易拉罐最优设计

易拉罐形状和尺寸的最优设计

摘 要

本文研究的是易拉罐形状和尺寸的最优设计。

对于问题1我们利用游标卡尺对饮料量为355毫升的蓝带“纯爽”牌啤酒的易拉罐

划模型，目标函数关系式为：

22123min 2S w R w RH w R πππ=+⋅+

得到高与半径比为： 3.476H R =

与我们所测量的尺寸（559.351

.3328.119=）比较接近，其结果可以合理地说明我们所测量的易拉罐的尺寸，但不能说明其形状。

对于问题3在圆台上底面半径一定的情况下，形状为黄金分割比且用铝量最小是它的最优设计，建立目标函数关系式：

()2223221min 2S R r l R Rh r πωπωπωπω=++++

得到高与半径之比为： 12 3.417h h R +=

其结果从形状和尺寸都能比较合理的说明我们所测量的数据。

对于问题4我们将开口设计成为旋合式瓶盖，并且得到一组新的尺寸，虽然成本可能偏高，但它比现有易拉罐更为方便和卫生。

最后我们通过做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验写下了自己的感受。

关键词：易拉罐 规划模型 黄金分割 Lingo

一、问题的提出

我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。对于易拉罐的形状和尺寸的最优设计我们提出了以下问题：

1. 取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。

2. 设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。

3. 设易拉罐的中心纵断面如图（1）所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体，什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。

4. 利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。

5. 用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，你们的论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。

二、模型假设

1、假设易拉罐的各个组成部分是同一种材料；

2、假设每种相同规格易拉罐的顶部、壁、底部的厚度都相同。

三、符号说明

H ：正圆柱体易拉罐罐身的高

'H ：正圆台和正圆柱体结合的易拉罐罐身的高

1h ：易拉罐的圆台部分的高

2h ：易拉罐的圆柱部分的高

其中：'12H h h =+

R ：易拉罐的圆柱部分的半径

r ：易拉罐的圆台上底面的半径

l ：易拉罐的圆台的母线长

S ：制作易拉罐所需要的铝的总体积数

V ：铝制易拉罐的实际容积

1ω：铝制易拉罐的顶部厚度

2ω：铝制易拉罐的壁厚

3ω：铝制易拉罐的底部厚度

四、问题分析

对于问题1：我们利用游标卡尺，对净含量为355毫升的蓝带原厂出品的纯爽啤酒的易拉罐（图2）进行了各部分（如直径、高度，厚度等）尺寸的测量

对于问题2：在实际生活中，经营者总是考虑成本最低，这就要求在易拉罐的设计中要使其用铝量最小。在选择厚度时，我们已经假设每个易拉罐各个部分的厚度都与我们测量的值相同，于是我们可以比较容易得出顶盖体积、底盖体积和罐壁体积。因此我们可以利用规划模型来解决用铝量（铝所消耗的体积）最小这一目标函数。

对于问题3：我们对易拉罐的罐身进行观察和分析得到，罐身上面的圆台部分有2个作用：

1. 增强易拉罐整体的强度。

2. 由于易拉罐顶盖的材料较贵，使用圆台以减少顶盖的面积，从而节省成本。 由以上两点我们得出一个关于求解最少用铝量的函数。但在计算的过程中发现2个问题。其一，只有顶盖的面积为零时，才有最优解，然而实际上顶盖必须有一定的面积用于安置饮用口和拉环。其二，圆台高度过高，这样就无法达到增加强度的作用，且不够美观。为此我们再引入2个限定量：

1. 限定圆台上底面的半径r 大于某一值。

2. 引入黄金分割来限定罐身圆柱部分高度与其半径之比。

表1

我们从这张表格就能很清楚的看出铝制易拉罐的优劣了，但是当今随着社会的繁荣，人们对物质的要求已经不仅仅停留于吃的饱穿的暖了，而更多的应该体现在罐装饮料的方便性和卫生性，所以我们争对这两个缺点对易拉罐进行重新的设计，将整个铝罐的圆台部分进行延长，使得端口如普通塑料瓶口一样。不过无论如何设计产品，成本仍然是放在首位的，所以我们的目标函数依然不变，相对的约束条件就必须重新给定，以此来对整个铝罐尺寸进行设计。

五、模型建立

对于问题2，根据问题1测量得到的厚度数据，我们建立如下模型：

221232S R RH R ωπωπωπ=⋅+⋅+⋅ （1）

而（1）式也正是我们第2问的目标函数，问题2的规划模型为：

22123min 2S R RH R ωπωπωπ=⋅+⋅+⋅ （2）

2.. s t V R H π= （3）

对于问题3，建立使易拉罐用铝量最省的规划模型：

()2223221min 2S R r l R Rh r πωπωπωπω=++++ （4）

()22212.. 3s t V h R Rr r R h ππ=++÷+ （5）

l =（6）

r R < （7） 2 1.6180342h R

= （8） 对于此模型，求解的结果我们可以预见到，因为顶盖的厚度要比壁的厚，所以为达到目标函数用铝体积最小，罐身圆台的上底面将会缩减成一个点。这和实际的产品是不相符合的，这里缺少一个使得圆台的上底面变大的方程，而且我们认为这应该是加工圆台的侧面比较昂贵所产生的结果，所以我们这里假定要使得开启方便且圆台侧面加工费用较少，那么上底面r 的值要大于28.98mm 。

对于问题4，首先建立一个与问题3类似的目标函数，又因为我们是要在铝罐上安装一个瓶盖，所以我们先假设一个口径，通过对部分塑料瓶的口径测量，我们将铝罐的直径定为30mm 。但是由于我们要将铝制瓶罐进行整体处理，所以这里先舍去从黄金分割的角度考虑，直接利用体积一定以及圆台上底面半径为15mm 进行约束求解。

六、模型求解

表2 图2直观地表示出易拉罐形状和尺寸