高中自主招生数学模拟试题及答案

唐山市 唐山一中 自主招生测试题

一、填空题(本大题共10小题,每小题5分,共5０分)

1.四个实数中，每三个数的和分别为2,4,5,7,则这四个实数的积是

2.若实数a

满足42a a -

+=,则1a a

-的值是

3.如图,三角形ABC 的面积为2,点D 、E 分别在边AB 、AC 上，

,AD AE x y AB AC ==，且1

2y x -=，则三角形BDE 面积的最大值是

4.若关于x 的方程||2||x b a --=有四个实数解，则化简||||||||

a b a b a b

a b a b a b +-+++

+-的结果是

5。若非零的实数,,,a x y z 满足等

式=,则22

x y xy yz zx

+++的值是

6。如图,在直角三角形ABC 中，4,3AC BC ==,D 是斜边AB 上一动点,DE BC ⊥,DF AC ⊥,垂足分别是,E F ，当EF 的长最小时,cos FED ∠=

7。多项式6431x x x -++被2x x -除的余式是

８。已和,,a b c 是互不等的实数,三个方程①20x ax b ++=;②20x bx c ++=;③20x cx a ++=中,①②有公共根p ，②③有公共根q ，③①有公共根r ，则abc =

9．我们有一个结论:对于任何一个正整数n ，若n 是偶数,将其减半;若n 是奇数,将其乘以3加1,不断重复这样的过程，经过若干步后，一定可以得到1．如正整数6n =,按上述规则变换后，可得一列数：6,3,10,5,16,8,4,2,1。如果正整数n 按上述变换后的第8个数是1(n 是第1个数，1可多次出现）

，则n 的所有可能值的个数是

10．如图的一个无穷数表，其中20１4在表中出现的次数是

A D

E

A C

D

F

E

二、解答题（本大题5小题,共７0分）

11。(本题满分1２分)已知点(A B ，函数15

33

y x =+的图象是直线l ,点(,)

P a b 在l 上,满足APB ∠是钝角,试求a 的取值范围.

12.(本题满分12分）已知关于x 的函数22(1)3y kx k x k =-+++的图象与x 轴有交点. （

1)求k 的取值范围；

(２)若函数图象与x 轴有两个不同的交点12(,0),(,0)x x ,且212122(1)34kx k x k x x ++++=。试求k 的值,并根据图象指出当13k x k ++≤≤时，函数的最大值和最小值.

l

13。(本题满分1２分)如图,点D是三角形ABC外接圆上一点,DB的延长线交过点A的切线

于点E。若AB AC

=,AC∥BD

，AE=4

DB=，求FC

的长．

14.(本题满分16分)如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过点B、C作圆的切线交于点P,点Q是BC的中点,求证:AB AQ AC AP

⋅=⋅.

O

１5。(本题满分18分）编号为1,2,,25的25张卡片分别拿在甲、乙两人手中.甲将手中的１５号卡片给乙后,甲手中卡片编号的平均数增加0.25,乙手中卡片编号的平均数也增加0.25，求原来甲、乙手中各有多少张卡片,并写出一种原来甲手中所持卡片的编号数．

试题及解答

一、填空题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)

1.四个实数中，每三个数的和分别为2,4,5,7，则这四个实数的积是 解:这四个实数的和为

2457

63

+++=,所以这四个数分别是62,64,65,67----，即4,2,1,1-,其积是-8． 2.若实数a

满足42a a -

+=,则1a a

-的值是 解:

去分母得242a a -+

，移项得2240a a -+-=．

t =,则方程变为2340t t +-=,∴1t =或4t =-（舍去)。

1=得2210a a --=,所以1

a a

-=2. 3。如图，三角形ABC 的面积为2,点D 、E 分别在边AB 、AC

上,,AD AE x y AB AC ==，且12y x -=,则三角形BDE 面积的最大值是

解:∵(1)(1)2(1)BDE

ABE ABE ABC BD AE

S S x S x S x y AB AC

∆∆∆∆==-=-=- 22119

2(1)()212()248x x x x x =-+=-++=--+,

∴三角形BDE 面积的最大值是

9

8

. 4．若关于x 的方程||2||x b a --=有四个实数解,则化简

||||||||

a b a b a b

a b a b a b +-+++

+-的结果是

解：显然0a ≥。

若0a =,则方程可变为|2|x b -=，方程最多两解,不合题意,所以0a >。 方程可化为|2|x b a -=±.

当b a <时，方程可化为|2|x b a -=+，有两解,不合题意. 当b a =时，|2|2,|2|0x a x -=-=,有三解，不合题意．

当b a >时,|2|,|2|x b a x b a -=+-=-方程有四解,符合题意. 故0b a >>。从而

||1111||||||a b a b a b a b a b a b

a b a b a b a b b a a b

+-+-+++=+++=-++=+-+-2. ５.若非零的实数,,,a x y z 满足等

式=，则22

x y xy yz zx

+++的值是

解：若320x y -=

，则=于是430y z -=; 若430y z -=,

=320x y -=；

若320x y -≠且430y z -≠,则由230(32)0y x a x y ->⎧⎨-⎩≥得0a <;由430

(43)0y z a y z ->⎧⎨-⎩

≥得0a >,矛盾。

A C

D

E