立体几何空间角的求法

长垣一中学生课堂导学提纲编号：高三理数（2014.12.21）编制：赵程晓审核：理数组序号：099
空间角的求解（1）
通过平移平行直线中的一条或两条，作出它们所成的角，通过解三角形确定角的大小。

理解直线与平面所成角
的定义，并能以几何体为载体按找、作、证、求得逻辑顺序求角。

理解二面角及其平面角的定义，并能以几何
体为载体按找、作、证、求得逻辑顺序求角
【课堂六环节】 -、导一一教师导入新课。

（7分钟）
（一）异面直线斤成的角:
定义：已知两条异面直线a,b，经过空间任一点0作直线a'〃a,b7/b , a ,b所成的角的大小与点0的选择
无关，把a , b■所成的锐角（或直角）叫异面直线a,b所成的角（或夹角）.为
求异面直线所成的角的方法：
法1：通过平移，在一条直线上找一点，过该点彳故另一直线的平行线；
法2;找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求
（二）直线和平面所成的角
1-线面角的定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜戋和这个平面斤成的角，范围：0 2 2 •求线面角的一般步骤：
（1）经过斜线上一点作面的垂线，找出斜线在平面内的射影，从而找出线面角
（2）向量法：设直线a与平面所成角为丁,直线a的方向向量与面〉的法向量分别是m, n, 则:::m,n •的余角或財b角的余角即为a与〉所成的角二
（三）二面角
1
班级：_
【考纲解
姓名: 小组: 评介:
法3 •向量法：cos -=
AB.CD
AB |CD
os v m,n > =
m n
n il
了简便，点0通常取在异面直线的一条上。

范围:J】
m
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1.二面角的平面角:
(1)过二面角的棱上的一点
O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线 OA,OB ，则.AOB 叫
做二面角-丨- ■-的平面角，范围是［0；,180：］; 二面角的平面角的 特点：
1)角的顶点在棱上2 )角的两边分别在两个面内3 )角的边都要垂直于二面角的棱。

2利用法向量求解：设m 是平面丁的法向量，n 2 是平面 ■-的法向量.
① 两个平面的二面角如图1所示的示意图，则n 1与n 2之间的夹角就是欲求的二面角；
② 若两个平面的二面角如图2所示的示意图，设n 1与n 2之间的夹角为丁 .贝俩个平面的二面角为冗-寸.
图1)
用法向量求二面角时，首先必须判断二面角是锐角还是钝角。

由余弦定理求出：
cos ：：： m , n 2
= COST
g | 十2 |
二、思——自主学习。

学生结合课本自主学习，完成下列相关内容。

( 15分钟)
考点一
异面直线所成的角
例1.在正三棱锥S —ABC 中，E 为SA 的中点，F 为A ABC 的中心，SA=BC=2 ,贝塀面直线
EF 与AB 所成的角是 (A)30 °
(B) 45 °
(C) 60 °
(D) 90
分析：设M 是SB 的中点，连结EM ,贝UEM //AB . Z MEF 是异面直线EF 与AB 所成的角.连AF 和MF ,由于F 是A ABC 的中心，故SF 是正三棱锥S —ABC 的高.在Rt A SAF 中，E 是斜边SA 的中点
1 ，因此 EF SA = 1 ,同理FM=1，
2 1 1
又 EM AB BC =1 , 故A EFM 是等边三角形，Z MEF =60 °
2 2
例2、女口图，三棱锥P —ABC 中, PC — 平面ABC , PC=AC=2 , AB=BC , D
是PB 上一点，且CD _ 平面PAB . (I)求证：AB 平面PCB ; (II)求异面直线AP 与BC 所成角的大小; 解法一:
(I) •/ PC _ 平面ABC , AB 平面ABC ,
n 1
+ n 2
- - 。

甌8
长垣一中学生课堂导学提纲编号：高三理数（2014.12.21）编制：赵程晓审核：理数组序号：099••• PC — AB . T CD —平面PAB , AB 平面PAB , A CD — AB .又PC CD = C ,
••• AB 丄平面PCB.
2
(II)过点A 作AF//BC ,且AF=BC ,连结PF , CF .
则.PAF 为异面直线PA 与BC 所成的角.
由(I)可得 AB 丄BC , • CF _ AF .由三垂线定理，得PF _ AF . 则AF =CF = 2 , PF=PC 2 CF 2 =/6, 乞
品,
、2
例3、已知四棱锥P-
ABCD 的底面为直角梯形， AB // DC , 1 ABCD ，且 PA = AD = DC , AB = 1, M 是 PB 的中点
2
(I)证明：面PAD _面PCD ； (H)求AC 与PB 所成的角；
证明：以A 为坐标原点 AD 长为单位长度，如图建立空间 直角坐标系，则各
点坐标为
1 A(0,0,0), B(0, 2,0), C(1,1,0), D(1,0,0), P(0,0,1), M (0,1,)
2
(I)证明：因 A^ (0,0,1), DC = (0,1,0),故 AP DC = 0,所以 AP _ DC. 由题设知AD _ DC ，且AP
与AD 是平面PAD 内的两条相交直线， 由此得DC —面PAD 又DC 在面PCD 上，故面PAD 丄面
PCD
(n)解:因 AC =(1,1,0), PB 」(0,2,-1),
故| AC |=朋2,| PB| =』5, AC PB =2,所以
AC 卩B
10 cos ： AC, PB
.
| AC | |PB|
5 考点二直线和平面所成角
例4.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1 中，四边形A I ABB I 是菱形,四边形BCC I B I 是矩形，CB 丄AB , 且AB=4, BC=3 解: ：•四边形BCC I B I 是矩形，即BC 丄B I B . 又BC 1AB , 且B I B A AB=B ，二 BC 丄平面A i ABB i ,
••• BC 平面BCC 1, ^平面A 1ABB 1X 平面BCC 1, B 1B 是交线.
3
PF 在Rt. ：PFA 中，tan /PAF= — AF
•••异面直线PA 与BC 所成的角为二.
3
Z DAB = 90 , PA _ 底面
,Z ABB I =60 °求AC 1与平面BCC i 所成角的正弦.
长垣一中学生课堂导学提纲编号：高三理数（2014.12.21）编制：赵程晓审核：理数组序号：099作AH丄B I B,垂足是H ,连结C i H .
••• AH 丄平•面BCC i, C i H 是AC i在平面BCC I的射影, /AC i H是直线AC i与平•面BCC i所成的角.
在菱形ABB I A I中，AB=4, /ABB I=60° • AH=ABsin60 = 2j3 , BH=AB COS60 =2 , B i H=2.
在Rt△B i HC i 中，C j H =J B J H2—BQ：i3 , 在Rt△AHC 冲，
2 3 = 2.39门 AC i H = 2—3•即所求角的正弦是2 3.
tg • AGH 二AH_ =
C i H V f3 I3 5 5
［典例］例5(2013湖南高考)如图，在直棱柱ABCD -A1B1C1D1中，AD // BC, / BAD =90°
AC 丄BD , BC=1, AD =AA1 =3.
(1)证明：AC丄B1D; (2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.
［解］法一：(1)证明：如图1，因为BB1丄平面ABCD , AC?平面ABCD，所以AC丄BB1.
又AC丄BD ,所以AC丄平面BB1D.而B1D?平面BB1D ,所以AC丄B1D.
(2)因为B1C1/ AD ,所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面
ACD1所成的角(记为B).如图1,连接A1D.因为棱柱ABCD -A1B1C1D1是直棱柱，且Z B1A1D1 =/BAD = 90° 所以A1B1 丄平面ADD1A1.从而A1B1 丄AD1.又AD = AA1= 3,所以四边形ADD 1A1 是正方形，于是A1D丄AD1.故AD1丄平面A1B1D，于是AD1丄BQ.
由(1)知，AC丄B Q，所以B1D丄平面ACD1.故/ADB1= 90°- Q在直角梯形ABCD中，因为
AC 丄BD，所以ZBAC = /ADB .从而Rt △ABC s Rt△DAB，故AB=BB.即卩AB =V DA BC = V3.
连接AB1,易知A AB1D 是直角三角形，且B1D2= BB?+ BD2= BB2+ AB2+ AD2= 21 ,即B Q
4
长垣一中学生课堂导学提纲编号：高三理数（2014.12.21）编制：赵程晓审核：理数组序号：099 =^
21 在Rt△AB I D中，cos/ADB i = ADD，即cos(90°—0)^y1.从而sin 0=^^.
即直线B i C i与平面ACD i所成角的正弦值为
(2)
建立直角坐标系，用向量解题。

设原点在A点，AB为Y轴正半轴，AD为X轴正半轴。

设A0,0,0,D(3,0,0)Q(3,0,3),B(0,y,0),C(1,y,0)，则AC = (1,y,0),BD = (3,—y,0), AC
AC BD =0= 3 — y20 =0,y 0= y = $3.. AC =(1, . 3,0), AD j =(3,0,3).
—n AC = 0 —l l —设平面ACD1的法向量为n,则」. —n •平面ACD的一个法向量n =(-73，，3),A[
[n AD j =0
例6 (2013 年高考新课标1 (理))如图，三棱柱ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=A A1, / BA A1=60°
(I )证明AB丄A 1C;
(II)若平面ABCL平面AA 1B1B,AB=CB=2求直线A 1C与平面BBQC所成角的正弦值.
5
BD (3,0,
■平面ACD i的一个法向量n ( - . 3,1, 3),AD
1 Q i* Q
=(3,0,0) sin 日=| cos c n, AD A|=丁一
V 7 3
21
7
所以BQ与平面ACD1夹角的正弦值为21 7
【答案】(I )取A沖点E,连结CE, AB,A(E,
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又•••面 ABC L 面 ABBA ,面 ABC A 面 ABB iA=AB, ••• EC 丄面 ABBA ,二 EC L EA , • EAEC, EA 两两相互垂直，以E 为坐标原点，EA 的方向为x 轴正方向,| EA |为单位长度,
设n = (x,y, z)是平面CBBG 的法向量, 则丿径"，即 x 「3z "可取 n =(、3,1,-1),
n •BB 1
=0 x 3y = 0
6
建立如图所示 空间直角坐标系 O-xyz ,
有题设知 A(1,0,0), A(0,
3 ,0),C(0,0, =(-1,0,
.3), A C=(0,- 、3, .3),
3),B(- 1,0,0),
)
则 BC =(1,0,
3), BB 1
= AA|
…cos n ,
10
|n|| AC| 5
•直线A 1C 与平面BBQC 所成角的正弦值为
(n )由(I )知 ECL AB, EA 丄 AB,
考点三二面角问题例7、如图,AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.
(I )求证：平面PAC _平面PBC;
(II)若AB=2, AC -1，PA=1，求证：二面角C-PB
7A的余弦值.
B
VS 所以由誉盡可却一仙口 C
— FB -A f 切ft 欽值为—-
8
由PA 丄甲li ABC. BCc 半面上肮•徘 抓丄 k pxn/ic PA c t uii AC c T-irii PAC . 所以丄I 面羽： 凶为 jec+itg pgc. 所w 'f ifu pac 丄屮而MC . ■…一
{H)(解法一》
ilC n CM//AP, MCM±'Y^ABC.
如闍，以点c 为r 标悼;点-分别以山线 Cff, C4, CM
y 轴*畫緬迅疋空何吐
VihAS = 2. -1C = U 所il BC = <3.
KXlPZ = U BfHA(Qa*O)» £6/3』.Qh F(0,l.l). 故丽=(V3T CJI 匚 cp =(t)AAy
设屮血甌p 的ife 向慑为星1尸Ooh
丐…所卄:
CP* Hi = 0. (y +技=5()
不畅令y = k 51(n t =(0.1," “
I 卑为丽土 y.ou > , A S < 7?; - c^.<tA t
的法向 fJ/jn. = (x.y.2)t
亭蚪令艾=1*则兔二仁‘Q.UJ. 17分
则伫F"所以
AB b n 2 = U t
1 是 cos < n t . n
三议一一学生起立讨论。

根据以上学习的内容进行/」组集体讨论。

（6分钟）四、展一一学生激情展示。

/细弋表或教师随机指定学生展示。

（5分钟）
五评一一教师点评，教师总结规律点评共性问题，或拓展延伸。

（10分钟）六检一一课堂检测。

（2分钟）【当堂检测】
例8. （2013年普通高等学校招生统一考试新课标n卷数学（理））如图，直棱柱ABC-AB iG中,
D,E分别是AB,BB i的中点，gA—CB二? ——
AB .
2
(I)证明：BCJ/ 平面ACD ;(n ）求二面角D - AC - E的正弦值.
【答案】
9
(1 )
・刘F
为底;中自・
乂D"中乩ItJADF.则因为QFU平面/CD/Gb平齢阿所以肚/平面心
<1I> 4C1BC・
觇亡为址标瓏点* 17的方向为”绡直方囱•
孤立如用所示的空间亢和坐标系J巒・设輛划
M丄伽mxi)-解阴* 而ghO” 在・®2Jh &H2A2A
设“山』刚毘甲面"®的法词认则
可収用■仏1厂1)・
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»0- 从血i= V1故如SE*半
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即二面角―”皿的丘航1为芈
10
H理.讹瞬捷半面的袪向凿，W时取皿仙■・
11。