利用导数求解函数的零点和方程的根的策略

利用导数求解函数的零点活方程的根的策略
【例题精讲】
已知函数21()e x
ax bx f x ++=． （Ⅰ）当1a b ==时，求函数()f x 的极值；
（Ⅱ）若()11f =，且方程()1f x =在区间()0,1内有解，求实数a 的取值范围．
解：（Ⅰ）当1a b ==时，21()e x x x f x ++=，则2()e
x x x f x -'=， 解不等式()0f x '>，得01x <<，所以，函数()f x 在()0,1上单调递增；
解不等式()0f x '<，得0x <或1x >，所以，函数()f x 在(),0-∞和()1,+∞上单调递减，
因此，函数()f x 的极小值为(0)1f =，极大值为3(1)e
f =；
（Ⅱ）由(1)1f =得e 1b a =--，由()1f x =，得2e 1x ax bx =++，
设()2e 1x g x ax bx =---，则()g x 在()0,1内有零点，设0x 为()g x 在()0,1内的一个零点， 由()()010g g ==知，()g x 在()00,x 和()0,1x 上不单调，
设()()h x g x '=，则()h x 在()00,x 和()0,1x 上均存在零点，即()h x 在()0,1上至少有两个零点． ()()e 2,e 2x x g x ax b h x a ''=--=-． 当12a ≤
时，()0h x '>，()h x 在()0,1上单调递增，()h x 不可能有两个及以上的零点； 当e 2a ≥
时，()0h x '<，()h x 在()0,1上单调递减，()h x 不可能有两个及以上的零点； 当1
e 22a <<时，令()0h x '=，得()()ln 20,1x a =∈，
所以，()h x 在()()0,ln 2a 上单调递减，在()()ln 2,1a 上单调递增，
()h x 在()0,1上存在极小值()()ln 2h a ，
若()h x 有两个零点，则有()()()()ln 20,00,10h a h h <>>,
()()()1e ln 232ln 21e 2
2h a a a a a ⎛⎫=-+-<< ⎪⎝⎭，
设()()3ln 1e 1e
2m x x x x x =-+-<<，则()1ln 2m x x '=-，令()0m x '=，得x =
当1x <<()0m x '>，函数()m x e x <<时，()0m x '<，函数()m x 单调递减．
所以，()
max 1e<0m x m =-，所以，()()ln 20h a <恒成立，
由()()01e+2>0,h 1e 20h b a a b =-=-=-->,得e 21a -<<．
【方法归纳】 公众号：品数学
(1)通过最值(极值)判断零点个数的方法.
借助导数研究函数的单调性、极值后,通过极值的正负,函数单调性判断函数图象走势,从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围.
(2)数形结合法求解零点.
对于方程解的个数(或函数零点个数)问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性,画出草图数形结合确定其中参数的范围.
(3)构造函数法研究函数零点.
①根据条件构造某个函数,利用导数确定函数的单调区间及极值点,根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系,从而求解.
②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化,突出导数的工具作用,体现转化与化归的思想方法.
【变式练习1】已知函数()()22x x f x ae a e x =+--.
(1)讨论() f x 的单调性;
(2)若() f x 有两个零点,求a 的取值范围.
【解析】(1) ()()()()2'221121x x x x f x ae a e ae e =++-=-+,
①当0a ≤时, ()'0f x <,()f x 在(),-∞+∞上单调递减,
②当0a >时,
f x 在(,ln )a -∞-上单调递减, (ln ,)a -+∞上单调递增.
(2)因为()f x 有两个零点,所以必有0a >,否则()f x 在R 上单调递减,至多一个零点,与题意不符. 当0a >时, ()f x 在(,ln )a -∞-上单调递减, ()f x 在(ln ,)a -+∞上单调递增,
又()f x 有两个零点,所以必有()ln 0f a -<,即()2
112ln 0a a a a a ⎛⎫⋅+-⋅-< ⎪⎝⎭, 又因为0a >,可得22ln 0a a -+<.
令()22ln g a a a =-+()0a >),则()1'20g a a =+
>, 所以()g a 在()0,+∞上单调递增.
因为()10g =,所以由22ln 0a a -+<可得01a <<.
综上所述01a <<. 公众号：品数学
【变式练习2】已知函数()ln a f x x a x =-
+在[]1,e x ∈上有两个零点，则a 的取值范围是( ) A.e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭ B.e ,11e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭ C.e ,11e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦
D.[)1,e - 【解析】∵[]221'(),1,e a x a f x x x x x
+=+=∈． 当1a ≥-时，()'0f x ≥，()f x 在[]1,e 上单调递增，不合题意． 当e a ≤-时，()'0f x ≤，()f x 在[]1,e 上单调递减，也不合题意． 当e 1a -<<-时，则,[)1x a ∈-时，()'0f x <，()f x 在[1,)a -上单调递减， ,e (]x a ∈-时，()'0f x >，()f x 在(],e a -上单调递增，
又()10f =，所以()f x 在e []1,x ∈上有两个零点， 只需(e)10e a f a =-+≥即可，解得e 11e
a ≤<--. 综上，a 的取值范围是e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭
.故选A.
【变式练习3】已知函数217()(2)ln 422
f x x x x x =++-+，则函数()f x 的所有零点为 . 【解析】函数)(x f 的定义域为),0(+∞， 且()2ln 3f x x x x
'=++-． 设()2ln 3g x x x x =++-，则()()222221122()1x x x x g x x x x x
+-+-'=-+==()0x >． 当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>，
即函数()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 所以当0x >时，()()10g x g ≥=（当且仅当1=x 时取等号）． 即当0x >时，()0f x '≥（当且仅当1=x 时取等号）． 所以函数()f x 在),0(+∞单调递增，至多有一个零点. 因为(1)0f =，1=x 是函数)(x f 唯一的零点.
综上，函数()f x 的所有零点只有1=x ．
【答案】1.。