高数二重积分概念

S3
1 2
R2
sin
z
设拉氏函数 F sin x sin y sin z (x y z 2 )
cos x 0 解方程组 cos y 0
cos z 0
,
得
x
y
z
2
3
x y z 2 0
故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为
xyz
Smax
R2 2
3sin
2
3
3 3 R2 4
如方法 1 所述 , 设 (x, y) 0 可确定隐函数 y (x),
则问题等价于一元函数 z f (x, (x)) 的极值问题, 故
极值点必满足
dz dx
fx
fy
dy dx
0
因d y dx
x y
,
故有
fx
fy
x y
0
记
fx fy
x y
极值点必满足
fx x 0 f y y 0 (x, y) 0
引入辅助函数 F f (x, y) (x, y)
则极值点满足:
辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.利用拉格 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.
推广 拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多 个约束条件的情形.
例如, 求函数 u f (x, y, z) 在条件 (x, y, z) 0, (x, y, z) 0下的极值.
.
第九章
重积分
一元函数积分学
重积分 多元函数积分学 曲线积分
曲面积分
第一节 二重积分的概念与性质
一、引例
1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:
底： xoy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面
侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积. 解法: 类似定积分解决问题的思想:
“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限”
例3. 某厂要用铁板做一个体积为2 的有盖长方体水
问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?
解:
设水箱长,宽分别为
x
,
y
m
,则高为
2 xy
m,
则水箱所用材料的面积为
2x y
2 x
2 y
令
Ax
2( y
2 x2
)
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0
得驻点 ( 3 2 , 3 2 )
Ay
2( x
2 y2
)
0
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可
而 SD 2, SC 3.5,比较可知, 点 C 与 E 重合时, 三角形
面积最大.
3. 求旋转抛物面
与平面
之间的最短距离.
解：设
为抛物面 z x2 y2 上任一点，则 P
到平面 x y 2z 2 0 的距离为
问题归结为 目标函数: (x y 2z 2)2 (min)
约束条件: x2 y2 z 0 作拉氏函数
1)“大化小”
用任意曲线网分D为 n 个区域
1, 2, , n
以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 f (k , k )
小曲顶柱体
D
2)“常代变”
在每个 中任取一点
则
Vk f (k , k ) k (k 1, 2,, n)
3)“近似和”
n
f (k , k ) k
k 1
4)“取极限”
( k ) max P1P2 P1,P2 k
方法1 代入法. 例如 ,
在条件(x, y) 0下, 求函数 z f (x, y) 的极值
转 化
从条件(x, y) 0中解出 y (x)
求一元函数 z f (x, (x)) 的无条件极值问题
方法2 拉格朗日乘数法. 例如,
在条件(x, y) 0下, 求函数 z f (x, y) 的极值.
最小.
令 F 2(xz yz) x y (x yz V0 )
z
解方程组
2z y yz 0 2z x xz 0 2(x y) xy 0
y x
xyz V0 0
得唯一驻点
x
y
2z
3
2V0 ,
4 3 2V0
由题意可知合理的设计是存在的,
因此
,
当高为
3
V0 4
,
长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.
断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 2
高为
3
2 23
2
3
2
时,
水箱所用材料最省.
例3. 某厂要用铁板做一个体积为2 的有盖长方体水 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?
无条件极值: 对自变量只有定义域限制
三、条件极值
对自变量除定义域限制外, 还有其它条件限制
条件极值的求法:
x 1 y 3 0 2
1 x 3y 10 2
设拉格朗日函数 F (x 3y 10)2 (1 x2 y2 )
94
2(x 3y 10) 2 x 0
9
解方程组
6(x 3y 10) 2 y 0
4 1 x2 y2 0
94
得驻点 x
3 ,y 5
4 , 对应面积 5
S 1.646
令 max ( k ) 1k n
n
V
lim
0 k 1
f
(k , k ) k
2. 平面薄片的质量
设 F f (x, y, z) 1(x, y, z) 2 (x, y, z)
解方程组
可得到条件极值的可疑点 .
例5. 要设计一个容量为 V0 的长方体开口水箱, 试问
水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？
解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,则问题为求x , y ,
z 使在条件 x yz V0 下水箱表面积 S 2(xz yz) x y
z
y x
例6：已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),
试在椭圆 x2 y2 1 (x 0, y 0) 圆周上求一点 C, 使 94
△ABC 面积 S△最大.
yA
解答提示: 设 C 点坐标为 (x , y), D
B
则
C
o
Ex
i 3
j 1
k 0
1 (0, 0, x 3y 10)
z x2 y2
解此方程组得唯一驻点 x 1 , y 1 , z 1.
4 48
由实际意义最小值存在 , 故
7 46
1. 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者.
解: 设内接三角形各边所对的圆心角为 x , y , z ,则
x y z 2 , x 0 , y 0 , z 0
它们所对应的三个三角形面积分别为
F (x, y, z) (x y 2z 2)2 (z x2 y2 )
F(x, y, z) (x y 2z 2)2 (z x2 y2 )
Fx 2(x y 2z 2) 2 x 0
令 Fy 2(x y 2z 2) 2 y 0 Fz 2(x y 2z 2)(2) 0