多领域都有着广泛的应用，从物理学中的抛体运动到工程学中的桥梁设计，从数学本身的函数研究到计算机图形学中的曲线绘制。
接下来，让我们一起深入了解抛物线的各个方面。
一、抛物线的定义抛物线可以用多种方式来定义。
最常见的是平面内到一定点 F（焦点）和定直线 l（准线）距离相等的点的轨迹。
也就是说，对于抛物线上的任意一点 P，它到焦点 F 的距离等于它到准线 l 的距离。
例如，如果有一个抛物线，其焦点为 F(0, 2)，准线为 y ＝－2，那么对于抛物线上的点 P(x, y)，就有 PF 的距离等于 P 到准线的距离，即√（x 0)²＋（y 2)²＝｜y ＋ 2| 。
二、抛物线的标准方程抛物线的标准方程有四种形式：1、当抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，开口向右时，方程为 y²＝2px（p ＞ 0），其中 p 为焦点到准线的距离。
2、当抛物线的焦点在 x 轴的负半轴上，开口向左时，方程为 y²＝－2px（p ＞ 0）。
3、当抛物线的焦点在 y 轴的正半轴上，开口向上时，方程为 x²＝2py（p ＞ 0）。
4、当抛物线的焦点在 y 轴的负半轴上，开口向下时，方程为 x²＝－2py（p ＞ 0）。
以 y²＝ 2px 为例，焦点坐标为（p/2, 0)，准线方程为 x ＝ p/2。
三、抛物线的性质1、对称性抛物线关于其对称轴对称。
对于形如 y²＝ 2px 的抛物线，其对称轴为 x 轴；对于形如 x²＝ 2py 的抛物线，其对称轴为 y 轴。
2、顶点抛物线的顶点是其对称轴与抛物线的交点。
在标准方程中，顶点坐标为（0, 0) 。
3、焦半径抛物线上一点到焦点的距离叫做焦半径。
对于抛物线 y²＝ 2px 上的一点 P(x₀, y₀)，其焦半径为 x₀＋ p/2 。
抛物线知识点归纳总结
抛物线是数学中一个重要的概念，它描述了物体在重力作用下的运动轨迹。
以下是关于抛物线的知识点归纳总结：1. 定义：抛物线是平面上到定点F和定直线l的距离相等的点的轨迹。
定点F被称为焦点，定直线l被称为准线。
2. 标准方程：抛物线的标准方程为y^2 = 2px (p>0)，其中p表示焦距，即焦点到准线的距离。
3. 焦点和准线：抛物线上的任意一点P到焦点F的距离等于该点到准线的距离，即PF=d，其中d为点P到准线的距离。
4. 对称性：抛物线具有旋转对称性和平移对称性。
以焦点为中心，抛物线可以绕x轴旋转任意角度，而抛物线上的任意一点关于x轴的对称点也在抛物线上。
5. 顶点：抛物线的顶点是其开口朝上或朝下的端点，即x坐标为±p/2的点。
顶点的纵坐标可以通过标准方程求得，即y=±p。
6. 图像特征：抛物线的图像是一条开口朝上或朝下的弧线，其形状取决于p的值。
当p>0时，抛物线开口朝上；当p<0时，抛物线开口朝下。
7. 渐近线：抛物线的渐近线是连接焦点和顶点的直线。
当p>0时，渐近线是平行于x轴的直线；当p<0时，渐近线是平行于x轴的虚直线。
8. 焦半径：抛物线上的任意一点到焦点F的距离称为该点的焦半径。
焦半径可以通过标准方程求得，即PF=√(x^2+y^2)。
9. 焦弦：抛物线上的任意两点到焦点F的距离之和称为这两点的焦弦。
焦弦的长度可以通过标准方程求得，即2p=PF+QF，其中P和Q是抛物线上的两点。
10. 焦面积：抛物线上的任意一点到焦点F的距离乘以该点到准线的距离得到该点的焦面积。
焦面积可以通过标准方程求得，即S=PF×d=p(x+p)。
11. 参数方程：抛物线也可以用参数方程表示，即x=ty^2/2p，y=±sqrt(2px)/2p。
其中t为参数，可以是任意实数。
12. 应用：抛物线在物理学、工程学和经济学等领域有广泛的应用。
例如，抛物线可以用来描述物体在重力作用下的弹射运动、炮弹的射程、收益与成本的关系等。
抛物线的基本知识点总结
抛物线的基本知识点总结
抛物线是一种常见的数学曲线，其形状像一个弯曲的碗。
学习抛物线可以帮助我们理解物理学、机械学、天文学等领域的相关理论，同时也是高中数学课程中的重要内容。
以下是抛物线的基本知识点总结：
1. 抛物线的定义：抛物线是一个平面曲线，其点到定点的距离等于其点到定直线的距离的平方的某个常数的比例。
定点称为焦点，定直线称为准线，常数称为离心率。
2. 抛物线的标准方程：y = ax^2 + bx + c。
其中a、b、c均为实数，a不等于零。
3. 抛物线的性质：抛物线的对称轴与焦点在同一直线上，对称轴与x轴垂直，焦点到顶点的距离等于准线到顶点的距离。
抛物线开口方向由a的正负号决定，向上为正，向下为负。
4. 抛物线的顶点坐标：顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)。
5. 抛物线的焦点坐标：焦点坐标为(-b/2a, 1/4a + c)。
6. 抛物线的准线方程：y = c - 1/4a。
7. 抛物线的参数方程：x = at^2 + bt + c, y = 2at + b。
其中t 为参数。
8. 抛物线的应用：抛物线在现实生活中有广泛的应用，如投射物的运动轨迹、抛物线天线的发射方向、建筑物的弧形设计等。
以上是抛物线的基本知识点总结，掌握这些知识可以帮助我们理解抛物线的性质和应用。
《抛物线》 知识清单
《抛物线》知识清单一、抛物线的定义平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。
二、抛物线的标准方程1、焦点在 x 轴正半轴上的抛物线：＄y^2 ＝ 2px （p ＞ 0)＄，焦点坐标为$（＼frac{p}｛2}，0)＄，准线方程为$x ＝＼frac{p}｛2}＄。
2、焦点在 x 轴负半轴上的抛物线：＄y^2 ＝－2px （p ＞ 0)＄，焦点坐标为$（＼frac{p}｛2}， 0)＄，准线方程为$x ＝＼frac{p}｛2}＄。
3、焦点在 y 轴正半轴上的抛物线：＄x^2 ＝ 2py （p ＞ 0)＄，焦点坐标为$（0, ＼frac{p}｛2}）＄，准线方程为$y ＝＼frac{p}｛2}＄。
4、焦点在 y 轴负半轴上的抛物线：＄x^2 ＝－2py （p ＞ 0)＄，焦点坐标为$（0, ＼frac{p}｛2}）＄，准线方程为$y ＝＼frac{p}｛2}＄。
其中，p 为焦点到准线的距离，称为抛物线的焦准距。
三、抛物线的图像与性质以$y^2 ＝ 2px （p ＞ 0)＄为例：1、定义域：x 取值范围为$0, ＋＼infty)＄。
2、值域：y 取值范围为 R 。
3、对称性：关于 x 轴对称。
4、顶点：坐标为$（0, 0)＄。
5、离心率：e ＝ 1 （抛物线的离心率恒为 1）。
对于其他三种标准方程的抛物线，其性质可以类似地进行分析。
四、抛物线的焦半径公式抛物线上一点到焦点的距离称为焦半径。
对于抛物线$y^2 ＝ 2px （p ＞ 0)＄，若点$P(x_0, y_0)＄在抛物线上，则焦半径$｜PF| ＝ x_0 ＋＼frac{p}｛2}＄。
对于抛物线$x^2 ＝ 2py （p ＞ 0)＄，若点$P(x_0, y_0)＄在抛物线上，则焦半径$｜PF| ＝ y_0 ＋＼frac{p}｛2}＄。
五、抛物线的焦点弦过抛物线焦点的直线与抛物线相交于两点，这两点之间的线段称为焦点弦。
抛物线的简单几何性质(位置)
抛物线与双曲线的位置关系
将抛物线和双曲线的方程联立，求解得到交点。根据交点 的个数和性质，可以判断抛物线与双曲线的位置关系。
03 抛物线对称性质
对称轴与对称中心
对称轴
对于一般的抛物线 y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)，其对称轴为直线 x = b/2a。特别地，当抛物线方程为 y = ax^2 时，对称轴为 y 轴。
已知焦点和准线求方程
01
根据抛物线的定义，已知焦点和准线可以唯一确定一条抛物线，
进而求出其方程。
已知焦点和曲线上一点求方程
02
通过设点法或待定系数法，可以求出抛物线的方程。
应用场景
03
在解决与抛物线相关的问题时，经常需要利用焦点来求解抛物
线的方程。
焦点在解决实际问题中应用
光学应用
在光学中，抛物线的焦点 性质被广泛应用于凸透镜、 凹透镜等光学器件的设计 和分析。
在解决与抛物线相关的距离问题时，可以利用准线的这一性质，通过计算点到直线的距离来间接求得点到焦点的 距离。
利用准线求曲线方程问题
性质描述
已知抛物线的准线方程和焦点坐标，可以推导出抛物线的标准方程。
应用场景
在求解与抛物线相关的曲线方程时，可以通过分析准线方程和焦点坐标，利用抛物线的定义和性质， 构建出抛物线的方程。
抛物线的顶点位于其对称 轴上，对于标准方程y^2 = 2px，顶点为(0,0)。
抛物线是轴对称图形，其 对称轴为通过顶点且垂直 于x轴的直线。对于标准 方程y^2 = 2px，对称轴 为y轴。
对于标准方程y^2 = 2px， 焦点为(p,0)，准线方程为 x = -p。
完整版)抛物线知识点归纳总结
完整版)抛物线知识点归纳总结抛物线是平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹。
点F叫做焦点，直线l叫做准线。
抛物线的图象为一个开口朝上或者朝下的弧线。
对于抛物线，有以下几个重要的知识点：1.抛物线的方程和范围：抛物线的方程可以表示为y^2=2px或者x^2=2py，其中p为抛物线的焦距，表示焦点到准线的距离。
抛物线的定义域和值域分别为x∈R和y≥0或者y≤0.2.抛物线的对称性：抛物线关于x轴对称或者关于y轴对称。
焦点在对称轴上。
3.抛物线的焦点和顶点：焦点是抛物线的一个重要特征点，位于抛物线的对称轴上。
顶点是抛物线的最高点或者最低点，也是抛物线的对称轴上的一个点。
4.抛物线的离心率和准线：离心率是焦点到顶点距离与焦点到准线距离之比的绝对值，表示抛物线的扁平程度。
准线是与焦点相对的直线，位于抛物线的对称轴上。
5.抛物线的焦半径和顶点到准线的距离：焦半径是从焦点到抛物线上的任意一点的线段长度，表示焦点到抛物线的距离。
顶点到准线的距离是抛物线的顶点到准线的垂直距离。
6.抛物线的参数方程和直线与抛物线的位置关系：抛物线的参数方程为x=2pt^2，y=2pt。
直线与抛物线的位置关系可以通过解方程或者求判别式的值来确定。
当直线与抛物线有一个交点时，可能是相离、相切或者相交的情况。
7.抛物线的焦点弦和以焦点为圆心的圆：焦点弦是抛物线上任意两点到焦点的线段所组成的线段。
以焦点为圆心的圆与抛物线的准线相切，且以准线为直径。
8.抛物线的切线方程和以AB为直径的圆：以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，且以准线为直径。
切线方程可以通过求导得到。
以上是抛物线的一些重要知识点，掌握这些知识点可以更好地理解和应用抛物线。
设抛物线方程为y=2px，交点坐标为A(x1,y1)和B(x2,y2)。
可以利用两点坐标公式求出斜率k和截距b，进而得到交点坐标的表达式。
对于涉及弦长、中点、对称、面积等问题，可以利用交点坐标的表达式来解决。
抛物线线的基本知识点
抛物线线的基本知识点抛物线是一种常见的数学曲线，由于其在物理学、工程学、天文学等领域的应用十分广泛，因此掌握基本的抛物线知识点是很有必要的。
本文将从定义、性质、公式以及实际应用等方面介绍抛物线的基本知识。
1. 定义抛物线是平面上一种二次函数曲线，其数学描述为y=ax²+bx+c，其中a≠0。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
抛物线最显著的特点是对称性。
抛物线的对称轴是垂直于x轴的一条直线，其方程为x=-b/2a。
对称轴将抛物线分为两个完全相等的部分，分别称为左半轴和右半轴。
抛物线的顶点位于对称轴的最低点或最高点。
2. 性质（1）焦点和准线抛物线的焦点是指到该曲线上任意一点的距离与该点到直线（称为准线）的距离一致的点。
焦点与准线的距离称为离心率，通常用e表示。
对于抛物线而言，离心率始终等于1。
焦点和准线是抛物线最重要的特征之一，因为它们可以帮助我们确定抛物线的形态和位置。
（2）对称性抛物线的对称性已经在定义时介绍过，这里再强调一遍。
对称轴是垂直于x轴的一条直线，其方程为x=-b/2a。
可以通过对称性来求得抛物线的顶点等重要信息。
（3）切线和法线抛物线上任意一点P的切线与经过该点且平行于抛物线的一条直线之间的夹角是固定的。
这个角度等于以该点为焦点、准线上垂直于该点的直线为半轴的扇形和抛物线沿该点的切线所夹的角。
此外，抛物线上任意一点P的法线与其切线垂直。
法线是指过该点并垂直于切线的直线。
抛物线的对称轴也是所有切线的垂线。
（4）导数和曲率抛物线的导数和曲率可以用于描述它的变化率和弯曲程度。
抛物线y=ax²+bx+c的导数为y'=2ax+b。
当x=-b/2a时，导数为零，说明此时抛物线的斜率为零，也就是抛物线切线与x轴平行，正是抛物线的顶点。
抛物线的曲率在顶点处很大，在两个端点处最小。
3. 公式关于抛物线的公式和图像，我们可以通过以下几种方式来确定。