(全国通用版)201X版高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 课时分层作业 五十二 8.7 抛物线

课时分层作业五十二抛物线

一、选择题(每小题5分,共35分)

1.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|= ( )

A.2

B.2

C.4

D.2

【解析】选B.设抛物线的标准方程为C:y2=2px(p>0),由焦半径公式得2+=3,所以p=2,不妨设M(2,2),如图,

|OM|=2.

2.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=2x-4与C交于A,B两点,则cos∠AFB=

( ) A. B. C.- D.-

【解析】选D.联立

解得或不妨设A在x轴上方,

所以A(4,4),B(1,-2),

因为F点坐标为(1,0),

所以=(3,4),=(0,-2),

cos∠AFB===-.

【一题多解】选D.因为A(4,4),

B(1,-2),|AB|=3,|AF|=5,|BF|=2,

由余弦定理知,

cos∠AFB==-.

3.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为

( )

A. B.(1,0) C. D.(0,1)

【解析】选B.因为抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=-且过点(-1,1),故-=-1,解得p=2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0).

【一题多解】选B.由于准线方程为x=-,焦点坐标为,所以由准线经过点(-1,1),可知焦点坐标为(1,0).【变式备选】抛物线y=2x2的焦点坐标是 ( )

A. B. C. D.

【解析】选C.抛物线的标准方程为x2=y,所以焦点坐标是.

【方法技巧】根据抛物线的标准方程确定焦点坐标.

4.以x轴为对称轴,原点为顶点的抛物线上的一点P(1,m)到焦点的距离为4,则抛物线的方程是 ( )

A.y=4x2

B.y=12x2

C.y2=6x

D.y2=12x

【解析】选D.设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则由抛物线的定义知1+=4,即p=6,所以抛物线方程为y2=12x.

5. 已知抛物线y2=2x的弦AB的中点的横坐标为,则|AB|的最大值为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

【解析】选D.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3,利用抛物线的定义可知,|AF|+ |BF|=x1+x2+1=4,由图可知

|AF|+|BF|≥|AB|,即|AB|≤4,当且仅当直线AB过焦点F时,|AB|取得最大值4.

6.设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=

( ) A. B.1 C. D.2

【解析】选D.因为y2=4x,所以F(1,0).又因为曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,所以P(1,2).将点P(1,2)的

坐标代入y=(k>0),得k=2.

7.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为

( ) A.16 B.14 C.12 D.10

【解析】选A.方法一:设直线l1方程为y=k1(x-1),联立方程

得x2-2x-4x+=0,

设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),

所以x1+x2=-=,

同理直线l2与抛物线的交点满足x3+x4=,

由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p

=++4=++8≥2+8=16,

当且仅当k1=-k2=1(或-1)时,取得等号.

方法二:不妨设AB的倾斜角为θ.作AK1垂直于准线,垂足为K1,AK2垂直于x轴,垂足为K2,准线交x轴于点G,

易知

所以·cos θ+p=,

所以=,同理=,

所以==,

又DE与AB垂直,即DE的倾斜角为+θ,

==,

而y2=4x,即p=2.

所以+=2p

=4==

=≥16,当θ=时取等号,

即+的最小值为16.

二、填空题(每小题5分,共15分)

8.已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则

|FN|=________.

【解析】设N(0,a),F(2,0),那么M,点M在抛物线上,所以=8,解得a=±4,所以N(0,±4),

那么|FN|==6.

答案:6

9.如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽________米.

【解析】建立坐标系如图所示:

则可设抛物线方程为x2=-2py(p>0).因为点(2,-2)在抛物线上,所以p=1,即抛物线方程为

x2=-2y.当y=-3时,x=±.所以水位下降1米后,水面宽为2米.

答案:2

10.已知双曲线C1:-=1(a>0,b>0) 的离心率为2.若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为________.

【解析】因为双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,所以2==,所以=,所以渐近线方程为x±y=0,因为抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点F,所以F到双曲线C1的渐近线的距离为

=2,所以p=8,所以抛物线C2的方程为x2=16y.

答案:x2=16y

1.(5分)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则抛物线C 的方程为( )

A.y2=4x或y2=8x

B.y2=2x或y2=8x

C.y2=4x或y2=16x

D.y2=2x或y2=16x

【解析】选C.由已知得抛物线的焦点F,设点A(0,2),抛物线上点M(x0,y0),则

=,=.由已知得,·=0,即-8y0+16=0,因而y0=4,

M.由|MF|=5得,+=5,又p>0,解得p=2或p=8,所以抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x.

【变式备选】若直线ax-y+1=0经过抛物线y2=4x的焦点,则实数a=________.

【解析】直线ax-y+1=0经过抛物线y2=4x的焦点F(1,0),则a+1=0,所以a=-1.

答案:-1

2.(5分) O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为

( )

A.2

B.2

C.2

D.4