复变函数习题三解读

第三章 复变函数的积分

一、 判断题

（1） 微积分中的求导公式、洛必达法则、中值定理等均可推广到复变函数。（ ） （2） 有界整函数必为常数。（ ） （3） 积分

⎰

=--r

a z dz a

z 1

的值与半径)0(>r r 的大小无关。（ ） （4） 若在区域D 内有)()(z g z f ='，则在D 内)(z g '存在且解析。（ ）

（5） 若)(z f 在10<

)(z f 在0=z 处解析。（ ）

（6） 设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有21v v =。（ ） （7） 解析函数的实部是虚部的共轭调和函数。（ ） （8） 以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数。（ ） 二、选择题：

1．设C 为从原点沿0至i 21+的有向线段，则=⎰

C

z z d Re ( )

（A ）

i -21 （B ）i +-21 （C ）i +2

1

（D ）i --21

2．设C 为不经过点1,0与i -的正向简单闭曲线，则

z i z z z C

d )

()1(1

2⎰

+-为( )

（A ）

2i π （B ）2

i π- （C ）0 （D ）(A)(B)(C)都有可能 3．设C 为从1沿1=+y x 至i 的直线段，则

=-+⎰

y xy x y x C

d 2d )(22( )

（A ）i - （B ）i （C ）1 （D ）1-

4．设C 为正向圆周2=z ，则=+⎰-z z e c z

d )

1(2

( ) （A ）i π2- （B ）i e π2- （C ）i e π2 （D ）12i π

5．设C 为正向圆周2

1

=

z ，则=

+---⎰z z z z z C d 10

621

sin

)2(2

3 ( ) （A ）)1sin 1cos 3(2-i π （B ）0 （C ）1cos 6i π （D ）1sin 2i π-

6．设ξξξξ

d z

e z

f ⎰=-=4

3

)()(，其中4≠z ，则='）i f π(( ) （A ）i π- （B ）1- （C ）i π （D ）1

7．设C 为正向圆周0222=-+x y x ，则=-⎰z z z C d 1

)

4sin(2

π

( ) （A ）

i π22 （B ）i π2 （C ）0 （D ）i π2

2- 8．设C 为椭圆142

2

=+y x ，则积分

⎰C z z d 1

= （ ）

（A ）i π2 （B ）π （C ）0 （D ）i π2-

9．设c 为任意实常数，那么由调和函数2

2y x u -=确定的解析函数iv u z f +=)(是

( )

(A)c iz +2

（B ） ic iz +2

（C ）c z +2

（D ）ic z +2

10．设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是( )

（A ）),(),(y x iu y x v + （B ）),(),(y x iu y x v -

（C ）),(),(y x iv y x u - （D ）x

v i x u ∂∂-∂∂

三、填空题

1．设C 为负向圆周2||=z ，则=⎰

C z z d

2．设C 为正向圆周2=-i z ，则=-++⎰C z i z z z d )

(1

2532 3．设,2

)(2⎰-+-=C

d z z f ξξξξ其中曲线C 为椭圆19422=+y x 正向，则=)1(f =+')2(i f =-'')(i f

4．设C 为正向圆周1=z ，则

⎰

C

5．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的

6．设C 是从π到i 的直线段，则积分=⎰

C

z

z z e d cos

7．设C 为过点i 32+的正向简单闭曲线，则当z 从曲线C 内部趋向i 32+时，

=-⎰+→ξξξ

d z

e c i z 32lim ，当z 从曲线C 外部趋向i 32+时，=-⎰+→ξξξ

d z c i z cos lim

32 。

8．调和函数y x xy y x +-=),(ϕ的共轭调和函数为

9．若函数2

3

),(axy x y x u +=为某一解析函数的虚部，则常数=a 10．设),(y x u 的共轭调和函数为),(y x v ，那么),(y x v 的共轭调和函数为 四、计算积分 1．⎰

=-1

|||d ||1|z z z =8

2.

⎰=+-R z dz z z z

)

2)(1(62

, 其中1,0≠>R R 且2≠R 。 3．

⎰+C dz a z 2

22)

(1

，其中C 为不经过ai z ±=的简单正向闭曲线.