三角函数范围教师版

类型一:求w 的范围

1．已知函数3sin y wx =在区间[,]36

ππ

-上为增函数，则实数w 的取值范围( ) A ．(0，1]

B ．(0，2]

C ．(0，3

D ．(0，3

【分析】由题意可得，函数的半个周期的长度不小于[3π-，]3

这个区间的长度，解这个关于w 的不等式可得．

【解答】解：

Q 函数3sin y wx =在[,]36ππ

-上是增函数，

∴函数的半个周期的长度不小于[3

-，]3π这个区间的长度，∴223T π…，即23w ππ…，解得3

w …，又w 是正实数，

302w ∴<…，即实数w 的取值范围是(0，3

故选：D ．

【点评】本题考查复合三角函数的单调性及三角函数的周期公式，解题的关键是由题意得到周期的取值范围，属基础题．

2．已知函数()2sin()(0)4f x x π

ωω=+>，若()f x 在区间(,2)ππ内无最值，则ω的取值范围

是( )

A ．5

(0,]8

B ．115

(0,][,]848U

C ．115

(0,)(,]448

D ．15

[,]88

【分析】由题意可得区间(,2)ππ是函数的一个单调区间，故有2

k π

πωπ-

…，

k π

ωππ+

…，k Z ∈，由此求得ω的取值范围．

【解答】解：Q 函数()2sin()(0)4

f x x π

ωω=+> 在区间(,2)ππ内无最值，

∴区间(,2)ππ是函数的一个单调区间，故有2

k π

πωπ-

…，24

k π

ωππ+

…，k Z ∈．

求得31428k k ω-+剟．取0k =，可得1

08ω<…；取1k =，可得1548ω剟

，故选：B ．【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．

3．若函数()cos()2f x x π

ω=+，(0ω>，[0x ∈，2])π的图象与直线12y =没有公共点，则ω

的取值范围为( )

A ．1

(0,)5

B ．1

，5)

C ．7(0,

)12 D ．7

(12

，5)

【分析】化简函数()f x 的解析式得sin y x ω=-，结合给定的区间确定ω的临界值，由此确定ω的范围．

【解答】解：函数()cos()sin 2f x x x π

ωω=+=-，sin y x ω∴=-，

当2x π=时，sin 2y πω=-；令1sin 22πω-=

，得726ππω=，解得712ω=，由函数()cos()(02

f x x πωω=+>，[0x ∈，2])π的图象与直线12y =

无公共点，7

012

ω∴<<．故选：C ．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题． 4．已知函数()|sin()|(0)6f x x πωω=+>在区间[0，]2

上是单调递增函数，则正实数ω的取

值范围是 (0，2

．

【分析】由条件可得当0k =时，()f x 的增区间为[6πω-，]3π

，然后根据()f x 的单调区间列不等式即可．

【解答】解：|sin |y x =Q 在[0，]2π上递增，周期为π，令()6

k x k k Z ππ

πωπ+

+∈剟，则

()63k k x k Z ππππ

ωωωω

++∈剟，∴当0k =时，()f x 的增区间为[6πω-，]3πω， ()f x Q 在[0，]2π上单调递，∴23ππω…

，∴203ω<…，∴正实数ω的取值范围为：(0，2

．故答案为：(0，2

．

【点评】本题考查了三角函数的图象与性质，考查了整体思想，属基础题．

5．已知函数()2sin()(0)4f x x πωω=+>，且[0,]4π

是其单调区间，则ω的取值范围是(0，1]

【分析】根据x 的范围可得[,(1)]444

x π

ππωω+

∈+，然后由()f x 在[0,]4π

上单调可得

(1)4

ω+…

，解不等式即可．

【解答】解：当[0,]4x π∈时，[,(1)]444x πππωω+∈+，

()f x Q 在[0,]4π上单调，∴(1)42

ππ

ω+…， 1ω∴…，又0ω>，ω∴的取值范围为(0，1]．故答案为(0，1]．

【点评】本题考查了三角函数的图象与性质，主要是正弦函数的单调性，属基础题．

6．已知函数()cos()(0)6f x x πωω=+>在区间5[0,]3

上的值域为[1-，则ω的取值范

围为 1

，1] ．

【分析】求出[0x ∈，

5]3π时6

x π

ω+的范围，根据()f x 的值域，结合余弦函数的图象和性质求出ω的取值范围．【解答】解：在区间[0，

5]3π上，[66x ππω+∈，5]36

ωπ+，

()cos()6

f x x π

ω=+的值域为[1-，由余弦函数的图象知，5[36πωππ+∈，

11]6π， ∴55[36πωπ∈，5]3π，解得1[2ω∈，1]．故答案为：1[2

，1]．

【点评】本题考查了余弦函数的图象和性质的应用问题，是基础题．

7．已知函数1

()cos()(0)32

f x x πωω=-->在区间[0，]π上恰有三个零点，则ω的取值范围

是 8

[2,)3

．

【分析】函数1

()cos()(0)32f x x πωω=-->在区间[0，]π上恰有三个零点，转化为

cos()3x πω-与函数1

y =在区间[0，]π上恰有三个交点问题，利用余弦函数的图象即可

求解．

【解答】解：由题意：转化为cos()3y x π

ω=-与函数12y =在区间[0，]π上恰有三个交点问

题，[0x ∈Q ，]π上，∴333x πππ

ωωπ---剟．当0x =，可得12y =．根据余弦函数的

图象：可得

57333πππωπ-<

…，解得：823ω<…ω∴的取值范围是[2，8

故答案为：[2，8

．

【点评】本题主要考查三角函数的零点转化为交点问题，转化思想的运用．属于基础题． 8．已知函数()sin()(0f x x ω?ω=+>，||)2

?…，4

x π

为()f x 的零点，4

x π

为()

y f x =图象的对称轴，且()f x 在(4π，)3

单调，则ω的最大值为( ) A ．12

B ．11

C ．10

D ．9

【分析】由题意可得()4k πω?π-+=g ，且42

k ππ

ω?π+='+g ，故有2()1k k ω='-+①，再根据12234πππ

ω-g …，求得12ω…②，由①②可得ω的最大值，检验ω的这个值满足条件．【解答】解：函数()sin()(0f x x ω?ω=+>，||)2

?…

，

x π

为()f x 的零点，4

x π

为()y f x =图象的对称轴，

()4k πω?π∴-+=g ，且42

k ππ

ω?π+='+g ，k 、k Z '∈，2()1k k ω∴='-+，即ω为奇数①．

()f x Q 在(

4π，)3π单调，∴12234

πππ

ω-g …，12ω∴…②．由①②可得ω的最大值为11．当11ω=时，由4x π=为()y f x =图象的对称轴，可得1142

k ππ

?π?+=+，k Z ∈，

故有4π

?=-

，()4

k πω?π-+=g ，满足4x π

=-为()f x 的零点，同时也满足满足()f x 在

(

4π，)3

单调，故11ω=为ω的最大值，故选：B ．【点评】本题主要考查正弦函数的图象的特征，正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，属于中档题．

9．已知函数()cos()(0)3f x x πωω=->且25()()36f f ππ=，若()f x 在区间25(,)36

ππ

上有最大

值，无最小值，则ω的最大值为( ) A ．

B ．

289

C ．

529

D ．

100

【分析】利用正弦函数对称轴两侧三角函数值相等，自变量的平均数是对称轴，求()f x 的对称轴；

再根据()f x 的单调性和最小正周期求得ω的最大值．

【解答】解：函数()cos()(0)3f x x πωω=->且25()()36

f f ππ

=，

∴直线1253()2364x πππ=

?+=

为()cos()(0)3

f x x π

ωω=->的一条对称轴，且取得最大值； 3243k ππωπ∴-=g ，k Z ∈，8439k ω∴=+，k Z ∈，又0ω>，且()f x 在区间25(,)36ππ

上有

最大值，无最小值，52636T πππ∴>

-=，即26

ππ

ω>，12ω∴<， ∴当8k =时，324100

399

ω=

为最大值．故选：D ．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．

10．已知函数1

()sin cos (,)4f x x x x R ωωω=->∈，若()f x 的图象的任意一条对称轴与x 轴

的交点的横坐标都不属于区间(2,3)ππ，则ω的取值范围是( )

A ．37(,)812

B ．311

[,]812

C ．37711(,)(,)812812

D ．37711[,][,]812812

【分析】由题意可得，2T π…，求得114

ω<…．求出它的对称轴为3()4k x πω+=

g ，则有3()423(1)43k k ππω

πω?

+??

?++???

……，由此求得ω的取值范围．

【解答】解：Q

函数()sin cos )4f x x x x πωωω=-=-1

ω>，)x R ∈，

若()f x 的图象的任意一条对称轴与x 轴的交点的横坐标都不属于区间(2,3)ππ，

则()f x 的半个周期大于或等于π，即122ππωg …，01ω∴<…，故有1

14ω<…．

令42x k ππωπ-=+，k Z ∈，求得对称轴为3()4k x πω+=g ，∴3()423(1)43k k ππωπ

πω?

+?????++???

……，

求得

3728312k k ω++剟．当1k =-时，1184ω-剟，不合题意；当0k =时，37

812

剟；当1k =时，711812ω剟；当2k =时，115

84ω

剟，不合题意，故ω的取值范围为 3[8，77][128U ，11

]12

，故选：D ．【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性和周期性，属于中档题． 11．已知函数()4sin

cos

(0)2

f x ωωω=>

g 在区间2[,]23

ππ

-上是增函数，

且在区间[0，]π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围为( ) A ．(0，1]

B ．(0，3

C ．13

[,]24

D ．[1，)+∞

【分析】化函数()f x 为正弦型函数，根据题意，利用正弦函数的图象与性质求得ω的取值范围．

【解答】解：函数()4sin

cos

2sin (0)2

f x x ωωωω==>

g ，则()f x 在[2πω-

，]2π

上是含原点的递增区间；又()f x 在[2π-

，2]3π上单调递增，则[2πω-，][22

ππ

ω?-，2]3π，

得不等式组22

232π

πωππ

?--??????……，又0ω>，∴解得304ω<…；又函数()f x 在区间[0，]π上恰好取

得一次最大值，根据正弦函数的性质可知22

x k π

ωπ=+

，k Z ∈，即函数在22k x π

处取得最大值，可得02ππω剟，12ω∴…，综上所述，可得1[2ω∈，3

]4．故选：C ．

【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质应用问题，也考查了有关三角函数的灵活应用问题，是中档题．

12．已知函数()cos sin()(0)6

f x x x π

ωωω=++>在[0，]π上恰有一个最大值点和两个零点，

则ω的取值范围是 5[3，13

．

【分析】化函数()f x 为正弦型函数，由[0x ∈，]π求得3

x π

ω+的取值范围，根据正弦函数

的图象与性质，结合题意求出ω的取值范围．

【解答】解：函数()cos sin()6f x x x πωω=++3cos 2x x ωω=+)3

x π

ω=+，

(0)ω>；由[0x ∈，]π，得[33x π

πω+∈，]3

ωπ+；又()f x 在[0，]π上恰有一个最大值点和两个零

点，则523

2π

ππωπ+

…，解得513

36ω<…，所以ω的取值范围是5[3，13)6

．

故答案为：5[3，13

．

【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是中档题．

13．已知函数()2sin()(0)4f x x π

ωω=+>的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取

值范围为( )

A ．19[4

，27)4π

B ．9[

2π，13)2π

C ．17[4

π，25)4π

D ．[4π，6)π

【分析】根据区间[0，1]上，求出4

x π

ω+的范围，由于在区间[0，1]上恰有3个最高点，

建立不等式关系，求解即可．

【解答】解：函数()2sin()(0)4f x x πωω=+>，[0x ∈Q ，1]上，444x πππ

ωω∴≤+≤+，

图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，172544

ππ

ω∴

…．故选：C ．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．

14．若函数2()cos 2sin cos 2f x x x x x ωωωω=++在区间33[,]22

ππ

-上单调递增，则正数ω的最大值为( )

A ．18

B ．

C ．

14 D ．13

【分析】利用倍角公式结合辅助角公式进行化简，结合三角函数的单调性确定区间与周期的关系进行求解即可．【解答】解：

2()cos 2sin cos 221cos 2cos 221

f x x x x x x x x x ωωωωωωωω=++=+-+=+

Q 在区间33[,]22ππ-

上单调递增，则324T π…，即6T π…

，即262ππω…，得1

ω<…，即ω的最大值为

，故选：B ．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用倍角公式以及辅助角公式进行化简是解决本题的关键．

15．已知函数()sin()(0f x A x A ??=+>，0ω>，||)2

π?<，4x π

=-是函数的一个零点，且

4x π

=是其图象的一条对称轴．若(,)96

ππ

是()f x 的一个单调区间，则ω的最大值为(

)

A ．18

B ．17

C ．15

D ．13

【分析】由已知可得2()21T k Z k π=

∈+，结合2T πω=，得到21()k k Z ω=+∈．再由(,)96

ππ

是()f x 的一个单调区间，可得

…

，即9T π…．进一步得到8.5k …．然后对k 逐一取

值，分类求解得答案．

【解答】解：由题意，得1()()()42442k T k Z πππ+=--=∈，2()21

T k Z k π

∴=∈+．又2T πω=

，21()k k Z ω∴=+∈．(,)96ππQ 是()f x 的一个单调区间，∴1

692

ππ-…，即9T π…．

221

T k π

+Q ，2118k ∴+…，即8.5k …． ①当8k =，即17ω=时，174k π?π-

+=，k Z ∈，174

k π?π∴=+，k Z ∈， ||2

Q ，4π

?∴=

，此时()sin(17)4f x A x π=+在(,)96

ππ

上不单调，17ω∴=不符合题意；

②当7k =，即15ω=时，154k π?π-

+=，k Z ∈，15

k ?ππ∴=+，k Z ∈， ||2

Q ，4π

?∴=-

，此时()sin(15)4f x A x π=-在(,)96

ππ

上不单调，15ω∴=不符合题意；

③当6k =，即13ω=时，134k π?π-

+=，k Z ∈，13

k ?ππ∴=+，k Z ∈． ||2

Q ，4π

?∴=

，此时()sin(13)4f x A x π=+在(,)96

ππ

上单调递增，13ω∴=符合题意．

故选：D ．

【点评】本题考查正弦型函数的单调性，考查分类讨论的数学思想方法，考查逻辑思维能力

与推理运算能力，是中档题．

．已知函数()sin (0)f x wx wx w =->，若方程()1f x =-在(0,)π上有且只有三个实数根，则实数w 的取值范围为( )

A ．137(,]62

B ．725(,]26

C ．2511(

,]62 D ．1137(,]26

【分析】首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质求出结果．

【解答】

解：函数()sin (0)f x x x ωωω=>，2sin()3x πω=-，令2sin()13x π

ω-=-，

解得：23

x k π

ωπ-

+或723

6x k π

πωπ-

+，k Z ∈，

设方程1y =-与2sin()3

y x π

ω=-在(0,)+∞上从左到右的第三个交点为A ，

第四个交点为B ，则76A x ππ

ωω

=+，

322B x ππωω=+， Q 方程()1f x =-在(0,)π上有且只有三个实数根，A B x x π∴<…，即

73262ππππ

πωωωω

+<+

…，解得

13762ω<…．∴实数ω的取值范围为137

(,]62

．故选：A ．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．类型二：求φ

1．已知函数()2cos(3)(||)2f x x π

??=+…，若(,)612

x ππ

?∈-，()f x 的图象恒在直线0y =的上方，则?的取值范围是( ) A ．(,)122

ππ

B ．[,]63

ππ

C ．[0，]4

D ．(,)63

ππ

【分析】根据函数()f x 的解析式，利用x 的取值范围，结合题意列不等式组求?的取值范围．

【解答】解：函数()2cos(3)(||)2f x x π

??=+…，(,)612x ππ∈-时，3(2x π??+∈-+，)4

?+，

且()f x 的图象恒在直线0y =的上方，

cos(3)0x ?∴+>，∴22

π?ππ

??-+-????+??……，解得04π?

剟；?∴的取值范围是[0，]4π．故选：C ．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．

．已知函数()cos f x x x =+在[m -，]m 上是单调递增函数，则(2)f m 的取值范围为

．

【分析】由题意利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得m 的范围，再利用正弦函数的定义域和值域，求得(2)f m 的取值范围．【解答】解：Q 函数()cos 2sin()6

f x x x x π

=+=+ 在[m -，]m 上，

6x m π

∈-+

，]6m π+，()f x 是单调递增函数，0m ∴>，62m ππ-+-…，且62m ππ

+…，求得03

m π

<…

，故有

526

6m π

π<+

…

，则(2)2sin(2)6

f m m π

=+ 的取值范围为(1，2]，故答案为：(1，2]．

【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于基础题．

3．已知函数()2sin()1(0,)2

f x x π

ω?ω?=++>…，其图象与直线3y =相邻两个交点的距离

为π，若()2f x >对(,)243

x ππ?∈恒成立，则?的取值范围是( ) A ．(,)62

ππ

B ．[,]63ππ

C ．(,)123

ππ

D ．[,]126

ππ

【分析】根据题意求出函数的最小正周期T 、ω的值，再三角函数的图象与性质求出?的取值范围．

【解答】解：函数()2sin()1(0,)2

f x x π

ω?ω?=++>…，其图象与直线3y =相邻两个交点的

距离为π，T π∴=，22T πω∴=

=，若()2f x >，则1sin(2)2

x ?+>， ∴

52226

6k x k π

ππ?π+<+<

+，k Z ∈；又(,)243x ππ?∈，2(12

x π

??+∈+，2)3π?+， ∴126253

6π

π?ππ

??+????+??……，解得126ππ?

剟；?∴的取值范围是[12π，]6π．故选：D ．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题． 4．函数()cos(2)(0)f x x ??π=+<<在区间[,]66ππ

-单调递减，

在区间(0)6

-上有零点，则?的取值范围是 (

，2]3π ．

【分析】利用余弦函数的单调性和零点，求得?的取值范围．【解答】解：Q 函数()cos(2)(0)f x x ??π=+<<在区间[,]66

ππ

单调递减，

?∴-

+…，

?π+…，求得233π

π?剟

．Q 函数在区间(0)6

-上有零点，故有3

??-

<，求得

6π

π?<<

．综上可得223ππ?<…，故答案为：(2

π，2]3π．

【点评】本题主要考查余弦函数的单调性和零点，属于中档题．类型三：求区间参数

1．若()sin f x x x =在[m -，](0)m m >上是增函数，则m 的最大值为( ) A ．

B ．

π C ．

π D ．

π 【分析】利用辅助角公式，化简函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得m 的最大值．

【解答】解：若1()sin 2(sin )2sin()23

f x x x x x x π

===+ 在[m -，](0)

m m >上是增函数，32m ππ∴-+-…，且32m ππ+…．求得56m π…，且6m π…，6

m π

∴…，故m 的

最大值为

，故选：C ．【点评】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的单调性，属于中档题．

2．已知函数()2sin(2)(0)2f x x π??=+<<，若()()124f f ππ=，且当[,]6x π

θ∈-时，()[1f x ∈-，

2]，则θ的取值范围是( )

A ．{}6

B ．[,]62

ππ

C ．5[,]26

ππ

D ．(,]62

ππ

【分析】由题意可得()f x 的周期为π，图象关于直线6

x π

对称．根据当[,]6

x π

θ∈-

时，

()[1f x ∈-，2]，可得3

6π

，且722

θ?+剟，由此求得θ的取值范围．【解答】解：Q 函数()2sin(2)(0)2

f x x π

??=+<<，若()()124f f ππ=，∴函数的周期为22ππ=，

且函数的图象关于直线12

426x π

π+

==对称．Q 当[,]6x πθ∈-时，2[3

x π??+∈-，2]θ?+，

此时，()[1f x ∈-，2]，1sin(2)[2x ?∴+∈-，1]，36ππ?∴-=-，且7226

ππ

θ?

+剟，即6

，22[62π

πθ?θ+=+

∈，7]6π，[6πθ∴∈，]2

，

满足()f x 的图象关于直线6

x π

对称，故选：B ．

【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，定义域和值域，属于中档题．

3．已知函数()cos(2)f x x ?=+，满足函数()12

y f x π

是奇函数，且当||?取最小值时，函

数()f x 在区间[,]32a

π-和[3a ，7]6π上均单调递增，则实数a 的取值范围为 2[9π，]3π ．

【分析】由题意利用余弦函数的奇偶性，求得3π

?=-

，可得函数()cos(2)3

f x x π

=-．再利

用余弦函数的单调性，可得2023

7232363a a π

ππππ?-????-<-

g g g ……，由此求得实数a 的取值范围．

【解答】解：函数()cos(2)f x x ?=+，满足函数()cos(2)12

y f x x π

?=-=-

+是奇函数，

且当||?取最小值时，6

+=-

，3

?∴=-

．

Q 函数()cos(2)3f x x π=- 在区间[,]32a

π-和[3a ，7]6π上均单调递增，

∴20237232363a a π

ππππ?-????-<-

g g g ……，求得293a

ππ剟．则实数a 的范围为2[9π，]3π，故答案为：2[

9π，]3

．【点评】本题主要考查余弦函数的奇偶性和单调性，属于中档题．

4．已知函数()8cos()6f x x πω=+，(0)ω>的最小正周期为π，若函数()f x 在[24π-，]6s

和

[2s ，17]12

上均单调递减，则实数s 的取值范围是( ) A ．5[

12π，17]12

B ．5[

12π，5]2π

C ．11[6π，17]6π

D ．11[6π，5]2

【分析】由已知求得ω，然后求出()f x 的减区间，结合函数()f x 在[24π

-，]6s 和[2s ，17]12

π上均单调递减列关于s 的不等式组求解．

【解答】解：由函数()8cos()(0)6

f x x π

ωω=+>的最小正周期为π，得2ππω=，即2ω=．

()8cos(2)6f x x π∴=+，由2226k x k ππππ++剟，k Z ∈．可得51212

k x k ππ

ππ-++剟．

当0k =时，函数()f x 的一个减区间为5[,]1212

ππ

；当1k =时，函数()f x 的一个减区间为

11[12π，17]12π．Q 函数()f x 在[24π-，]6s 和[2s ，17]12

上均单调递减，

∴5612

11212

s s ππ

????

???……，解得11[6s π∈，5]2π．故选：D ．【点评】本题考查余弦型函数单调性的求法，考查计算能力，是中档题．类型四：函数的最值

1．若方程cos(2)4x m π+=在区间[0,]2π

上有两个实根，则实数m 取值范围为( )

．[1,- B

．(1,- C

． D

．【分析】根据[0,]2x π∈上，求出24x π+的范围，方程cos(2)4x m π+=在区间[0,]2π

上有两个

实根，转化为余弦函数的图象与函数y m =有两个交点，即可得答案．

【解答】解：由题意，[0,]2x π∈上，∴2[44x ππ+∈，5]4π，令24

t x π

=+，则[4t π∈，5]4π，

可得cos y t =的图象为：要使y m =与cos y t =有两个交点，从图象可得：(1m ∈-

，．故选：B ．

【点评】本题考查了余弦函数的图象和性质的运用，转化思想，方程有根问题转化为图象交点问题，利用数形结合求解，属于中档题．

2．若()2cos(2)(0)f x x ??=+>的图象关于直线3x π

=对称，且当?取最小值时，0(0,)2

x π

?∈，

使得0()f x a =，则a 的取值范围是( ) A ．(1-，2]

B ．[2-，1)-

C ．(1,1)-

D ．[2-，1)

【分析】直接利用函数的对称轴方程，?取最小值时，()2cos(2)3f x x π

=+，再根据余弦函

数的性质求出然后求出0()f x 的范围，即可求出a 的范围．

【解答】解：

Q 函数()2cos(2)(0)f x x ??=+>的图象关于直线3

x π

=对称，∴

k π

?π+=， 23k π?π∴=-，当?取最小值时3π?=，()2cos(2)3

f x x π

∴=+，0(0,)2x π∈Q ，

02(33x π

π∴+

∈，4)3π，01

1cos(2)32

x π∴-+<…，02()1f x ∴-<…，0()f x a =Q ，

21a ∴-<… 故选：D ．

【点评】本题考查三角函数的对称性，三角函数值的求法，考查函数解析式的求法，计算能力．

3．函数2

()2cos 2x f x x a =+-在11(0,)6

上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为( )

A ．[1-，1)(2?，3]

B ．(1-，1)(2?，3)

C ．(2,3)

D ．(2-，0)(1?，2)

【分析】利用辅助角公式进行化简，利用换元法作出对应的函数条件，利用数形结合进行判断即可．

【解答】解：2

()2cos cos 12x f x x a x x a =+-=++-2sin()16

x a π

=++-，由()0f x =得2sin()106x a π++-=得2sin()16x a π+=-，设()2sin()6h x x π

=+，

则当11(0,

)6x π∈时，(66x ππ+∈，2)π，令6t x π=+，则(6

t π

∈，2)π，作出2sin y t =的图象如图：当6

t π

时，2sin

y π

==，当2t π=时，2sin 20y π==，

要使2sin()16

x a π

+=-有两个不同的交点，则112a <-<或210a -<-<，得23a <<或11a -<<，即实数a 的取值范围是(1-，1)(2?，3)，故选：B ．

【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，以及用数形结合是解决本题的关键．

4．已知函数23()(12)sin(

)2sin cos cos()(||)222f x cos x x x πππθθθ=-+--…在3[,]86

ππ

--上单调递增，且()8f m π

…，则实数m 的取值范围为( )

A ．)+∞

B ．1

[,)2

+∞

C ．[1，)+∞

D ．)+∞ 【分析】先利用三角恒等变换化简函数的解析式，根据正弦函数的最大值求得()f x 的最大值小于或等于1，可得实数m 的取值范围．【解答】解：函数23()(12cos )sin(

)2sin cos cos()(||)222

f x x x x πππθθθ=-+--… cos2(cos )sin 2sin cos(2)x x x θθθ=---=+

g ，Q 函数()f x 在3[,]86

ππ

-上单调递增，∴函数的最大值为()cos()163

f ππθ-=-…，若()8f m π

…恒成立，则函数的最大值为

()cos()63f m ππθ-=-… 恒成立，而cos()13

θ-…，∴只要1m …，故选：C ．

【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的最大值，函数的恒成立问题，属于中档题． 5．已知函数2()cos f x x x =-，[,]22x ππ∈-，

则满足0()()3f x f π<的0x 的取值范围是 (3

-，)3

．【分析】由条件利用函数的图象特征，余弦函数的奇偶性和单调性，数形结合求得结论．【解答】解：函数2()cos f x x x =-，[,]22

x ππ

∈-为偶函数，

则且函数在[0，]2π上单调递增，如图所示：结合图象可得满足0()()3f x f π

<的0x 的取值范

围是(,)33ππ-，故答案为：(3π-，)3

．

【点评】本题主要考查函数的图象特征，余弦函数的奇偶性和单调性，属于中档题．类型五：解答题

1．已知函数()sin()(0f x A x A ω?=+>，0ω>，||)?π<，在同一周期内，当12

x π

=时，()

f x 取得最大值4；当712

x π

时，()f x 取得最小值4-．（1）求函数()f x 的解析式；

（2）若[,)26x ππ

∈-时，函数()7()1h x f x t =+-有两个零点，求实数t 的取值范围．

【分析】（1）根据条件求出A ，和T ，?的值即可得到结论．（2）利用函数与方程关系转化为1

()7

t f x -=，有两个不同的根，结合三角函数的性质进行求解即可．

【解答】解：（1）由题意知4A =，7212122

T πππ

=-=，得周期T π=，即2ππω=得2ω=，则()4sin(2)f x x ?=+，当当12

x π

时，()f x 取得最大值4；即4sin(2)412

+=，得

sin()16π?+=，得262k ππ?π+=+得23k π?π=+，||?π

?=，

即()4sin(2)3

f x x π

=+．

（2）()7()10h x f x t =+-=，即1()7t f x -=，当[,)26x ππ∈-时，则22[33

x ππ

+∈-，2)3π，

当223

3x π

π+=

时，24sin 3π=232x ππ+=时，4sin 42

=，

当223

3x π

π+

时，24sin()3π-=-232x ππ+=时，4sin()42

-=-，

要使1()7t f x -=

有两个根，则147t -<或，147

t --<-…

得129t +<<或271t -<-…t 的取值范围是

129t +<<或271t -<-…

【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式，转化为三角函数的取值范围，利用数形结合是解决本题的关键． 2．函数()2sin()(0f x x ω?ω=+>，)2

?-<<

的部分图象如图所示．

（1）求()f x 的解析式．

（2）若不等式|()|3f x m -<，对任意[,]123

x ππ

∈恒成立，求实数m 的取值范围．

【分析】（1）利用

53()1234T ππ--=，再用522122

k ππ

?π?+=+，求出?即可；

（2）由[,]123x ππ

∈，得1sin(2)[32x π-∈-，转化成|()|3f x m -<等价于()3()3

m f x m f x <+??

>-?，

最后求出m 的取值范围．【解答】解：（1）因为53()1234T ππ--=，所以2ω=，又因为522()122

k k Z ππ

?π?+=+∈，

且2

，所以3π

?=-

，故()2sin(2)3

f x x π

=-．（2）由（1）知()2sin(2)3f x x π=-，当[,]123x ππ∈时，2[,]363

x πππ

-∈-，

所以：1sin(2)[32x π-∈-，即：1(f x -剟

，

又对任意[,]123x ππ

∈，函数|()|3f x m -<等价于()3()3

m f x m f x <+??

>-?恒成立，

()3()3

min max m f x m f x <+??

>-?

32m <<，故m

的取值范围是3,2)．

【点评】本题属于三角函数的综合题，考查了三角函数的周期性和已知定义域，求三角函数的值域等问题，难点在于对绝对值要进行分段处理和化简．

3．如图，已知函数()sin()(0f x x ω?ω=+>，0)?π<<，点A ，B 分别是()f x 的图象与y 轴、x 轴的交点，C ，D 分别是()f x 的图象上横坐标为2π、23

π的两点，且//CD x 轴，AB BD =u u u r u u u r ．

（1）求ω，?的值；

（2）若关于x 的方程()sin 2f x k x =+在区间7[0,

]12

上恰有唯一实根，

求实数k 的取值范围．

【分析】（1）结合AB BD =及中点坐标可求B ，根据对称性求出C ，然后可求()f x 的最小正周期T ，进而可求ω，再由2(0)(

f f π

=-代入可求?；（2）由（1）可知()f x ，由()sin 2f x k x =+可求解k 的表达式，结合两角和的三角公式及

余弦函数的性质可转化为y k =与cos(2)6y x π=+，在7[0,]12

x π

∈上有1个交点，结合图象可

求．

【解答】解：（1）根据题意，AB BD =，B ∴点的横坐标为

201323

π+

=；又点C 与点D 关于直线12723212

x π

ππ+

==对称，()f x ∴的最小正周期T 满足741234

T πππ

=-=，解得T π=，即2ω=；又(0)sin f ?=， Q 241(

)sin()sin()sin 333f ππ??π?=+=-+=-，且0?π<<，1

?π∴=；（2）由（1）知，函数1()sin(2)3f x x π=+，()sin 2f x k x ∴=+为1

sin(2)sin 23

x k x π+=+，

11sin(2)sin 2sin 2cos(2)326

k x x x x x π

π∴=+-=-+=+

设()cos(2)6g x x π=+，7[0,]12x π∈，则42[,]663x πππ

+∈，根据题意，y k =与()g x 恰有唯一

交点，∴实数k 应满足12k -<…或1k =-

【点评】本题主要考查了正弦与余弦函数的图象与性质的综合应用，方程的根与函数图象的交点的相互转化思想的应用．

4．已知点1(A x ，1())f x ，2(B x ，2())f x 是函数()2sin()(0,0)2

f x x π

ω?ω?=+>-

<<图象上

的任意两点，且角?的终边经过点(1,P ，若12|()()|4f x f x -=时，12||x x -的最小值为

．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调递增区间；

（3）当[0,]6

x π

∈时，不等式()2()mf x m f x +…恒成立，求实数m 的取值范围．

【分析】（1）利用三角函数的定义求出?的值，由12|()()|4f x f x -=时，12||x x -的最小值为

，可得函数的周期，从而可求ω，进而可求函数()f x 的解析式；（2）利用正弦函数的单调增区间，可求函数()f x 的单调递增区间；

（3）当[0,]6

x π

∈时，不等式()2()mf x m f x +…恒成立，等价于()212()2()f x m f x f x =-++…

，由此可求实数m 的取值范围．

【解答】解：（1）角?的终边经过点(1,P ，∴tan ?=?（2分）

Q 02

<<，∴3

?=-

．?（3分）由12|()()|4f x f x -=时，12||x x -的最小值为

，得23T π=

，即223ππω=，3..ω∴=?（5分）∴()2sin(3)3

f x x π=-?（6分）（2）由2322

k x k π

ππ-

+剟，可得25218

3183

k k x π

πππ

剟，?（8分） ∴函数()f x 的单调递增区间为252[,]18

3183

k k π

πππ

+，k z ∈?（9分）

(3)当[0,]6

x π

∈时，()1f x ，?（11分）于是，2()0f x +>， ()2()mf x m f x ∴+…等价于()2

12()2()

f x m f x f x =-?++…

（12分）

由()1f x ，得()2()f x f x +的最大值为1

?（13分）

∴实数m 的取值范围是1

m …．?（14分）

【点评】本题考查函数解析式的确定，考查三角函数的性质，考查分离参数法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．