第三章稳态误差分析
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稳态误差的计算_图文(精)
ess 与输入和开环传递函数有关。 显然， 假设开环传递函数 Gk (s) 的形式如下：
K Gk ( s ) s
2 ( s 1 ) ( s i k 2 k k s 1) 2 ( T s 1 ) ( T s j l 2 lTl s 1) j 1 l 1 i 1 n1 k 1 n2 m1 m2
R(s)
E ' (s) E (s) H (s)
E’(s) 1/H(s)
N(s)
C(s)
e(t)
E(s)
+
B(s)
式中： r(t)为给定输入； 图 典型反馈系统结构图 b(t)为系统主反馈信号。 H （ s ）是测量装置的传递函数（通常我们认为是理想的）， 故此时误差就是给定输入与测量装置的输出量之差。 误差的定义
s 0
当 0时，K v lim sKG0 ( s ) 0 ,
s 0
当 1时，K v lim KG0 ( s ) K , s 0 K 当 2时，K v lim G0 ( s) , s 0 s 结论：
0型系统稳态时不能跟踪斜坡输入
ess 1 ess K ess 0
单位阶跃函数输入时的稳态误差
1 当输入为 R ( s ) 时（单位阶跃函数） s sR(s) 1 1 1 ess lim s 0 1 G ( s) 1 lim Gk (s) 1 lim K G (s) 1 K p k s 0 0 s 0 s 式中：K p lim Gk ( s ) 称为位置误差系数； s 0 1 当 0时，K p lim KG0 ( s ) K , ess s 0 1 K K 当 1时，K p lim G0 ( s ) , ess 0 s 0 s K p 的大小反映了系统在阶跃输入下的稳态精度。 K p 越大，ess 越 小。所以说 K p 反映了系统跟踪阶跃输入的能力。
第三章 稳态误差分析
Friday, October 24, 2014
11
一般方法的步骤: ①判定系统的稳定性（对于稳定系统求ess才有意义）；
②按误差定义求出系统误差传递函数 E ( s)或 NE ( s) ；
s[ E ( s) R( s) NE ( s) N ( s)] ③利用终值定理计算稳态误差 ess lim s 0
（2）若减小扰动产生的误差，应增大放大环节系数K1，当K1 增大时ess减小。
Friday, October 24, 2014
23
（3）
R( s ) E ( s )
-
+
D( s)
K2 s4
Y ( s)
K1
1s
K1 K 2 K2s Y ( s) R( s ) D( s ) s( s 4) K1 K 2 s( s 4) K1 K 2
t
系统稳态误差：当t→∞时的系统误差，用 ss 表示。即
由系统输出端定义，它定义为系统输出量的希望值与输 出量的实际值之差。这种方法定义的误差，在性能指标提法 中经常用到，但在实际系统中有时无法测量，因而只有数学 意义。
Friday, October 24, 2014 3
系统偏差：系统的输入 r (t ) 和主反馈信号 b(t ) 之差。即
E ( s) G2 ( s) H ( s) NE ( s) N ( s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
③ 给定和扰动同时作用下的偏差表达式
E (s) E (s) R(s) NE (s) N (s)
1 G2 ( s) H ( s) R( s ) N ( s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
稳态误差分析
s→ 0
令
K a = lim s 2G ( s ) H ( s )
s→0
K a 静态加速度误差系数
Static acceleration error constant
0 K a = K ∞
ν = 0,1 ν =2 ν ≥3
ν = 0,1 ∞ a 0 ν =2 ess = = const K ν ≥3 0
G2 ( s ) N ( s) 1 + G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
Cn ( s ) = Φ N ( s ) N ( s ) =
系统的理想输出为零 终值定理
扰动产生的输出端误差信号
(3-92)
G2 ( s ) En ( s) = 0 − C n ( s) = − N ( s) 1 + G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
• 位置误差系数
K p = lim G0 ( S )
s →0
• 速度误差系数
K v = lim sG0 ( S )
s →0
• 加速度误差系数
K a = lim s G0 ( S )
2 s →0
稳态误差、 稳态误差、静态误差系数与输入信号关系表
例3-10 一单位负反馈控制系统，若要求： 一单位负反馈控制系统，若要求： 跟踪单位斜坡输入时系统的稳态误差为2 ⑴跟踪单位斜坡输入时系统的稳态误差为2。 设该系统为三阶， ⑵设该系统为三阶，其中一对复数闭环极点为 − 1 ± j1。 求满足上述要求的开环传递函数。 求满足上述要求的开环传递函数。 根据⑴ 根据⑴和⑵的要求，可知系统是Ⅰ型三阶系统，因 的要求，可知系统是Ⅰ型三阶系统， 解： 而令其开环传递函数为 K G(s) =
2.静态误差系数法 静态误差系数法
令
K a = lim s 2G ( s ) H ( s )
s→0
K a 静态加速度误差系数
Static acceleration error constant
0 K a = K ∞
ν = 0,1 ν =2 ν ≥3
ν = 0,1 ∞ a 0 ν =2 ess = = const K ν ≥3 0
G2 ( s ) N ( s) 1 + G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
Cn ( s ) = Φ N ( s ) N ( s ) =
系统的理想输出为零 终值定理
扰动产生的输出端误差信号
(3-92)
G2 ( s ) En ( s) = 0 − C n ( s) = − N ( s) 1 + G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
• 位置误差系数
K p = lim G0 ( S )
s →0
• 速度误差系数
K v = lim sG0 ( S )
s →0
• 加速度误差系数
K a = lim s G0 ( S )
2 s →0
稳态误差、 稳态误差、静态误差系数与输入信号关系表
例3-10 一单位负反馈控制系统，若要求： 一单位负反馈控制系统，若要求： 跟踪单位斜坡输入时系统的稳态误差为2 ⑴跟踪单位斜坡输入时系统的稳态误差为2。 设该系统为三阶， ⑵设该系统为三阶，其中一对复数闭环极点为 − 1 ± j1。 求满足上述要求的开环传递函数。 求满足上述要求的开环传递函数。 根据⑴ 根据⑴和⑵的要求，可知系统是Ⅰ型三阶系统，因 的要求，可知系统是Ⅰ型三阶系统， 解： 而令其开环传递函数为 K G(s) =
2.静态误差系数法 静态误差系数法
自动控制理论第11讲 稳态误差分析
E(s) R(s) B(s) R(s) C (s) H (s)
稳态误差：一个稳定系统经过足够长的时间后其暂态响应已 衰减到微不足道，稳态响应的期望值与实际值之间的误差。 稳态误差定义为：
ess lim et
t
稳态误差不仅与其传递函数有关，而且与输入信号的形式 和大小有关。 说明：误差产生的原因是多样的，我们只研究由于系统 结构、参量、扰动信号以及输入信号所引起的误差。
1 e ss lims R(s) lims s0 1 G(s)H(s) s0 1
CHANG’AN UNIVERSITY
1 4 0.2 3 20(0.5s 1) s s 2 (0.05s 1)(0.2s 1)
长安大学电子与控制工程学院
自动控制理论
第三章 线性系统的时域分析
s 0
K p1 lim G 1 (s)H 1 (s)
s 0
K v1 lim sG 1 (s)H 1 (s) 10
1 R (s ) s
1 R (s) 2 s
(0.5s 1)(0.04s 1) 1 1 esr lim s s 0 (0.5s 1)(0.04s 1) 20 s 21
(0.5s 1)(0.04s 1) 1 esr lim s 2 s 0 (0.5s 1)(0.04s 1) 20 s
s 0
静态速度 误差系数
单位抛物线输入
esr lim s
s 0
R (s)
1 s3
1 1 1 1 1 G ( s ) H ( s ) s 3 lim s 2G ( s ) H ( s ) K a
s 0
静态加速度 误差系数
3.6 稳态误差
Er (s) e (s)R(s)
单位负反馈时:误差Er
(s)
偏差
(s)=
1
1 G(s)
R(s)
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扰动作用下的误差En(s)
控制器
N(s)
R(s) G1((ss))
C(s)
G2(s(s)) •
H (s)
系统对扰动期望输出为零，扰动产生的输出端误差信号为
第三章 线性系统时域分析法
3.6 线性系统的稳态误差
3.6 线性系统的稳态误差
控制系统的性能
动态性能 稳态性能
稳态误差 ess
3.6 线性系统的稳态误差
• 由参考输入信号r(t)和扰动信号f(t)引起的稳态误差又称原理性 误差。 另外，制造误差、参数变动、非线性因数都可引起稳态误差。
本节只讨论系统原理性误差。 • 无差系统:在阶跃输入作用下没有原理性稳态误差的系统有差
误差：一般采用在输出端定义的误差，即期望输出与 实际输出之差
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被控量的期望值Cr(t)
R(s)
(s) G(s)
C(s)
可知，框图中，偏差不为0 时，偏差产生作用，使得输出 量趋于期望值
H (s)
当 (s)
0时，C(s)
Cr (s)
1 H (s)
R(s)
可得对应等效框图中，误差位置：
R(s)
1
Cr (s) E(s)
H (s)
H (s)
C(s)
G(s)
误差和偏差的关系
E(s) Cr (s) C(s) 1 R(s) C(s)
稳态误差分析与补偿
稳态误差分析与补偿稳态误差是指系统在稳态工作状态下与理论值或期望值之间存在的差异。
在实际工程应用中，稳态误差常常会对系统的性能产生重要影响。
因此，对稳态误差进行分析和补偿是提高系统性能的重要一环。
一、稳态误差的定义与分类稳态误差是系统在输入信号为稳定时，输出信号与理论值之间的差异。
根据误差来源和误差特性，稳态误差可分为常数误差和非常数误差两类。
1. 常数误差：常数误差是指当输入信号为稳定时，系统输出与理论值之间存在的恒定差异。
常数误差通常由系统的基本结构和参数所决定，例如静差、零点误差等。
2. 非常数误差：非常数误差是指当输入信号为稳定时，系统输出与理论值之间存在的变化差异。
非常数误差通常由系统的非线性、时滞、动态过程等因素所引起，如滞后误差、超前误差等。
二、稳态误差分析方法对于稳态误差的分析，常用的方法包括数学建模、系统辨识和试验分析等。
1. 数学建模：通过建立系统的数学模型，可以对系统进行各种误差源的分析与计算。
数学建模可以通过从理论上推导系统的输出与输入之间的关系，并将各种误差源考虑在内，从而得到稳态误差的表达式。
2. 系统辨识：系统辨识是利用系统的输入输出数据来估计系统的参数和结构特性的过程。
通过对输入信号和输出信号进行采样和处理，可以实现对稳态误差的辨识，从而得到系统的误差模型。
3. 试验分析：试验分析是通过实验手段来测量和分析系统的稳态误差。
通过在实际工程中进行试验，在不同的工况下对系统进行测量和观察，从而获得系统的稳态误差数据，并进行分析和评估。
三、稳态误差补偿方法针对稳态误差，可以采取多种补偿方法来提高系统的性能。
1. 反馈控制补偿：通过引入反馈控制，利用系统输出与理论值之间的差异作为控制信号，调整系统的输入或参数，以使稳态误差最小化。
反馈控制补偿常用于控制系统中，例如比例积分控制器（PID控制器）就是一种常用的反馈控制补偿方法。
2. 前馈控制补偿：前馈控制是指在系统中引入预先估计的输入信号，以抵消系统的稳态误差。
《自动控制原理》第三章 35 稳态误差计算
两种定义的联系： E ' ( s ) E ( s ) H (s)
H ( s ) 1时， E ( s ) E ' ( s )
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
3
1. 误差与稳态误差的定义…
e(t ) L1[ E (s)] L1[e (s) R (s)] L1[ R (s) ] 1 G(s)H (s)
3-6 线性系统的稳态误差计算 （Steady-state error）
稳定性 系统性能 动态性能
稳态性能 稳态误差
稳态性能
原理性误差 结构性误差 (附加稳态误差）
系统结构 输入类型、形式 摩擦，间隙 死区等非线性
能源与动力学院
第三章 线性系统的时域分析法
1
3-6 线性系统稳态误差计算
本节内容：
N(s)
C(s)
G2 (s)
H (s)
输出端误差定义
E'n
(s)
Cn(s)
G2(s)
1G1(s)G2(s)H(s)
N(s)
输入端误差定义
En(s)
Cn(s)H(s)
G2(s)H(S) 1G1(s)G2(s)H(s)
ets (t ) ess (t ) 稳态误差
ess ( )
Lim
s0
sE (s)
Lim
s0
1
sR (s) G(s)H
(s)
ess():终值误差 条件s： E(s)在右半平面及析 虚（ 轴原 上点 解除外）
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
4
1. 误差与稳态误差的定义…
例1
R(s) E(S)
误差与稳态误差的定义 系统的类型 输入作用下稳态误差计算 扰动作用下稳态误差 减小或消除稳态误差的措施
稳态误差分析.ppt
sGK
(s)
令：Kv
lim
s0
sGK
(s)
Kv 称为为系统的静态速度误差系数，于是系统在单位斜坡函数作用 下的稳态误差为：
1 ess Kv
0，即0型系统，Kv
lim
s0
sGK
(s)
lim
s0
s
K s
G0 (s) 0 ess
1 Kv
1,
即1型系统，K v
(s)
lim
s0
s2
K s
G0 (s) K
ess
1 Ka
1 K
（4）输入信号为单位阶跃、斜坡、加速度信号时的稳态误差
设输入信号为
r(t) 1 t 1 t 2 2
R(s)
1 s
1 s2
1 s3
利用线性系统的叠加原理，可得系统的稳态误差为
ess
1 1 Kp
1 Kv
lim s0
sE(s)
4．稳态误差分析
设系统开环传递函数如下，并表示为归一化（时间常数）形式
G(s)
b0sm a0sn
b1sm-1 a1sn-1
bm-1s bm an-1s an
K
(1s
1)(
2 2
s2
2
2
2s
1)
s (T1s 1)(T22s2 2T22s 1)
lim
s0
sGK
(s)
第三章 控制系统的时域分析—5稳态误差
m
∏(Τ s + 1)
i =1 i
j =1 n
=0
1 ess = =∞ Kv 对于1型系统 ν 型系统， 对于 型系统， =1
Kv = lims ⋅
s→0
K∏(τ j s + 1) s∏(Τ s + 1) i
i =1 j =1 n−1
m
=K
2012年5月20日10时10分
1 1 ess = = Kv K
上式是确定给定稳态误差的一个基本公式。 上式是确定给定稳态误差的一个基本公式。 它表明，在给定输入作用下， 它表明，在给定输入作用下，系统的稳态误差与 系统的结构、参数和输入信号的形式有关， 系统的结构、参数和输入信号的形式有关，当系 统给定输入的形式确定后， 统给定输入的形式确定后，系统的稳态误差将取 决于以开环传递函数描述的系统结构。 决于以开环传递函数描述的系统结构。
2012年5月20日10时10分 5
系统误差与作用误差之间的关系： 系统误差与作用误差之间的关系：
E(s) ε (s) = H(s)
可见， 可见 ， 两种定义对非单位反馈系统是存在差 异的， 异的 ， 但两种定义下的误差之间具有确定的 关系， 即误差ε(s)可以直接或间接由 可以直接或间接由E(s)来确 关系 ， 即误差 可以直接或间接由 来确 从本质上看， 定 。 从本质上看 ， 它们都能反映控制系统的 控制精度。 控制精度。
称为给定输入作用下系统的误差传递函数。 称为给定输入作用下系统的误差传递函数。 给定输入作用下系统的误差传递函数 应用拉氏变换的终值定理可以方便地求出系 统的稳态误差。 统的稳态误差。
2012年5月20日10时10分 9
1 ess = lim e(t ) = lim sE(s) = lim s ⋅ ⋅ R(s) t →∞ s→0 s→0 1+ G(s)H(s) 1 = lim s ⋅ ⋅ R(s) s→0 1+ G开(s)
《自动控制原理》第三章-3-5-稳态误差计算
伺服电动机
R(s)
E(s)
1
C(s)
-
s(s 1)
K 1, 1
r(t) 1(t),k p , ess 0
r(t) t, kv 1, ess 1
r(t)
1 2
t2, ka
0, ess
位置随动系统
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
14
4.扰动作用下稳态误差
R(s)
-
E(s)
R(s) E(s) 20
s4
N (s)
+
2
C(s)
s(s 2)
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
28
3-20
R
-
K1
U
K2 S(T1S 1)
C
G(s)
K1K 2
B
s(T1s 1)(T2s 1)
1 T2S 1
(s)
C(s) R(s)
T1T2 s 3
K1K2 (T2s 1) (T1 T2 )s2 s
1
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
7
3.输入作用下稳态误差计算
（1）阶跃作用下的稳态误差
r(t) R 1(t), R(s) R s
ess
Lim sR(s) s0 1 G(s)H (s)
Lim s1R(s)
s0
K Lim s
s0
1
R LimG(s)H (s)
Lim s R
s0
K Lim s
27
参考答案: Kp= ,kv=5,ka=0,essr=0.4，essn=-0.2
四、控制系统如图, r(t) 1 2t, n(t) 1(t), 试计算
第三章(4)系统的稳态误差
ess
lim sE(s)
s0
lim s0 1
sR(s) H (s)G(s)
结构形式
公式条件： sE(s) 的极点均位于S左半平面.
计算步骤: 1.计算系统误差表达式;
如何计算稳态误差？ 终值定理的条件是什么？
2.利用终值定理计算稳态误差.
三、稳态误差与系统输入信号及结构、参数的关系
1、什么是系统的类型？与系统的阶数有什么不同？ 2、什么静态位置、速度、加速度误差系数？ 3、系统结构、参数如何影响系统的稳态误差？
C(s) (1 Kd S)n2 1
S 2 2n S n2
S2
R(s)
E(s) R(s) C(s)
1 Kds
—
1
(1 K d S ) n 2
S 2 S 2 (S 2 2n S n 2 )
S 2 2n S K d n 2 S S 2 (S 2 2n S n 2 )
eSS
lim
ess ()
ess
lim e(t )
t
lim sE(s)
s0
R(S )
N (S ) E(S ) G1（S）
G2(S） C(S )
H（S）
3、系统的稳态误差：
1）设N（S）=0， 以R为输入，E为输出
RE
(S )
1
1 G1G 2 H
2）设R（S）=0，以N为输入，E为输出
NE (S )
G2(H ) 1 G1G 2 ( H )
S 0
SE(s)
lim
S 0
S S
2n 2 2
Kdn2 nS n2
2 n
Kd
n2
C(s)
s(s 2n)
§3-5稳态误差的分析与计算
R(s) H1(s) G1(s) N(s) G2(s) C(S)
G 2 (s) E n (s) Cn (s) N(s) 1 G1 (s)G 2 (s)H(s)
s 0
s 0
给定输入下的稳态误差与稳态误差系数
1 e ssr 阶跃输入下: 1 KP 斜坡输入下: essr 1 Kv 1 e ssr 抛物线输入下: Ka
K (TjS 1) G (s) S (TiS 1)
i 1 j1 n
K G( s) v s
i 1
n
系统开环传递函数中 不含积分环节
KP lim G (s) K
s 0
e ss 1 1 K
阶跃输入时，误差系数=K
输出始终不会等于输入，存在稳态误差
K lim SG (s) 0 斜坡输入时，误差系数=0 s 0
ess
2
稳态误差无穷大（输出不能跟随输入）
Ka lim S G (s) 0抛物线输入时，误差系数=0 s 0 ess 输出不能跟随输入，
KP lim G(s)
K lim SG(s)
s 0
s 0
Ka lim S G(s)
s 0
m2
2
m
( s 1) (
i i 1 n1 k 1 n2 j j 1 l 1
m1
2 2 k
s 2 k k s 1) s 2 l l s 1)
(T s 1) (T
2 2
l
稳态误差系数仅与系统参数K、(积分环节个数—系统 型号)有关，对应＝0、1、2 称 0、I、Ⅱ型系统
0、I、Ⅱ型三种系统 分别三种典型输入 稳态误差有九种情况
G 2 (s) E n (s) Cn (s) N(s) 1 G1 (s)G 2 (s)H(s)
s 0
s 0
给定输入下的稳态误差与稳态误差系数
1 e ssr 阶跃输入下: 1 KP 斜坡输入下: essr 1 Kv 1 e ssr 抛物线输入下: Ka
K (TjS 1) G (s) S (TiS 1)
i 1 j1 n
K G( s) v s
i 1
n
系统开环传递函数中 不含积分环节
KP lim G (s) K
s 0
e ss 1 1 K
阶跃输入时，误差系数=K
输出始终不会等于输入，存在稳态误差
K lim SG (s) 0 斜坡输入时，误差系数=0 s 0
ess
2
稳态误差无穷大（输出不能跟随输入）
Ka lim S G (s) 0抛物线输入时，误差系数=0 s 0 ess 输出不能跟随输入，
KP lim G(s)
K lim SG(s)
s 0
s 0
Ka lim S G(s)
s 0
m2
2
m
( s 1) (
i i 1 n1 k 1 n2 j j 1 l 1
m1
2 2 k
s 2 k k s 1) s 2 l l s 1)
(T s 1) (T
2 2
l
稳态误差系数仅与系统参数K、(积分环节个数—系统 型号)有关，对应＝0、1、2 称 0、I、Ⅱ型系统
0、I、Ⅱ型三种系统 分别三种典型输入 稳态误差有九种情况
稳态误差分析.doc
最后，如增大放大器的放大系数，那么同样大小的 值所需要的 值就小，对应的 也就小了。因此，稳态误差随着放大系数的增大而减小。
由此可见，对这样一个随动系统，系统的稳态误差和外作用的形式、大小有关，也与系统的结构参量（开环放大系数）有关。
2．电压自动控制系统 首先研究一个较简单的电压控制系统，其原理图如图3－38所示，要求控制发电机发出的电压保持某一恒值。系统的控制信号为 ，其大小等于被控制量 的希望值。通常它是一个恒值，故此系统是一个镇定系统。作用在系统上的干扰信号为负载的变化。电压控制系统的误差是
当系统稳态时，不论负载是否存在，输出电压 总不等于零。要使 不等于零，则发电机激磁电压 也不能为零，因此 总不为零。显然，系统处于稳态时(即负载不变) 为常值，即此系统的稳态误差不为零。
如何来减小或消除系统的稳态误差呢?一种方法是可以通过增加放大器的放大系数来减小稳态误差，但不能消除。另一种方法，可以改变系统结构来消除或减小稳态误差。如在图3-38系统中加入电机和电位器(给系统增添了积分环节)成为图1-2所示的电压控制系统。此系统在恒值负载的情况下稳态误差为零。
(2)一型系统( )
则有
则有
； ；
显然，一型系统对阶跃输入是不存在稳态误差，而对斜坡输入有一定的常值稳态误差，对加速度输入以及更高阶次的输入稳态误差为无穷大。其曲线如图3-41所示。
(3)二型系统( )
则有
因此 ； ；
显然，二型系统对阶跃和斜坡输入的稳态误差都为零，而对加速度输入有稳态误差。 的大小反映系统跟踪等加速度输入信号的能力。 越大，稳态误差越小，精度越高。
一、误差和稳态误差
设 是控制系统输出(被控量)的希望值， 是控制系统的实际输出值。我们定义系统输出的希望值与输出的实际值之差为控制系统的误差，记作 ,即
由此可见，对这样一个随动系统，系统的稳态误差和外作用的形式、大小有关，也与系统的结构参量（开环放大系数）有关。
2．电压自动控制系统 首先研究一个较简单的电压控制系统，其原理图如图3－38所示，要求控制发电机发出的电压保持某一恒值。系统的控制信号为 ，其大小等于被控制量 的希望值。通常它是一个恒值，故此系统是一个镇定系统。作用在系统上的干扰信号为负载的变化。电压控制系统的误差是
当系统稳态时，不论负载是否存在，输出电压 总不等于零。要使 不等于零，则发电机激磁电压 也不能为零，因此 总不为零。显然，系统处于稳态时(即负载不变) 为常值，即此系统的稳态误差不为零。
如何来减小或消除系统的稳态误差呢?一种方法是可以通过增加放大器的放大系数来减小稳态误差，但不能消除。另一种方法，可以改变系统结构来消除或减小稳态误差。如在图3-38系统中加入电机和电位器(给系统增添了积分环节)成为图1-2所示的电压控制系统。此系统在恒值负载的情况下稳态误差为零。
(2)一型系统( )
则有
则有
； ；
显然，一型系统对阶跃输入是不存在稳态误差，而对斜坡输入有一定的常值稳态误差，对加速度输入以及更高阶次的输入稳态误差为无穷大。其曲线如图3-41所示。
(3)二型系统( )
则有
因此 ； ；
显然，二型系统对阶跃和斜坡输入的稳态误差都为零，而对加速度输入有稳态误差。 的大小反映系统跟踪等加速度输入信号的能力。 越大，稳态误差越小，精度越高。
一、误差和稳态误差
设 是控制系统输出(被控量)的希望值， 是控制系统的实际输出值。我们定义系统输出的希望值与输出的实际值之差为控制系统的误差，记作 ,即
稳态误差分析
R ss 1 K p
ss
v Kv
ss
K
0
Ⅰ
Ⅱ
K
0 0
K
R 1 K
v K
0
K
0 0
0
K
如果系统输入信号是多种典型信号代数组合时， 应用叠加原理可求的系统的稳态偏差（稳态误 v 差）。为了满足系统稳态响应的要求， 值应 按最复杂的输入信号来决定（例如，输入信号 包含有阶跃信号和等速度信号时， 值必须大 v 于等于1）。
G ( s)
C (s)
H ( s)
1 E ( s) R( s ) 1 H ( s)G ( s) 1 E1 ( s) R( s ) H ( s)(1 H ( s)G ( s))
图3-24 系统结构图
(3-45a) (3-45b) (3-46a) (3-46b)
系统的稳态误差为:
ess lim e(t )
1 N (s) s
K2 1 s 1 E ( s) s K1K 2 s s K1K 2 s
第三步：利用终值定理求稳态误差
ess
1 s
K2 s 1 ess lim sE ( s ) lim s s 0 s 0 s K1K 2 s s K1K 2 1 K1
(1)对扰动进行补偿
GN (s) 为待求的前
馈控制装置的传递 函数， N ( s ) 为扰动 作用 令 R( s ) 0
2.4
四、扰动输入引起的稳态偏差
R
G2 ( s) H ( S ) en ( s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
3-6 稳态误差分析
3.6.1 误差的基本概念
误差=误差的瞬态分量+误差的稳态分量
稳态误差=误差的稳态分量
终值定理：
前提条件为：sE(s)在虚 轴和右半平面是解析的。
ess e() lime(t) limsE(s)
t
s0
3.6.1 误差的基本概念
R(S) E(s) G1(S)
N(s)
C(s)
G2(S)
C(s)
(Kis
1) Ts2
K s
K
R(s)
E(s)
Ts2 s Ts2
Ki Ks sK
R(s)
由于该系统为二阶系统，由各项
系数为正可知，系统稳定。
3.6.7 提高系统控制精度的措施
ess
lim sE(s) s0
E(s)
Ts2 s Ts2
Ki Ks sK
Kp
lim G(s)H (s)
s0
lim
s0
s 1 s(s 3)
Kv
lim sG(s)H (s)
s0
1 3
Ka
lim s2G(s)
s0
0
3.6.2 给定作用下的稳态误差计算
G(s) s 1 ,.....r(t) (2 t 0.5t 2 ) 1(t) s(s 3)
s0
G(s)H (s)
K s
G0 (s)
1,...Ka 0,...essr ,
静态加速度误差系数
2,...Ka
K ,...essr
C K
稳态误差分析.
• 前者在实际系统中是可量测的，具有一定的物理意义；
• 后者一般只有数学意义。将图（a）等效变换为图（b），
可以看出两者之间有对应关系：
E(s) E(s) / H(s)
对于单位反馈系统来说，这两种定义是等价的。
二、稳态误差 ess
• 稳态误差是系统的误差响应达到稳态时的值，
是对系统稳态控制精度的度量，
lim
s0
0
sH (s)G(s)
0
Kv
令
Kv
lim sG(s)H(s)
s0
K v 静态速度误差系数
Static velocity error constant
0 Kv K
0 1 2
ess
v0 K
0
0 1 2
加速度信号输入
ess
lim
s0
sE ( s)
lim s0 1
sR(s) H (s)G(s)
1
R(S) 1 GC (s)GP (s)H (S)
E(S)
H (S)GP (s)
N (S) 1 GC (s)GP (s)H (S)
def
e (s)
E(s) R(s)
1
1 H (s)G(s)
E(s)
e
(s)R(s)
1
R(s) H (s)G(s)
e(t) L1[e (s)R(s)]
输入形
式
ess ()
解：
根据⑴和⑵的要求，可知系统是Ⅰ型三阶系统，因
而令其开环传递函数为 G(s)
K
K
S(S 2 bS C)
按定义
Kv
lim
s0
SH (s)G(s)
C
第三章(4)系统的稳态误差
K2 H G2H s K 2H s NE ( S ) 1 K 1K 2 1 G1G 2 H s K 1K 2 H 1 1 H s
干扰作用下的稳态误差
K 2 e ssn lim s NE ( s) N ( s) lim s N (s) s 0 s 0 s G K 1 2 s K 2 H lim s 1 N ( s) s 0 s K 1K 2 H
1
ess () ess lim e(t ) lim sE ( s)
t s 0
N (S )
R(S )
E (S )
G1（S）
G2(S）
C (S )
H（S）
3、系统的稳态误差：
1）设N（S）=0， 以R为输入，E为输出
1 RE ( S ) 1 G1G 2 H
2）设R（S）=0，以N为输入，E为输出
系统稳态误差计算通式则可表示为：
ess
lim[ S 1 R( s)]
s 0
K lim S
s 0
(3 64)
稳态误差与哪些因素有关？
系统型别 e ss 与 K 开环增益有关 R ( s ) 输入信号
1、阶跃信号输入 令
R0 r (t ) R0 , R0 常量。R(s) . S
二、稳态误差的计算
e(t ), lim sE ( s ) 存在，可利用终值定理 如果 lim t s 0 输入形 求稳态误差。
式
sR( s) ess () ess lim sE ( s) lim s 0 s 0 1 H ( s )G ( s )
结构形式
公式条件： sE (s) 的极点均位于S左半平面.
03 自动控制原理—第三章(2)
一,稳态误差的定义
1. 系统误差ε(t)定义为:系统响应的期望值c0(t)与实际值c (t)之差,即: ε (t ) = co (t ) c (t ) ε (s ) = co (s ) c(s ) 通常以偏差信号 R ( s ) H ( s ) C ( s ) 为零来确定希望值,即:
R (s ) H (s )CO (s ) = 0
3.6 系统稳态性能分析
评价一个控制系统的性能时,应在系统稳定的前提 下,对系统的动态性能与稳态性能进行分析.如前所 述,系统的动态性能用相对稳定性能和快速性能指标 来评价.而系统的稳态性能用稳态误差指标来评价, 即根据系统响应某些典型输入信号的稳态误差来评价. 稳态误差反映自动控制系统跟踪输入控制信号或抑 制扰动信号的能力和准确度.稳态误差主要与系统的 结构,参数和输入信号的形式有关.
上述三种误差系数定量地描述了系统在稳态误差与给定信号 种类和大小之间的关系,统称为系统静态误差系数. 4.控制系统的型别与无差度阶数 系统的开环传递函数可以看成由一些典型环节组成,即:
G K (s) = K sν
∏ (τ s + 1)∏ (τ
i =1 n1 i k =1 n2 j j =1 l =1
2.传递函数: Gc(s)=Kp(1+τds) 若偏差正处于下降状态,则 d τ d e (t ) < 0 dt 说明比例微分控制器预见到偏差在减小,将产生一个适当大小的控制 信号,在振荡相对较小的情况下将系统输出调整到期望值. 因此,利用微分控制反映信号的变化率(即变化趋势)的"预报"作 用,在偏差信号变化前给出校正信号,防止系统过大地偏离期望值和 出现剧烈振荡的倾向,有效地增强系统的相对稳定性,而比例部分则 保证了在偏差恒定时的控制作用. 可见,比例—微分控制同时具有比例控制和微分控制的优点,可以根 据偏差的实际大小与变化趋势给出恰当的控制作用. PD调节器主要用于在基本不影响系统稳态精度的前提下提高系统的相 对稳定性,改善系统的动态性能.
第三章 稳态误差分析
（2）要想减小扰动 d (t) 产生的误差，应提高哪一个比例系数；
（3）若将积分因子移到扰动作用点之前，系统稳态误差如何 变化。
R(s) E(s)
-
K1
D(s)
+
K2
s(s 4)
Y (s)
Sunday, April 12, 2020
19
解：
（1） Y (s)
K1 K 2
R(s)
K2
D(s)
s(s 4) K1K2
essr
lim sR(s) s0 1 Gk (s)
lim s0 1
sR(s)
K sv
G0 (s)
lim
s0
sv1R(s) sv K
可见给定作用下的稳态误差与外作用有关；与时间常数形式的 开环增益有关；与积分环节的个数有关。
Sunday, April 12, 2020
25
开环系统的型
系统的无差度阶数（开环传递函数的型）
通常称开环传递函数中积分的个数为系统的无差度阶数，并 将系统按无差度阶数进行分类。
当 0，无积分环节，称为0型系统 当 1 ，有一个积分环节，称为Ⅰ型系统 当 2，有二个积分环节，称为Ⅱ型系统
Sunday, April 12, 2020
26
单位阶跃函数输入时的稳态误差
当输入为 R(s) 1 时（单位阶跃函数）
14
[例2]某控制系统的方块图如图所示。试求在输入信号为 r(t) 1(t) 时系统的稳态响应和稳态误差。
R(s)
E(s)
B(s) -
K (s 2) s(s 3)
1 s 1
C(s)
解：系统的闭环传递函数为 (s) K(s 2)(s 1)
（3）若将积分因子移到扰动作用点之前，系统稳态误差如何 变化。
R(s) E(s)
-
K1
D(s)
+
K2
s(s 4)
Y (s)
Sunday, April 12, 2020
19
解：
（1） Y (s)
K1 K 2
R(s)
K2
D(s)
s(s 4) K1K2
essr
lim sR(s) s0 1 Gk (s)
lim s0 1
sR(s)
K sv
G0 (s)
lim
s0
sv1R(s) sv K
可见给定作用下的稳态误差与外作用有关；与时间常数形式的 开环增益有关；与积分环节的个数有关。
Sunday, April 12, 2020
25
开环系统的型
系统的无差度阶数（开环传递函数的型）
通常称开环传递函数中积分的个数为系统的无差度阶数，并 将系统按无差度阶数进行分类。
当 0，无积分环节，称为0型系统 当 1 ，有一个积分环节，称为Ⅰ型系统 当 2，有二个积分环节，称为Ⅱ型系统
Sunday, April 12, 2020
26
单位阶跃函数输入时的稳态误差
当输入为 R(s) 1 时（单位阶跃函数）
14
[例2]某控制系统的方块图如图所示。试求在输入信号为 r(t) 1(t) 时系统的稳态响应和稳态误差。
R(s)
E(s)
B(s) -
K (s 2) s(s 3)
1 s 1
C(s)
解：系统的闭环传递函数为 (s) K(s 2)(s 1)
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Sunday, July 26, 2020
2
误差和稳态误差定义
一、误差及稳态误差的定义
稳态误差指一个稳定的系统在给定输入或扰动作用下，经历过 渡过程进入稳态后的误差。
系统误差：输出量的希望值 c0 (t)和实际值 c(t) 之差。即
(t) c0 (t) c(t)
系统稳态误差：当t→∞时的系统误差，用 ss 表示。即
H (s)
这里 R(s) H (s)C0 (s) 是基于控制系统在理想工作情况下
E(s) 0 得到的。
C0 (s) (s)
N (s)
R(s)
1 R1(s) H (s) C0
E1 ( s )
-
E(s) H (s)
G1 ( s )
+ G2 (s)
-
C(s)
我们将偏差E(s) 代替误差进行研究。除非特别说明，以后所说 的误差就是指偏差；稳态误差就是指稳态偏差。
ss
lim (t)
t
由系统输出端定义，它定义为系统输出量的希望值与输 出量的实际值之差。这种方法定义的误差，在性能指标提法 中经常用到，但在实际系统中有时无法测量，因而只有数学 意义。
Sunday, July 26, 2020
3
系统偏差：系统的输入 r(t) 和主反馈信号 b(t) 之差。即
e(t) r(t) b(t)
Sunday, July 26, 2020
9
⑤ 扰动作用下的偏差传递函数(作用在反馈回路)
R(s) E(s)
B(s) -
G(s) H (s)
C(s)
+
N (s)
假定输入信号为零,系统等效方块图为:
N (s)
E(s)
H (s)
1
+
G(s)
Sunday, July 26, 2020
10
扰动输出与扰动信号的关系为:
)
n
2
.
s] s
0
若输入单位斜坡信号时，R(s)Leabharlann 1 s2，稳态误差为：
ess
lim
s0
1
sR(s) G(s)H (s)
lim [
s0
s(s 2n s(s 2n )
E(s) E (s)R(s) NE (s)N(s)
1
R(s) G2 (s)H (s) N (s)
1 G1(s)G2 (s)H (s)
1 G1(s)G2 (s)H (s)
Sunday, July 26, 2020
8
稳态误差的计算
④ 对稳定的系统，可利用拉氏变换的终值定理计算稳态误差
ess
lim e(t)
Sunday, July 26, 2020
稳态误差的计算
7
稳态误差的计算
② 扰动作用下的偏差传递函数(作用在前向通道)
C(s)
B(s)
N (s) G2 (s)
+
H (s)
E(s) 1
G1 ( s )
NE (s)
E(s) N (s)
1
G2 (s)H (s) G1(s)G2 (s)H (s)
③ 给定和扰动同时作用下的偏差表达式
③利用终值定理计算稳态误差 ess
lim
s0
s[ E
(s)R(s)
NE
(s) N (s)]
Sunday, July 26, 2020
12
[例1]
已知 G(s) n2 ,
s(s 2n )
H (s) 1
求系统输入单位阶跃信号和单位斜坡信号时的稳态误差。
R(s)
E(s)
B(s) -
G(s) H (s)
C(s)
解：系统误差传递函数为
E(s) R(s)
1
1 G(s)H (s)
s(s 2n ) s(s 2n ) n2
Sunday, July 26, 2020
13
若输入单位阶跃信号时， R(s) 1 ，稳态误差为：
s
ess
lim
s0
1
sR(s) G(s)H (s)
lim [
s0
s(s 2n s(s 2n )
误差和稳态误差定义
第六节 稳态误差分析
Sunday, July 26, 2020
1
引言
稳态误差是衡量控制系统精度的指标，用来说 明稳态响应性能的优劣。控制系统的输出应尽量准 确的跟随参考输入的变化，同时尽量不受扰动的影 响，它仅对稳定的系统才有意义。稳态误差不仅与 系统的类型（传递函数）有关，而且与输入信号有 关。
t
lim sE(s)
s0
sR(s) lim s0 1 G1(s)G2 (s)H (s)
lim sG2(s)H (s)N (s) s0 1 G1(s)G2 (s)H (s)
终值定理要求有理函数sE(s)在S右半平面和虚轴上解析， 或者说sE(s)的极点均在S左半平面，即只有稳定的系统，才可 计算稳态误差。
Sunday, July 26, 2020
6
二、稳态误差的计算
N(s)
R(s) E(s) G1(s)
+
C(s)
G2 (s)
B(s) -
H (s)
① 给定作用下的偏差传递函数
R(s)
- C(s)
B(s)
H (s) G2 (s)
E(s)
G1 ( s )
E (s)
E(s) R(s)
1 1 G1(s)G2 (s)H (s)
系统稳态偏差：当t→∞时的系统偏差，用 ess表示。即
ess
lim e(t)
t
由系统输入端定义的方法，它等于系统的输入信号与主 反馈信号之差。这种方法定义的误差，在实际系统中是可以 测量的，因而具有一定的物理意义。
Sunday, July 26, 2020
4
误差和稳态误差定义
对单位反馈系统，给定作
用 r(t) 即为输出量的希望 值， r(t) c0 (t) ，偏差等 于误差。 ss ess
C0 (s) (s)
N (s)
R(s) E(s) G1(s) + B(s) -
-
G2 (s) C(s)
(a)
对非单位反馈系统，给定
作用 r(t)只是希望输出的 代表值， r(t) c0 (t)，偏 差不等于误差。ss ess
C0 (s)
N (s)
R(s) E(s) G1(s)
+ G2 (s)
B(s) -
H (s)
(s)
-
C(s)
(b)
Sunday, July 26, 2020
5
偏差和误差之间存在一定的关系：
E(s) R(s) B(s) H (s)C0 (s) H (s)C(s) H (s) (s) 得： (s) E(s)
E(s) H(s) N(s) 1 G(s)H (s)
干扰引起的稳态误差为:
ess
lim
t
e(t)
lim
s0
sE(s)
lim
s0
1
sH (s) G(s)H (s)
N (s)
Sunday, July 26, 2020
11
一般方法的步骤:
①判定系统的稳定性（对于稳定系统求ess才有意义）；
②按误差定义求出系统误差传递函数 E (s)或NE (s) ；