统计学第六章公式及例题

P（277）
总体平均数的估计区间计算公式小结
1.重复抽样平均数估计 2 步骤1： 抽样平均误差 x
步骤2：抽样极限误差 步骤3：总体估计范围
x t x
n
n
x x X x x
2.重复抽样成数估计
步骤1：抽样平均误差 步骤2：抽样极限误差 步骤3：总体估计范围
例
x
900以下 900~950 950~1000 1000~1050 1050~1100 1100~1150 1150~1200 1200以上 合计
灯泡使用寿命资料
xf 875 925 975 1025 1075 1125 1175 1225 1750 3700 10725 72775 90300 20250 8225 3675 211400
x x
2
n
53.63
71 84 18 7 3 183 p 91.5% 200 200
211400 x 1057 200 f
xf

x x
2
p
71 84 18 7 3 183 91.5% 200 200
p
p(1 p) n
p t p
p p P p p
总体平均数的估计区间计算公式小结
3.不重复抽样平均数估计
步骤1：抽样平均误差 步骤2：抽样极限误差 步骤3：总体估计范围

x


x t x
n 1 n N
2
x x X x x
P278
已知：N 10000 ，n 100 ，x 400 ， 12(不重复随机抽样 )
(1) x
2
n
(1
n N
)
12 2 100
(1
100 10000
) 1.19(千克)
(2) 若以概率95.45%(t 2)保证，该农场 10000亩小麦的平均 亩产量的可能范围为： x t x 2 1.19 2.38
使用时间 ( 小时 ) 抽查灯泡个数 (个 ) f 组中值(x) 2 4 11 71 84 18样本进行测试，要求电灯使用寿命在1000 小时以上为合格品。 ⒈求样本的灯泡平均使用时间、标准差和灯泡合格率？
xf x f 211400 1057 200
解：已知p=60% 、n=100、N=500
重复抽样下：
p
p(1 p) 60%1 60% 4.9% n 100
p 1 p n 1 n N
不重复抽样下：
p

60% (1 60%) 100 (1 ) 4.4% 100 500
（2）若在不重复抽样下抽样平均误差：
p1 p N n 0.915 0.085 10000 200 x n N 1 200 10000 1 1.95%
例 某钢铁厂生产某种钢管，现从该厂某月生产的500根 产品中抽取一个容量为100根的样本。已知一级品 率为60%，试求样本一级品率的抽样平均误差。
一级品率： p
(题目要求按重复抽样公式计算)
p
380 100 % 95% 400 p(1 p) 95% (1 95%) 1.09% n 400
若以概率95.45%(t 2)保证，该一级品数量的 极限误差为：
p t p 2 1.09% 2.18%
例1
某农场进行小麦产量的抽样调查，该农场小麦播种面积为10000亩， 采用不重复的简单随机抽样从中选100亩作为样本，进行实割实测， 得到样本的平均亩产量为400千克，样本标准差为12千克。 求（1）抽样平均误差；（2）若以概率95.5%保证下，该农场100亩小 麦的平均亩产量的可能范围？ （3）若以概率99.73%保证下，该农场 100亩小麦的平均亩产量的可能范围？
概率度(t)和概率之间保持一定的函数关系，用P 表示概率以 说明抽样估计的可靠程度，函数关系为 P=F（t）。P(338)附 表1，可查表。
例
当F(t)=68.27%时，抽样极限误差( x )等于抽样平均误差(µ )的1 倍(t=1); 当F(t)=95.45%时，抽样极限误差( x )等于抽样平均误差(µ )的2 倍(t=2); 当F(t)=99.73%时，抽样极限误差( x)等于抽样平均误差(µ )的3 倍(t=3);
p p P p p 即95% 2.18% P 95% 2.18% 则一级品数量的范围为 ： 92.82% P 97.18%
xf x f

211400 1057 200

x x
2
n
53.63
p
71 84 18 7 3 183 91.5% 200 200
⒊求灯泡合格率的抽样平均误差?
(1)若在重复抽样下抽样平均误差:

p

p1 p 0.915 0.085 1.97% n 200
x x X x x;
400 2.38 X 400 2.38，即397.62 X 402.38
(3) 若以概率99.73%(t 3)保证，该农场 10000亩小麦的平均 亩产量的可能范围为： x t x 3 1.19 3.48
x x X x x;
n
53.63
⒉求灯泡使用时间抽样平均误差？
(1)若在重复抽样下抽样平均误差:

x


n

53.63 200
3.79小时
3.75小时
（2）若在不重复抽样下抽样平 均误差：2 N n 53.632 10000 200 x n N 1 200 10000 1
p1 p n 1 n N
4.不重复抽样成数估计
步骤1：抽样平均误差 步骤2：抽样极限误差 步骤3：总体估计范围
p
p t p
p p P p p
总体平均数的估计区间计算解题步骤 （一）判断是重复抽样还是不重复抽样？ • 1.题目已告知是重复抽样或不重复抽样； • 2.如果题目没明确告知，并且没有给出N(总体单位数)， 一定用重复抽样（因为在不重复抽样公式中有N ）； • 3.两者取一，要么是重复抽样要么不是重复抽样。 （二）判断是平均数估计还是成数估计？ • 1.平均数：题目给出平均数× × ，如平均工资； • 2.成数：比重、比率、百分比，如合格率； • 3.两者取一，要么是平均数估计要么是成数估计。 （三）重复抽样平均数估计带入上述公式1；重复抽样 成数估计带入上述公式2；不重复抽样平均数估计带入 上述公式3；不重复抽样成数估计带入上述公式4。
400 3.48 X 400 3.48 , 即396.52 X 403.48
某机械厂日产某种产品8000件，现采用纯随机重复抽 例2 样方式，从中抽取400件进行观察，其中有380件为一级品， 试以概率95.45%的可靠程度推断全部产品的一级品率及一 级品数量的范围。
已知：N=8000，n=400, p=0.954