第六章质点系动力学B

ar
矢量式
aC 2
( e) maC FR
解：取板和小车为研究对象，受力分析 Fx 0
maCx 0
m1aC1 m2 aC 2 0
aC 2 m1ar m1 m2
m1 ( ar aC 2 ) m2 aC 2 0
问题：能否求出作用在小 车上每个轮子的摩擦力？
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BUAA
作业：6-4、6-5、6-6
二、变质量质点运动微分方程
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BUAA
§6-1 动量定理
主要研究：有质量并入或分出时，质点的动力学问题。
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应用动量定理的积分形式
§6-1 动量定理
t 时刻
z
t t 时刻
pt pt
2 1
I
i 1
n
m v 存在 , t t dv dm (e) m FR (t ) (u v) dt dt
m
u
o
m
y
v
x
取：m 为动系 ∆m 为动点
vr u v
dv (e) dm m FR vr dt dt
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变质量质点运动微分方程
dv dm (e) m FR vr dt dt
m m0 qt
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u F
y x
§6-1 动量定理
解：受力分析与运动分析
dv dm m F mg FN F f (u v ) dt dt dv dm x : m F Ff ( v ) (1) dt dt dm y : 0 mg FN ( u ) ( 2) dt
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来自百度文库
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心的加速度。
§6-1 动量定理
例：质量为 m的均质杆AB用两根等长的弹性绳吊在天花板上， 如图所示。若将弹性绳BD剪断，求剪断后的瞬时，AB杆质
maC mg FAD
FAD
D
FBD
mg FAD FBD 0
FAD FBD mg 2 sin
A
FAD
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一个力 F 使其以匀速
§6-1 动量定理
例：设长度密度为 的链条堆放在地面上，其上一端作用有
v 提升，求链条被提起的长度为y时力
F 的大小（设未被提起的链条对提起部分没有作用力）。
F
v
y
解：取提起部分的链条为研究对象
g
dv dm vr m F mg dt dt dm ( vr ) y : 0 F mg dt
dv dm mg vr vr : 2 ~ 3km/s dt dt m0 dv dm 10 ( vr ) m mg m dt dt dm ln 10 2.3 dv gdt vr m m0 v v0 g v r ln m
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求导得： l
xx x2 R2
(3)
由（1、2、3）求得： x x 2 R 2 xR
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y’
方法三：求滑块的速度 动点： 滑块A

vr
θ
动系： ox’y’,x’轴平行于绳
运动分析 绝对运动： 直线运动 相对运动： 直线运动 牵连运动： 定轴转动
m y, vr v
0 F yg v 2 F yg v 2
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vr
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§6-1 动量定理
例：装料箱的质量为 m0 在水平常力 F 的作用下沿水平滑道运 动，初始速度为 v0 ，箱体与滑道的动滑动摩擦因数为 f ，沙石 以速度u 铅垂落入箱内，单位时间装入箱内的石料为 q(kg/s) ， 装料时间为T。求箱体在装料过程中的速度与时间的关系式。 u F v0
y O
A

u
B
x
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x sin b cos R 0
b sin 0 x v A x sin x cos
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思考题：曲柄滑块机构如图所示，在图示瞬时滑块的速度为u， 若以OA杆为动系，滑块B为动点，求该瞬时滑块的相对速度。
va
x’
ve
v e x
速度分析
va ve vr
) R vr (
R sin x R sin
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y : 0 ve vr sin x: x va vr cos
( ) R sin x
x x 2 R 2 xR
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思考题：求右图机构中θ=450时滑块A的速度和加速度
1、求速度
v A cos vB R
v A R / cos 450
2、求加速度
vB vA
θ
0 v A cos v A sin
b R cos tan x R sin
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§6-1 动量定理
例题：质量为m的均质塔轮放在光滑的水平面上，其上绕有绳 索（相对塔轮无滑动），绳索上作用有力（如图所示）。试确 定哪个塔轮的质心加速度最大，哪个质心加速度最小。 F F
2F
F A
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B 最大
C 最小
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§6-1 动量定理
例：小车的总质量为m1，可在质量为 m2 的水平板上运动，板 可在光滑的水平面上运动。初始时，系统静止。若小车相对板 以加速度 ar 运动，求板移动的加速度a。
m (v u ) m v m v FR( e ) (t * ) t
m v v (e) * (v u) m m FR (t ) t t t
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当 t 0 :
§6-1 动量定理
t 时刻
z
m v v (v u) m m FR( e ) (t * ) t t t
(e) i
F
t1
t2
m
(e) R
dt
x
u
o
m
y
v
v v
m m
pt1 pt m v m u ,
pt2 pt t ( m m )( v v )
(e) * pt t pt (m m)(v v ) mv mu FR (t )t , t * (t , t t )
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方法二：求滑块的速度 lt1 l Bt1 P BBt1
t1
BBt1 Rt ,
Bt P R(t )
1 1
lt1 l Rt R ( t1 )
由几何关系： x cos R
l R x
2 2 2
(1) 0 l R R x R x (2) 求导得： 2 2 x tan x x R
x
x2 R2 R x x 2 4 R x
x ( x 2 R 2 )2
m x Fx
m x F cos
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( x 2 R 2 ) 2 xx 3 2 2 R 2 xx 2x x
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mg
ma F FN mg F cos mg x : m x
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sv0 ss x x x 2 2 v0 l ax x 3 x x ay y 2 2 v0 l az z ax 3 x
将其代入（1）得：
v mg FN Ff
F f FN f
dm 由（2）得：F f f mg u dt dv dm dm v F f mg u m dt dt dt
m m0 qt
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d ( mv ) F f ( m0 qt ) g uq dt
§6-1 动量定理
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§6-1 动量定理
例：设火箭初始质量和速度分别为 m0 , v0 ，喷出燃气的相对 速度为 vr（常量），燃烧时间为 ，燃烧后火箭的质量为 m 求火箭燃烧完瞬时的速度 v （不计空气阻力，重力为常力）。
v
y
解： m
y:
mg
O
vr
x
用一级火箭不可能达到第一宇宙速度
D
A

C
B
g aC 2 sin

C
B
mg
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问题：如果弹性绳换成不可伸 长的绳，上述结论是否正确？
mg
aC
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习题5－10：求滑块A的加速度绳索的拉力。
解：根据几何关系有：
Fv A
FN
s2 l 2 x2
上式两边求导得：
v0
s
2 xx 2ss
v0 ) ( s
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习题5－11：已知圆盘的角速度和半径，求图示位置绳索的拉力 求力→求滑块的加速度
F
FN
求加速度→求滑块速度 或运动方程
vB v A cos
mg
x2 R2 vA cos x x 2 R 2 Rx x
2 ( x2 R2 ) 2R2 x2 x