改进logit多路径分配模型及其求解算法研究

ε
rs k
是相互独立的。
应用概率论的相关知识，可以推得出行者在起迄点之间选择路径 k 的概率 Pkrs 如公式（2）
所示[1]。
Pkrs = exp(−bckrs )
∑ exp(−bclrs ) l
（2）
-1-

（2）式中：b 为与 ε 方差有关的参数，文献[1]证明了参数 b = π 2 。 6D(ε )
阻抗， s(i) 表示从节点 i 到终点 s 的最小阻抗。Dail 算法的“有效路径”要求路段（ i → j ）
满足：
r(i) < r( j) 和 s(i) > s( j)
（5）
路段交通量计算分为正向计算路权与反向分配流量两个过程，这对于大型复杂网络计算量会
很大，耗时较多。
本文对 Dail 算法进行了改进，降低了有效路段的评定标准，重新定义有效路段：
X (5,8) = W (5,8) × X (8,9) = 476 W (5,8) +W (7,8)
详细计算结果见表（1）。最终分配路段流量见图 3（路段下方或右侧为流量）。
路段
1→ 2 1→ 4 2→3 2→5 4→5 4→ 7 5→8 7→8 3→ 6 5→ 6 6→9 8→9
表 1 计算结果汇总
1. 引言
交通分配是“四阶段法”中最后关键一步，如何准确的将出行 OD 分布量分配到具体各路 段上成为人们关注的问题。现有的交通分配方法大致分为符合 Wardrop 原理的均衡分配方法 与不符合 Wardrop 原理的非均衡分配方法，均衡分配方法理论上结构严谨，但其数学规划模 型维数太多，约束条件也多，且为非线性规划问题，所以求解困难。非均衡分配方法可分为 路径阻抗可变与路径阻抗不变两类，就路径选择可分为单路径与多路径两类，各种分配方法 均有不足，所以设计出更加合理而有效的分配模型成为一项重要研究。本文以阻抗为常数的 多路径 logit 分配方法为出发点，在原有 logit 模型与 Dail 算法基础上，提出了一种改进的 logit 模型和相应改进的 Dail 算法。
重，对节点 j, 它的权重W (i, j) 为：
W (i, j) =
L(i, j)
L(i, j) ∑ W ( j, m) m∈O j
j=s 其他
（8）
其中 Oj 为离开 j 节点的路段另一个端点的集合。
第 4 步：逆序计算有效路段的流量。
从终点 s 开始，按 r(i)的下降顺序依次考虑每个节点 j， 计算所有进入节点 j 的路段流
验证，符合路径选择概率。
3. Dail 算法及其改进
1971 年 Dail 提出的算法能较好的实现 logit 模型的求解过程，其出发点是通过判断一条 路径是否为“有效路径”来排除大量的“无效路径”，在所定义的有效路径的集合中建立满足式
（2）的递推公式，从而达到避免所有路径枚举的目的。用 r(i) 表示节点 i 到起j) 是路段（ i → j ）的实际阻抗。
第 2 步：根据本文改进的 logit 模型，计算各有效路段的似然值：
{ } L(i, j) = exp −bL(i − j, r) / Lrms
0
r(i) ≤ r( j) 其他
（7）
第 3 步：逆序计算有效路段的权重。
从 s 点开始，按 r(i)的下降顺序依次考虑每个节点 j，计算进入节点 j 所有有效路段的权
阻抗最小的路径 k（称出行者主观判断的阻抗为“感知阻抗”），所以第 k 条路径的效用可表 示为：
Uk
=
−Ckrs
=
−ckrs
+
ε
rs k
（1）
式中：Uk 为起迄点选择路径 k 的效用；Ckrs 为路径 k 的感知阻抗； ckrs 为路径 k 的实测
阻抗；ε
rs k
是服从二重指数分布（Gumbel
分布）的随机变量，并且所有的
2. logit 模型及其改进
在出行者多路径选择中，称可供选择的路径叫“选择枝（Alternative）”。如果有两条路 径可供选择，就是二项选择问题，否则就是多项选择问题。选择枝具有令人满意的程度叫做
“效用（Utility）”，关于“效用”本文做以下假定： （1）个人在每次选择中总选择效用值最大的选择枝； （2)个人关于每个选择枝的效用由个人自身的特性和选择枝的特性共同决定。 在多路径分配问题中，定义各备选路径为选择枝，起讫点 r, s 间出行者总是选择他认为
量：
X (i, j) =
∑ qrs
W (i, j) W (m, j)
m∈I j
W (i, j)
∑[ X ( j,l)] ∑ W (m, j) l∈Oj
m∈I j
j=s 其他
（9）
其中 I j 为进入节点 j 的路段另一个端点的集合。
4. 算例分析
以下将以如图 1 所示道路网络为例，运用改进的 logit 模型以及相应改进的 Dail 算法对
（3）在交通分配问题中，路径阻抗与交通流量紧密相关，但多路径 logit 分配方法中的 阻抗不变，这会与实际有一定的误差，特别是拥挤路网，文献[6]对多路径 logit 分配模型进 行了改进，并用逐次分配算法成功实现求解，该方法考虑了阻抗与流量的关系，使分配结果 更加合理。

2）从终点出发，根据条件 r(i) ≤ r( j) ，判断各个节点上游的有效路段，并计算经
该路段的最小阻抗 L（i-j，r）；本例中从节点 1 到 9 的 6 条路径均为有效路径，下面以节点 5 示例说明。
L(4 − 5,1) = d (4, 5) + r(4) = 2 + 2 = 4 ； L(2 − 5,1) = d (2,5) + r(2) = 1+ 2 = 3 。 第 2 步：计算各个有效路段的似然值。利用公式（7），如 L(4, 5) ：
本文采用 Floyd-Warshall 算法。从起点到迄点的最短路阻抗（ Lrms ）即为 r(s)。
2）从终点出发，判断各个节点上游的有效路段，并计算经该路段的最小阻抗：
-2-

L(i − j, r) = d (i, j) + r(i) 0
r(i) ≤ r( j) 其他
r(i) ≤ r( j) ，即只要路段（ i → j ）使出行者更远离起点，至少不更靠近起点，路段（ i → j ）
就定义为有效路段。具体改进 Dail 算法步骤如下： 第 1 步：初始化。找出所有有效路段和有效路径。
1）计算各节点到起点 r 的最小阻抗 r(i)。最短路算法有 Dijkstra 算法，Floyd-Warshall 算法和 Moore-pape 算法等，其中 Floyd-Warshall 算法和 Dijkstra 算法可用于大型网络分析，
0.00136
0.02128
0.02128
0.03688
0.03688
路段交通量 583 417 134 449 259 158 476 158 134 232 366 634
图 3 路段流量分配图 -4-

5. 对 logit 模型及 dail 算法的思考
似然值
权重
0.33287
0.00037711
0.33287
0.000251
0.11080
0.0000870
0.19205
0.0010459
0.11080
0.0006034
0.11080
0.00015068
0.11080
0.0040860
0.03688
0.00136
0.03688
0.0007848
0.06393
分析 Dail 算法，发现存在很多缺陷，国内外学者对其进行了改进，使得求解 logit 模型 更加合理而有效。
（1）Dail 算法要求计算每对 OD 点对间两种最小阻抗，一是正向，一是反向，这对于大 型复杂网络计算量会很大，文献[1]与本文已经对其进行了改进。
（2）Dail 算法对“有效路径”的定义过于严格，导致分配结果中阻抗较大的路段不被使用， 而最短路分配的流量过大。针对 Dail 算法的此缺陷，Bell 提出了两种计算方法[2]，第一种近 似方法为近似计算，缺乏理论依据证明计算结果与 logit 模型的定义相符，Bell 的第二种方 法假设网络的权重矩阵的求和序列收敛并通过矩阵求逆来计算 logit 模型。Akamatsu 后来证 明 Bell 这一计算方法和包含所有路径的 logit 模型是等价的，并建立了一个仅包含路段流量 变量的模型。Bell-Akamatsu 模型没有排除任何路径，无限循环的回路均包括在计算中，是 一种全路径 logit 分配模型算法[3，4]，对于大型的路网，Bell-Akamatsu 算法明显不合理，文 献[5]在此基础上，考虑了路网的连通性提出了一种改进的 Dail 算法来求解全路径 logit 模型， 并给出了改进的算法和 logit 模型的等价证明，但它没能有效解决有环网络的情况，有待后 续进一步研究。
Logit 本身存在两个缺陷，第一个是 IIA 特性，即它假定各条选择路径是彼此独立的， 第二个缺陷是它认为路径的选择概率只由路径之间的阻抗绝对差来决定。后来出现的多路径 Probit 方法能够克服 logit 方法的这些缺陷，但模型复杂，计算工作量大，一般较少采用。许 多学者对 logit 模型进行了改进，改进后的 logit 模型有：Dogit 模型、BCL 模型、BCD 模型、 GL 模型、巢式 logit 模型（NL 模型）、分裂 logit 模型与广义 logit 模型。另外国内学者对多 路径 logit 分配模型也进行了改进，见文献[1]。

改进 logit 多路径分配模型及其求解算法研究
陈扶崑，朱月河
河海大学交通学院，南京（210098）
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