数值分析第四章

考察 I T2n 1
I Tn 4
由 I4T42n1Tn4 3T2n1 3Tn来计算 I 效果是否好些？
4 3
T8
1 3
T4
= 3.141592502
= S4
Romberg 序列
一般有：
4T2n Tn 41
Sn
42S2n Sn 42 1
Cn
43C2n Cn 43 1
Rn
➢ Romberg
T1 = T0(0) T2 = T0(1)
通常采取将区间不断对分的方法，即取 n = 2k
上例中2k 409 k = 9 时，T512 = 3.14可15用是92来否02判停断止迭。代
注意到区间再次对分时 R 2n[f]1 1[2 f(b)f(a) ]h 2 21 4R n[f]
I T2n 1 I Tn 4
IT2n13(T2nTn)
1
例：计算
dx 4
0 1x2
解：T8116 f(0)2k7 1f(xk)f(1)
其中
xk
k 8
运算量基 本相同
= 3.1
1
S 4 2 4 f(0 ) 4 od f( d x k) 2 e vfe (x n k)f(1 ) 其中
xk
k 8
= 3.141592502
20
Q: 给定精度 ，如何取 n ?
数值分析第四章
2021/2/21
1
第四章 数值积分与数值微分
2
b
I a f (x)dx
3
在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分
b
I(f)af(x)dxF(b)F(a)
要求被积函数f(x)
☞ 有解析表达式；
☞ f(x)的原函数F(x)为初等函数．
4
☎ f(x)没有解析表达式，只有数表形式
2T0
(
h 2
)
T0
(
h)
21
I
1 2
2
h
2
3 4
3
h
3
...
即：T 1 (h ) 2 T 0 (h 2 2 ) 1 T 0 (h ) I1 h 22 h 3 ...
T 2 ( h ) 22T1(2h22)1T1(h) I 1 h 3 2 h 4 ...
T m ( h ) 2mTm12(m h2)1Tm1(h) I 1 h m 1 2 h m 2 ...
f(b)
代入
P1
=
x
：
b
xdx
a
b2
a2 2
=
b2a[ab]
a
b
代入
P2
=
x2
：b a
x2dx
b3a3 3
b2a[a2 b2]
代数精度 = 1
10
n
注：形如 Ak f (xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度 该
k0
公式为插值型（即：Ak
b
a lk
(x)dx）
11
§2 Newton-Cotes 公式
21
Euler-Maclaurin公式：复化梯形公式误差的渐近 展开：
T n b f(x ) d x 1 h 2 2 h 4 m h 2 m m 1 h 2 m 2 a
22
➢龙贝格积分
例：计算
1
dx 4
0 1x2
已知对于 = 106 须将区间对分 9 次，得到 T512 = 3.14159202
90
2
n = 3: Simpson’s 3/8公式, 代数精度 = 3,
R[f]3h5f(5)()
80
n = 4: Cotes 公式, 代数精度 = 5,
R[f] 8 h7f(6)()
945
14
1 h 3 f ( 2 ) ( ), 12
1 h 5 f ( 4 ) ( ),
90
Rn(
f
)
一阶和二阶Newton-Cotes公式分别是梯形公式和辛甫生公式.
13
n = 1:
C0(1) 1 2,
C1(1)
1 2
梯形公式
bf(x)d xba[f(a)f(b)]
a
2
代数精度 = 1
R [f]abf2 (!x)(xa)x (b)dx/值* 定令理x =*/a+th, h = ba, 用中
1h 3f(), [a ,b ],h b a
➢ 复化梯形公式： h b n a,x k a k h(k 0 ,..,n .)
在每个 [xk1, xk]上用梯形公式：
x x k k 1f ( x ) d x x k 2 x k 1 [f ( x k 1 ) f ( x k ),] k 1 ,.,. n .
abf(x)d xkn 1h 2[f(xk1)f(xk) ]h 2f(a)2k n 1 1f(xk)f(b)= Tn
是否对所有可积函数 f (都x) 有 ln im En(？f)0 注意到多项式插值的Runge现象：
f(x)1215x2
它的（取等距剖分点为节点）Lagrange插值多项 式不收敛. 例如,数值求积过程
4 dx
I 41x22arc(4)t g2.6516
16
是发散的（见表）：用Newton-Cotes公式计算的例
nA kx k ib(x )x id,x i0 ,1 ,2 , ,2 n 1
a
6
2
7
b
n
f(x)dx Akf(xk) （1）
a
k0
希望恰当的选取 { x，k } {，Ak使} 得求积公式的
精确度很高。 定义1如果求积公式（1）对所有次数 的m多项式
是精确的，但对m次1多项式不精确，则称（1） 具有 m次代数精度。
可以验证：梯形公式、中矩形公式的代数精度均 为1，Simpson公式代数精度为3。
)
n k0
(x
xk
) dx
9
例：对于[a, b]上1次插值，有 L 1 (x ) a x b bf(a ) b x a af(b )
b
A 1 A 2 b 2 a af(x )d x b 2 a[f(a ) f(b )]
考察其代数精度。
f(x)
解：逐次检查公式是否精确成立
代入 P0 = 1：ab1dx梯b形a公=式b2a[11] f(a)
12
1
n = 2: C 0 (2)1 6,C 1 (2)3 2,C 2 (2)1 6
Simpson公式
n公为式a b偶f至(数x 少)d 阶有 的x nb N+ 6 1ea w次[tf o代( na -数)C o精4 tef度s(a 。 2 b)f(b )]代数精度 = 3
R [f] 1 h 5 f(4 )(), ( a ,b ),h b a
❖ 当节点等距分布时： x iaih ,hb n a, i0 ,1 ,..,n .
Ai
xn x0 ji
(xxj
) d
x
(xi xj)
令 xath
n
(tj)h h d t(b a ) (1 )n i n
(tj)dt
0i j(ij)h
n i!(n i)!0i j
注：Cotes 系数仅取决于 n 和 i， 可查表得到。与 f (x) 及区 间[a, b]均无关。
3 h 5 f ( 4 ) ( ), 80
8 h 7 f ( 6 ) ( ),
945
275 12096
h 7 f ( 6 ) ( ),
n 1, n 2, n 3, n 4, n 5.
Newton-Cotes公式的代数精度为：
dnn,1,
当n为偶数, 时 当n为奇数. 时
15
➢ 收敛性问题
a
f(xk)alk(x)dxAk
k0
误差 R[ f ]
b
n
f Байду номын сангаас x )dx a
Ak f ( xk )
k0
b
b
b
Ak a
jk
(xxj ) (xkxj )
d
x由与节f (点x)
决定， 无关。
[
a
f
(x)
Ln ( x )]dx
a Rn ( x )dx
b a
f ( n1) ( x (n 1)!
子
n
In
2
5.4902
4
2.2776
6
3.3288
8
1.9411
10
3.5956
Newton-Cotes公式在实际应用中，常用的是n7 的情形，特别是：n1,2的,4情形.即梯形公式， Simpson公式，Cotes公式.
17
§3 复化求积公式
高次插值有Runge 现象，故采用分段低次插值 分段低次合成的 Newton-Cotes 复合求积公式。
例如：要求 |ITn|，如何判断 n = ？
R[f]h2(ba)f() 12
? h2
n
[
1 2k1
f(k)h]
h 2 bf(x)d xh 2[f(b)f(a)]
12 a
12
上例中若要求 |ITn|106，则 |R n[f]|1 h 2|2 f(1)f(0)|h 6 216 0
h0.002449即4：9取 n = 409
这时
hbah, n 2
xkakh，有
S n h 3 [f(a ) 4 od kfd (x k ) 2 evk f e(x n k ) f(b )]
19
➢ 收敛速度与误差估计：
定义 若一个积分公式的误差满足
R[f] lhim 0 hp
C
且C 0，
则称该公式是 p 阶收敛的。
~ ~ ~ T n O ( h 2 ) ,S n O ( h 4 ) ,C n O ( h 6 )
x12345
f(x) 4 4.5 6 8 8.5
☎
f(x)有表达式，但原函数不是初等函数
，1 e x 2 d x 0
1
0(arctanx x)dx
5
定积分定义：
:a x 0 x 1 x n b
b
n
af(x )d x lix m 0k 1 x kf(k) x ix i x i 1 ,
设对于某一 h 0，有公式 T0(h) 近似计算某一未知值 I。由
Taylor展开得到： T0(h) I = 1 h + 2 h2 + 3 h3 + …
( ) ( ) ( ) 现将
h
对分，得：T0 (
h 2
)
I
1
h 2
2
h 2
2 3
h 2
3 ...
Q：如何将公式精度由 O(h) 提高到 O(h2) ？
n
R[f]kn1[1h32f(k)]1h22(ba)
k1
f(k)
n
/*中值定理*/
h2
(ba)f(),
(a,b)
12
18
➢ 复化 Simpson 公式： h b n a,x k a k h(k 0 ,..,n .)
x x k k 1f(x )d x h 6 [f(x k ) 4 f(x k 1 2) f(x k 1 )]
xm 1 i n a x i,x x i 1ix i
几何意义：曲边梯形的面积.
f(x)
f(a) a
6
f(b) b
梯形公式
b
ba
f(x)d x a
[f(a)f(b)] 2
中矩形公式
bf(x)dx(ba)fab
a
2
辛甫生（Simpson）公式
bf(x )d x ba[f(a )4f ab f(b )]
xk
xk
1 2
x k1
4
4
4
4
4
b
h
n 1
n 1
a f(x ) d 6 x [f( a ) 4 k 0 f(x k 1 2 ) 2 k 0 f(x k 1 ) f( b ) ]= Sn
R[f]bah4 f(4)()
1802
注：为方便编程，可采用另一记法：令 n’ = 2n 为偶数，
24
§5 高斯型积分
考虑求积公式
b(x)f(x)d
n
x
Akf(xk)
a
k1
其中 (x)0为已知权函数
b
A k a
(x)lk(x)d,xlk(x)j n1x x k x xjj
xi xj
（当 i j 时）
jk
25
构造具有2n+1次代数精度的求积公式
b(x)f(x)dxn a
Akf(xk)
Cotes系数
C (n) i
12
n
ck， k0,1,2, ,n
11
1
22
121
2
636
3
1331
8888
4
7 16 2 16 7
90 45 15 45 90
5
192525 252519
288 96144 144 96288
419 9 34 9 9 41
6
843 05 281 002 583 05 840
k0
将节点 x0 … xn 以及系数 A0 … An 都作为待定系数。 令 f (x) = 1, x, x2, …, x2n+1 代入可求解，得到的公式 具有2n+1 次代数精度。这样的节点称为Gauss 点， 公式称为Gauss 型求积公式。
26
若求积公式为Gauss型求积公式，
则对 f(x ) x i (i 0 ,1 ,2 , ,2 n 1 )，均有：
算法： T4 = T0(2)
< ?
S1 = T1(0) S2 = T1(1)
< ?
C1 = T2(0)
T8 = T0(3) S4 = T1(2) C2 = T2(1)
………………
23
< ?
R1 = T3(0)
➢ 理查德森外推法 /* Richardson外推法 */
利用低阶公式产生高精度的结果。 i 与 h 无关
8
近似计算 I
b
f (x)dx
a
思 路
利用插值多项式
Ln(x)插值f型(x积)则分积公式分易算。
b
b
I a
f(x)dxaLn(x)dx
在[a, b]上取 a x0 < x1 <…< xn b，做 f 的 n 次插值多
项式
n
Ln(x)f
(xk)lk(，x)即得到
k0
b
n
b
f(x)dx