微分方程相关基本知识(电路用)

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2. 线性非齐次方程 dyP(x)yQ(x). dx
常数变易法：作变换 yu(x)eP(x)dx
y u (x )e P (x ) d x u (x )[ P (x )e ] P (x ) d x ,
将y和y代入原方程 u(x得 )eP(x)dxQ(x),
积分得 u (x)Q (x)eP(x)dxdxC ,
1.定义 形 如dy f( y)的微分方程称为齐次方程. dx x
2.解法 作变量代换 u y , 即yxu, x
dyuxdu,
dx
dx
代入原式得 uxduf(u), dx
分离变量得
du dx f(u)u x
,两边积分即得通解.
注意：须将u代回.
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例3 求 方 程 d yy3tayn的 通 解 . d x x x
未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程， 未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.在本 书中只讨论常微分方程，如下例：
yxy, 一阶 y2y3yex, 二阶
(t2x)dtxdx0, 一阶
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定义 使方程成为恒等式的函数称微分方程的解. 微分方程的解的分类： (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且独立 任意常数的个数与微分方程的阶数相同.
所以原方程的通解为:
y e P (x )d x [Q (x )eP (x )d x d x C ]
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例5 求 方 程 d y 2 x y 2 x e x 2满 足 y (0 ) 1的 特 解 . d x
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一阶线性微分方程的解法
1. 线性齐次方程 dy P(x)y0. dx
dy P(x)dx, y
dyy P(x)dx,
使用分离 变量法
ln yP(x)dxln C,
齐次方程的通解为 yCeP(x)dx.
这 里 记 号 P ( x ) d x 表 示 P ( x ) 的 某 个 确 定 的 原 函 数 .
解
分离变量，
y 1y2
1 dyx(1x2)dx
两边积分
1 ln(1 y2 ) 1
2
2
x2(11x2)dx2
1
2
1 (x2
11x2)dx212ln1x2x2
1lnC 2
通解为
1
y2
Cx2 1 x2
,
将 y ( 1 ) 2 代 入 得 C 1， 0
所求特解为
1
y2
10x2 1 x2
.
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二、齐次微分方程
x
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例4 求 方 程 y2x 2d yxd y y满 足 初 始 条 件 d x d x
y(1)1的 特 解 .
解
原方程变形为
dy y2 dx xy x2
( y / x )2 y x1
,
作 变 量 代 换 u y , yxu, dy uxdu,
x
dx
dx
代 入 原 方 程 得uxduu2 , dx u1
例yy, 通解 yCex; yy0, 通 y 解 C 1six n C 2co xs
(2)特解: 不含任意常数的解. 定解条件: 用来确定任意常数的条件.
4
初始条件: 规定微分方程中的未知函数及其若干阶 导数在某一点处的取值 。
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
一阶:
y f (x, y)
于 是 得 所 求 特 解 为 yln |y|1.
x
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三、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dyP(x)yQ(x) dx
当 Q(x)0, 上方程称为齐次的.
当 Q(x)0, 上方程称为非齐次的.
例如 dy y x2, dx xsint t2, 线性的;
dx
dt
yy2x y3, yco y s1, 非线性的.
即xdu u2 u u , dx u1 u1
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即xduu2 u u , dx u1 u1
分 离 变 量 得(11)dudx, ux
积 分 得 ： u l|n u | l|n x | C ,
或 写 成uln |x|u C,
再将uy代入 ,得 通 解 为y l n| y| C；
x
x
再 由 初 始 条 件 y (1 ) 1 ,得C 1,
微分方程基本概念 及相关知识
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第一节 微分方程的基本概念
在工程技术，力学与物理学等自然科学以及经济学 与管理学等各个领域中，经常需要确定变量间的函数关 系.在很多情况下，必须建立不仅包含这些函数本身， 而且还包含着这些函数的导数或微分的方程或方程组才 有可能确定这些函数关系，这样的方程就是微分方程.
解 此题不能分离变量, 是齐次方程,
作变量代换u y, yxu, dy uxdu,
x
dx
dx
来自百度文库
代 入 原 方 程 得 uxd uu3ta u, n d x
分 离 变 量 得 du3dx, taun x
积 分 得 ln u ) ( 3 ls x n l iC n n ,
即得原方程s通 iny解 C为x3 .
在本章中将要介绍微分方程的一些基本概念，还要 学习最重要的几类一阶微分方程与二阶常系数线性微分 方程的解法以及它们的简单应用.
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定义 含有自变量，自变量的未知函数以及未知函数 的若干阶导数或微分的函数方程称为微分方程. 定义 出现在微分方程中的未知函数的最高阶导数或 微分的阶数，称为微分方程的阶.
d y 2 x ， y(1)2, dx
y2xdx x2 C,
将x1,y2代， 入 得C1, 所求曲线方y程x2为 1.
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第二节 一阶常系数线性微分方程的解法
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一、可分离变量的方程
称 g(y)dyf(x)dx为可分离变量的方程.
两边积分, g(y)dyf(x)dx
设 函 数 G (y)和 F (x)是 依 次 为 g(y)和 f(x)
y
xx0
y0
过定点的积分曲线;
二阶:
yf(x,y,y) yxx0 y0,yxx0 y0
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
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例 一 曲 线 通 过 点 (1,2),且 在 该 曲 线 上 任 一 点 M (x,y) 处 的 切 线 的 斜 率 为 2x,求 这 曲 线 的 方 程 .
解 设所求曲y线 y为 (x)
的 某 个 原 函 数 ,
则 G (y) F (x ) C为微分方程的通解.
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例1 求 方 程dy2x2y的 通 解 . dx
解
分 离变量,
dy y2
2 xdx
,
积分 1 x2 C, y
所 以 通 解 为 yx21 C.
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例2 求 方 程 yx1 (1 y yx 22)满 足 y(1)2的 特 解 .