(人教a版)必修一同步课件：分段函数及映射

x,0 x 1, x, 1 x 0.
二、映射
非空
唯一确定 从集合A到集合B
思考：映射与函数有什么区别与联系?
提示：区别：映射中集合A，B可以是数集，也可以是其他集
合，函数中集合A，B必须是数集.
联系：函数是特殊的映射，映射是函数的推广 .
【知识点拨】
1.对分段函数的认识
1 , x∈A,y∈B. x x
上述三个对应关系中，是映射的是______，是函数的是______.
【解析】1.选D.由函数的定义可知，对于A，0∈R,且|0|=0∉B,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
故A不是A到B的函数；对于B，0∈Z,且02=0∉N*,故B不是A到B的函数
对于C，当x＜0时，如-2∈Z,但
无意义，故 C不是A到B的 2
类型 一
分段函数求值问题
【典型例题】
x 2 1 ，x 1, 1.(2012·江西高考)设函数 f x 2 则f(f(3))=( ) ，x＞1, x A.1 B.3 C. 2 D. 13 5 3 9 x, x 0, 2.(2013·温州高一检测)设函数 f x 若f(a)=4,则 2 x , x＞0,
b b 可能对应集合N中的2或0，当 对 a a
b a
b =1,则b=2,此时M中有两个相同元素，不合适，故 a b b b=2应舍去，当 对应0时，则 =0,则b=0，此时M={0,1}，符 a a
合题意，综上可知a=2,b=0,即a+b=2.
映射与函数的关系 【典型例题】 1.下列对应为A到B的函数的是( )
探究提示：
1.已知函数图象,一般用待定系数法求其函数解析式.
2.本题中由于不同里程内的计价标准不同，因此需建立分段
函数来刻画车费和行车里程之间的函数关系.
【解析】1.选C.当x∈［-1,0］时，设f(x)=ax+b,由图象过点 (-1,0)和(0,1),代入求得a=1,b=1,所以f(x)=x+1;当x∈(0,1］ 时，设f(x)=ax,由图象过(1,-1)，得a=-1,所以f(x)=-x. 所以 f x
2.某市出租车的计价标准是：4km以内10元，超过4km且不超
过18km的部分1.2元/km，超过18km的部分1.8元/km.
(1)如果不计等待时间的费用，建立车费与行车里程的函数关
系式.
(2)如果某人乘车行驶了20km，他要付多少车费？
【解题探究】1.已知函数图象，一般用什么方法求其解析式 ? 2.怎样建立题2中的函数关系？
(3)由图象知，当-1≤x≤1时，
f(x)=x2的值域为［0,1］,
当x＞1或x＜-1时，f(x)=1.
所以f(x)的值域为［0,1］.
类型 三
映射及映射的判断
【典型例题】
1.(2013·安庆高一检测)设集合A={x|1≤x≤2},
B={y|1≤y≤4}，则下述对应关系f中，不能构成A到B的映射 的是( ) B.f:x→y=3x-2 D.f:x→y=4 -x2
第2课时 分段函数及映射
一、分段函数的定义 在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同 的_________ 对应关系 的函数.
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分段函数有几段，它的图象就有几段，它们之间不连续. ( )
(2)若D1，D2分别是分段函数的两个不同对应关系的值域，则
【解题探究】1.从集合A到B的映射中元素是怎样对应的？
2.怎样判断一个对应是映射？ 探究提示： 1.映射中要求元素对应是“一对一”或“多对一”，即A中的 元素在集合B中有唯一的元素与之对应. 2.判断一个对应是映射要根据定义，关键是看集合 A中元素是 不是在集合B中都有唯一的元素与之对应.
【解析】1.选D.对于D，当x=2时，由对应关系y=4-x2,得y=0,在 集合B中没有元素与之对应，所以D选项不能构成A到B的映射.
1 1 1 8 )=f( )=1-( )2= . f (3) 3 3 9
类型 二
分段函数的图象及应用问题
【典型例题】 1.已知函数f(x)定义在［-1,1］上，图象如图所示，那么f(x) 的解析式是( )
x 1, x ［ 1,0］ A. f x
x, x (0,1］ x 1, x ［ 1,0］ B. f x x, x (0,1］ x 1, x ［ 1,0］ C.f x x, x (0,1］ ［ 1,0) D.f x x 1, x ［0,1］ x, x
A.A=R,B={x|x＞1},f:x→y=|x|
B.A=Z,B=N*,f:x→y=x2
C.A=Z,B=Z,f:x→y= x
D.A=［-1,1］,B={0},f:x→y=0
2.根据所给的对应关系，回答下面的问题： ①A=N*,B=Z,f:x→y=3x+1,x∈A,y∈B；②A={x|x为高一(2)班 的同学}，B={x|x为身高},f:每个同学对应自己的身高;③A=R, B=N,f:x→y=
1 x 2 , x 1, 【变式训练】(2013·绵阳高一检测)函数 f x x 2 x 3, x 1， 1
则f( A.
15 16
f (3)
)的值为( B. 27
16
)
C.
8 9
D.18
1 <1, 3
【解析】选C.≧x>1,≨f(3)=32-3-3=3，又 ≨f(
D1∩D2=∅.( )
1 ，x 0, ，x＜0 1
(3)函数 f x
是分段函数.(
)
提示：(1)错误.分段函数的图象可以是一条连续的曲线，也可 以是点或几段图象. (2)错误.虽然分段函数在x的不同取值范围，对应不同的对应 关系，但D1∩D2可能不是空集，如函数 f x (3)正确.它符合分段函数的定义. 答案：(1)〓 (2)〓 (3)√
函数；对于D，是多对一的情形，符合函数的定义，是 A到B的函 数. 2.①②是映射，但②中A不是数集，所以②只能是映射，而不是 函数.③中当x=0时，在集合B中没有元素与之对应. 答案：①② ①
【拓展提升】判断对应是否为函数的关键点 (1)两个集合是否为非空数集. (2)对集合A中的每一个元素，在集合B中是否都有元素与之对应. (3)集合A中任一元素在集合B中的对应是否唯一.
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(2)若f(x)≥ , 求x的取值范围. (3)求f(x)的值域. 【解题指南】解答本题的关键是根据分段函数的性质及常见
函数的图象画出f(x)的图象，然后根据条件求解(2)(3).
【解析】(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示.
1 1 1 (2)由于 f ( ) , 结合此函数图象可知，使f(x)≥ 的x的 4 2 4 1 1 取值范围是(-≦, ］∪［ , +≦). 2 2
x 1, x ［ 1,0］， . x, x (0,1］
2.(1)设车费为y元，行车里程为xkm.
10,0＜x 4, 则根据题意得 y 1.2x 5.2,4＜x 18， 1.8x 5.6, x＞ 18.
(2)当x=20时，y=1.8〓20-5.6=30.4,即当乘车20km时，要付 车费30.4元.
2.(1)不是从A到B的映射.因为任何正数的平方根都有两个，所
以对A中任何一个元素，在B中都有两个元素与之对应.
(2)是从A到B的映射.因为A中每个数的平方除以4后，都在B中有
唯一的数与之对应.
(3)不是从A到B的映射.因为A中有的元素在B中无元素与之对应.
如0∈A,而(0-2)2=4∉B.
(4)是从A到B的映射.因为A中每一个元素在B中都有唯一的元 素与之对应.
【拓展提升】
1.由分段函数的图象确定函数解析式的方法
(1)定类型：根据自变量在不同范围内的图象的特点，先确定
函数的类型.
(2)设函数式：设出函数的解析式.
(3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程(组)，求出
该段内的解析式. (4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的 取值范围.
2.利用分段函数求解实际应用题的策略
(1)首要条件：把文字语言转换为数学语言 .
(2)解题关键：建立恰当的分段函数模型.
(3)思想方法：解题过程中运用分类讨论的思想方法 .
x 2 , 1 x 1, 【变式训练】已知 f x 1或x＜ 1, 1, x＞
(1)画出f(x)的图象.
【拓展提升】判断一个对应是不是映射的方法
判断一个对应是不是映射，主要是依据定义，看是否满足：
(1)集合A中元素在B中都有元素与之对应且唯一.
(2)对应是一对一或多对一.
【变式训练】(2013·杭州高一检测)a,b为实数，集合M={ , 1}, N={a,0},f:x→2x表示把集合M中的元素x，映射到集合N中为2x, 求a+b的值. 【解析】由题意知，集合M中的元素1只能对应集合N中的a,故 a=2,故N={2,0},而M中的 应2时，则
A.f:x→y=x2 C.f:x→y=-x+4
2.下列对应是不是从A到B的映射，为什么？ (1)A=(0,+∞),B=R,对应关系是“求平方根” . (2)A={x|-2≤x≤2},B={y|0≤y≤1},对应关系是
x2 f:x→y= (其中x∈A,y∈B). 4
(3)A={x|0≤x≤2},B={y|0≤y≤1},对应关系是f:x→y=(x-2)2 (其中x∈A,y∈B). (4)A={x|x∈N},B={-1,1},对应关系是f:x→y=(-1)x(其中x∈A, y∈B).
【变式训练】设M={x|0≤x≤2},N={y|1≤y≤2},给出下面4个