《大学物理》第7章 功和能

dθ
L T
dr
mF
mg
F mg tan
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思考：能否通过其他途径？
0 b
n
Aab
F dr
a
Ai
i
AT Amg AF
使其缓慢上升
T
F
0？
mg
AF Amg mgL(1 cos0 )
合外力＝0
Ek 0
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开篇问题---- 请猜一猜
你很用力地推一个很重的书桌，试图移动它。以下对做功的判 断正确吗?
(a) 不管它动不动，只要你施加了力就一定做功. (b) 只有当它开始移动时你对书桌做功 (c) 只有当书桌不动时你做功 (d) 从不——书桌对你做了功 (e) 以上都不对
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哪个人做功了？
恒力的功率： P F v
P dA
F dr
Fv
dt
dt
功率是反映力做功快慢的物理量。
国际单位制中，功的单位是Nm，叫做焦(J)，功率的单位是J/s ，
叫做W(瓦)。
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v 2gh 为什么？
P F v
v
mg
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弹力做功
弹簧的回复力
由运动产生的能量称为动能。
动力做功
质量为m的汽车，在水 平动力(Fnet)的作用下 由初速v1变为速度v2， 汽车前进的距离为d
匀加速直线运动
md
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定义质点的动能为：K

Ek

1 mv2 2
动能定理:合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。
Aab Ekb Eka Ek
L v
0
解：由于物体是柔O 软匀质x的，在物L体完全滑s上台面 之前，它对台面的正压力可认为与滑上台面的质量 成正比，所以，它所受台面的摩擦力fr是变化的。 本题如果用牛顿定律的瞬时关系求加速度是不太方 便的。我们把变化的摩擦力表示为
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0 x L, x L,
fr


a
F
在数学形式上，力的功等于力F 沿路径L
从a到b的线积分。
Fcosθ
积分形式：
b
Aab
F dr
a
Fcosθ-△r图，A=曲线下的面积
△r
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合力的功
如果 F = F1 + F2 + F3 + …
b
b
Aab
F dr
a
a
(F1
*不能采用W=FD，力不恒定
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0.010
做出F-x图线，计
算曲线下方面积
Baidu Nhomakorabea
WM
x2 F (x)dx
x1
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7-4 动能和动能定理 能量是各种运动形式的一般量度，是物体状态的 单值函数，反映物体做功的本领。
能量在转移和转化的过程中是“守恒的”
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m L
gx
fr mg
当物体前端在s处停止时，摩擦力做的功为
A
s
Fdx
0
s
0 frdx
L m gx d x
0L
s
mg d x
L
mg( L s L) mg(s L)
2
2
再由动能定理得

mg (s

L) 2

0

1 2
mv02
即得
v0
2g (s L)
2
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重点掌握 恒力做功 矢量的点积
变力做功
动能及动能定理
Aab Ekb Eka Ek
Ek

1 mv 2 2
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课后作业
1，7，12，14，17, 19
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F
A r F cos
力在位移方 向的投影

r
两种理解均可以
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在SI 单位制中用牛顿·米（N·m）作为功的单位，这个单位称为焦耳
（J）：1 J =1N·m。
功是标量
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1 受力分析 2 计算做功
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思考题
7-2 两个矢量的标量积
多个矢量相乘的规则
注意：动能定理只对净功有效
解释锤子的动能减少
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几点注意： a.合力做正功时，质点动能增大；反之，质点
动能减小。 b.动能的量值与参考系有关。 c.动能定理只适用于惯性系。 d. 功 是 一 个 过 程 量 ， 而 动 能 是 一 个 状 态 量 ，
它们之间仅仅是一个等量关系。
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手对弹簧的作用力 FP FS kx
手对弹簧做功
WP
xb x xa 0
[FP
(
x)iˆ]
[dxiˆ]

x
0 FP (x)dx
x
kxdx
0

1 2
kx
2
x 0

1 2
kx2
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弹力做功的过程也可以通过下图理解 F-x图中三角形阴影面积 =1/2X底X高
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7-1 恒力做功
恒力做功 恒力：力的大小和方向不随时间变化
等于恒力在位移上的投影与位移的乘积。
F
F
A Fr cos

F

r


r
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注意
f静
（1）功是标量，有正负之分
（2）作功与参照系有关
A F r cos
位移在力方 向的投影
例7-9 汽车制动
制动合力为F 依动能定理 所以`
制动距离80m
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F r cos1800 A 0 EK0
摩擦力
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动能定理在二维或三维运动中仍然成 立，证明如下:
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[ 例1 ] 有一单摆，用一水平力作用于m
使其缓慢上升。当 由 0 增大到 0 时，
求: 此力的功。
b
A a F d r
dθ
如何得到？
L T
dr
F T sin 0
mg T cos 0
F mg tan
mF
mg
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b
A a F d r
b
a Ftds
Ld
F cos
A 0 mgL sin d 0 mgL(1 cos0 )
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怎样才算做功?
当一个力作用在物体上，物体在这个力作 用下通过了一段距离，这个力的作用就有了成 效，力学里说这个力做了功。
1、物体要受力的作用 2、物体要在力的方向上通过一定的距离
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有力无距离不做功 冰柱在光滑的冰面上滑动
有力无距离不做功
没有力对它做功
力和物体运动方向垂直时力不做功

F2



Fn
)

dr
n
A1 A2 An Ai
i
合力的功等于各分力功之代数和。
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动能定理
功率
功率：力在单位时间内做的功，用P 表示
（1）平均功率 P A t
（2） 功率 P lim A dA t0 t dt
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思考题
使用单位矢量表示力与位移
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7-3 变力做功
物体在变力的作用
下从a运动到b。
b
a
怎样计算这个
力的功呢？
采用微元分割法
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（1）dr 位移内力所作的功为：
dA F dr
（2）整个过程变力作功为：
dr
b
A (b)F dr (a)
用斜面等机械不能省功，但是却能省力或省时间
拉力多做的功起了什么作用呢？ 克服摩擦力作功 增加物体的动能
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例题 传送机通过滑道将长为L，质量为m的柔软匀质 物体以初速v0向右送上水平台面，物体前端在台面上 滑动S距离后停下来（如图）。已知滑道上的磨擦可 不计，物与台面间的摩擦系数为μ，而且S>L，试计 算物体的初速度v0。
求：（1）木箱所受各力所作的功；（2）合外力对木箱所作的功 ；（3）如改用起重机把木箱直接吊上汽车能不能少做些功？
F
300
求解过程略
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用斜面拉力F 所做的功 A1 2.07 103 J
用起重机拉力所作功 A 1.47 103 J
F 所多作的功 2.07103 J 1.47103J 0.60103J
1.一个标量乘以一个矢量 2.一个矢量和第二个矢量相乘产生一个标量 3.一个矢量和第二个矢量相乘产生一个矢此量处讨论
11章讨论
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标量积 (点积)
点积的性质 1. 点积具有交换率 2. 点积满足分配率 一种常用结果
ABB A
A (B C) A B A C
A Axiˆ Ay ˆj Azkˆ B Bxiˆ By ˆj Bzkˆ
例题 装有货物的木箱，重G＝980N，要把它运上汽车。现将长l ＝3m的木板搁在汽车后部，构成一斜面，然后把木箱沿斜面拉
上 汽 车 。 斜 面 与 地 面 成 30o 角 ， 木 箱 与 斜 面 间 的 滑 动 摩 擦 系 数
=0.20 ， 绳 的 拉 力 与 斜 面 成 10o 角 ， 大 小 为 700N ， 如 图 所 示 。