高中数学 3.3.1几何概型及其概率计算练习案 新人教A版

3．3 几何概型

3．3.1 几何概型及其概率计算

结合已学过两种随机事件发生的概率的方法，更进一步研究试验结果为无穷多时的概率问题，理解几何概型的定义与计算公式．

基础梳理

1．几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件____________，则称这样的概率模型为____________简称为几何概型．

答案: 区域的长度(面积或体积)成比例几何概率模型

2．在几何概型中，事件A概率计算公式为：

P(A)＝

构成事件A的区域长度（面积或体积）

试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）

.

3．几何概型的特点：在一个区域内________，只与该区域的________有关．

答案: 均匀分布大小

4．几何概型与古典概型的区别：________________________________________________________________________.

例如：一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；那么他8：00到8：20到的概率是：______.

答案: 4．试验的结果不是有限个

例：13

自测自评

1．如下图所示将一圆四等分，向圆盘内随机撒两粒小米，则两粒米都落在阴影部分的概率是( A )

A.14

B.12

C.2

4

D ．0 2．如下图所示，在500 mL 的水中有一只草履虫，现从中随机取出2 mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率为( C )

A ．0

B ．0.002

C ．0.004

D ．1

3．下列概率模型中，几何概型的个数为( )

①从区间[－10，10]内任取出一个数，求取到1的概率；

②从区间[－10，10]内任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率； ③从区间[－10，10]内任取出一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；

④向一个边长为4 cm 的正方形ABCD 内投一点P ，求点P 离中心不超过1 cm 的概率． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

解析：①不是几何概型，虽然区间[－10，10]有无限多个点，但取到“1”只是一个数字，不能构成区域长度；②是几何概型，因为区间[－10，10]和[－1，1]上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性)；③不是几何概型，因为区间[－10，10]上的整数只有21个(是有限的)，不满足无限性特征；④是几何概型，因为在边长为4 cm 的正方形和半径为1 cm 的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都有相等可能被投到，故满足无限性和等可能性．

答案：B

4．如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )

A ．1－π4 B.π2－1 C ．2－π2 D.π4

解析：选择面积作为测度，求解几何概型的概率． 取面积为测度，则所求概率为P ＝

S 图形DEBF

S 矩形ABCD

＝ 2×1－π×12

×14×22×1＝2－

π22＝1－π

4.

答案：A

基础达标

1．ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( B )

A.

π4 B ．1－π4 C.π8 D ．1－π8

2．关于几何概型和古典概型的区别，下列说法正确的是( B ) A ．几何概型中基本事件有有限个，而古典概型中基本事件有无限个 B ．几何概型中基本事件有无限个，而古典概型中基本事件有有限个

C ．几何概型中每个基本事件出现的可能性不相等，而古典概型中每个基本事件出现的可能性相等

D ．几何概型中每个基本事件出现的可能性相等，而古典概型中每个基本事件出现的可能性不相等

3．一个红绿灯路口，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为45秒．当你到达路口时，恰好看到黄灯亮的概率是( C )

A.

112 B.38 C.116 D.56

4．已知点P 是边长为4的正方形内任一点，则点P 到四个顶点的距离均大于2的概率是( )

A.

π

4 B ．1－π4 C.14 D.π

3

解析：如图所示，边长为4的正方形ABCD ，分别以A 、B 、C 、D 为圆心，都以2为半径画弧截正方形ABCD 后剩余部分是阴影部分．

则阴影部分的面积是42－4×14×π×22

＝16－4π

所以所求概率是16－4π16＝1－π

4

.

答案：B

5．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放在显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为( )

A ．0.008

B ．0.004

C ．0.002

D ．0.005

解析：将问题转化为与体积有关的几何概型求解，概率为2

400

＝0.005. 答案：D 巩固提升

6．如右图，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点，作射线OC ，则∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率为________．

答案：13

7．在体积为V 的三棱锥SABC 的棱AB 上任取一点P ，求三棱锥SAPC 的体积大于V

3的概

率．