数学物理方法——贝塞尔函数

贝赛尔函数

摘要：在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。

关键词：贝塞尔函数，通解，递推关系，正交完全性。

在圆形区域或圆柱形区域内求解定解问题时，就会出现下列形势的二阶线性常微分方程

()22

2220y dy d x y x x n d dx x ++-= 其中n 为常数，这个方程就称为n 阶贝塞尔方程，它有什么特点呢？首先它是一个变系数的二阶线性常微分方程，其次是y ′ 与y ″

的系数在0x =处为零，即在0x =处方程退化了，如果用2x 除方程两端，则y 与y ′前的系数在0x =时有奇偶性。正因为如此，所以在用幂级数法求解时，要设解为 0c n n n y x a x ==∑∞

.

方程的解就称为n 阶贝赛尔函数。利用级数解法可得它的两个特解

()()()2201!12n m

m n n m m x x J m n m ++==-∑++∞Γ， ()()()2201!12n m

m n n m m x x J m n m -+--+==-∑-++∞Γ， 其中()x Γ是Γ-函数。为了和其他类型的贝塞尔函数相区分，我们称

()n x J ，()n x J -是第一类贝塞尔函数。

对于贝塞尔方程和贝塞尔函数，应该强调以下几点：

（1） 贝塞尔方程的通解

当n 不是整数且0n ≠时，可以看出()n x J 与()n x J -是线性无关的，这是因为()00n J =，()0n J -=∞。所以贝塞尔方程的通解为

()()12n n y x x C J C J -=+，

其中1C ,2C 是任意常数。当0x =时，我们只得到了一个特解()0x J ，要想得到通解还必须找到一个与()0x J 线性无关的特解。当n 为整数时，容易说明()n x J 与()n x J -是线性相关的，所以它们也不能构成通解。总之，当n 为零及整数时还要找一个与()n x J 线性无关的特解，这个解就是第二类贝塞尔函数，它的定义为

()()()()()cos ,sin cos ,lim sin n n n a n

x n x J J n z n x Y x x J J n z αααα--→-⎧∉⎪⎪=⎨-⎪∈⎪⎩ππππ 因此，不论n 是否为整数及零，贝塞尔方程的通解均可表示为

()()11n n y x x C J C Y =+.

特别应该强调的是：()n x J 表示一个在整个数轴上都收敛的幂级数的和，所以它在每个指定的点都取有限值，特别是在0x =处的值()0n J 是有限的，而()n x Y 在0x =处的值为无穷大。这个事实对于利用贝塞尔函数求解定解问题非常重要。

（2） 贝塞尔的递推关系

当n 取不同值时就得到不同阶的贝塞尔函数，而这些不同阶的

贝赛尔函数之间是存在一定关系的，这些关系称为递推关系。以第一类贝塞尔函数为例，它们是

()()01x x J J =-′

， ()()10d x x x x J J dx

=⎡⎤⎣⎦， ()()1n n n n d x x x J x J dx

-=⎡⎤⎣⎦， ()()1n n n n d x x x J x J dx

-+=-⎡⎤⎣⎦， ()()()112n n n x x n x J J J x

=++=， ()()()112n n n x x x J J J -+-=′.

这些公式有什么作用呢？第一，对计算贝塞尔函数的值很有用。例如，只要已知了零阶和一阶贝塞尔函数在某点处的值，就可以求出()2x J 在该点的值，有了()1x J 与()2x J 在该点的值又可以求出()3x J 在该点的值，依次类推就可以把所有正整数阶贝塞尔函数的值计算出来。类似地，若已知()0x J ，()1x J -的值则可以计算所有负整数阶贝赛尔函数的值；第二，在计算一些包含有贝塞尔函数的积分时，也要利用这些递推关系，特别是在计算一个函数按贝塞尔函数系展开式的系数时就是如此。

（3） 贝塞尔函数系的正交完全性

在谈到贝塞尔函数系时，首先要搞清楚它是由哪些函数组成的。可以证明：对任意n ，函数()n x J 有无穷多个单重实的零点，而且这些零点在数轴上关于原点是对称分布的。以(

)()1,2,...n

m m μ=表示

()n x J 所有非负的零点，R 表示任意固定的正数，则所说的函数系就

是()()1,2,...n m n x m J R μ⎧⎫⎛⎫⎪⎪= ⎪⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭

。 此外，这里所说的正交性，也与本书第一章所讲的三角函数系的正交性有所不同，它是一种叫

的§2.6中已经提到过。具体地讲，上述函数系有如下的正交性

()()0n n R m k n n x x x dx J J R R μμ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎰ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()()

2222110,,22n n n n m m m k R R m k J J μμ-+≠⎧⎪=⎨==⎪⎩. 即()()1,2,...n m n x m J R μ⎧⎫⎛⎫⎪⎪= ⎪⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩

⎭。在[0，R]上关于权函数x 是正交的。 除了正交性以外，函数系()()1,2,...n m n x m J R μ⎧⎫⎛⎫⎪⎪= ⎪⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭

还是完全的，所谓完全性是指除了这个函数系中的函数彼此正交外不存在其他的非零函数与这个系中的所有函数都正交。正因为这个函数系是完全的，所以一个函数()f x ，只要满足一些条件就可以按这个函数系进行展开，即()f x 可以表示为

()()1n m m n m f x x J A R μ=⎛⎫=∑ ⎪ ⎪⎝⎭∞

， 利用正交性即可求得系数m A 为