函数单调性与导数教案

3.3.1函数的单调性与导数

【三维目标】

知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系

2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间

过程与方法：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法

2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转

化思想。

情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。 【教学重点难点】

教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。 教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。 【教 具】多媒体 【教学方法】问题启发式 【教学过程】 一．复习回顾

复习 1：导数的几何意义

复习2：函数单调性的定义，判断单调性的方法，（图像法，定义法）

问题提出：判断y=x 2

的单调性，如何进行（分别用图像法，定义法完成）

那么如何判断();,0,sin )(π∈-=x x x x f 的单调性呢引导学生图像法，定义去尝试发觉有困难，

引出课题：板书课题：函数的单调性与导数

二．新知探究

探究任务一：函数单调性与其导数的关系：

问题1:如图（1）表示高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数105.69.4)(2

++-=t t t h 的图像，图(2）表示高台跳水运动员的速度5.68.9)(')(+-==t t h t V h 的图像.

通过观察图像, 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别此时你能发现)(')(t h t h 和这两个函数图像有什么联系吗

启发:函数)('t h 在(0,a)上是大于0，函数)(t h 在(0,a)上有何特点呢函数)('t h 在(a ，b)上是小于0，那么函数)(t h 在(a,b)上有何特点呢

问题2：观察图（1）～图（4），探讨函数与其导函数是否也存在问题（1）的关系呢

问题3：通过对问题1和问题2的观察，你能得到原函数的单调性与其导函数的正负号有何关系你能得到怎样的结论（形成初步结论，板书结论：函数的单调性与导数的关系：在某个区间(,)a b 内，如果'

()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'

()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．）

问题4：上述结论主要是通过观察得到的，你能结合导数的几何意义为切线的斜率，你能从这个角度给予说明吗

探究任务二：()0'=x f 与函数单调性的关系：

问题5：若函数()x f 的导数()0'=x f ，那么()x f 会是一个什么函数呢（板书：特别的，如果'

()0f x =，

那么函数()y f x =在这个区间内是常值函数．）

问题6：平时我们遇到很多需要数形结合的题目，那么现在我们知道了导数的正负能帮助我们判断函数的单调性，那么我们能否利用导数信息画出函数的大致图像呢

例1:已知某函数的导函数的下列信息:

当;0)('41><x f x x 时，或 当.0)('1,4===x f x x 时，或试画出函数()x f 图像的大致形状.

跟踪练习1、设()y f x '=是函数()y f x =的导数, ()y f x '=的 图象如图所示, 则()y f x =的图象最有可能是( )

问题7：根据我们得到的导数与单调性之间关系的结论，你能否利用此结论来求函数的单调区间呢

例3：判断下列函数的单调性,并求出单调区间:

（1）();,0,sin )(π∈-=x x x x f （2）;12432)(23+-+=x x x x f （3）;3)(3x x x f +=（4）;32)(2--=x x x f （5）f(x)＝x ＋ln x （对于（2）让学生课后探究尝试单调性的定义法和图象法）

问:你对利用导数去研究函数的单调性有什么看法你能总结出利用导数求单调区间的步骤吗（简单易行）

（板书“求解函数()y f x =单调区间的步骤：

（1）确定函数()y f x =的定义域；（2）求导数''()y f x =； （3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．

问题8：导数能帮助我们简洁的求出单调区间，画出大致图象，但我们知道就是递增（递减）也有快

与慢的区别，在导数上如何体现呢下面我们就来看一下下面这个问题

例3．如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像．

分析：

在导数几何意义那节我们就感受了增加与减少也由快慢之分，那么我们以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A ）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况． 解：()()()()()()()()1,2,3,4B A D C →→→→

思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗

一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．

如右图, 函数()y f x =的图象 ，在(0,)b 或(,0)a 内的图象“陡峭”, 在(,)b +∞ 或(,)a -∞ 内的图象平缓.

（跟踪练习）已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是( )