简单线性回归模型

y= β0 + β1 (X1 + X2)+ e F test F(1,T-3, α)
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模型设置

模型选择的三个重要要素 : (1)函数形式的选择 (2)选择包含的解释变数（回归式）的模型。 (3)复回归模型的假设MR1-MR6是否成立。
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R2 （调整后R2 ） 的使用: * 优点: 当变数增加时R2并不会一直上升。 * 缺点: (1)失去原有的解释，即R2不再是被解释的变异百 分比。 (2)此修正后的R2有时会被误用为选择一组适当的 解释变数之方法。 (3)若模型未包含截距项，则衡量的 R2就不适合 了。
SSER-SSEu/J SSEu/(T-K)
J=2 T=观察值个数(100) K=4
F≧ F(J,T-K, α)
2, 96, 0.05
拒绝虚无假设
拒绝虚无假设
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P=P﹝F(2,96) ≧F﹞＜0.05
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虚无假设中不能包含任何「大于」或者「小于」 的假设。 H0: β2=0, β3=0… βK=0 H1: β2 0 或β3 0 ， 或两者都不为零， βK 中 至少有一个不是零 若 J=1， F= T2
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1
简单线性回归模型
Yt = β1+ β2Xt+et et ~N(0,1) 两个分析模型的理由： 解释应变数 (yt) 会如何随着自变数 (xt ) 的改变而 改变。 在 x0已知下预测 y0 。
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2
ˆ y, y , y



但是估计 Y=β0+β1X1+β2X2+β3X3+e --------- (2) Var (b1),Var (b2),Var (b3)在 (2)式中比在(1)式中来 的大。 若X3与X2，X1相关，但是理论上X3不影响Y。
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2. 检定模型是否设置错误: RESET 检定 是否设置错误可用下列问题了解: (1) 是否遗漏重要变数？ (2) 是否纳入重要变数？ (3) 是否选择错误的函数形式？ (4) 是否违背假设？ RESET检定（Regression Specification Error Test） RESET的用意是发现遗漏的变数，以及不正确的函 数形式。
ˆt y e ˆt yt y y
yt y




2
ˆt y e ˆt2 y


2
总平方和 (SST)
可解释的平方和 (SSR)
误差平方和 (SSE)
SST = SSR + SSE
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3
SSR SSE R 1 SST SST
Var(X1)
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若估计出的方程序有出现未预期，或大小不符 现实的系数时，造成这些怪异结果的一个可能 原因就是遗漏了重要的变数。 T检定或F检定这两种显着检定可以评估是否一 个变数或一组变数包含在一个方程序中。
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包含截距项的系数个数 2 X JB＞ n , 拒绝常态分配 P＜0.05 拒绝 Ho
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复回归模型


y=1+ 2X+3Z 理论模型 解释 β1 , β2 , β3 Model: y=E(y)+et= 1+ 2X+3Z +et 假设: (1) E(et)=0 (2) Var(et)=σ2 (3) Cov(et,es)=0 (4) et~N(0, σ2)
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简单线性回归的相关分析
(1) r2 = R2, r = Cov(X,Y) / Var( x)Var( y) = ( X t X )(Yt Y )
2 2 ( X X ) ( Y Y ) t t
举例来证明r2=R2
ˆ )的相关系数 = r (2) R2=(Yt, Y t
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假设: Y=β0+β1X1+β2X2+e ˆ =b0+b1X1+b2X2 Y ˆ Y=β0+β1X1+β2X2+r1 2+e -------- (1) Y Y=β0+β1X1+β2X2+r1 2+Y r ˆ2 3+e ˆ -------- (2) Y (1) 检定 H0: r1=0 H1: r1≠0 (2) 检定 H0: r1= r2=0 H1: r1≠0 或 r2≠0 拒绝 H0 表示原始的模型不适当，且可以改进。 无法拒绝 H0 表示此检定没有发现任何设置错 误的情况。 只能告诉模型不好，不能告诉模型是好的。
R2 = 0.317
( t)
wenku.baidu.com
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选择函数形式

简单线性回归模型指的是参数不会相乘、相除、 平方、立方等。 满足SR1 SR5 简单线性回归模型 转换（Transformation） (1)变数间的线性关系 : β2 = 斜率（slope） (2)倒数（Reciprocal）:
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残差为常态分配吗？
1.平均值→0 2.杰古贝尔检定（Jarque-Bera test for normality），用来检定常态性。 Ho : 常态， H1 :非常态 若 P＞α 无法拒绝虚无假设
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JB值
JB =
T 2 (k 3) 2 S 6 4
T: 观察值的个数 S: 偏态（skewness） k: 峰态（ kurtosis） Ex: T=30，S=0.3156，K=4.6071 JB=3.72648 JB ﹤ 5.99 = 22, 0.05
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Ho：常态分配（Normal distribution） 2 X JB ＜ n , 常态分配
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复回归模型的进一步推论



受限制的最小平方 单一参数 t 检定 联合虚无假设 F 检定 F检定的基础是在于比较原始且未受限制之复 回归模型的误差平方和，以及认为虚无假设为 真时的回归模型之误差平方和 。
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例: y=α0 +α1 X1 +α2 X2+ α3 X3 + e H0: α2 = α3 = 0 即 y= α0 +α1 X1 + e F=


必须注意，有两种可能的原因，不拒绝虚无假 设的结果。 (1)对应的变数不会影响 y ，且可以排除在模 型之外。(但是结果不能拒绝虚无假设) (2)对应的变数对于纳入模型来说是很重要的， 但因资料不够充分而无法拒绝 H0 。
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1.P(无法拒绝 H0 │虚无假设为真) Accept H0 => 不显着系数
2
R2
= 判定系数
0 < R2 < 1 越接近1越好
若 R2 = 1:表示回归模型「完全地」配合这份资料。 R2 = 0:表示y 与 x 的样本资料并不相关，而且 未显示任何的线性关系，则最小平方配 适线为「水平的」。
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注: 是一个叙述性的衡量值。它本身并不能衡 量回归模型的品质，只着重将R2最大化的回归 决策并非好方法。 解释: R2=0.32 表示 Y的变异中有 32% 可以 用X的变异来解释，或是说回归模型可以解释 32% Y的变异，剩下 68%的变异无法解释。 这样的R2看起来很低吗? 不，在使用横断面资料的回归研究，以不同时 点观察同一个体或其他经济行为的样本时，是 很具有代表性的。

1.散布（plot） 2.模型Yt=β1+β2 Xt+et 3.估计 时间 4.预测 5.残差分布 → 检查是否为常态分配?
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其他形式 Yt=β1+β2Xt3+et Zt3=Xt3/1000000 ˆ Y =0.874+9.68 Zt3 R2=0.751 R2↑ Notice : 残差方式也有许多其他的不足之处，例 如有被忽略的变数，异质变异性 （heteroskedasticity），自我相关 （autocorrelation） 错误建立回归模型。
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误差为常态分配之最小平方估计式的性质
*
Z t bK K Var (b K ) bK K ˆ(b K ) Va r ~ N (0,1) ~ t (T K )
K:未知系数项的个数
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衡量配适度

SSE SST

R2 =1-(SSE/SST) R2 的一个难题 R2 的难题是若加入越来越多的变数，会变的很 大，即使这些加入的变数在理论上不具任何适 当性。 若模型中包含 T-1 个变数，则 R2 =1 SSE / T K 2 R =1SSTT 1 其中，T代表观察数目 K代表变数个数
2 yt y ˆt
举例来证明r2 = r
2 yt y ˆt
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报告回归结果
ˆ t = 40.7676 + 0.1283 X R2 = 0.317 y t
(22.1387) (0.0305) (s.e)
或
ˆt y
= 40.7676 + 0.1283 Xt
(1.84) (4.20)
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最小平方估计式的变异数与共变数

(1) σ2 Var(b2) 越不精确 (2)T Var(b2) 越精确 (3)Var(X2 ) Var(b2) 越精确 (4)Cov(X2 , X3 ) Var(b2) 越不精确
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注意若模型为:
y= β0 + β1 X1 + β2X22+ e dX2 = 2β2X2 隐含 X2对每个y有不
dy
dy dX1
同程度的影响
= β1
X1对于所有的 y的影响都相同
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其他例子
y= β0 + β1 X1 + β2X2+ e H0: β1=β2 H1: β1β2
厦门大学财政系研究生课程 课程名称：应用计量分析在公共财政领域的 应用 授课老师：黄智聪
授课内容： 简单线性回归模型：报告结果 与选择函数造型
参考书目：Hill, C. R., W. E. Griffiths, and G. G. Judge, (2001), Undergraduate Econometrics. New York: John Wiley & Sons
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给定一个模型，使其误差项具有下列性质： 1. E(et)=0 2. Var (et)=σ2 3. Cov(ei,ej)=0 4. et~N(0, σ2) 运用其他函数形式来进行回归分析。
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选择函数形式：实证议题
技术的改变
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1. 遗漏以及不相关的变数 例: y= β0 + β1 X1 + β2X2+ e 假设我们漏了 X2,以下列式子进行回归分析： y= β0 +β1*X1 + e 若 Cov(X1 ,X2) 0 则β1* β1 我们得到非常强的虚无假设， β2=0 。 然而，Cov(X1 ,X2)=0 的情形非常少见 Cov(X1, X2) E(b1*)=β1+β2


2.P(无法拒绝 H0 │虚无假设不为真) 如果因为不显着就去除此变数，要小心喔！ 我们可能会排除一个不相关的变数，但也可能 造成剩余的系数估计值会产生遗漏变数的偏误。
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所以 ，尽可能在模型中纳入最多的变数? Y=β0+β1X1+β2X2+e <= true model --------- (1)