高中自主招生数学模拟试题及答案
2023年漳州一中高中自主招生考试数学试卷参考答案
漳州一中高中自主招生考试 数学参照答案及评分意见11. 且 12. （或 ）13.4016 14. 15. 16. 三、解答题（本大题共有7小题, 共86分）17. （8分）原式 …………………………………………6分1-=………………………………………………………………8分 18. （10分）原式 ………………………………2分x x --=4162)4()4)(4(---+=x x x 4--=x ………………………7分∴当 时, 原式 ……………………10分19. （10分）（1）（4分） ………………………………………4分 （2）①（4分）树状图为:或列表法为:（画出树状图或列出表格得4分） ……………………………………………4分 ②（2分）因此411234==的倍数p …………………………………………2分 20. （12分）解法一：设参与 处公共场所旳义务劳动, 则学校派出 名学生^…………………………………………………………………………………2分依题意得: ………………………6分 由（1）得： , 由（2）得： ∴434433≤<x ………………………………………………………………8分 又 为整数, ∴ ……………………………………………………10分∴当 时, ………………………………………………11分答: 这所学校派出55名学生, 参与4处公共场所旳义务劳动 …………12分解法二：设这所学校派出 名学生, 参与 处公共场所旳义务劳动……1分 依题意得: ……………………………6分解得: …………………………………………………………8分 为整数, ∴ ………………………………………………………10分∴当 时, ………………………………………11分答: 这所学校派出55名学生, 参与4处公共场所旳义务劳动 …………12分 21. （14分）证法一：如图, 分别延长 、 相交于点 ………………1分 设 , ∵ ,∴ ,得 ………3分∴322=-=AM BM AB …………4分∵ , ∴ , 且 ,在 中, ………………………………6分 又∵ 、 ,∴)(ASA ECN MDN ∆≅∆……………………………………………………9分 ∴ 、 , ………………………………………11分 ∴ 、 , ∴ …………13分∴MBC NMB ∠=∠…………………………………………………………14分 证法二: 设 , 同证法一 ………………6分如图, 将 绕点 顺时针旋转 得到 , 连结 , ∵ , ∴ 是平角, 即点 三点共线,………………………………………………………………………………… 7分 ∴BEC BMA ∠=∠……………………………8分1==AM CE 、BM BE = …………………9分∴BEM BME ∠=∠…………………………10分 ∵MN CE CN NE ==+=+=25123 ……11分 ∴NEM NME ∠=∠…………………………12分 ∴NEM BEM NME BME ∠+∠=∠+∠ ∴AMB BEC BMN ∠=∠=∠………………13分 又∵MBC AMB ∠=∠∴MBC BMN ∠=∠…………………………14分 22. （16分）（1）（4分）设抛物线旳解析式为89252-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x a y ………………………1分∵抛物线通过 , ∴ , 解得: …………3分∴8925212-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y （或225212+-=x x y ） …………………………4分（2）（4分）令 得 , ∴ ……………………………………1分 令 得 , 解得 、 ………………………3分∴)0 , 1(C 、) 0, 4(D …………………………………………………………4分（3）（8分）结论: …………………………………1分理由是: ①当点重叠时, 有………………………………2分②当 , ∵直线 通过点 、 , ∴直线 旳解析式为………3分设直线 与 轴相交于点 , 令 , 得 , ∴ ,则)2,0()2,0(B E 与点-有关x 轴对称………………4分 ∴ , 连结 , 则 ,∴ , …………………5分∵在 中, 有 …………………………………………6分∴BC AC AE PE PA PB PA +=>+=+…………………………………7分 综上所得BC AC BP AP +≥+………………………………………………8分 23. （16分）（1）（6分）解法一: 当点 在⊙ 上时, 设 与⊙交于点 ,∵ , ∴ ………………………1分 ∵ ∥ , ∴ ………………2分∴PD AP =…………………………………………3分又 , …………………4分………………………………………5分∴︒︒=⨯⨯=∠⨯=∠3018031213121AOB APE …6分 解法二: 设点 在⊙ 上时, 由已知有 , ……………………1分 ∴△ △ , ……………………………………………2分 ∴ , …………………………………………3分 在 △ 中, ……5分∴︒=∠30APC ……………………………………………………6分（2）（10分）k 值不随点P 旳移动而变化.理由是:∵ 是⊙ 右半圆上旳任意一点, 且 ∥ ,∴ ……………………………1分∵ 是⊙ 旳切线, ∴ ,⌒ ⌒又∵ , ∴ ,∴ABQ ACP ∠=∠ ……………………………2分 ∴ACP ∆∽OBQ ∆ ……………………………3分 ∴QBPCOB AC =……………………………………4分 又∵ 、 ,∴ACF ∆∽ABQ ∆……………………………………………………………6分 ∴BQCFAB AC = …………………………………………………………………7分 又∵ , ∴ 即 …………………………8分∴CF PC 2= 即CF PF ＝ …………………………………………………9分 ∴ ，即 值不随点 旳移动而变化. ………………………10分。
2024初升高自主招生数学试卷(四)及参考答案
2024初升高自主招生数学模拟试卷（四）一、选择题1．将4046减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，…依此类推，直至最后减去余下的则最后余下的数为()A.4B.3C.2D.12．若正实数a，b，c满足不等式组则a，b，c的大小关系为()A.b<a<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b3．若实数a，b满足等式2a-b=2a2-2则a b=()A. C. D.44．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=33，点D是平面内一动点，且上ADB=30°，连CD，则CD长的最大值是()A.8B.9C.10D.115．已知三个实数x1，x2，x3它们中的任何一个数加上其余两数积的6倍总等于7，则这样的三元数组(x1，x2，x3)共有组()A.3B.4C.5D.66．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，sin B=45，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰△ADE，使∠ADE=∠B，连CE，则CEBC ()A.65 B.56 C.58 D.5127．四边形ABCD 中，AC ，BD 是其两对角线，△ABC 是等边三角形，AD =6，BD =10，CD =8，则∠ADC =()A.30°B.45°C.60°D.75°二、填空题8．已知19个连续整数的和为380，则紧接在这19个数后面的21个连续偶数的和是__.9．已知x =54-，则(2x +1)(x +1)(2x +3)(x +2)=.10．在实数范围内因式分解：a 2-2b 2+3c 2-ab +bc +4ca =.11．在平面直角坐标系xOy 中，点A (4，0)，B (4，)，连OB ，AB ，若线段OB ，AB 分别交双曲线(0k y k x =>，0)x >于点D ，E （异于点B ），若DE 丄OB ，则k 的值为.12．把两个半径为8和一个半径为9的圆形纸片放在桌面上，使它们两两相外切，若要用一个圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于.13．在菱形ABCD 中，∠A =60°，点E ，F 分别在边AD ，AB 上，将△AEF 沿着EF 对折，使点A 恰好落在对角线BD 上的点G ，若DG =4，BG =6，则△AEF 的面积等于.14．对于任意不为0的实数a ，b ，c 定义一种新运算“#”：①a #a =1；②a #(b #c )=(a #b )c ，则关于x 的方程(x 2)#2=x +4的根为.三、解答题15．回答下列问题：（1）解方程：x =(x 2+4x 一3)2+4x 2+16x 一15；（2）求所有的实数a ，使得关于x 的方程x 2-(2a -1)x +4a -3=0的两根均为整数.16．如图，点E是正方形ABCD的边CD上一动点（异于C，D），连BE，以BE为对角线作正方形BGEF，EF与BD交于点H，连AF.（1）求证：A，F，C三点共线；（2）若CE：DE=1：2，求DHBH的值.17．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y=ax2+bx+c(a>0)经过点(0，-3)和(4，-11)，且在x轴上截得的线段长为（1）求抛物线C1的解析式；（2）已知点A在抛物线C1上，且在其对称轴右侧，点B在抛物线C1的对称轴上，若△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标；（3）将抛物线C1向左平行移动3个单位得到抛物线C2，直线y=kx(k≠0)与C2交于E，F两点，直线2y xk=-与C2交于G，H两点，若M，N分别为线段EF和线段GH的中点，连接MN.求证：直线MN过定点.18．如图，等边△ABC内有一动点D，△CDE是等边三角形（点B，E在直线AC两侧），直线BD与直线AE交于点F.（1）判断∠AFC的大小是否为定值？若是定值，求出其大小；若不是定值，请说明理由.（2）若AB=5，CD=3，求线段AF长的最小值.参考答案1．答案：C解析：令,第二次余下的数为,,.故选：C.2．答案：B解析：由题意可得,因a ,b ,c 均为正实数,于是因此,故选：B.3．答案：A,根据非负性可知,所以故选：A.4．答案：B解析：要使长取到最大,则点C 与点D 位于直线两侧.延长到点E ,使4046=11211123323a a a ⎛⎫⨯-=⨯= ⎪⎝⎭13111,4434a a ⎛⎫⨯-=⨯= ⎪⎝⎭ 1202211114046220232023202220232023a a ⎛⎫⨯-=⨯==⨯= ⎪⎝⎭117,531326c abc c a a b c a ⎧<++<⎪⎪⎪<++<⎨⎪⎪⎪⎩11753132,6153,4a b c c a b c a c a b b ++⎧<<⎪⎪++⎪<<⎨⎪++⎪<<⎪⎩711133356a b c c ++>>>>>>b c a <<(21)20a b -+-=1,22a b ==b a =CD AB CB BE =连,则,,于是点D 在以为直径的圆上（与E 在直线同侧）,设圆心为O ,则,当C ,O ,D 三点共线时,长取到最大,最大值为,故选：B.5．答案：C 解析：由条件知①-②得,,所以或.当时,代入③得,又代入①得,消去得,解得于是,或.当,解得或故选：C.6．答案：D解析：由条件知,,所以,所以,又公共,所以,所以也是等腰三角形,于是发现,故选：D.7．答案：A解析：以为一边在四边形外作等边,连,则可证,所以,又,,于是,所以,故选：A.AE 30AEB ∠=︒4AE =AE AB 7OC ==CD 729+=12321331267,67,,67,x x x x x x x x x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩①②③()()123160x x x --=12x x =316x =12x x =23267x x +=22367x x x +=3x ()()()222161670x x x --+=2x =()()123,,1,1,1x x x =1141,,666⎛⎫ ⎪⎝⎭777,,666⎛⎫--- ⎪⎝⎭3x =121274136x x x x +==1216416x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩12x x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩AD BD DC ==B BAD ADE ∠=∠=∠//DE AB CDE B ADE ∠=∠=∠DE ADE CDE ≌△△CDE △CDE BAD ∽△△11552236BC CD AB AB ===⨯=15226CE BD ==⨯=CD ABCD CDE △AE BCD ACE ≌△△10BD AE ==6AD =8DE =222AD DE AE +=90ADE ∠=︒906030ADC ∠=-=︒︒︒8．答案：1050解析：设19个连续整数中最小的整数是,则最大的整数是,,解得,所以紧接在这19个数后面的21个连续偶数分别为30,32,34,,70,.9．答案：42解析：由条件得,又.10．答案：解析：利用待定系数法或双十字相乘法.解析：由条件知,设,则,,又,,所以,,于是于,所以（舍）或12．答案：18解析：要使大圆形纸片的半径最小,只需这个大圆形纸片与三个小圆形纸片均内切,设最小半径大小为r ,则,解得.解析：作于点P ,设,则,,,,n 18n +380=11n = 1050=22540x x +-=()()()()()()()()211232212123x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤++++=++++⎣⎦⎣⎦()()222522536742x x x x =++++=⨯=()()23a b c a b c ++-+:OB y =()D t 2k =2OD t =8OB =60AOB ∠=︒82BD t =-60BED ∠=︒DE =BE =AE ==E ⎛ ⎝k =2=4=t =k =222(8)8(915)r r -=++-18r =FP BD ⊥BP x =PF =2BF x =PF =102AF GF x ==-在中,,即,解得所以14．答案：4或-2解析：令,因,由得,令,由得,于是,所以,解方程得两根分别为4或-2.15．答案：（1）解析：（1）原方程可化为令,则原方程可化为,于是,整理得,所以于是或,当时,,解得当时,,解得综上,原方程的根为（2）不妨设两根为,,则根据韦达定理可知,,于是,所以6PG x=-Rt PFQ △222PF PG GF +=2223(6)(102)x x x +-=-x =AF =AE =AEF △b c a ==#1a a =()()###a b c a b c =#1a a =c b =()()###a b c a b c =()()###a b b a b b =()##1a b b a a ==#a b =)2#2x x =+4x =+x ==()()222434433x x x x x =+-++--243x x t +-=243x t t =+-()224343x t t t x x -=+--+-()2250x t x t -+-=()()50x t x t -++=x t =50x t ++=x t =2330x x +-=x =50x t ++=2520x x ++=x =x =x =1x ()212x x x ≤1221x x a +=-1243x x a =-()121221x x x x -+=-()()12223x x --=因,为整数,,于是,也为整数,且,所以或,当时,解得,此时当时,解得,此时16．答案：（1）见解析解析：证明：（1）在正方形和正方形中,所以,即,所以,所以,又,所以A ,F ,C 三点共线（2）因,设,则,,因,,公共,所以,于是即,解得所以17．答案：（1）（2）或1x 2x 12x x ≤12x -22x -1222x x -≤-122123x x -=⎧⎨-=⎩122321x x -=-⎧⎨-=-⎩122123x x -=⎧⎨-=⎩1235x x =⎧⎨=⎩a =122321x x -=-⎧⎨-=-⎩1211x x =-⎧⎨=⎩12a =ABCD BGEF 45ABD FBE ∠=∠=BE BF==ABD DBF FBE DBF ∠-∠=∠-∠ABF DBE ∠=∠ABF DBE ∽△△45BAF BDC ∠=∠=︒45BAC ∠=︒:1:2CE DE =CE t =2DE t =BD =BE =45BEH BDE ∠=∠=︒DBE ∠BEH BDE ∽△△=2BE BD BH =⋅210t BH =⋅BH =DH BD BH =-=-==263y x x =--()7,4()6,3-（3）解析：（1）由条件可知又,解得所以抛物线的解析式为.（2）当点A 在x 轴上方时,过点A 作轴于点P ,过点B 作直线的垂线,垂足为点Q ,因,,所以,又,,所以,于是.设,则,所以,解得,所以点同理当点A 在x 轴下方时,可求得,综上所述,点A 的坐标为或.（3）由条件知,联立得,于是点,同理可得,设,则,解得所以,其过定点.18．答案：（1）的大小是定值,定值大小为,理由见解析()0,1316411,c a b c ⎧⎪=-⎪⎪++=-⎨=0a >163a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩1C 263y x x =--AP x ⊥AP 90OAP BAQ ∠+∠=︒90OAP AOP ∠+∠=︒AOP BAQ ∠=∠OA AB =90OPA AQB ∠=∠=︒OAP ABQ ≌△△AP BQ =()2,63A m m m --3m >2633m m m --=-7m =()7,4A ()6,3A -()7,4()6,3-22:12C y x =-212y kx y x =⎧⎨=-⎩2120x kx --=2,22k k M ⎛⎫ ⎪⎝⎭212,N k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭:MN y px q =+222221k k p q p q kk ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩p q ⎧=⎪⎨⎪=⎩22:1k MN y x k-=+()0,1AFC ∠120︒（2）解析：（1）的大小是定值,定值大小为,理由如下：在等边和等边中,,,,于是,即,所以,所以,所以C ,D ,F ,E 四点共圆,所以,于是（2）由（1）知,所以A,F ,C ,B 四点共圆.若最大,则最小.当时,最大,因,,所以,由（1）得,,于是在和中,,所以,所以,于是所以线段长的最小值为.4AFC ∠120︒ABC △CDE △AC BC =CE CD =60ACB DCE CDE ∠=∠=∠=︒ACB ACD DCE ACD ∠-∠=∠-∠ACE BCD ∠=∠ACE BCD ≌△△BDC AEC ∠=∠60CFE CDE ∠=∠=︒180********AFC CFE ∠=-∠=︒-=︒︒︒12060180AFC ABC ︒∠+︒+∠==︒CBF ∠AF CD BF ⊥CBF ∠5AB =3CD =4BD ==ACE BCD ≌△△4AE BD ==90AEC BDC ∠=∠=︒Rt CEF △Rt CDF △CE CD =CF CF=Rt Rt CEF CDF ≌△△30ECF DCF ∠=∠=︒EF =4AF AE EF =-=-AF 4。
高中自主招生数学模拟试题及答案(供参考)
唐山市 唐山一中 自主招生测试题一、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.四个实数中，每三个数的和分别为2,4,5,7，则这四个实数的积是2.若实数a 满足42a a -+=，则1a a-的值是 3.如图，三角形ABC 的面积为2，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，,AD AE x y AB AC ==，且12y x -=，则三角形BDE 面积的最大值是 4.若关于x 的方程||2||x b a --=有四个实数解，则化简||||||||a b a b a ba b a b a b +-++++-的结果是 5.若非零的实数,,,a x y z满足等式=22x y xy yz zx+++的值是6.如图，在直角三角形ABC 中，4,3AC BC ==，D 是斜边AB 上一动点，DE BC ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是,E F ，当EF 的长最小时，cos FED ∠=7.多项式6431x x x -++被2x x -除的余式是 8.已和,,a b c 是互不等的实数，三个方程①20x ax b ++=; ②20x bx c ++=;③20x cx a ++=中，①②有公共根p ，②③有公共根q ，③①有公共根r ，则abc =9.我们有一个结论：对于任何一个正整数n ，若n 是偶数，将其减半；若n 是奇数，将其乘以3加1，不断重复这样的过程，经过若干步后，一定可以得到1.如正整数6n =，按上述规则变换后，可得一列数：6,3,10,5,16,8,4,2,1.如果正整数n 按上述变换后的第8个数是1（n 是第1个数，1可多次出现），则n 的所有可能值的个数是 10.如图的一个无穷数表，其中2014在表中出现的次数是二、解答题（本大题5小题，共70分）11.（本题满分12分）已知点(A B ，函数1533y x =+的图象是直线l ，点(,)P a b 在l 上，满足APB ∠是钝角，试求a 的取值范围.12.（本题满分12分）已知关于x 的函数2y kx =-（1）求k 的取值范围；（2）若函数图象与x 轴有两个不同的交点1(,0),(x x .试A DEA CBDFEl求k 的值，并根据图象指出当13k x k ++≤≤时，函数的最大值和最小值.13.（本题满分12分）如图，点D 是三角形ABC 外接圆上一点，DB 的延长线交过点A 的切线于点E .若AB AC =，AC ∥BD，AE =4DB =，求FC 的长.14.（本题满分16分）如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，过点B 、C 作圆的切线交于点P ，点Q 是BC 的中点，求证：AB AQ AC AP ⋅=⋅.15.（本题满分18分）编号为1,2,,25的2515号卡片给乙后，甲手中卡片编号的平均数增加0.250.25试题及解答一、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.四个实数中，每三个数的和分别为2,4,5,7，则这四个实数的积是 解：这四个实数的和为245763+++=，所以这四个数分别是62,64,65,67----，即4,2,1,1-，其积是-8. 2.若实数a 满足42a a -+=，则1a a-的值是 解：去分母得242a a -+，移项得2240a a -+=. t =，则方程变为2340t t +-=，∴1t =或4t =-（舍去）.1=得2210a a --=，所以1a a-=2. 3.如图，三角形ABC 的面积为2，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，,AD AE x y AB AC ==，且12y x -=，则三角形BDE 面积的最大值是 解：∵(1)(1)2(1)BDEABE ABE ABC BD AES S x S x S x y AB AC∆∆∆∆==-=-=- 221192(1)()212()248x x x x x =-+=-++=--+，∴三角形BDE 面积的最大值是98. 4.若关于x 的方程||2||x b a --=有四个实数解，则化简||||||||a b a b a ba b a b a b +-++++-的结果是 解：显然0a ≥.若0a =，则方程可变为|2|x b -=，方程最多两解，不合题意，所以0a >. 方程可化为|2|x b a -=±.当b a <时，方程可化为|2|x b a -=+，有两解，不合题意. 当b a =时，|2|2,|2|0x a x -=-=,有三解，不合题意.当b a >时，|2|,|2|x b a x b a -=+-=-方程有四解，符合题意.A BD E故0b a >>.从而||1111||||||a b a b a b a b a b a ba b a b a b a b b a a b+-+-+++=+++=-++=+-+-2. 5.若非零的实数,,,a x y z 满足等式=，则22x y xy yz zx+++的值是解：若320x y -=，则=430y z -=； 若430y z -==320x y -=；若320x y -≠且430y z -≠，则由230(32)0y x a x y ->⎧⎨-⎩≥得0a <；由430(43)0y z a y z ->⎧⎨-⎩≥得0a >，矛盾.故320x y -=且430y z -=.于是643x y z ==，可令2,3,4x t y t z t ===，所以 2222222496128x y t t xy yz zx t t t ++==++++12. 6.如图，在直角三角形ABC 中，4,3AC BC ==，D 是斜边AB 上一动点，DE BC ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是,E F ，当EF 的长最小时，cos FED ∠=解：连结CD ，则CD EF =，所以EF 的长最小时即为CD 的长最小，此时CD AB ⊥,于是FED FCD B ∠=∠=∠，所以cos cos BC FED B AB ∠===35. 7.多项式6431x x x -++被2x x -除的余式是解：64341(1)(1)(1)(1)1x x x x x x x x x x -++=+-++-++，所以余式是+1x .8.已和,,a b c 是互不等的实数，三个方程①20x ax b ++=; ②20x bx c ++=;③20x cx a ++=中，①②有公共根p ，②③有公共根q ，③①有公共根r ，则abc =解：由20p ap b ++=，20p bp c ++=得，()0a b p b c -+-=，∴c bp a b-=-. 同理a c q b c -=-，b ar c a-=-. ∴1pqr =-.又,,p q r 互不相等，如p q =，则,p q ①③的公共根，于是p q r ==，从而1p q r ===-，代入①②③有1,1,1b a c b a c -=--=--=-，三式相加得03=-，矛盾. 由上述结论可知，①的两根为,p r ；②的两根为,p q ；③的两根为,q r . 由根与系数关系，有,,a pr b pq c rq ===，故222abc p q r ==1.9.我们有一个结论：对于任何一个正整数n ，若n 是偶数，将其减半；若n 是奇数，将其乘以3加1，不断重复这样的过程，经过若干步后，一定可以得到1.如正整数6n =，按上述规A CBDFE则变换后，可得一列数：6,3,10,5,16,8,4,2,1.如果正整数n 按上述变换后的第8个数是1（n 是第1个数，1可多次出现），则n 的所有可能值的个数是 解：反推∴n 的所有可能值的个数是6.2014在表中出现的次数是解：观察知，表中第m 行第n 列的数是1mn +.由12014mn +=得201331161mn ==⨯⨯，m是2013的正约数，所以(,)m n 有8对，从而2014在表中出现的次数是8. 二、解答题（本大题5小题，共70分）11.（本题满分12分）已知点(A B ，函数1533y x =+的图象是直线l ，点(,)P a b 在l 上，满足APB ∠是钝角，试求a 的取值范围.解：以AB 为直径作圆，交l 于点,C D ,则点P 在线段CD 上（不含端点）.………4分 设点00(,)C x y ，则00220015(1)335(2)y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩…………………………6分 把（1）代入（2），整理得，220x x +-=，∴2,1x x =-=，……………………………8分 ∴(2,1),(1,2)C D -.故a 的取值范围是21a -<<.……………12分12.（本题满分12分）已知关于x 的函数22(1)3y kx k x k =-+++的图象与x 轴有交点. （1）求k 的取值范围；（2）若函数图象与x 轴有两个不同的交点12(,0),(,0)x x ，且212122(1)34kx k x k x x ++++=.试求k 的值，并根据图象指出当13k x k ++≤≤时，函数的最大值和最小值. 解：（1）当0k =时，函数为23y x =-+，图象与x 轴有交点.…………………2分 当0k ≠时，图象与x 轴有交点的条件是解得1k ≤.…………………………………………………………………………分 综上，k 的取值范围是1k ≤.……………………………………………………4分 （2）12122(1)3,k k x x x x k k+++==.………………………………………………5分 由2112(1)30kx k x k -+++=得，21132(1)kx k k x ++=+，16 81 2 32 464 108 1128 20316 25 l∴212122(1)34kx k x k x x ++++=可化为12122(1)()4k x x x x ++=………………………………………………………8分∴2(1)32(1)4k k k k k+++⋅=⋅解得，1k =或2k =-.…………………………………………………………………10分 但1k =时，函数图象与x 轴仅有一个交点，舍去. 2k =-时，函数为22132212()22y x x x =-++=--+，画图可知当1x -≤≤1时，最大值为32，最小值为3-.…………………………………………………………………………12分13.（本题满分12分）如图，点D 是三角形ABC 外接圆上一点，DB 的延长线交过点A 的切线于点E .若AB AC =，AC ∥BD，AE =4DB =，求FC 的长.解：∵AE 是圆的切线，∴2AE EB ED =⋅.设EB x =，则(4)45x x +=，解得5x =.…………………3分 ∵AE 是圆的切线,∴EAB ACB ∠=∠. ∵AB AC =,∴ACB ABC ∠=∠,∴EAB ABC ∠=∠,∴AE ∥BC ,…………………………5分 又BD ∥AC ，∴四边形AEBC 是平行四边形,………………7分∴5BC AE AC BE ====.又由AC ∥BD 得，BF BDFC AC=45=，解得FC =.…………12分 14.（本题满分16分）如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，过点B 、C 作圆的切线交于点P ，点Q 是BC 的中点，求证：AB AQ AC AP ⋅=⋅. 证明：连接OP ，则点Q 在OP 上.…………………2分∵OB PB ⊥,OP BC ⊥,∴2PB PQ PO =⋅.…………4分 设PA 交⊙O 于M ，则2PB PM PA =⋅.……………6分 ∴PQ PO PM PA ⋅=⋅, ∴POM ∆∽PAQ ∆， ∴OM AQOP AP=…………………………………………8分 ∴OB AQOP AP=…………………………………………10分 又∵OQ ∥AC ， ∴BOP BAC ∠=∠，∴OBP ∆Rt ∽ACB ∆Rt ， ∴OB ACOP AB =，………………………………………12分 ∴AQ ACAP AB=，∴AB AQ AC AP ⋅=⋅.…………………………………16分 15.（本题满分18分）编号为1,2,,25的25张卡片分别拿在甲、乙两人手中.甲将手中的15号卡片给乙后，甲手中卡片编号的平均数增加0.25，乙手中卡片编号的平均数也增加0.25，求原来甲、乙手中各有多少张卡片，并写出一种原来甲手中所持卡片的编号数. 解：12325325++++=.…………………………………………………………2分 设乙原来手中有卡片x 张，平均数为y ， 则原来甲手中有25x -张卡片，平均数为32525xyx--.…………………………………4分由题意得，150.25(1)13103250.25(2)2425xy y x xy xy xx +⎧=+⎪⎪+⎨--⎪=+⎪--⎩………………………………………6分 由(1)得，59144y x =- (3)……………………………………………………………8分 由(2)得，1(310)(25)(325)(24)(25)(24)4xy x xy x x x --=--+--，22131025253103252424325(25)(24)4xy x x y xy x x y x x ⨯--+=⨯--++--，即11550(25)(24)4xy x x x =----………………………………………………………11分将(3)代入(2)得，259111550(25)(24)444x x x x x -=----， 解得16x =.………………………………………………………………………………15分 故原来甲手中有9张卡片，乙手中有16张卡片.把16x =代入（3），得434y =. 于是甲原来9张卡片总和为325153xy -=，平均数为17.因此,可写出如下一种原来甲、乙手中所持的卡片：甲：13,14,15,16,17,18,19,20,21.…………………………………………………………18分。
2023年上海高中自主招生考试数学全真模拟试卷含详细参考答案
2023年上海自主招生数学全真模拟试卷(一)一．填空题1.关于x 的一元二次方程2(31)80x a x a +-++=有两个不相等的实数根12,x x ，且121,1x x <>，则实数a 的取值范围为_________2.设x =48(1)x +=________3.若1x x -=，则1064108211x x x x x x ++++++的值为___________4.，x,y 的值分别是_____5.已知平行四边形ABCD 的周长为52，自顶点D 作DE ⟂AB ，DF ⟂BC ，点E 、F 为垂足，若DE=5，DF=8，则BE+BF=__________.6.请将112、16、14、13、512、12、712、23、34填入以下方格，使得每行、每列、每条对角线上的数之和都相等.7.已知梯形的一条底边比另一条底边长100个单位，梯形两腰中点的连线把梯形分成面积比为2：3的两部分.设x 是连接梯形的两腰，平行于梯形底边，并分梯形为面积相等的两部分的线段长度，则x 2=________.8.在△ABC 中，AB=7，BC=8，CA=9，过△ABC 的内切圆圆心I ，作DE||BC ，分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，则DE 的长为________.9.实系数二次多项式()p x 满足对所有的实数，都有2222()243x x p x x x -+≤≤-+，已知(11)181p =，则(16)_____p =10.如图，△ABC 的三边长BC=a ,CA=b ,AB=c ，a 、b 、c 都是整数，且a 、b 的最大公约数为2.点G 、I 分别为△ABC 的重心和内心，∠GIC=90°，则△ABC 的周长为________二．解答题.11.若两个不相等的实数a 、b ，使得2a b +与2a b +都是有理数，则称数对(a,b )是和谐的.(1)找出一对无理数，使得(a,b )是和谐的；(2)证明:若(a,b )是和谐的，且a+b 是不等于1的有理数，则a 、b 都是有理数；(3)证明:若(a,b )是和谐的，且a b是有理数，则a 、b 都是有理数.12.试求实数a 、b 使得抛物线21y x ax b =++与22y x bx a =++与x 轴有4个交点，且相邻两个点之间的距离相等.13.如图，C 是线段AB 的中点，△DCE 和△BDF 都是等腰直角三角形，连接AE 、AF ，请猜想∠EAF 的度数并证明.14.已知a+b+c 是a 、b 、c 的倍数，且每个数都不大于2021，则满足条件的(a,b,c )有几组？(3个数顺序不同，视为不同组数)参考答案1.解：题目已知等价于函数2()(31)8f x x a x a =+-++与x 轴的两交点横坐标121,1x x <>即有(1)480,2f a a =+<<-；下图方便同学们理解:2.设1y =≠，则有842842481644(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)4(1),1,(1)125(1)y x y y y y y y y y y y y x x y -==++++++++--===+=-3.由已知得22242211(,717x x x x x x-=+=⇒+=,代入得原式=6424244242828842422242444(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)[(1)](1)(7)742(1)249247x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++-++-++==++++++-+-===+--4.原代数式理解为坐标系中点A(-3,-2)B(x ,0)C(0,y )D(1,2),AB+BC+CD 的最小值，AB+BC+CD AD ≥，当点A 、B 、C 、D 共线时取最小值，AD ：y=x +1,此时易得x =-1,y=15.①DE 、DF 在外面时，易知AB:BC=8:5,而AB+BC=26，故AB=16，BC=10，而AE=5，CF=8BE+BF=26+13②DE 、DF 在外面时，易知AB:BC=8:5,而AB+BC=26，故AB=16，BC=10，而，CF=86.通分易知分母为12的分数，由三阶幻方的方法得到结果：7.设梯形较短的底长为a ，则其较长的底的长度为a +100,中位线长为a +50,由梯形面积计算公式得(2a +100):(2a +150)=2：3得a =75,设平分梯形面积的线段长为x ，延长两腰交于一点，以75、x 、175为底的三形都相似，相似比为752：x 2:1752,2222275175,18125x x x -=-=8.设ABC 的三边长为a 、b 、c ，内切圆I 的半径为r ，BC 边上的高为h ，则由等面积法可得11()22ah a b c r =++，r a h a b c =++而ADE~ABC 得h r DE h BC -=，DE=()()16(1)3h r a r a b c a h h a b c -+=-==++9.配方得22(1)1()2(1)1x p x x -+≤≤-+，左右两边表示的抛物线顶点都是(1,1),故p(x)的顶点也是(1,1)，设2()(1)1p x a x =-+，9(11)181,,(16)4065p a p ===10.如图延长GI ，与边BC 、CA 分别交于点P 、Q ，连接GC ，作GEBC ，GFAC ，设内切圆的半径为r ，BC 、CA 边上的高分别为,a b h h ，易知CP=CQ ，由PQC GPC GQC S S S ,∆∆∆=+，12E GF ()3a b r G h h =+=+，2S 2S 2S 162(),,3ABC ABC ABC ab a b c a b c a b a b∆∆∆=+++=+++而G 、I 不重合，ABC 不是正三角形；不妨设a>b ,(a,b )=2,设a =2m ,b=2n ,(m,n )=1，故612,()|12,|24,14,10,11,ab mn m n a b a b c a b m n=++===++此时周长为35.11.(1)(a,b 112,222-是和谐的.(答案不唯一)(2)由已知22()()()(1)t a b a b a b a b =+-+=-+-是有理数，a+b=s 是有理数，1t a b a b -=+-，解得1()21t a s s =+-是有理数，b=s-a 是有理数.(3)若20a b +=则a b b =-是有理数，因此22()a a b b =+-也是有理数；若20a b +≠，2221()(1()()1a a b b b x a a b b b ++==++是有理数，a y b =也是有理数，因此2211,1y x xy b b xy y x--==--是有理数，因此22()a a b b =+-也是有理数；12.设y 1与x 轴交于x 1,x 2,(x 1>x 2)设y2与x 轴相交于x3,x4,①当y 1与y 2在x 轴的交点不交错时，x 1>x 2>x 3>x 4,(y 1的两个交点都在y 2两交点的右侧),或x 3>x 4>x 1>x 2或x 1>x 3>x 4>x 2，由距离公式可得a=b ，矛盾;②当y 1与y 2在x 轴的交点交错时，即x 1>x 3>x 2>x 4或x 3>x 1>x 4>x 2，此时有x 1-x 3=x 3-x 2=x 2-x 4,x 3为x 1和x 2的中点，即点(,0)2a -，代入得2042a ab a -+=同理2b 042ab b -+=得4,0a b =-=或0,4a b ==-13.分析：题目中出现两个等腰直角三角形和中点，与中点有关的辅助线较多，给同学们很多思考方向，例如倍长中线；而等腰直角三角形性质特殊，也可以由此作为突破点进行思考.而两个等腰直角三角形可构造手拉手模型，亦可构造相似.方法一：构造正方形构造正方形CDGE ，易知△GDF ≌△CDB ，△AEC ≌△FEG,得△EAF 为等腰直角三角形，故∠EAF=45°方法二：手拉手全等延长DC 至G ，使CG=CD ，连接AG 、EG ，易证△CDB ≌△CGA ，而∠CDB=∠CGA ，∠AGE=∠CGA-45°，而∠EDF=45°+∠CDB-90°=∠CDB-45°，故∠AGE=∠EDF ；而AG=DF ，EG=ED ，得△AGE ≌△FDE ，得△AEF 为等腰直角三角形，故EAF=45°方法三：相似三角形取BF的中点G，连接EG、CF、EF，DG：DF=1：√2，CD：DE=1：√2，而∠EDF=∠CDG，故△DEF~△DCG，故CG：EF=1：√2，而CG：AF=1：√2，故EF：AF=1：√2，而∠AFE=45°，故△AEF为等腰直角三角形，故∠EAF=45°14.符合条件的类型为(k,k,k)有2021组，(k,k,2k)有1010X3=3030组，(k,2k,3k)有673X6=4038组，共9089组.。
2024年省示范高中自主招生素质检测数学试题及参考答案
学校姓名考场座位号2024年自主招生素质检测数学试题注意事项:1.本试卷满分为150分,考试时间为120分钟㊂2.全卷包括 试题卷 (4页)和 答题卡 (2页)两部分㊂3.答题一律要求用0.5m m 黑色签字笔在答题卡上规定的地方答卷,作图题使用2B 铅笔作答,考试不使用计算器㊂4.考试结束后,请将 试题卷 和 答题卡 一并交回㊂一㊁选择题:共10小题,每小题5分,共50分㊂在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的㊂1.由5个相同的小立方体搭成的几何体如图所示,现拿走一个小立方体,得到几何体的主视图与左视图均没有变化,则拿走的小立方体是A .①B .②C .③D .④2.黄山景色绝美,景观奇特. 五一 假期,黄山风景区进山游客近13万人,黄山景区门票旺季190元/人,以此计算, 五一 假期黄山景区进山门票总收入用科学计数法表示为A .0.247ˑ107B .2.47ˑ107C .2.47ˑ108D .247ˑ1053.下列因式分解正确的是A .2x 2+y 2+4x y =(2x +y )2B .x 3-2x y +x y 2=x (x -y )2C .x 2-(3y -1)2=(x -1+3y )(x +1-3y )D .a x 2-a y 2+1=a (x +y )(x -y )+14.已知点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)是抛物线y =a x 2-3x +3上两点,当a -x 1-x 2=2时,y 1=y 2,则该抛物线与坐标轴的交点个数为A .3个或0个B .3个或1个C .2个或0个D .2个5.若关于x 的不等式组x +2a <03x +a <15的解集中的任意x 的值,都能使不等式x -4<0成立,则实数a 的取值范围为A .a <-3B .a <-2C .a ȡ-2D .a ȡ36.如图,已知әA B C 中,A D 为øB A C 的平分线,A B =8,B C =6,A C =10,则D C 的值为A .10B .2C .5D .17.如图,B (-2,0),C (4,0),且B E 所在的直线与A C 垂直,øA C B -øB A O =45ʎ,连接O D ,若射线O D 上有一点M ,横坐标为6,则әB O M 的面积为A .3B .6C .23D .728.定义:用M a ,b ,c 表示这三个数的中位数,用M i n {a ,b ,c }表示这三个数的最小数.例如:M {-1,12,0}=0,M i n {-1,12,0}=-1.如果M {4,x 2,2x -1}=M i n {4,x 2,2x -1},则x 的值为A .2或-2B .1或12C .2或12D .1或529.如图,әA B C 中,A B =B C ,øB =120ʎ,E 为平面内一点,若A E =3,C E =2,则B E 的值可能为A .2.5B .3C .0.3D .0.510.如图,直线A B :y =13x +b 与反比例函数y =kx相交于点A (3,5),与y 轴交于点B ,将射线A B 绕点A 逆时针旋转45ʎ,交反比例函数图象于点C ,则点A ㊁B ㊁C 构成的三角形面积为A .12B .1110C .232D .554二㊁填空题:共4小题,每小题5分,共20分㊂11.某市为改善市容,绿化环境,计划经过两年时间,绿地面积增加44%,则这两年平均绿地面积的增长率为.12.若x 9+x 8+ +x 2+x +1=0,则x 的值为.13.定义:对于函数y =l g x (x >0),y 随x 的增大而增大,且l g 10=1,l g xy=l g x -l g y ,l g x y =l g x +l g y .若1a +5b =5,则l g a +l g b 的最大值为.14.已知二次函数y =2x 2+b x +c 图象的对称轴为直线x =34,且过点(3,10),若其与直线y =3交于A ㊁B 两点,与直线y =x +5交于P ㊁Q 两点,则P Q 2A B值为.三㊁解答题:共5题,共80分㊂解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤㊂15.(12分)(1)若13a +25b =1,23a +35b =3,求a 2-b 2+8b -172025;(2)先化简再求值:m +2m -m -1m -2ːm -4m 2-4m +4,其中m =2s i n 30ʎ㊃t a n 45ʎ-32t a n 30ʎ.16.(12分)请按以下要求完成尺规作图.(1)如图1,菱形A B C D 中,点P 在对角线B D 上,请作出一对以B D 所在直线为对称轴的全等三角形,使交B A 于点M ,交B C 于点N ,әP B M ɸәP B N .你有几种解法?请在下图中完成;(保留必要作图痕迹,不写作法)(2)如图2,点P 是菱形A B C D 内部一点,请作出一条过点P 的直线,交射线B A ㊁射线B C 于点M ㊁N ,且B M =B N ,聪明的你肯定有多种不同作法?请在下图中完成两种作法,并选择其中一种证明:B M =B N .(保留必要作图痕迹,不写作法)17.(15分)如图,直角三角形A B C中,以直角边A B为直径作圆交A C于点D,过点D作D MʅA B于点M,E为D M的中点,连接A E并延长交B C于点F,B F=E F.(1)求证:C F=B F;(2)求t a nøD E F;(3)若D F=2,求圆的面积.18.(19分)已知四边形A B C D,A B=4,点P在射线B C上运动,连接A P.(1)若四边形A B C D为正方形,点M在A P上,且øA D M=øA P D.请判断A M㊁A P㊁A C之间数量关系,并说明理由;(2)若四边形A B C D为菱形呢?øB=60ʎ,其他条件与(1)同,则(1)中的结论还成立吗?并说明理由;(3)若四边形A B C D为正方形,将线段A P绕点P顺时针旋转90ʎ于P Q,此时D Q的最小值为多少?A Q+D Q的最小值呢?并说明理由.19.(22分)已知抛物线y=a x2+b x+c的顶点坐标为A(1,4),与x轴交点分别为点B㊁C(点B在点C 左侧),与y轴交点为D,一次函数y=k x+4(k>0)与x轴所形成的夹角的正切值为4,方程k x+4=a x2+b x+c有两个相等的实数根.(1)求该抛物线的解析式;(2)点M是该抛物线上一动点,则在抛物线对称轴上是否存在点N,使得以A㊁B㊁M㊁N为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出所有满足条件的点N坐标及该平行四边形的面积;若不存在,请说明理由;(3)若将该抛物线向左平移1个单位,再向下平移4个单位得到抛物线y',点D关于x轴的对称点为D',若过点D'的直线与y'交于P㊁Q两点(点P在点Q左侧),点Q关于y轴的对称点为Q',若әP Q O与әP Q Q'面积相等,求直线P Q的解析式.2024年自主招生素质检测数学参考答案选择题:共10小题,每小题5分,满分50分㊂题号12345678910答案CBCBCABDAD填空题:共4小题,每小题5分,满分20分㊂11.20% 12.-1 13.1 14.2654.ʌ解析ɔ x 1+x 2=a -2,抛物线的对称轴x =--32a,ʑ32a =a -22⇒a 2-2a -3=0⇒(a +1)(a -3)=0⇒a 1=-1,a 2=3,ʑ①当a 1=-1时,y =-x 2-3x +3,Δ=9+12>0,与坐标轴的交点个数为3个;②当a 2=3时,y =3x 2-3x +3,Δ=9-4ˑ3ˑ3<0,与坐标轴的交点个数为1个.5.ʌ解析ɔ x <-2a ,x <15-a 3,①-2a >15-a 3,解得a <-3,ʑx <15-a 3,ȵx <4,ʑ15-a 3ɤ4,解得a ȡ3(舍去);②-2a ɤ15-a 3,解得a ȡ-3,ʑx <-2a ,ȵx <4,ʑ-2a ɤ4,解得a ȡ-2.6.ʌ解析ɔ 由角平分线定理S әA B D S әA C D =A B ㊃h A C ㊃h =45=B D D C ,ʑ45=6-D C D C ,解得D C =103.7.ʌ解析ɔ øB E O =øB A E +øA B E ,øA C B =øB A O +45ʎ,R t әB O E ʐR t әB D C ,ʑøB E O =øA C B ,ʑøA B D =45ʎ,则әA B D 为等腰直角三角形,A D =B D ,ʑR t әA E D ɸR t әB C D ,ʑA E =B C ,S әA E D =S әB C D ,ʑh 1=h 2,ʑ点D 在øA O C 的角平分线上,M (6,6),S әB O M =2ˑ62=6.8.ʌ解析ɔ 由图像知x 2=2x -1,解得x =1;或2x -1=4,解得x =52.9.ʌ解析ɔ 设B E =x ,将әA B E 绕B 点顺时针旋转120ʎ到әC B E ',C E '=A E =3,øE B E '=120ʎ,B E =B E '=x ,易得E E '=3x ,在әC E E '中,C E '-C E <E E '<C E '+C E ,即3-2<3x <2+3,解得33<x <533.10.ʌ解析ɔ 由题知,直线y =13x +b 与反比例函数y =k x相交于点A(3,5),则13ˑ3+b =5,解得b =4,k =15,法一:直线A C 与y 轴交于点M ,从M 点作直线A B 的垂线,垂足为N ,A M =(m -5)2+32,MN =(4-m )s i n θ=(4-m )310,A M =2MN ,ʑ(m -5)2+9=95(m -4)2⇒5(m -5)2+45=9(m -4)2,2m 2-11m -13=0⇒(2m -13)(m +1)=0,ʑm =132(舍)或m =-1,直线A C 的方程为y =2x -1.2x -1=15x ⇒2x 2-x -15=0⇒(2x +5)(x -3)=0,解得x 1=-52,x 2=3,ʑ点C (-52,-6),S әA B C =5ˑ(3+52)2=554.法二:易知l A B :y =13x +4,设l A C :y =k 2x +b ,由倒角公式得t a n 45ʎ=k 2-k 11+k 1k 2=k 2-131+13k 2=1,k 2-13=13k 2+1,两边平方得k 2=2或k 2=-12(舍),又l A C 过点A ,ʑl A C :y =2x -1(与y 轴交点为M ),与y =15x 联立得x C =-52,ʑS әA B C =12BM |x A -x C |=554.12.ʌ答案ɔ -1ʌ解析ɔ 若x =0,等式不成立,则x ʂ0,等式两边同乘x ,ʑx 10+x 9+x 8+ +x 2+x =0⇒x 10-1=0⇒x 10=1,解得x =ʃ1.当x =1时,等式不成立;当x =-1时,等式成立.13.ʌ解析ɔ l g a +l g b =l ga b ,即求a b 的最大值,12a +54b ȡ212a ㊃54b =258a b ,258a b ɤ5⇒a b ɤ10.14.ʌ解析ɔ 由题知,-b 4=34,解得b =-3,抛物线过点(3,10),代入数据解得c =1,抛物线y =2x 2-3x +1,当y =3时,2x 2-3x +1=3,解得x 1=-12,x 2=2,A B =52,当y =x +5时,2x 2-3x +1=x +5⇒x 2-2x -2=0⇒x 3+x 4=2,x 3x 4=-2,(x 3-x 4)2=(x 3+x 4)2-4x 3x 4=12,P Q =(1+k 2)(x 3-x 4)2=26,P Q 2A B =265.15.(12分)ʌ解析ɔ (1)13a +25b =1, ①23a +35b =3, ②①+②得a +b =4,(2分) a 2-b 2+8b -17=(a +b )(a -b )+8b -17=4a -4b +8b -17=4a +4b -17=-1,(4分)a 2-b 2+8b -17 2025=-1.(6分)(2)原式=m +2m -m -1m -2㊃(m -2)2m -4=m 2-4-(m 2-m )m (m -2)㊃(m -2)2m -4=m -4m (m -2)㊃(m -2)2m -4=m -2m,(8分)m =2ˑ12-32ˑ33=12,(10分) ʑ原式=12-212=-3.(12分) 16.(12分)ʌ解析ɔ (1)提示:作P M ㊁P N 分别垂直于A B ㊁A C ,如图1;(2分)过P 点作MN 垂直于B D ,如图2;(4分)P 作E F ʊB C A B 于点E C D 于点F E M =E P M P 交B C 于点N作法二:先作B M '=B N ',交A B 于点M ',交B C 于点N ',连接M 'N ',将直线M 'N '平移过点P ,交A B 于点M ,交B C 于点N ,即MN 为所求直线,如图4;(8分)选择作法一证明:ȵE M =E P ,ʑøE M P =øE P M ,ȵE F ʊB C ,ʑøE P M =øB NM ,ʑøE M P =øB NM ,ʑB M =B N .(12分)选择作法二证明:ȵB M '=B N ',ʑøB M 'N '=øB N 'M ',M 'N 'ʊMN ,ʑøB MN =øB M 'N ',øB NM =øB N 'M ',ʑøB MN =øB NM ,ʑB M =B N .(12分)(作法不限,合理即可)17.ʌ解析ɔ (1)ȵD M ʊB C ,ʑәA D E ʐәA C F ,әA E M ʐәA F B ,ʑA E A F =D E C F ,A E A F =E M B F,(2分) ȵD E =E M ,ʑC F =B F ;(4分)(2)取A B 的中点O ,即为圆心,连接O F ,设圆O 的半径为r ,延长A B 交D F 延长线于G ,由(1)知,F 为R t әB C D 中斜边B C 的中点,ʑD F =B F =E F ,ʑøF D E =øD E F =øA E M ,ȵøG +øG D M =øE A M +øA E M =90ʎ,则øG =øE A M ,ʑA F =F G ,在әA F G 中,F B ʅA G ,则A B =B G =2r ,A O =r ,O G =3r ,(6分)ȵO F ʊA C ,ʑO G A O =F G D F=3,即F G =3D F ,(8分) ȵD F =B F ,ʑF G =3B F ,ʑc o s øB F G =B F F G =13,ʑt a n øD E F =t a n øE D F =t a n øB F G =B G B F=22;(10分)(3)ȵD F =B F ,ʑB F =2,由(2)知,t a n øB F G =B G B F=22,ʑB G =42,(12分)ȵB G =2r ,ʑr =22.(13分)S 圆O =πr 2=8π.(15分)18.ʌ解析ɔ (1)A C 2=2A M ㊃A P .(2分)理由如下:如图1,ȵøA D M =øA P D ,øD A M =øP A D ,ʑәA D M ʐәA P D ,ʑA D A P =A M A D ,ʑA D 2=A M ㊃A P ,在正方形A B C D 中,A D =22A C,ʑ(22A C )2=A M ㊃A P ,ʑA C 2=2A M ㊃A P .(6分)(2)(1)中的结论不成立.(7分) 理由如下:如图2,ȵøA D M =øA P D ,øD A M =øP A D ,ʑәA D M ʐәA P D ,ʑA D A P =A M A D,ʑA D 2=A M ㊃A P ,ȵ在菱形A B C D 中,øB =60ʎ,则B C =A B =A C =A D ,ʑA C 2=A M ㊃A P .(11分)(3)如图3,过点Q 分别作Q E ʅB C 的延长线于点E ,Q F ʅC D 于点F ,ʑQ F =C E ,设B P =m ,A P =Q P ʑR t әA B P ɸR t әP E Q ,则B P =Q E =m ,A B =P E =4,ȵC E +P C =B P +P C =4,ʑC E =B P =m ,在R t әD F Q 中,Q F =C E =m ,D F =C D -C F =4-m ,(15分) D Q 2=D F 2+Q F 2=(4-m )2+m 2=2m 2-8m +16=2(m -2)2+8,当m =2时,D Q 取得最小值,D Q m i n =22,(17分) 分析易知Q 在C D '上运动,作D 关于C D '的对称点C ',连接Q C ',则(A Q +D Q )m i n =(A Q +Q C ')m i n =A C '=42+82=45.(19分) 19.ʌ解析ɔ (1)由题可知k =4,ʑy =4x +4(2分) 2的顶点坐标为A y =a x -12即4x +4=a (x -1)2+4⇒a x 2-(2a +4)x +a =0有两个相等的实数根,ʑΔ=(2a +4)2-4a 2=0,解得a =-1,ʑ抛物线的解析式为y =-(x -1)2+4=-x 2+2x +3;(5分)(2)设M 点坐标为(m ,-m 2+2m +3),N 点坐标为(1,n ),A (1,4),令-x 2+2x +3=0,解得x 1=-1,x 2=3,所以B (-1,0),C (3,0),(7分)若A B 为对角线,1-12=m +12,解得m =-1(舍去);若A M 为对角线,m +12=1-12,解得m =-1(舍去);若A N 为对角线,1+12=m -12,解得m =3;(9分) 4+n 2=0-m 2+2m +32,解得n =-4,此时M (3,0),N (1,-4),(10分)S ▱A B M N =4ˑ82=16;(12分) (3)由题可知,抛物线y '=-x 2,点D (0,3)关于x 轴的对称点D '(0,-3),直线P Q 过点D ',设直线P Q 的解析式为y P Q =k x -3,若k >0,如图1,S әP Q O =S әP Q Q ',则Q 'O ʊP Q ,则әQ 'H O ɸәQ H D ',所以O H =12O D '=32,H (0,-32),所以Q (62,-32),Q '(-62,-32),直线P Q 的解析式为y P Q =62x -3;(16分)若k <0,如图2,过点Q '作直线l ʊP Q ,取l 与y 轴交点M ,作O L ʅP Q 于点L ,MH ʅP Q 于点H ,所以O L ʊHM ,S әP Q O =S әP Q O ',所以O L =HM ,所以四边形O L MH 为平行四边形,则对角线互相平分,所以M (0,-6),同理,әD 'K Q ɸәM K Q ',所以D 'K =K M =12D 'M =32,所以K (0,-92),(20分) 因为点Q 的纵坐标为-92,所以Q (322,-92),直线P Q 的解析式为y P Q =-22x -3.(21分)综上,直线P Q 的解析式为y P Q =6x -3或y P Q =-2x -3.分)。
高中自主招生数学试题及答案
高中自主招生数学试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数是无理数？A. πB. √2C. 0.33333（无限循环）D. 1/32. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，求f(-2)的值。
A. -15B. -9C. -3D. 13. 一个圆的半径为5，求其面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 已知等差数列的前三项分别为1，4，7，求第10项的值。
A. 26B. 27C. 28D. 295. 一个三角形的内角和为多少度？A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°二、填空题（每题2分，共10分）6. 若a，b，c是三角形的三边长，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是_________三角形。
7. 一个函数的导数f'(x) = 3x^2 - 2x，当x=1时，其导数的值为_________。
8. 已知等比数列的首项为2，公比为3，求其第5项的值是_________。
9. 一个正方体的体积为27，它的边长是_________。
10. 圆的周长公式为C = 2πr，若半径r=4，则周长为_________。
三、解答题（共75分）11. 解一元二次方程：x^2 - 5x + 6 = 0。
（10分）12. 证明：若a，b，c是实数，且a + b + c = 0，则(1/a) + (1/b) + (1/c) ≥ 9。
（15分）13. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求其导数并讨论其在x=1处的单调性。
（20分）14. 解不等式：|x - 2| + |x + 3| ≥ 5。
（15分）15. 已知一个圆的圆心在原点，半径为1，求圆上任意一点到直线y = x的距离。
（15分）四、结束语本试题旨在考察学生对高中数学基础知识的掌握情况和解题能力。
希望同学们在解答过程中能够认真思考，仔细作答，展现出自己的数学素养。
自主招生数学试题及答案
自主招生数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数\( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求\( f(x) \)的最小值。
A. 0B. 1C. 2D. 42. 若\( \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) \)，求\( \theta \)的值。
A. \( \frac{\pi}{4} \)B. \( \frac{\pi}{2} \)C. \( \frac{3\pi}{4} \)D. \( \pi \)3. 已知等差数列\( \{a_n\} \)的首项为3，公差为2，求第10项的值。
A. 23B. 25C. 27D. 294. 一个圆的半径为5，求圆的面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π二、填空题（每题5分，共20分）5. 若\( a \)和\( b \)是方程\( x^2 + 4x + 4 = 0 \)的两个根，则\( a + b \)的值为______。
6. 已知\( \cos(\alpha) = \frac{3}{5} \)，\( \alpha \)在第一象限，求\( \sin(\alpha) \)的值。
7. 若一个等比数列的首项为2，公比为3，求该数列的第5项。
8. 一个长方体的长、宽、高分别是\( a \)、\( b \)、\( c \)，求长方体的体积。
三、解答题（每题30分，共60分）9. 已知函数\( g(x) = \ln(x) + 2x - 6 \)，求\( g(x) \)的导数。
10. 一个工厂生产某种产品，每件产品的成本为\( C(x) = 50 + 20x \)，销售价格为\( P(x) = 120 - 0.5x \)，其中\( x \)表示生产数量。
求工厂的盈亏平衡点。
答案：一、选择题1. B. 1（因为\( f(x) = (x-2)^2 \)，当\( x = 2 \)时，\( f(x) \)取得最小值1）2. A. \( \frac{\pi}{4} \)（根据二倍角公式）3. A. 23（第10项为\( a_{10} = 3 + 9 \times 2 = 23 \)）4. B. 50π（圆的面积公式为\( A = \pi r^2 \)）二、填空题5. -4（根据韦达定理）6. \( \frac{4}{5} \)（根据勾股定理）7. 162（第5项为\( a_5 = 2 \times 3^4 = 162 \)）8. \( abc \)（长方体体积公式）三、解答题9. \( g'(x) = \frac{1}{x} + 2 \)（对\( g(x) \)求导）10. 盈亏平衡点为\( x = 40 \)。
高中自主招生数学模拟试卷(解析版)
【解答】 解：∵ 0＜ x＜ 1， ∴取 x＝ ，
∴ ＝ 2， x2＝ ，
∴ x2＜ x＜ ，
故选： C． 【点评】 本题考查了不等式的性质，有理数的大小比较的应用，能选择适当的方法比较整式的大 小是解此题的关键．
4．（ 4 分）初三体育素质测试，某小组
编号
1
2
5 名同学成绩如下所示，有两个数据被遮盖，如图：
A ．4 米
B．3.8 米
C． 3.6 米
D． 3.4 米
10．（ 4 分）如图，三角形 ABC 和 DEF 是两个形状大小完全相同的等腰直角三角形，∠
B＝∠ DEF
＝ 90°，点 B，C，E，F 在同一直线上，现从点 C，E 重合的位置出发，让三角形 ABC 在直线 EF
上向右作匀速运动， 而 DEF 的位置不动， 设两个三角形重合部分的面积为 y，运动的距离为 x，下
3
4
5
方差
平均成绩
得分
38
34
■
37
40
■
37
那么被遮盖的两个数据依次是（
）
A ．35， 2
B．36， 4
C． 35，3
D． 36，3
5．（ 4 分）若代数式
y2+y﹣ 2＝ 0，则代数式
32
y +4 y +y+2014
的值为（
）
A ．2020
B．2025
C． 2014
D． 2015
6．（ 4 分）下列命题正确的是（
27．（ 14 分）在平面直角坐标系中，抛物线 与 y 轴交于点 C．
y＝ax2﹣ 5ax+4 a 与 x 轴交于 A、B（ A 点在 B 点的左侧）
高中数学试卷 高考数学试卷 数学模拟卷五校联考自主招生模拟试卷二十套(含答案)
一、高中数学国重五校联考自主招生模拟试卷模拟试卷（一）1、设,15,n N n +∈≥集合A ，B 都是{1,2,...,}I n =的真子集，A ,A B A B I =∅=I U ，证明：集合A 或B 中，必有两个不同的数，它们的和为完全平主数。
2、设2()(0)f x ax bx c a =++>，方程()f x x =的两个根是1x 和2x ，且12210,x x x a>->.又若10t x <<，试比较()f t 与1x 的大小。
3、求函数2()max{|1|,|5|}f x x x =+-的最小值，并求出相应的x 值。
4、已知()f x 是定义在R 上的不恒为0的函数，且对于任意的,a b ∈R ，有()()().f ab af b bf a =+（1）求(0)f ，(1)f 的值。
（2）判断()f x 的奇偶性，并证明你的结论。
（3）(2)(2)2,()n n f f u n N n-+==∈，求数列{}n u 的前n 项和.n S5、已知关于x 的方程222(1)(1),1ax a x a +=->，证明方程的正根比1小，负根比1-大。
6、设,a b 是两个正数，且a b <，当[,]x a b ∈时246y x x =-+的最小值为a ，最大值为b ，求,a b 的值。
7、求函数y =8、某生产队想筑一面积为144 m2的长方形围栏，围栏一边靠墙，现有铁丝网50 m，筑成这样的围栏最少要用多少米铁丝网？已有的墙最多利用多长？最少利用多长？9、在正方形ABCD中，过一顶点D作对角线CA的平行线DE，若|CE|=|CA|，且CE交边DA于点F，求证：|AE|=|AF|.10、设△ABC的重心为H，外心为O，外接圆半径为R，|OH|=d，|BC|=a，|CA|=b，|AB|=c，求证：22222++=-9.a b c R d11、设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段弧，其弧长之比为3：1，在满足上述条件的圆中，求圆心到直线:20-=的距离最小的圆的方程。
2023年安徽省中学自主招生考试数学模拟试卷一及详细答案
安徽省168中学自主招生考试数学模拟试卷一参照答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分．）．1．（3分）若不等式组旳解集是x＞3，则m旳取值范围是（）A．m＞3 B．m≥3 C．m≤3 D．m＜3考点：解一元一次不等式组．专题：计算题．分析：先解不等式组，然后根据不等式旳解集，得出m旳取值范围即可．解答：解：由x+7＜4x﹣2移项整顿得：﹣3x＜﹣9，∴x＞3，∵x＞m，又∵不等式组旳解集是x＞3，∴m≤3．故选C．点评：重要考察了一元一次不等式组解集旳求法，将不等式组解集旳口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）逆用，已知不等式解集反过来求m旳范围．2．（3分）如图，在△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，BC=1，则AC=（）A．B．C．0.3 D．考点：特殊角旳三角函数值．分析：本题中直角三角形旳角不是特殊角，故过A作AD交BC于D，使∠BAD=15°，根据三角形内角和定理可求出∠DAC及∠ADC旳度数，再由特殊角旳三角函数值及勾股定理求解即可．解答：解：过A作AD交BC于D，使∠BAD=15°，∵△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，∴∠BAC=75°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=75°﹣15°=60°，∴∠ADC=90°﹣∠DAC=90°﹣60°=30°，∴AC=AD，又∵∠ABC=∠BAD=15°∴BD=AD，∵BC=1，∴AD+DC=1，设CD=x，则AD=1﹣x，AC=（1﹣x），∴AD2=AC2+CD2，即（1﹣x）2=（1﹣x）2+x2，解得：x=﹣3+2，∴AC=（4﹣2）=2﹣故选B．点评：本题考察旳是特殊角旳三角函数值，解答此题旳关键是构造特殊角，用特殊角旳三角函数促使边角转化．注：（1）求（已知）非特角三角函数值旳关是构造出含特殊角直角三角形．（2）求（已知）锐角三角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等旳比来转换．3．（3分）（•南漳县模拟）如图，AB为⊙O旳一固定直径，它把⊙O提成上，下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD旳平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A，B两点）上移动时，点P（）A．到CD旳距离保持不变B．位置不变D．随C点移动而移动C．等分考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦旳关系．专题：探究型．分析：连OP，由CP平分∠OCD，得到∠1=∠2，而∠1=∠3，因此有OP∥CD，则OP⊥AB，即可得到OP平分半圆APB．解答：解：连OP，如图，∵CP平分∠OCD，∴∠1=∠2，而OC=OP，有∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OP∥CD，又∵弦CD⊥AB，∴OP⊥AB，∴OP平分半圆APB，即点P是半圆旳中点．故选B．点评：本题考察了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对旳圆周角相等，一条弧所对旳圆周角是它所对旳圆心角旳二分之一．也考察了垂径定理旳推论．4．（3分）已知y=+（x，y均为实数），则y旳最大值与最小值旳差为（）A．2﹣1 B．4﹣2C．3﹣2D．2﹣2考点：函数最值问题．分析：首先把y=+两边平方，求出定义域，然后运用函数旳单调性求出函数旳最大值和最小值，最终求差．解答：解：∵y=+，∴y2=4+2=4+2×，∵1≤x≤5，当x=3时，y旳最大值为2，当x=1或5时，y旳最小值为2，故当x=1或5时，y获得最小值2，当x取1与5中间值3时，y获得最大值，故y旳最大值与最小值旳差为2﹣2，故选D．点评：本题重要考察函数最值问题旳知识点，解答本题旳关键是把函数两边平方，此题难度不大．5．（3分）（•泸州）已知O为圆锥旳顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过旳最短路线旳痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（）A．B．C．D．考点：线段旳性质：两点之间线段最短；几何体旳展开图．专题：压轴题；动点型．分析：此题运用圆锥旳性质，同步此题为数学知识旳应用，由题意蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过旳最短，就用到两点间线段最短定理．解答：解：蜗牛绕圆锥侧面爬行旳最短路线应当是一条线段，因此选项A和B错误，又由于蜗牛从p点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么假如将选项C、D旳圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上旳点P应当可以与母线OM′上旳点（P′）重叠，而选项C还原后两个点不可以重叠．故选D．点评：本题考核立意相对较新，考核了学生旳空间想象能力．6．（3分）已知一正三角形旳边长是和它相切旳圆旳周长旳两倍，当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形旳三边做无滑动旳旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）A．6圈B．6.5圈C．7圈D．8圈考点：直线与圆旳位置关系．分析：根据直线与圆相切旳性质得到圆从一边转到另一边时，圆心要绕其三角形旳顶点旋转120°，则圆绕三个顶点共旋转了360°，即它转了一圈，再加上在三边作无滑动滚动时要转6圈，这样得到它回到原出发位置时共转了7圈．解答：解：圆按箭头方向从某一位置沿正三角形旳三边做无滑动旳旋转，∵等边三角形旳边长是和它相切旳圆旳周长旳两倍，∴圆转了6圈，而圆从一边转到另一边时，圆心绕三角形旳一种顶点旋转了三角形旳一种外角旳度数，圆心要绕其三角形旳顶点旋转120°，∴圆绕三个顶点共旋转了360°，即它转了一圈，∴圆回到原出发位置时，共转了6+1=7圈．故选C．点评：本题考察了直线与圆旳位置关系，弧长公式：l=（n为圆心角，R为半径）；也考察了旋转旳性质．7．（3分）二次函数y=ax2+bx+c旳图象如下图，则如下结论对旳旳有：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1，m为实数）（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点：二次函数图象与系数旳关系．专题：图表型．分析：由抛物线旳开口方向判断a旳符号，由抛物线与y轴旳交点判断c旳符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点状况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，错误；②当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，即b＞a+c，错误；③由对称知，当x=2时，函数值不小于0，即y=4a+2b+c＞0，对旳；④当x=3时函数值不不小于0，y=9a+3b+c＜0，且x=﹣=1，即a=﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，对旳；⑤当x=1时，y旳值最大．此时，y=a+b+c，而当x=m时，y=am2+bm+c，因此a+b+c＞am2+bm+c，故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），对旳．③④⑤对旳．故选B．点评：考察二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和、抛物线与y轴旳交点、抛物线与x轴交点旳个数确定．8．（3分）如图，正△ABC中，P为正三角形内任意一点，过P作PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC连结AP、BP、CP，假如，那么△ABC旳内切圆半径为（）A．1B．C．2D．考点：三角形旳内切圆与内心；等边三角形旳性质．分析：过P点作正△ABC旳三边旳平行线，可得△MPN，△OPQ，△RSP都是正三角形，四边形ASPM，四边形NCOP，四边形PQBR是平行四边形，故可知黑色部分旳面积=白色部分旳面积，于是求出三角形ABC旳面积，进而求出等边三角形旳边长和高，再根据等边三角形旳内切圆旳半径等于高旳三分之一即可求出半径旳长度．解答：解：如图，过P点作正△ABC旳三边旳平行线，则△MPN，△OPQ，△RSP都是正三角形，四边形ASPM，四边形NCOP，四边形PQBR是平行四边形，故可知黑色部分旳面积=白色部分旳面积，又知S△AFP+S△PCD+S△BPE=，故知S△ABC=3，S△ABC=AB2sin60°=3，故AB=2，三角形ABC旳高h=3，△ABC旳内切圆半径r=h=1．故选A．点评：本题重要考察等边三角形旳性质，面积及等积变换，解答本题旳关键是过P点作三角形三边旳平行线，证明黑色部分旳面积与白色部分旳面积相等，此题有一定难度．二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分）9．（3分）与是相反数，计算=．考点：二次根式故意义旳条件；非负数旳性质：绝对值．专题：计算题．分析：根据互为相反数旳和等于0列式，再根据非负数旳性质列式求出a+旳值，再配方开平方即可得解．解答：解：∵与|3﹣a﹣|互为相反数，∴+|3﹣a﹣|=0，∴3﹣a﹣=0，解得a+=3，∴a+2+=3+2，根据题意，a＞0，∴（+）2=5，∴+=．故答案为：．点评：本题考察了二次根式故意义旳条件，非负数旳性质，求出a+=3后根据乘积二倍项不含字母，配方是解题旳关键．10．（3分）若[x]表达不超过x旳最大整数，，则[A]=﹣2．考点：取整计算．专题：计算题．分析：先根据零指数幂和分母有理化得到A=﹣，而≈1.732，然后根据[x]表达不超过x旳最大整数得到，[A]=﹣2．解答：解：∵A=++1=++1=+1=+1=﹣1﹣+1=﹣，∴[A]=[﹣]=﹣2．故答案为﹣2．点评：本题考察了取整计算：[x]表达不超过x旳最大整数．也考察了分母有理化和零指数幂．11．（3分）如图，M、N分别为△ABC两边AC、BC旳中点，AN与BM交于点O，则=．考点：相似三角形旳鉴定与性质；三角形中位线定理．专题：计算题；证明题．分析：连接MN，设△MON旳面积是s，由于M、N分别为△ABC两边AC、BC旳中点，易知MN是△ABC旳中位线，那么MN∥AB，MN=AB，根据平行线分线段成比例定理可得△MON∽△BOA，于是OM：OB=MN：AB=1：2，易求△BON旳面积是2s，进而可知△BMN旳面积是3s，再根据中点性质，可求△BCM旳面积等于6s，同理可求△ABC旳面积是12s，从而可求S△BON：S△ABC．解答：解：连接MN，设△MON旳面积是s，∵M、N分别为△ABC两边AC、BC旳中点，∴MN是△ABC旳中位线，∴MN∥AB，MN=AB，∴△MON∽△BOA，∴OM：OB=MN：AB=1：2，∴△BON旳面积=2s，∴△BMN旳面积=3s，∵N是BC旳中点，∴△BCM旳面积=6s，同理可知△ABC旳面积=12s，∴S△BON：S△ABC=2s：12s=1：6，故答案是．点评：本题考察了相似三角形旳鉴定和性质、三角形中位线定理，解题旳关键是连接MN，构造相似三角形．12．（3分）如图，已知圆O旳面积为3π，AB为直径，弧AC旳度数为80°，弧BD旳度数为20°，点P为直径AB 上任一点，则PC+PD旳最小值为3．考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦旳关系．专题：探究型．分析：先设圆O旳半径为r，由圆O旳面积为3π求出R旳值，再作点C有关AB旳对称点C′，连接OD，OC′，DC′，则DC′旳长即为PC+PD旳最小值，由圆心角、弧、弦旳关系可知==80°，故BC′=100°，由=20°可知=120°，由OC′=OD可求出∠ODC′旳度数，进而可得出结论．解答：解：设圆O旳半径为r，∵⊙O旳面积为3π，∴3π=πR2，即R=．作点C有关AB旳对称点C′，连接OD，OC′，DC′，则DC′旳长即为PC+PD旳最小值，∵旳度数为80°，∴==80°，∴=100°，∵=20°，∴=+=100°+20°=120°，∵OC′=OD，∴∠ODC′=30°∴DC′=2OD•cos30°=2×=3，即PC+PD旳最小值为3．故答案为：3．点评：本题考察旳是轴对称﹣最短路线问题及垂径定理，圆心角、弧、弦旳关系，根据题意作出点C有关直线AB 旳对称点是解答此题旳关键．13．（3分）从1，2，3，5，7，8中任取两数相加，在不一样旳和数中，是2旳倍数旳个数为a，是3旳倍数旳个数为b，则样本6、a、b、9旳中位数是 5.5．考点：中位数．分析：首先列举出所有数据旳和，进而运用已知求出a，b旳值，再运用中位数是一组数据重新排序后之间旳一种数或之间两个数旳平均数，由此即可求解．解答：解：根据从1，2，3，5，7，8中任取两数相加，可以得出所有也许：1+2=3，1+3=4，1+5=6，1+7=8，1+8=9，2+3=5，2+5=7，2+7=9，2+8=10，3+5=8，3+7=10，3+8=11，5+7=12，5+8=13，7+8=15，它们和中所有不一样数据为：3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，15，故是2旳倍数旳个数为a=5，是3旳倍数旳个数为b=5，则样本6、5、5、9按大小排列为：5，5，6，9，则这组数据旳中位数是：=5.5，故答案为：5.5．点评：此题考察了列举法求所有也许以及中位数旳定义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间旳那个数（最中间两个数旳平均数），叫做这组数据旳中位数，假如中位数旳概念掌握得不好，不把数据按规定重新排列，就会出错．14．（3分）由直线y=kx+2k﹣1和直线y=（k+1）x+2k+1（k是正整数）与x轴及y轴所围成旳图形面积为S，则S 旳最小值是．考点：两条直线相交或平行问题．分析：首先用k表达出两条直线与坐标轴旳交点坐标，然后表达出围成旳面积S，根据得到旳函数旳取值范围确定其最值即可．解答：解：y=kx+2k﹣1恒过（﹣2，﹣1），y=（k+1）x+2k+1也恒过（﹣2，﹣1），k为正整数，那么，k≥1，且k∈Z如图，直线y=kx+2k﹣1与X轴旳交点是A（，0），与y轴旳交点是B（0，2k﹣1）直线y=（k+1）x+2k+1与X轴旳交点是C（，0），与y轴旳交点是D（0，2k+1），那么，S四边形ABDC=S△COD﹣S△AOB，=（OC•OD﹣OA•OB），=[﹣]，=（4﹣），=2﹣又，k≥1，且k∈Z，那么，2﹣在定义域k≥1上是增函数，因此，当k=1时，四边形ABDC旳面积最小，最小值S=2﹣=．点评：本题考察了两条指向相交或平行问题，解题旳关键是用k表达出直线与坐标轴旳交点坐标并用k表达出围成旳三角形旳面积，从而得到函数关系式，运用函数旳知识其最值问题．15．（3分）（•随州）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，CD上有一点E，ED=2cm，AD上有一点P，PD=3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重叠，折痕与PF交于Q点，则PQ旳长是cm．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：过Q点作QG⊥CD，垂足为G点，连接QE，设PQ=x，根据折叠及矩形旳性质，用含x旳式子表达Rt△EGQ 旳三边，再用勾股定理列方程求x即可．解答：解：过Q点作QG⊥CD，垂足为G点，连接QE，设PQ=x，由折叠及矩形旳性质可知，EQ=PQ=x，QG=PD=3，EG=x﹣2，在Rt△EGQ中，由勾股定理得EG2+GQ2=EQ2，即：（x﹣2）2+32=x2，解得：x=，即PQ=．点评：本题考察图形旳翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称旳性质，折叠前后图形旳形状和大小不变，如本题中折叠前后对应线段相等．16．（3分）（•随州）将半径为4cm旳半圆围成一种圆锥，在圆锥内接一种圆柱（如图示），当圆柱旳侧面旳面积最大时，圆柱旳底面半径是1cm．考点：圆柱旳计算；二次函数旳最值；圆锥旳计算．专题：压轴题．分析：易得扇形旳弧长，除以2π也就得到了圆锥旳底面半径，再加上母线长，运用勾股定理即可求得圆锥旳高，运用相似可求得圆柱旳高与母线旳关系，表达出侧面积，根据二次函数求出对应旳最值时自变量旳取值即可．解答：解：扇形旳弧长=4πcm，∴圆锥旳底面半径=4π÷2π=2cm，∴圆锥旳高为=2cm，设圆柱旳底面半径为rcm，高为Rcm．=，解得：R=2﹣r，∴圆柱旳侧面积=2π×r×（2﹣r）=﹣2πr2+4πr（cm2），∴当r==1cm时，圆柱旳侧面积有最大值．点评：用到旳知识点为：圆锥旳弧长等于底面周长；圆锥旳高，母线长，底面半径构成直角三角形；相似三角形旳相似比相等及二次函数最值对应旳自变量旳求法等知识．三、解答题（72）17．（14分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c（c＞0）过点C（﹣1，0），且与直线y=7﹣2x只有一种交点．（1）求抛物线旳解析式；（2）若直线y=﹣x+3与抛物线相交于两点A、B，则在抛物线旳对称轴上与否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，阐明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）将C点坐标代入y=﹣x2+bx+c得c=b+1，联立抛物线y=﹣x2+bx+b+1与直线y=7﹣2x，转化为有关x 旳二元一次方程，令△=0求b旳值即可；（2）直线y=﹣x+3与（1）中抛物线求A、B两点坐标，根据抛物线解析式求对称轴，根据线段AB为等腰三角形旳腰或底，分别求Q点旳坐标．解答：解：（1）把点C（﹣1，0）代入y=﹣x2+bx+c中，得﹣1﹣b+c=0，解得c=b+1，联立，得x2﹣（b+2）x+6﹣b=0，∵抛物线与直线只有一种交点，∴△=（b+2）2﹣4（6﹣b）=0，解得b=﹣10或2，∵c=b+1＞0，∴b=2，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）存在满足题意旳点Q．联立，解得或，则A（0，3），B（3，0），由抛物线y=﹣x2+2x+3，可知抛物线对称轴为x=1，由勾股定理，得AB=3，当AB为腰，∠A为顶角时，Q（1，3+）或（1，3﹣）；当AB为腰，∠B为顶角时，Q（1，）或（1，﹣）；当AB为底时，Q（1，1）．故满足题意旳Q点坐标为：（1，3+）或（1，3﹣）或（1，）或（1，﹣）或（1，1）．点评：本题考察了二次函数旳综合运用．关键是根据题意求出抛物线解析式，根据等腰三角形旳性质，分类求Q 点旳坐标．18．（14分）有一河堤坝BCDF为梯形，斜坡BC坡度，坝高为5m，坝顶CD=6m，既有一工程车需从距B点50m旳A处前方取土，然后通过B﹣C﹣D放土，为了安全起见，工程车轮只能停在离A、D处1m旳地方即M、N处工作，已知车轮半经为1m，求车轮从取土处到放土处圆心从M到N所通过旳途径长．考点：解直角三角形旳应用-坡度坡角问题．分析：作出圆与BA，BC相切时圆心旳位置G，与CD相切时圆心旳位置P，与CD相切时圆心旳位置I，分别求得各段旳途径旳长，然后求和即可．解答：解：当圆心移动到G旳位置时，作GR⊥AB，GL⊥BC分别于点R，L．∵，∴∠CBF=30°，∴∠RGB=15°，∵直角△RGB中，tan∠RGB=，∴BR=GR•tan∠RGB=2﹣，则BL=BR=2﹣，则从M移动到G旳路长是：AB﹣BR﹣1=50﹣（2﹣）﹣1=47+m，BC=2×5=10m，则从G移动到P旳位置（P是圆心在C，且与BC相切时圆心旳位置），GP=10﹣BL=10﹣（2﹣）=8+m；圆心从P到I（I是圆心在C，且与CD相切时圆心旳位置），移动旳途径是弧，弧长是：=m；圆心从I到N移动旳距离是：6﹣1=5m，则圆心移动旳距离是：（47+）+（8+）+5+=60+2+（m）．点评：本题考察了弧长旳计算公式，对旳确定圆心移动旳路线是关键．19．（14分）如图，过正方形ABCD旳顶点C在形外引一条直线分别交AB、AD延长线于点M、N，DM与BN交于点H，DM与BC交于点E，BN△AEF与DC交于点F．（1）猜测：CE与DF旳大小关系？并证明你旳猜测．（2）猜测：H是△AEF旳什么心？并证明你旳猜测．考点：相似形综合题．分析：（1）运用正方形旳性质得到AD∥BC，DC∥AB，运用平行线分线段成比例定理得到，，从而得到，然后再运用AB=BC即可得到CE=DF；（2）首先证得△ADF≌△DCE，从而得到∠DAF=∠FDE，再根据∠DAF+∠ADE=90°得到AF⊥DE，同理可得FB⊥AE，进而得到H为△AEF旳垂心．解答：解：（1）CE=DF；证明：∵正方形ABCD∴AD∥BC，DC∥AB∴，（∴∴又AB=BC∴CE=DF；（2）垂心．在△ADF与△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴∠DAF=∠FDE，∵∠DAF+∠ADE=90°，∴AF⊥DE，同理FB⊥AE．H为△AEF旳垂心．点评：本题考察了相似形旳综合知识，本题是一道开放性问题，对旳旳猜测是深入解题旳方向和基础，非常重要．20．（15分）如图，已知菱形ABCD边长为，∠ABC=120°，点P在线段BC延长线上，半径为r1旳圆O1与DC、CP、DP分别相切于点H、F、N，半径为r2旳圆O2与PD延长线、CB延长线和BD分别相切于点M、E、G．（1）求菱形旳面积；（2）求证：EF=MN；（3）求r1+r2旳值．考点：圆旳综合题．专题：综合题．分析：（1）由于菱形ABCD边长为，∠ABC=120°，根据菱形旳性质得到ADC和△DBC都是等边三角形，运用等边三角形旳面积等于边长平方旳倍即可得到菱形旳面积=2S△DBC=2××（6）2=54；（2）由于PM与PE都是⊙O1旳切线，PN与PF都是⊙O2旳切线，根据切线长定理得到PM=PN，PN=PE，则PM﹣PN=PE﹣PB，即EF=MN；（3）由于BE与BG都是⊙O1旳切线，根据切线旳性质和切线长定理得到BE=BG，∠O2BE=∠O2BG，O2E⊥BE，而∠EBG=180°﹣∠DBC=180°﹣60°=120°，于是有∠O2BE=60°，∠EO2B=30°，根据含30°旳直角三角形三边旳关系得到BE=O2E=r2，则BG=r2，DM=DG=6﹣r2，同理可得CF=r1，DN=DH=6﹣r1，则MN=DM+DN=12﹣（r1+r2），而EF=EB+BC+CF=r2+6+r1=6+（r1+r2），运用EF=MN可得到有关（r1+r2）旳方程，解方程即可．解答：（1）解：∵菱形ABCD边长为，∠ABC=120°，∴△ADC和△DBC都是等边三角形，∴菱形旳面积=2S△DBC=2××（6）2=54；（2）证明：∵PM与PE都是⊙O2旳切线，∴PM=PE，又∵PN与PF都是⊙O1旳切线，∴PN=PF，∴PM﹣PN=PE﹣PB，即EF=MN；（3）解：∵BE与BG都是⊙O2旳切线，∴BE=BG，∠O2BE=∠O2BG，O2E⊥BE，而∠EBG=180°﹣∠DBC=180°﹣60°=120°，∴∠O2BE=60°，∠EO2B=30°，∴BE=O2E=r2，∴BG=r2，∴DM=DG=6﹣r2，同理可得CF=r1，DN=DH=6﹣r1，∴MN=DM+DN=12﹣（r1+r2），∵EF=EB+BC+CF=r2+6+r1=6+（r1+r2），而EF=MN，∴6+（r1+r2）=12﹣（r1+r2），∴r1+r2=9．点评：本题考察了圆旳综合题：圆旳切线垂直于过切点旳半径；从圆外一点引圆旳两条切线，切线长相等，并且这个点与圆心旳连线平分两切线旳夹角；掌握菱形旳性质，记住等边三角形旳面积等于边长平方旳倍以及含30°旳直角三角形三边旳关系．21．（15分）（•黄冈）如图，已知抛物线旳方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y 轴相交于点E，且点B在点C旳左侧．（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m旳值；（2）在（1）旳条件下，求△BCE旳面积；（3）在（1）条件下，在抛物线旳对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H旳坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上与否存在点F，使得以点B、C、F为顶点旳三角形与△BCE相似？若存在，求m 旳值；若不存在，请阐明理由．考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题；压轴题．分析：（1）将点（2，2）旳坐标代入抛物线解析式，即可求得m旳值；（2）求出B、C、E点旳坐标，进而求得△BCE旳面积；（3）根据轴对称以及两点之间线段最短旳性质，可知点B、C有关对称轴x=1对称，连接EC与对称轴旳交点即为所求旳H点，如答图1所示；（4）本问需分两种状况进行讨论：①当△BEC∽△BCF时，如答图2所示．此时可求得m=+2；②当△BEC∽△FCB时，如答图3所示．此时可以得到矛盾旳等式，故此种情形不存在．解答：解：（1）依题意，将M（2，2）代入抛物线解析式得：2=﹣（2+2）（2﹣m），解得m=4．（2）令y=0，即（x+2）（x﹣4）=0，解得x1=﹣2，x2=4，∴B（﹣2，0），C（4，0）在C1中，令x=0，得y=2，∴E（0，2）．∴S△BCE=BC•OE=6．（3）当m=4时，易得对称轴为x=1，又点B、C有关x=1对称．如解答图1，连接EC，交x=1于H点，此时BH+EH最小（最小值为线段CE旳长度）．设直线EC：y=kx+b，将E（0，2）、C（4，0）代入得：y=x+2，当x=1时，y=，∴H（1，）．（4）分两种情形讨论：①当△BEC∽△BCF时，如解答图2所示．则，∴BC2=BE•BF．由函数解析式可得：B（﹣2，0），E（0，2），即OB=OE，∴∠EBC=45°，∴∠CBF=45°，作FT⊥x轴于点T，则∠BFT=∠TBF=45°，∴BT=TF．∴可令F（x，﹣x﹣2）（x＞0），又点F在抛物线上，∴﹣x﹣2=﹣（x+2）（x﹣m），∵x+2＞0，∵x＞0，∴x=2m，F（2m，﹣2m﹣2）．此时BF==2（m+1），BE=，BC=m+2，又∵BC2=BE•BF，∴（m+2）2=•（m+1），∴m=2±，∵m＞0，∴m=+2．②当△BEC∽△FCB时，如解答图3所示．则，∴BC2=EC•BF．∵△BEC∽△FCB∴∠CBF=∠ECO，∵∠EOC=∠FTB=90°，∴△BTF∽△COE，∴，∴可令F（x，（x+2））（x＞0）又∵点F在抛物线上，∴（x+2）=﹣（x+2）（x﹣m），∵x＞0，∴x+2＞0，∴x=m+2，∴F（m+2，（m+4）），EC=，BC=m+2，又BC2=EC•BF，∴（m+2）2=•整顿得：0=16，显然不成立．综合①②得，在第四象限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为顶点旳三角形与△BCE相似，m=+2．点评：本题波及二次函数旳图象与性质、相似三角形旳鉴定与性质、轴对称﹣最小途径问题等重要知识点，难度较大．本题难点在于第（4）问，需要注意分两种状况进行讨论，防止漏解；并且在计算时注意运用题中条件化简计算，防止运算出错．。
最新名校高中自主招生考试数学模拟试卷(附解答)
最新名校高中自主招生考试数学模拟试卷(附解答)考试时间：90分钟 总分：150分一、选择题(本题有12小题，每小题3分，共36分): 1、下列事件中，必然事件是( )A 、掷一枚硬币，正面朝上；B 、从车间刚生产的产品中任意抽取一个，是次品；C 、某运动员跳高的最好成绩是20.1米；D 、a 是实数，则|a |≥0. 2、如右图是奥迪汽车的标志，则标志图中所包含的 图形变换没有的是( )A 、平移变换；B 、轴对称变换；C 、旋转变换；D 、相似变换. 3、如果 ×3ab=3a 2b ，则 内应填的代数式是( ) A 、ab ； B 、3ab ； C 、a ； D 、3a . 4、一元二次方程根x (x -2)=0的情况是( )A 、有两个不相等的实数根；B 、有两个相等的实数根；C 、只有一个实数根；D 、没有实数根.5、割圆术是我国古代数学家刘徽创造的一种求周长和面积的方法：随着圆内正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积。
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”。
试用这个方法解决问题：如图，⊙O 的内接多边形周长为3，⊙O 的外切多边形周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是( )A 、6；B 、8；C 、10；D 、17.6、今年5月，我校举行“庆五四”歌咏比赛，有17位同学参加选拔赛，所得分数互不相同，按成绩取前8名进入决赛。
若知道某同学的分数，要判断他能否进入决赛，只需知道17位同学分数的( )A 、中位数；B 、众数；C 、平均数；D 、方差. 7、如右图，数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可能是( )A 、 ；B 、 ；C 、 ；D 、8、已知二次函数的图象(0≤x ≤3)如图所示，关于该函数 在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( )A 、有最小值0，有最大值3；B 、有最小值-1，有最大值0；C 、有最小值-1，有最大值3；D 、有最小值-1，无最大值.9、如图，矩形OABC 的边OA 长为2，边AB 长为1，OA 在数轴上，以原点O 为圆心，对角线OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是( ) x +1＞0x -3＞0x +1＞0 3-x ＞0 x +1＜0 x -3＞0 x +1＜0 3-x ＞0 -1 0 1 2 3 30 1 2 3 x -1 y -2 -1 0123C B AA 、2.5；B 、22；C 、3；D 、510、城市广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在 空中划出的曲线是抛物线y=-x 2+4x (单位：米)的一部分， 则水喷出的最大高度是( )A 、4米；B 、3米；C 、2米；D 、1米11、两个大小不同的球在水平面上靠在一起，组成如图所示 的几何体，则该几何体的左视图是( )A 、两个外离的圆；B 、两个外切的圆；C 、两个相交的圆；D 、两个内切的圆.12、已知二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象如图所示，有下列结论： ①b 2-4ac ＞0；②abc ＞0；③8a +c ＞0；④9a+3b +c ＜0. 其中正确结论的个数是( )A 、4；B 、3；C 、2；D 、1.二、填空题(本题有6小题，每小题4分，共24分):13、当x 时，分式x-31有意义.14、在实数范围内分解因式：2a 3-16a = .15、在日本核电站事故期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘-131，其浓度为0.0000963贝克/立方米.数据“0.0000963”用科学记数法可表示为 .16、如图，C 岛在A 岛的北偏东60º方向，在B 岛的北偏西 45º方向，则从C 岛看A 、B 两岛的视角∠ACB= .17、若一次函数y =(2m -1)x +3-2m 的图象经过一、二、四象限，则m 的取值范围是 . 18、将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第n 个图形有 个小圆.(用含n 的代数式表示)第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形三、解答题(本大题有7个小题，共90分): 19、(本题共2个小题，每题8分，共16分) (1)计算：10245sin 18)12020(--︒+-y (米) x (米)y x-2-1 0 x=1B 60º45ºC 北北 ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••(2)先化简，再计算：)12(122xx x x x x --÷+-，其中x 是一元二次方程x 2-2x -2=0的正数根.20、(本题共2个小题，每题6分，共12分)(1) 如图用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为(x 2+17)cm ，正六边形的边长为(x 2+2x )cm(其中x ＞0)，求这两段铁丝的总长.(2) 描述证明：海宝在研究数学问题时发现了一个有趣的现象：将上图横线处补充完整，并加以证明.21、(本题12分)某初中学校欲向高一级学校推荐一名学生，根据规定的推荐程序：首先由本年级200名学生民主投票，每人只能推荐一人(不设弃权票)，选出了票数最多的甲、a 、b 表示两个正数，并分别作为分子、分母，得到两个分式，如果这两个分式的和比这两个正数的积小2，那么这两个正数的和等于这两个正数的积. 现象描述 已知a ＞0，b ＞0， 如果 ， 那么 .乙、丙三人.票数结果统计如图一：图一 图二其次，对三名候选人进行了笔试和面试两项测试，各项成绩如下表所示：图二是某同学根据上表绘制的一个不完全的条形图.请你根据以上信息解答下列问题： (1)补全图一和图二；(2)请计算每名候选人的得票数；(3)若每名候选人得一票记1分，投票、笔试、面试三项得分按照2:5:3的比确定，计算三名候选人的平均成绩，成绩高的将被录取，应该录取谁？22、(本题12分)如图，已知直线AB 与x 轴交于点C ，与双曲线x k y =交于A )320,3(、B ),5(a -两点，AD ⊥x 轴于点D ，BE ∥x 轴且与y(1)求点B 的坐标及直线AB 的解析式； (2)判断四边形CBED 的形状，并说明理由.23、(本题12分)如图，△ABC 内接于⊙O ，且AB=AC ，点D 在⊙O 上，AD ⊥AB 于点A ，AD 与BC 交于点E ，F 在DA 的延长线上，且AF=AE. (1)试判断BF 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若⊙O 的半径为2，∠F=60º，求弓形AB 的面积.24、(本题12分)双曲线xky =与抛物线c bx ax y ++=2交于A(2，3)、B(m ，2)、C(-3，n )三点. (1)求双曲线与抛物线的解析式；(2)在平面直角坐标系中描出点A 、B 、C ，并求出△ABC 的面积.O B CD A F•E25、(本题共2个小题，每题7分，共14分) (1) 观察下列算式：1×3-22=3-4=-1； 2×4-32=8-9=-1； 3×5-42=15-16=-1； ； ......①请你按以上规律写出第4个算式；②把这个规律用含字母的式子表示出来： ； ③你认为②中所写出的式子一定成立吗？说明理由.(2) 如图，在直角坐标系中，O 为坐标原点. 已知反比例函数x ky =(k ＞0)的图象经过点A(2，m )，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，且△AOB 的面积为21.①求k 和m 的值；②点C(x ，y )在反比例函数xky =的图象上，求当1≤x ≤3时函数值y的取值范围；③过原点O 的直线l 与反比例函数xky =的图象交于P 、Q 两点，试根据图象直接写出线段PQ 长度的最小值.模拟试卷解答。
2025年重点高中自主招生考试数学模拟试卷试题(含答案)
2025重点高中自主招生数学针对性模拟试卷（本试卷满分150分，时间2小时）一、选择题（每小题6分，共60分）1.若“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件发生的概率为P ，则（）A.P=0B.0<P<1C.P=1P>12.下列命题中，真命题的个数是（）①一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形②对角线互相垂直且相等的四边形是菱形③两组对角分别相等的四边形是平行四边形④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形A.0个 B.1个 C.2个 D.3个3.方程()1112=--x x 的根共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个4.设{}d c b a ,,,max 表示d c b a ,,,中最大的数，则⎭⎫⎩⎨⎧-210,2,260tan 2,45cos 2max 0π=（）A.045cos 2 B.260tan 20- C.2π D.2105.若关于x 的方程012)14(2=-+++m x m x 的两根分别为1x 、2x ，且321=+x x ，则m =（）A.-1或21 B.-1或1C.21-或21 D.21-或16.如图，在△ABC 中，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 延长线上，BF=5CF,且四边形CDEF 是平行四边形，△BDE 与△ADE 的面积之和为7，则△ABC 面积为（）A.28 B.29 C.30 D.327.用数字0,1,2,3,4可以组成没有重复数字的四位数共有（）A.64个 B.72个 C.96个 D.不同于以上答案8.已知y x ,是整数，则满足方程03432=---y x xy 的数对),(y x 共有（）A.4对B.6对C.8对D.12对9.如图，在△ABC 中，AC=BC=4，D 是BC 的中点，过A,C,D 三点的圆O 与AB 边相切于点A,则圆O 的半径为（）A.2B.5C.214D.714410.若关于x 的方程x k x =-23有三个不同解321,,x x x ，设,321x x x m ++=则m 的取值范围为（）A.2<m B.23->m C.20<<m D.223<<-m 二、填空题（每小题6分共36分）11.已知△ABC 中，BC=1，AC=2，AB=3,则△ABC 的内切圆半径为.12.若y x 、满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+2454545yx xy y x xy ，则=+y x .13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线22--=x x y 与x 轴交于A、B 两点（点A 在点B 左边），点E 在对称轴MN 上，点F 在以点C（-1,-4）为圆心，21为半径的圆上，则AE+EF 的最小值为.14.已知直线)0(1>+=k kx y 与双曲线xy 2=交于A、B 两点，设A、B 两点的坐标分别为),(11y x A 、),(22y x B ，则=-+-)1()1(1221y x y x .15.若21≤---a x x 对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围是.16.已知互不相等的正整数20321,,,,a a a a 满足202420321=+++a a a a ，设d 是20321,,,,a a a a 的最大公约数，则d 的最大值为.三、解答题（共54分）17.(12分）已知实数215-=a .（1）求a a +2的值；（2）求3223111aa a a a a +++++的值.18.(12分）已知一次函数)0(1)2(<+-=k x k y 的图象与y x 、轴分别交于点A、B.（1）若2-=k ，试在第一象限内直接写出点),(y x M 的坐标，使得A、B、M 三点构成一个等腰直角三角形；（2）设O 为坐标原点，求△OAB 的面积的最小值.19.(14分）如图，已知0120=∠AOB ,PT 切圆O 于T,A、B、P 三点共线，∠APT 的平分线依次交AT、BT 于C、D，连接BC、AD.(1)求证：△CDT 为等边三角形；(2)若AC=8，BD=2，求PC 的长.20.(16分）已知函数a x a x y -+-+=3)4(2.(1)若此函数的图象与x 轴交于点)0,()0,(21x B x A 、，且2021≤<≤x x ，求a 的取值范围；(2)若20≤≤x ，求y 的最大值；(3)记a x a x x f -+-+=3)4()(2，若对于任意的40<<a ，都能找到200≤≤x ，使t x f ≥)(0，求t 的取值范围参考答案：一、选择题：1-5CBBDC6-10ACBDD 二、填空题：11、2321-+12、913、2914、-415、31≤≤-a 16、817.（1）∵215-=a ，512=+∴a ，5)12(2=+∴a .4442=+∴a a ，12=+∴a a .(3)a a -=12，12)1()1(23-=--=-=-=∴a a a a a a a a .∴原式==++++-3321112aa a a a 122222112333-+=+=++a a a a a a a .当215-=a 时，原式=353)25(2152521511522152+=++-=-+-=--+-⨯.18.(1)当2-=k 时，52+-=x y ，满足题意的M 点有3个，分别为415,415(),215,5(),25,215(321M M M .(2)易求得)21,0(),0,12(k B kA --.k kk k OB OA S OAB 2212)2112(2121--=--=⋅=∴∆，0<k ，021>-∴k ，02>-k .有均值不等式得4)2(2122=-⋅-+≥∆k kS OAB ，当且仅当k k 221-=-，即21-=k 时，等号成立.∴△ABC 的面积的最小值为4.19.(1)证明：0120=∠AOB ，06021=∠=∠∴AOB ATB .∵PT 切⊙O 于T，∴∠BTP=∠TAP.∵PC 平分∠APT，∴∠APC=∠CPT.∵∠TCD=∠TAP+∠APC，∠CDT=∠BTP+∠CPT.∴∠TCD=∠CDT=00060260180=-.∴△CDT 为等边三角形.(3)解：设CT=DT=x ，∵∠TCD=∠CDT=∠BDP，∠BPD=∠CPT，∴△PCT∽△PDB.∴BDCTPD PC =①,∵∠DTP=∠PAC，∠APC=DPT,∴△ACP∽△TDP.∴PD PC TD AC =，∴TD AC BD CT =.∴xx 82=.∴4=x （负值舍去）.∴CD=DT=CT=4.由①得244=-PC PC ,解得PC=8.20.解：（1）∵0)2()3(4)4(22>-=---=∆a a a ，2≠∴a .①当a x x -==3,121时，则231≤-<a ，∴21<≤a ；②当1,321=-=x a x 时，则130<-≤a .32≤<∴a .综上所述，a 的取值范围为31≤≤a 且2≠a .(2)对称轴为直线24a x -=.分三种情况讨论：①当024<-a，即4>a 时，当2=x 时，1-=a y 为最大值.②当2240≤-≤a，即40≤≤a 时，此时y 最大值在0=x 或2=x 处取得.（ⅰ）当242024a a --≥--时，则20≤≤a .此时，当0=x 时，a y -=3为最大值；（ⅱ）当242024aa --<--时，则42≤<a ，此时，当2=x 时，1-=a y 为最大值.③当224>-a，即0<a 时，当0=x 时，a y -=3为最大值.综上所述，当2<a 时，y 的最大值为a -3；当2>a 时，y 的最大值为1-a .(3)对称轴为直线24a x -=.∵40<<a ,∴2240<-<a.∴函数a x a x x f -+-+=3)4()(21在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-24,0a 上是减函数，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,24a 上是增函数.∴对任意的)4,0(∈a ，存在]2,0[0∈x 使得t x f ≥|)(|0可化为对任意的)4,0(∈a ，t f ≥|)0(|或t f ≥|)2(|或t af ≥-)24(有一个成立即可.即t a f f f ≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧-max 24(||,)2(||,)0(|即可.①当242024a a --≥--时，则20≤≤a ，|)2(||)0(|f f ≥.∴a a a a f f t -=⎭⎬⎫⎩⎨⎧---=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤3|2)2(||,3||24(||,)0(|max2max ，∴1)3(min =-≤a t .②当242024aa --<--时，则42≤<a ，此时，|)0(||)2(|f f >.1|4)2(||,1||24(),2(|max2-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧---=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤∴a a a a f f t .∴1)1(min =-≤a t .综上所述，t 的取值范围为1≤t .。
2023年上海高中自主招生数学全真模拟试卷(七),含详细参考答案
自主招生数学全真模拟试卷(七)一．填空题1.如图，在△ABC 中，AB=9，BC=8，CA=7，AD 为内角平分线，以AD 为弦作一圆与BC 相切，且与AB 、AC 分别交于点M 、N ，则MN=________.2.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，在斜边AB 上分别截取AD=AC ，BE=BC ，DE=6，O 是△CDE 的外心，则O 到△ABC 三边距离之和是_______3.对于三个数a 、b 、c ，用min{a,b,c }表示这三个数中最小的数，例如min{-1,2,3}=-1,min{-1,2,a }=,11,1{aa a ≤-->-,那么min{21,(1),2x x x +--}的最大值为______. 4. 如图，在矩形OABC 中，OA=6，OC=5，反比例函数的图像与AB 、BC 分别交于点E 、F ，且CF<FB,OEF 与BFE 的面积之差等于11530，则此反比例函数的解析式为_________ 5. 设实数x 不等于0和1，则4231x x y x x-+=-的取值范围是________.6. 已知12345,,,,x x x x x 是非负实数，且12345100x x x x x ++++=，M 是12233445,,,x x x x x x x x ++++的最大值，则M 的最小值m=_________.7. 从1，2，3......20这20个整数中，每次取3个数，组成一个有序实数对(a,b,c ),使b 为a ，c 的比例中项，则不同的有序实数对(a,b,c )共有________对.8. 在矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，从AB 中点P 0射出的光线到达边BC 的点经反射到达边CD 上的点P 2，再经反射到达边DA 上的点P 3，最后经反射到达边AB 上的点P 4，若P 0P 4=1，则tan ∠BP 0P 1=_________.二．解答题9. 已知正方形ABCD 的边长为5，P 为正方形内一点，且PC=5，求PB 的长.10. 用[x]表示不超过x 的最大整数(如[3.1]=3,[-3.1]=-4),设实数x 不为整数，且，求x 的值.11. 已知m 、n 都是实数，且3331m n mn ++=，求m+n 的值.12. 如图所示，在ABC 中，BC 边上依次有B 、D 、E 、C ，AC 边上依次有A 、G 、F 、C ，满足BD=CE=14BC ，CF=AG=14AC ，BF 交AE 于点J ，交AD 于点I ，BG 交AE 于点K ，交AD 于点H ，且ABC S ∆=1，求KHIJ S .参考答案1. 如图，连接DM ，由∠BDM=∠BAD=∠CAD=∠CMN ，得MN||BC 则△AMN~△ABC ，易知BD=92，又因为BM ∙BA=BD 2，所以BM ∙9=29()2得BM=94，从而有AM=274，又MN AM 3BC AB 4==因此MN=6. 2. 如图，连接OA 、OB 、OC 、OD 、OE ，由OC=OD 知O 在CD 的垂直平分线上，又AD=AC ，则OA 平分CAD ，同理OB 平分CBD ，故O 是ABC 的内心，因此O 到ABC 的三边距离均与ABC 的内切圆的半径相等，半径为1()32AC BC AB +-=，故所求之和为9.3. 分别作出21,(1),2y x y x y x =+=-=-的图像如图所示，由图像知2min{1,(1),2}x x x +--的最大值为14. 由已知得A(6,0),B(6,5)，C(0,5),设此反比例函数为k y x =，则E(6,6k )F(5,5k ),故1S S ,(5)(6)256OAE OCF BEFk k k S ∆∆∆+==--，所以2F BE 161S -S 3030OE F k k ∆∆=-+=解得k=7或23，因为CF<FB 所以35k <，故反比例函数为7y x= 5. 显然2211x x y x x -=+-令t 1=21x x-则2110x t x --=其判别式2114t ∆=+，可知t1可取遍每一个非零实数，再令12111(0)t t t t +=≠则212110t t t -+=，判别式2124t ∆=-得2||2t ≥即||2y ≥，所以2211x x y x x -=+-的取值范围是2y ≥或2y ≤- 6. 依题意有12M x x ≥+，23M x x ≥+，45M x x ≥+，三式相加得23100M x ≥+即1003M ≥,当241351000,3x x x x x =====，此时1003M =，故M 的最小值为10037. 因为222214,319,.......12916818=⨯=⨯=⨯=⨯，每个等都有两组有序实数对(a,b )产生，所以共有22对.8. 当点P 4在点P 0左侧时，由对称性得图，因为P0P4=1，P 0为AB 的中点，且AB=4，AD=3，则AP 4=1，EA=1,EF=6,FG=10,P 0H=7，所以tan ∠BP 0P 1=76,同理，当P 4在点P 0的左侧时，有tan ∠BP 0P 1=32.9. 如图，作PE△AB 于点E ，PF△BC 于点F ，设PE=m ，PF=n ，在Rt△PAE 和Rt△PCF 中，分别由勾股定理得5)5(25)5(2222{=-+=+-n m n n 得m=n -2,代入得n=3或n=4；当n=3时，m=1,得PB=10；当n=4时m=2得PB=52，综上PB=10或5210. 去分母得0)113][])([(113][][113][22=--→+=+x x x x x x x x x x ,x 不是整数，故0][≠-x x ，0113][=-x x ，令)10(][<<+=t t x x ,代入得0113][][2=-+x t x 解得][][1132x x t -=，易知[x ]=-11，t =118,故11310-=x 11. 由已知01)()()(22233=-+++--+n m n mn m n m 即有0)1)(1()1)((22=++-++-++-n m n m n m n mn m 即0])1()1())[(1(222=++++--+n m n m n m 得1,01=+=-+n m n m ；10)1()1()(222-===++++-n m n m n m 时，，故m+n=1或-212.由梅涅劳斯定理有1AC FA JF BJ BE CE =⋅⋅又，，43AC FA 31BE CE ==则14JF BJ =即54BF BJ =同理可得，，，74BG BH 134BF BI 1312BG BK ===由共角比例定理得有6548131254S S BJK =⋅=⋅=∆∆BG BK BF BJ BFG 同理9116S S BFG BIH =∆∆故455256S S S S S HIH BJK HIJK =-=∆∆∆∆BFG BFG 四而21S S ABC BFG =∆∆，故455128S HIJK =四。
高中自主招生数学模拟试题及答案
请联系网站删除资料收集于网络，如有侵权自主招生测试题唐山市唐山一中分）5分，共50一、填空题（本大题共10小题，每小题，则这四个实数的积是1.四个实数中，每三个数的和分别为2,4,5,72)?a(a341的值是满足2.若实数，则2a???a?a aaa上，、，点、分别在边3.如图，三角形的面积为ACABCDAB2EA 1ADAED面积的最大值是，且，则三角形BDE?y??x,?yx2ACAB E简数解，则化有4.若关于的方程四个实a2?|b?|||x?xCBb|a|a?ba?b的结果是???||ba?b||a?b|a|则式，的5.若非零实数满足等z,x,y,ax3y??4y?3z?2(3ax?2y)?a(4y?3z)22yx?的值是zxxy?yz? A上中，，是斜边在直角三角形6.如图，3AC?4,BC?ABCDABD的长最，垂足分别是，当一动点，，FE,ACDF?DEBC?EFF小时，?cos?FED2643除的余式是被7.多项式x?xx?xx1??CBE22③①;; ②三不等的实数，个方程是8.已和互0?b?0?cx?bxxax??c,ab,2qp，②③有公共根，则中，①②有公共根，③①有公共根0??cx?xa?abcr是奇数，将其乘，若9.我们有一个结论：对于任何一个正整数是偶数，将其减半；若nnn，按上述规，不断重复这样的过程，经过若干步后，一定可以得到.如正整数以加6n3?11（按上述变换后的第个数是则变换后，可得一列数：.如果正整数6,3,10,5,16,8,4,2,181nn的所有可能值的个数是可多次出现）是第个数，，则11n在表中出现的次数是10.如图的一个无穷数表，其中201456 …3 2 49 11 7… 3 57 10 13 16 4 …9 13 17 21 5…6 11 16 21 26 …………………只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除二、解答题（本大题5小题，共70分）15已知点，函数的图象是直线11.（本题满分12分），点5,0)(?5,0),B(APab(,)l??xy33在上，满足是钝角，试求的取值范围. lAPB?a yl Px O A B2x. 的函数的图象与轴有交点1212.（本题满分分）已知关于3?k?1)x?ky?kx?2(x的取值范围；（1）求k2试，且.轴有两个不同的交点（2）若函数图象与x?4x3?2(k1)x?k?kx?,0),0),(x(xx212121. 时，函数的最大值和最小值求的值，并根据图象指出当3?x?1≤≤kkk外接圆上一点，点是三角形1213.（本题满分分）如图，ABCDAE只供学习与交流BCFD资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除，，∥，求的延长线交过点的切线于点.若，53?AEFCAB?ACAC4BD?EDBDBA的长.14.（本题满分16分）如图，点在以为直径的⊙上，过点、作圆的切线交于点COCBAB，点是的中点，求证：. AP QABAQACBCP 只供学习与交流．请联系网站删除资料收集于网络，如有侵权AOCBQP甲将手中的的18（本题满分分）编号为张卡片分别拿在甲、乙两人手中.15.,25,2,125，乙手中卡片编号的平均数也增加15号卡片给乙后，甲手中卡片编号的平均数增加0.25. ，求原来甲、乙手中各有多少张卡片，并写出一种原来甲手中所持卡片的编号数0.25试题及解答 5分，共50分）小题，每小题一、填空题（本大题共10 ，则这四个实数的积是1.四个实数中，每三个数的和分别为2,4,5,7只供学习与交流．请联系网站删除资料收集于网络，如有侵权7?4?52?，即解：这四个实数的和为，所以这四个数分别是7?5,6?6?2,6?4,66?3. ，其积是14,2,1,?-82)?a(a341满足的值是2.若实数，则2a???a?aaaa2222. 解：，移项得去分母得04??2a2a?a2?aa??4?3a3?2a?a22.（舍去）设，∴，则方程变为或taa??20?t?t4?34?1?t?t122，所以得. 由1?2aa?01??2aa??a?2a上，、，点、分别在边3.如图，三角形的面积为ACABCDABE2A 1ADAE，则三角形面积的最大值是，且BDE???x,?yxyD 2ABAC E BDAE∵解：yx)S?2(1?x)S?S(1?x)?S?(1?ABC??ABE?ABE?BDE ABACC11922，?x?)?x?1????2(1?x)(x?)?2x2(2489. ∴三角形面积的最大值是BDE8a?ba?b|a|b 的结果是 4.若关于的方程有四个实数解，则化简???a??b|2||x?|x|a|bb||a?b||a?解：显然.0≥a若，则方程可变为，方程最多两解，不合题意，所以. b2|?|x?0?a?0a方程可化为.a?|?b|x?2当时，方程可化为，有两解，不合题意. a?b?|x?2|ab?当时，,有三解，不合题意. 0?,|x?2||x?2|?2aa?b当时，方程有四解，符合题意. ab??2|?,|x?2|?b?ax|a?ba?ba?b|a|ba?ba?bab. .故从而21?1?1???????1???0b?a?|a?b||a?b|a|b|a?bb?aab a,x,y,z满足等式数，则5.若非零的实xy?33??a(3x2y)?a(4y3z)?4y?z?222yx?的值是xy?yz?zx?a(4y?3z)?4y?3z，于是，则若；解：03x?2y??y?03z4a(3x?2y)??2y?3x，于是若；，则02y?3z0?3x?y4?2y?3x?04y?3z?0??若且，则由得；由得，矛0?y2?0z4y?33x?0?a0a???a(3x?2y)≥0a(4y?3z)≥0??盾.故且. 0?3y?2x3?y04?z 只供学习与交流．请联系网站删除资料收集于网络，如有侵权，所以于是，可令t4t,zz6x?4y?3?x?2t,y?32222194txt?y?. ??22228t?12t?xy?yz?zx6tA 上，如图，在直角三角形中，是斜边6.3BC?AC?4,ABCDAB的长最一动点，，，垂足分别是，当FE,AC?BC?DFDEEFDF小时，?FEDcos?的长最的长最小时即为，所以解：连结，则CDEFCDCD?EF以所小，此时,于是，????F?FEDCCD?ABD3BCCBE. ?cosB?cos?FED?5AB2643除的余式是被7.多项式xx?1?x??xx4436.，所以余式是解：1?1)?x(x?1)(xx?x?x??1?x?(x?1)(x?1)x+1x22③;; ②三个方程①，8.已和是互不等的实数0cx??xbx?ax?b?0?c,a,b2，则，②③有公共根，③①有公共根中，①②有公共根qp0ax??cx??abcr b?c22. ，∴，得，解：由0p??0bp?cp?ap?b?0?(a?b)p?b?c?pb?aa?a?cb. ，同理?rq?acc?b?.∴1?pqr?，，则①③的公共根，于是，从而又互不相等，如rp,p?qp?qq?rp,q,1?p?q?r?. ，三式相加得代入①②③有，矛盾1??a?1,?c,b?a??1c?b?30??. 由上述结论可知，①的两根为；③的两根为；②的两根为rqp,q,rp,222.由根与系数关系，有，故1??abcprqrqc??a?pr,bpq,是奇数，将其乘9.我们有一个结论：对于任何一个正整数，若是偶数，将其减半；若nnn，按上述规，不断重复这样的过程，经过若干步后，一定可以得到.如正整数以加6?3n11（个数是.则变换后，可得一列数：如果正整数按上述变换后的第6,3,10,5,16,8,4,2,181nn是第个数，可多次出现），则的所有可能值的个数是11n 反推解：12864 3221 16 8105 2 4 1 316 8 42 1 1 2. 的所有可能值的个数是∴6n2014如图的一个无穷数表，其中10.在表中出现的次数是326 54…只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除11 …3 5794 16 …7 10 1321 (5)9 13 1726 …6 11 16 21………………，由得观察知，表中第行第列的数是.解：61?3??201411mn?mn?12013?mn?1nmm在表中出现的次数是.有8对，从而是的正约数，所以),n(m82013201470分）二、解答题（本大题5小题，共51点，的图象是直线已知点，函数11.（本题满分12分）5,0)A(?5,0),B(),Pab(l?y?x 33. 的取值范围在上，满足是钝角，试求lAPB?a分.………4为直径作圆，交于点,则点在线段上（不含端点）解：以D,CCDlPAB，则设点),yC(x 0051??(1)y?x?00分…………………………633?C ?22(2)x??y5?00 B），整理得，把（1）代入（22，0x?2x?? 8分∴，……………………………1x?x??2,.∴(1,2)2,1),C(?D分的取值范围是.……………12故1?2?a?a2x. 的图象与的函数轴有交点12.（本题满分12分）已知关于3k2(?1)x?ky?kx??x的取值范围；（1）求k2试轴有两个不同的交点，且.（2）若函数图象与xx?k?3?xk4?2(k?1)x,0)xx(,0),(x211221. 求的值，并根据图象指出当时，函数的最大值和最小值3k1≤x≤k?k?x分…………………，图象与2轴有交点.解：（1）当时，函数为3?x2y??0k?x轴有交点的条件是时，图象与当0?k20≥(k?4(k?1)3)?4k?? .…………………………………………………………………………分解得1k≤分.的取值范围是……………………………………………………4综上，1k≤k3?1)k2(k?分………………………………………………（2）5.?x?x?x,x2121kk22由得，，xk?2(?1)????2(k1)xk?30?kx?k3kx11112可化为∴xx???x?2(kx?k1)k342112只供学习与交流．请联系网站删除资料收集于网络，如有侵权 8分………………………………………………………x4xk?1)(x?x)?2(21123k?2(k?1)∴???1)2(k?4 kk解得，或.…………………………………………………………………10分2?k?1?k. 时，函数图象与轴仅有一个交点，舍去但1?kx31322时，最大值为，，函数为画图可知当时，2?≤x≤1k??1?2(?1??x?y??2x)?2x222分…………………………………………………………………………最小值为.123?的的延长线交过点分）如图，点是三角形外接圆上一点，13.（本题满分12ABCDADB，求∥，，切线于点.若，5?3AEACAB?AC4DB?EBDAE.的长FC2.∵是圆的切线，∴解：AEEDEBAE??BCF，解得，则.…………………3分设45x(x??4)5x?EB?x. ∵是圆的切线,∴ACB??EAB?AED,∵,∴ABC??AB?ACACB? ,…………………………5分∴,∴∥BC?EAB??ABCAE ,………………7分又∥，∴四边形是平行四边形AEBCACBD5??BEBC?AE?35,AC.∴55FC435?BDBF得，，解得∥又由，即.…………12分ACBD??FC?3FC5ACFC作圆的切线交于点为直径的⊙上，过点、在以14.（本题满分16分）如图，点COCBAB. ，点是的中点，求证：APQ?AB?AQ?ACBCP分.证明：连接，则点在上…………………2QOPOPA2∵,,分.…………4∴PO?PB?PQBCOP?OB?PO2 .……………6分设交⊙于，则OMPAPA?PM?PBCBQ, ∴PAPQ?PO?PM?∴∽，PAQ?POM?PAQOM分…………………………………………8∴?APOPAQOB∴10分…………………………………………?APOP，又∵∥OQAC，∴BAC?BOP??∴∽，ACB RtRt?OBP?ACOB12∴分，………………………………………?ABOPACAQ，∴?ABAP分16.…………………………………∴AP??ABAQ?AC甲将手中的的.张卡片分别拿在甲、乙两人手中分）编号为（本题满分15.18,251,2,25只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除15号卡片给乙后，甲手中卡片编号的平均数增加，乙手中卡片编号的平均数也增加0.25，求原来甲、乙手中各有多少张卡片，并写出一种原来甲手中所持卡片的编号数. 0.25解：.…………………………………………………………2分325??251?2?3?设乙原来手中有卡片张，平均数为，yx325?xy.…………………………………4分张卡片，平均数为则原来甲手中有x25?25?x15xy??(1)?y?0.25??1x?………………………………………6分由题意得，?xy?310?xy325?(2)0.25???x?25?x24?591 (3)……………………………………………………………8分由(1)得，x??y441由(2)得，，)?x?)(25?x)(24)(25?x)?(325?xy)(24?x(310?xy4122，)x?x)(24325x?x?y?(25xy?310?2525xy?310x?xy?325?24?24?41即………………………………………………………11分)x)(2450?(25?x?15xy?x?4将(3)代入(2)得，59112，)x?(25x)(24?x?x?15x?50?444解得.………………………………………………………………………………15分16?x故原来甲手中有张卡片，乙手中有张卡片.16943. 把代入（3），得16x?y?4可写出如下一种原来甲、乙因此于是甲原来张卡片总和为.，平均数为,153?xy?325179手中所持的卡片：甲：.…………………………………………………………18分13,14,15,16,17,18,19,20,21 只供学习与交流．。
2025年山东枣庄滕州一中自主招生数学模拟试卷(含答案详解)
．
试卷第 5页，共 9页
三.解答题
18．如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树 A、B 之间的距离，他们在 河边与 AB 平行的直线 l 上取相距 60m 的 C、D 两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°， ∠ADC＝30°．
(1)求河的宽度； (2)求古树 A、B 之间的距离．（结果保留根号） 19．如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，AE 平分∠BAC 交 BC 于点 E，O 为 AC 上一点，经 过点 A、E 的⊙O 分别交 AB、AC 于点 D、F，连接 OD 交 AE 于点 M．
当
x
0
时，
x
2 m
4
0
无解；
当
x
1 2
时，
x
2 m
4
1 2
，解得
m
0；
综上，m 的值为 0 或 4；
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程无解的情况，即分式方程有增根，分两种情况，分别是最简公
分母为 0 和化成的整式方程无解，熟练掌握知识点是解题的关键．
2．C
【分析】先利用勾股定理计算出 AC=25cm，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的
2
试卷第 8页，共 9页
(3)如图（2），点 C 关于 x 轴的对称点为点 D ，点 P 为线段 BC 上的一个动点，连接 AP ，点 Q 为线段 AP 上一点，且 AQ 3PQ ，连接 DQ ，当 3AP＋4DQ 的值最小时，直接写出 DQ 的长．
试卷第 9页，共 9页
1．D
【分析】先将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当 m 4 0 时，当
（）
A．
a
高三自主招生试卷数学模拟
一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$，则下列说法正确的是（）A. 函数$f(x)$在区间（0，2）内存在零点B. 函数$f(x)$在区间（0，2）内单调递增C. 函数$f(x)$在区间（0，2）内单调递减D. 函数$f(x)$在区间（0，2）内没有极值点2. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$a_1+a_5=10$，$S_6=60$，则$a_3$的值为（）A. 6B. 8C. 10D. 123. 已知复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则$z$在复平面上的轨迹是（）A. 线段B. 圆C. 双曲线D. 直线4. 已知函数$f(x)=x^2+2ax+b$，若$f(-1)=0$，$f(1)=0$，则下列说法正确的是（）A. $a+b=0$B. $a-b=0$C. $a^2+b^2=0$D. $a^2+b^2\neq0$5. 已知数列$\{a_n\}$是等比数列，若$a_1=2$，$a_3=16$，则$\frac{a_6}{a_2}$的值为（）A. 4B. 8C. 16D. 326. 已知函数$f(x)=x^3-6x^2+9x$，则下列说法正确的是（）A. 函数$f(x)$在区间（0，3）内存在两个零点B. 函数$f(x)$在区间（0，3）内单调递增C. 函数$f(x)$在区间（0，3）内单调递减D. 函数$f(x)$在区间（0，3）内没有极值点7. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$a_1+a_5=10$，$S_6=60$，则$a_3$的值为（）A. 6B. 8C. 10D. 128. 已知复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则$z$在复平面上的轨迹是（）A. 线段B. 圆C. 双曲线D. 直线9. 已知函数$f(x)=x^2+2ax+b$，若$f(-1)=0$，$f(1)=0$，则下列说法正确的是（）A. $a+b=0$B. $a-b=0$C. $a^2+b^2=0$D. $a^2+b^2\neq0$10. 已知数列$\{a_n\}$是等比数列，若$a_1=2$，$a_3=16$，则$\frac{a_6}{a_2}$的值为（）A. 4B. 8C. 16D. 32二、填空题（每空5分，共50分）1. 已知函数$f(x)=2x^3-3x^2+4x-1$，则$f'(1)= $2. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$a_1+a_5=10$，$S_6=60$，则$a_3= $3. 已知复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则$z$在复平面上的轨迹是（填字母）4. 已知函数$f(x)=x^2+2ax+b$，若$f(-1)=0$，$f(1)=0$，则$a^2+b^2= $5. 已知数列$\{a_n\}$是等比数列，若$a_1=2$，$a_3=16$，则$\frac{a_6}{a_2}= $6. 已知函数$f(x)=2x^3-3x^2+4x-1$，则$f'(x)= $7. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$a_1+a_5=10$，$S_6=60$，则$a_3= $8. 已知复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则$z$在复平面上的轨迹是（填字母）9. 已知函数$f(x)=x^2+2ax+b$，若$f(-1)=0$，$f(1)=0$，则$a^2+b^2= $10. 已知数列$\{a_n\}$是等比数列，若$a_1=2$，$a_3=16$，则$\frac{a_6}{a_2}= $三、解答题（共100分）1. （30分）已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，求：（1）函数$f(x)$的单调区间；（2）函数$f(x)$的极值点及极值。
2023-2024学年湖北省黄冈中学自主招生数学模拟试卷+答案解析
2023-2024学年湖北省黄冈中学自主招生数学模拟试卷一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在数轴上和有理数a，b，c对应的点的位置如图示，有下列四个结论：；；；其中正确的结论有个．()A.4B.3C.2D.12.如图，在中，，，点C在边AB上，且，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为()A.B.C.D.3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量单位：万人的数据，绘制了如图所示的折线图．根据该折线图，有下列四个结论：月接待游客量逐月增加；年接待游客量逐年增加；各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月；各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，其中正确的结论有个．()A.4B.3C.2D.14.对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数有两个相异的不动点，，且，则c的取值范围是()A. B. C. D.5.如图，在中，，，点D为内一点，，，连接BD，将绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为()A. B. C. D.6.如图①，在矩形ABCD中，，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿向点D运动．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AC边的长为()A.3B.4C.5D.67.对于实数x，符号表示不超过x的最大整数，如，若有正整数解，则正实数a的取值范围是()A.或B.或C.或D.或8.已知非零实数a，b，c满足，，，则()A. B. C. D.二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
9.一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，4，8，随机摸取一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上数字之积等于2或16的概率是______.10.如图所示，在中，D是边AC上的点，且，，，则的值为______.11.如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，过作x轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作x轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作x轴的垂线，垂足为…按此规律，则点的纵坐标为______.12.如图，正方形ABCD和，，，连接BF，DE，若绕点A旋转，当最大时，的面积=______.13.如图，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B，C在反比例函数的图象上，则平行四边形OABC的面积为______.14.如图，、都是等腰直角三角形，，，将绕点B逆时针方向旋转后得，当点恰好落在线段上时，则______.15.因式分解：______.16.已知二次函数的图象与x轴交于不同的两点A、B，C为二次函数的图象的顶点，，若是边长为3的等边三角形，则______.三、解答题：本题共7小题，共56分。
2024初升高自主招生数学试卷(一)及参考答案
—1—2024初升高自主招生数学模拟试卷（一）1.方程43||||x x x x -=实数根的个数为（）A .1B .2C .3D .42.如图，△ABC 中，点D 在BC 边上，已知AB =AD =2，AC =4，且BD ：DC =2：3，则△ABC 是（）A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .等腰三角形3.已知G 是面积为24的△ABC 的重心，D 、E 分别为边AB 、BC 的中点，则△DEG 的面积为（）A .1B .2C .3D .44.如图，在Rt △ABC 中，AB =35，一个边长为12的正方形CDEF 内接于△ABC ，则△ABC 的周长为（）A .35B .40C .81D .845.已知2()6f x x ax a =+-，()y f x =的图象与x 轴有两个不同的交点(x 1，0)，(x 2，0)，且1212383(1)()1)(16)(16)a a x x a x a x -=-++----，则a 的值是（）A .1B .2C .0或12D .126.如图，梯形ABCD 中，AB //CD ，AB =a ，CD =b .若∠ADC =∠BFE ，且四边形ABFE 的面积与四边形CDEF 的面积相等，则EF 的长等于（）A .2a b+B .abC .2ab a b +D .222a b +—2—7.在△ABC 中，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，CE 平分∠ACB 交AB 于点E .若BE +CD =BC ，则∠A 的度数为（）A .30°B .45°C .60°D .90°8.设23a =，26b =，212c =.现给出实数a 、b 、c 三者之间所满足的四个关系式：①2a c b +=；②23a b c +=-；③23b c a +=+；④21b ac -=.其中，正确关系式的个数是（）A .1B .2C .3D .49.已知m 、n 是有理数，方程20x mx n ++=2，则m +n =.10.正方形ABCD 的边长为5，E 为边BC 上一点，使得BE =3，P 是对角线BD 上的一点，使得PE +PC 的值最小，则PB =.11.已知x y ≠，22()()3x y z y z x +=+=.则2()z x y xyz +-=.12.如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，∠BAD =∠BCD =60°，∠CBD =55°，∠ADB =50°.则∠AOB 的度数为.13.两个质数p 、q 满足235517p q +=，则p q +=.14.如图，四边形ABCD 是矩形，且AB =2BC ，M 、N 分别为边BC 、CD 的中点，AM 与BN 交于点E .若阴影部分的面积为a ，那么矩形ABCD 的面积为.第12题图第14题图15.设k 为常数，关于x 的方程2223923222k k x x k x x k --+=---有四个不同的实数根，求k 的取值范围.—3—16.已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，并且满足1111a b c d x b c d a+=+=+=+=，求x 的值.17.已知抛物线2y x =与动直线(21)y t x c =--有公共点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且2221223x x t t +=+-.(1)求t 的取值范围；(2)求c 的最小值，并求出c 取最小值时t 的取值.—4—18.如图，已知在⊙O 中，AB 、CD 是两条互相垂直的直径，点E 在半径OA 上，点F 在半径OB 延长线上，且OE=BF ，直线CE 、CF 与⊙O 分别交于点G 、H ，直线AG 、AH 分别与直线CD 交于点N 、M .求证：1DM DN MC NC-=.参考答案。
高三自主招生试卷数学答案
一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列各数中，属于有理数的是（）A. √2B. πC. 0.1010010001…D. 1/3答案：D解析：有理数是可以表示为两个整数之比的数，即形如a/b（a和b为整数，b不为0）的数。
选项D可以表示为1/3，因此是有理数。
2. 已知函数f(x) = 2x - 3，若f(x) + f(-x) = 0，则x的值为（）A. 1B. -1C. 0D. 2答案：B解析：根据题意，f(x) + f(-x) = 2x - 3 + 2(-x) - 3 = 0，化简得4x - 6 = 0，解得x = 1.5，即x = -1。
3. 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a1 + a2 + a3 = 12，a1 + a4 +a5 = 30，则该数列的通项公式为（）A. an = 3n - 1B. an = 4n - 3C. an = 6n - 5D. an = 5n - 4答案：B解析：由等差数列的性质，a2 = a1 + d，a3 = a1 + 2d，代入a1 + a2 + a3 =12得3a1 + 3d = 12，化简得a1 + d = 4。
同理，a4 = a1 + 3d，a5 = a1 + 4d，代入a1 + a4 + a5 = 30得3a1 + 12d = 30，化简得a1 + 4d = 10。
解得d = 3，a1 = 1。
因此，通项公式为an = 4n - 3。
4. 已知复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z在复平面上的轨迹为（）A. 直线B. 圆C. 双曲线D. 抛物线答案：A解析：由复数的模长性质，|z - 1| = |z + 1|表示复数z到点1和点-1的距离相等，即z位于直线y = 0上。
5. 下列各函数中，为奇函数的是（）A. y = x^2B. y = x^3C. y = x^4D. y = |x|答案：B解析：奇函数满足f(-x) = -f(x)。
高中自招试题数学答案及解析
高中自招试题数学答案及解析试题一：已知函数\( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)，求其导数\( f'(x) \)。
答案：首先，根据导数的定义，我们对函数\( f(x) \)进行求导。
对于\( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)，其导数\( f'(x) \)为：\[ f'(x) = 6x - 2 \]解析：求导的过程涉及到幂函数的导数规则，即\( (x^n)' = n \cdot x^{n-1} \)。
对于常数项1，其导数为0。
将各项的导数相加，得到最终的导数表达式。
试题二：设集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，求集合A和集合B 的交集A∩B。
答案：集合A和集合B的交集A∩B为{2, 3}。
解析：交集是指两个集合中共有的元素。
在这个例子中，我们可以看到元素2和3同时出现在集合A和集合B中，因此它们构成了这两个集合的交集。
试题三：若\( \sin(2x) = 2\sin(x) \)，求\( x \)的值。
答案：根据二倍角公式，我们知道\( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \)。
将题目中的等式代入，得到：\[ 2\sin(x)\cos(x) = 2\sin(x) \]由于\( \sin(x) \neq 0 \)，我们可以除以\( 2\sin(x) \)得到：\[ \cos(x) = 1 \]这意味着\( x \)的值是\( 2k\pi \)，其中\( k \)是整数。
解析：这个问题的关键在于识别并应用二倍角公式。
通过将等式转换为已知的三角恒等式，我们可以简化问题并找到\( x \)的解。
试题四：解不等式\( |x - 3| < 2 \)。
答案：不等式\( |x - 3| < 2 \)可以分解为两个不等式：\[ -2 < x - 3 < 2 \]解得：\[ 1 < x < 5 \]解析：绝对值不等式可以通过将其分解为两个不等式来解决。
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唐山市 唐山一中 自主招生测试题一、填空题(本大题共10小题,每小题5分,共5０分)1.四个实数中，每三个数的和分别为2,4,5,7,则这四个实数的积是2.若实数a满足42a a -+=,则1a a-的值是3.如图,三角形ABC 的面积为2,点D 、E 分别在边AB 、AC 上，,AD AE x y AB AC ==，且12y x -=，则三角形BDE 面积的最大值是4.若关于x 的方程||2||x b a --=有四个实数解，则化简||||||||a b a b a ba b a b a b +-++++-的结果是5。
若非零的实数,,,a x y z 满足等式=,则22x y xy yz zx+++的值是6。
如图,在直角三角形ABC 中，4,3AC BC ==,D 是斜边AB 上一动点,DE BC ⊥,DF AC ⊥,垂足分别是,E F ，当EF 的长最小时,cos FED ∠=7。
多项式6431x x x -++被2x x -除的余式是８。
已和,,a b c 是互不等的实数,三个方程①20x ax b ++=;②20x bx c ++=;③20x cx a ++=中,①②有公共根p ，②③有公共根q ，③①有公共根r ，则abc =9．我们有一个结论:对于任何一个正整数n ，若n 是偶数,将其减半;若n 是奇数,将其乘以3加1,不断重复这样的过程，经过若干步后，一定可以得到1．如正整数6n =,按上述规则变换后，可得一列数：6,3,10,5,16,8,4,2,1。
如果正整数n 按上述变换后的第8个数是1(n 是第1个数，1可多次出现），则n 的所有可能值的个数是10．如图的一个无穷数表，其中20１4在表中出现的次数是A DEA CDFE二、解答题（本大题5小题,共７0分）11。
(本题满分1２分)已知点(A B ，函数1533y x =+的图象是直线l ,点(,)P a b 在l 上,满足APB ∠是钝角,试求a 的取值范围.12.(本题满分12分）已知关于x 的函数22(1)3y kx k x k =-+++的图象与x 轴有交点. （1)求k 的取值范围；(２)若函数图象与x 轴有两个不同的交点12(,0),(,0)x x ,且212122(1)34kx k x k x x ++++=。
试求k 的值,并根据图象指出当13k x k ++≤≤时，函数的最大值和最小值.l13。
(本题满分1２分)如图,点D是三角形ABC外接圆上一点,DB的延长线交过点A的切线于点E。
若AB AC=,AC∥BD，AE=4DB=，求FC的长．14.(本题满分16分)如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过点B、C作圆的切线交于点P,点Q是BC的中点,求证:AB AQ AC AP⋅=⋅.O１5。
(本题满分18分）编号为1,2,,25的25张卡片分别拿在甲、乙两人手中.甲将手中的１５号卡片给乙后,甲手中卡片编号的平均数增加0.25,乙手中卡片编号的平均数也增加0.25，求原来甲、乙手中各有多少张卡片,并写出一种原来甲手中所持卡片的编号数．试题及解答一、填空题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.四个实数中，每三个数的和分别为2,4,5,7，则这四个实数的积是 解:这四个实数的和为245763+++=,所以这四个数分别是62,64,65,67----，即4,2,1,1-,其积是-8． 2.若实数a满足42a a -+=,则1a a-的值是 解:去分母得242a a -+，移项得2240a a -+-=．t =,则方程变为2340t t +-=,∴1t =或4t =-（舍去)。
1=得2210a a --=,所以1a a-=2. 3。
如图，三角形ABC 的面积为2,点D 、E 分别在边AB 、AC上,,AD AE x y AB AC ==，且12y x -=,则三角形BDE 面积的最大值是解:∵(1)(1)2(1)BDEABE ABE ABC BD AES S x S x S x y AB AC∆∆∆∆==-=-=- 221192(1)()212()248x x x x x =-+=-++=--+,∴三角形BDE 面积的最大值是98. 4．若关于x 的方程||2||x b a --=有四个实数解,则化简||||||||a b a b a ba b a b a b +-++++-的结果是解：显然0a ≥。
若0a =,则方程可变为|2|x b -=，方程最多两解,不合题意,所以0a >。
方程可化为|2|x b a -=±.当b a <时，方程可化为|2|x b a -=+，有两解,不合题意. 当b a =时，|2|2,|2|0x a x -=-=,有三解，不合题意．当b a >时,|2|,|2|x b a x b a -=+-=-方程有四解,符合题意. 故0b a >>。
从而||1111||||||a b a b a b a b a b a ba b a b a b a b b a a b+-+-+++=+++=-++=+-+-2. ５.若非零的实数,,,a x y z 满足等式=，则22x y xy yz zx+++的值是解：若320x y -=，则=于是430y z -=; 若430y z -=,=320x y -=；若320x y -≠且430y z -≠,则由230(32)0y x a x y ->⎧⎨-⎩≥得0a <;由430(43)0y z a y z ->⎧⎨-⎩≥得0a >,矛盾。
A CDE故320x y -=且430y z -=.于是643x y z ==，可令2,3,4x t y t z t ===，所以 2222222496128x y t t xy yz zx t t t ++==++++12。
6.如图,在直角三角形ABC 中,4,3AC BC ==，D 是斜边AB 上一动点,DE BC ⊥，DF AC ⊥,垂足分别是,E F ，当EF 的长最小时,cos FED ∠= 解：连结CD ，则CD EF =,所以EF 的长最小时即为CD 的长最小，此时CD AB ⊥，于是FED FCD B ∠=∠=∠，所以cos cos BC FED B AB ∠===35。
７。
多项式6431x x x -++被2x x -除的余式是解:64341(1)(1)(1)(1)1x x x x x x x x x x -++=+-++-++,所以余式是+1x 。
8。
已和,,a b c 是互不等的实数,三个方程①20x ax b ++=；②20x bx c ++=;③20x cx a ++=中，①②有公共根p ,②③有公共根q ，③①有公共根r ,则abc = 解:由20p ap b ++=，20p bp c ++=得,()0a b p b c -+-=，∴c bp a b-=-。
同理a c q b c -=-,b ar c a-=-. ∴1pqr =-.又,,p q r 互不相等,如p q =,则,p q ①③的公共根,于是p q r ==，从而1p q r ===-，代入①②③有1,1,1b a c b a c -=--=--=-，三式相加得03=-,矛盾.由上述结论可知,①的两根为,p r ；②的两根为,p q ；③的两根为,q r ． 由根与系数关系，有,,a pr b pq c rq ===，故222abc p q r ==1。
9。
我们有一个结论:对于任何一个正整数n ，若n 是偶数,将其减半；若n 是奇数,将其乘以3加1,不断重复这样的过程，经过若干步后，一定可以得到1。
如正整数6n =,按上述规则变换后，可得一列数:6,3,10,5,16,8,4,2,1。
如果正整数n 按上述变换后的第8个数是1(n 是第1个数,1可多次出现）,则n 的所有可能值的个数是 解：反推∴n 的所有可能值的个数是6.１0。
如图的一个无穷数表，其中2014在表中出现的次数是A CBDFE1 2 4 16 81 2 32 464 108 1 128 21 20 3 16 2 5解:观察知，表中第m 行第n 列的数是1mn +．由12014mn +=得201331161mn ==⨯⨯,m 是2013的正约数,所以(,)m n 有8对，从而2014在表中出现的次数是8. 二、解答题(本大题5小题，共70分)11。
(本题满分12分）已知点(A B ，函数1533y x =+的图象是直线l ,点(,)P a b 在l 上,满足APB ∠是钝角，试求a 的取值范围.解：以AB 为直径作圆，交l 于点,C D ，则点P 在线段CD 上（不含端点).………4分 设点00(,)C x y ,则00220015(1)335(2)y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩…………………………6分 把（1）代入(2）,整理得，220x x +-=,∴2,1x x =-=，……………………………8分 ∴(2,1),(1,2)C D -．故a 的取值范围是21a -<<。
……………12分12。
（本题满分1２分）已知关于x 的函数22(1)3y kx k x k =-+++的图象与x 轴有交点． (1)求k 的取值范围；(２)若函数图象与x 轴有两个不同的交点12(,0),(,0)x x ,且212122(1)34kx k x k x x ++++=.试求k 的值，并根据图象指出当13k x k ++≤≤时，函数的最大值和最小值.解:（1）当0k =时,函数为23y x =-+,图象与x 轴有交点.…………………２分当0k ≠时,图象与x 轴有交点的条件是24(1)4(3)0k k k ∆=+-+≥解得1k ≤。
…………………………………………………………………………分 综上，k 的取值范围是1k ≤．……………………………………………………4分 （2)12122(1)3,k k x x x x k k+++==。
………………………………………………5分 由2112(1)30kx k x k -+++=得，21132(1)kx k k x ++=+， ∴212122(1)34kx k x k x x ++++=可化为12122(1)()4k x x x x ++=………………………………………………………８分l∴2(1)32(1)4k k k k k+++⋅=⋅解得，1k =或2k =-.…………………………………………………………………10分 但1k =时,函数图象与x 轴仅有一个交点,舍去。
2k =-时,函数为22132212()22y x x x =-++=--+，画图可知当1x -≤≤1时,最大值为32，最小值为3-。