运筹学第四章作业答案1.
运筹学习题答案(第四章)
满足P、P2 , 不满足P3 1
page 4 28 December 2013
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第四章习题解答
4.3 用单纯形法解下列目标规划问题：
min P ( d1 d1 ), P2 d 2 , P3 d 3 , P4 (5d 3 3d 2 ) 1 x1 x2 d1 d1 800 d 2 d 2 2500 (1) 5 x1 st. 3 x2 d 3 d 3 1400 x1 , x2 , d i , d i 0, i 1,2,3 解：x1 500 , x2 300 , d 2 10, d 3 200
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第四章习题解答
(1) 用单纯形法求问题的满意解；
解：x1 70, x2 20, d 3 25, d1 10
满足P、P2 , 不满足P3 1
(2)若目标函数变为:
min
P d
1 1
运筹学教程（第二版） 习题解答
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第四章习题解答
4.1 若用以下表达式作为目标规划的目标函数， 其逻辑是否正确？为什么?
(1) max 不正确 (3) min 正确 (5) max
d d d
d d d
(2) max 不正确
d d d
d d d
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第四章习题解答
运筹学课后习题答案
第一章 线性规划1、由图可得：最优解为2、用图解法求解线性规划： Min z=2x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+-01058244212121x x x x x x解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.4Max z=5x 1+6x 2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-0,23222212121x x x x x x解：由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞Maxz = 2x 1 +x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧==2321x xmax Z = 8.1212125.max 23284164120,1,2maxZ .jZ x x x x x x x j =+⎧+≤⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为26将线性规划模型化成标准形式：Min z=x 1-2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-=++-≥+-≤++无约束321321321321,0,052327x x x x x x x x x x x x解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥0,x 3’’≥0Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0,0,0'',0',0,05232'''7'''5433213215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x7将线性规划模型化为标准形式Min Z =x 1+2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--≥++-≤++无约束，321321321321,00632442392-x x x x x x x x x x x x解：令Z ’ = -z ，引进松弛变量x 4≥0,引进剩余变量x 5≥0,得到一下等价的标准形式。
(完整版)运筹学》习题答案运筹学答案
《运筹学》习题答案一、单选题1.用动态规划求解工程线路问题时，什么样的网络问题可以转化为定步数问题求解（）BA.任意网络B.无回路有向网络C.混合网络D.容量网络2.通过什么方法或者技巧可以把工程线路问题转化为动态规划问题？（）BA.非线性问题的线性化技巧B.静态问题的动态处理C.引入虚拟产地或者销地D.引入人工变量3.静态问题的动态处理最常用的方法是？BA.非线性问题的线性化技巧B.人为的引入时段C.引入虚拟产地或者销地D.网络建模4.串联系统可靠性问题动态规划模型的特点是（）DA.状态变量的选取B.决策变量的选取C.有虚拟产地或者销地D.目标函数取乘积形式5.在网络计划技术中，进行时间与成本优化时，一般地说，随着施工周期的缩短，直接费用是( )。
CA.降低的B.不增不减的C.增加的D.难以估计的6.最小枝权树算法是从已接接点出发，把( )的接点连接上CA.最远B.较远C.最近D.较近7.在箭线式网络固中，( )的说法是错误的。
DA.结点不占用时间也不消耗资源B.结点表示前接活动的完成和后续活动的开始C.箭线代表活动D.结点的最早出现时间和最迟出现时间是同一个时间8.如图所示，在锅炉房与各车间之间铺设暖气管最小的管道总长度是( )。
CA.1200B.1400C.1300D.17009.在求最短路线问题中，已知起点到A，B，C三相邻结点的距离分别为15km，20km,25km，则（）。
DA.最短路线—定通过A点B.最短路线一定通过B点C.最短路线一定通过C点D.不能判断最短路线通过哪一点10.在一棵树中，如果在某两点间加上条边，则图一定( )AA.存在一个圈B.存在两个圈C.存在三个圈D.不含圈11.网络图关键线路的长度( )工程完工期。
CA.大于B.小于C.等于D.不一定等于12.在计算最大流量时，我们选中的每一条路线( )。
CA.一定是一条最短的路线B.一定不是一条最短的路线C.是使某一条支线流量饱和的路线D.是任一条支路流量都不饱和的路线13.从甲市到乙市之间有—公路网络，为了尽快从甲市驱车赶到乙市，应借用（）CA.树的逐步生成法B.求最小技校树法C.求最短路线法D.求最大流量法14.为了在各住宅之间安装一个供水管道．若要求用材料最省，则应使用( )。
第四章作业(第1、9题)
• 19 10 11 12 1 14 3
2640 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1
1651 0 0 1 2 0 3 0 1 2 0 1 0 0 1
1770 3 0 2 1 2 0 0 1 0 1 0 1 0 0
1440 0 0 0 0 1 0 1 1 1 2 2 0 3 0
x7=0 • 目标函数值=300(根)
• 注解4．全部方案都要： • min X1+X2+X3+x4+x5+x6+x7 • +x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14 • s.t 2x2+x7+x12+x14≥80 • x3+2x4+3x6+x8+2x9+x11+x14≥350 • 3x1+2x3+x4+2x5+x8+x10+x12≥420 • x5+x7+x8+x9+2x10+2x11+3x13≥10 • xi≥0 • x1=75,x2=40,x3=0,x4=175,x5=10,x6=0，
• (b)利用库存来调节生产，库存费用为60元／ 吨·月，最大库存能力为1000吨。
• 请为该企业构造一个线性规划模型，在满足 需求的前提下使四个月的总费用为最小。
• 假定该企业在一月初的库存为零，要求四月底 的库存为500吨。
• 解：设Xj为第j个月正常生产的产品数 （吨）。
• 设yj为第j个月加班生产的产品数（吨）。 • 设Zj为第j个月末库存的产品数（吨）。 • J=1,2,3,4. • 使用下列的一般关系式： • 本期产量+上期末库存量-本期末库存=本
运筹学习题答案(第四章)
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第四章习题解答
4.5 某成品酒有三种商标 红、黄、蓝)，都是由 某成品酒有三种商标(红 ， 三种原料酒(等级 Ⅱ 等级Ⅰ 兑制而成。 三种原料酒 等级 Ⅰ ,Ⅱ， Ⅲ )兑制而成。 三种等级的原 兑制而成 料酒的日供应量和成本见表4-13，三种商标的成品酒 料酒的日供应量和成本见表 ， 的兑制要求和售价见表4-14。决策者规定 ： 首先必须 的兑制要求和售价见表 。 决策者规定： 严格按规定比例兑制各商标的酒；其次是获利最大； 严格按规定比例兑制各商标的酒 ； 其次是获利最大 ； 再次是红商标的酒每天至少生产2 000kg。试列出该问 再次是红商标的酒每天至少生产 。 题的数学模型。 题的数学模型。
13 page 13 23 May 2012
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第四章习题解答
已知单位牛奶、牛肉、 4.7 已知单位牛奶、牛肉、鸡蛋中的维生素及胆 固醇含量等有关数据见表4 15。 固醇含量等有关数据见表4 - 15 。如果只考虑这三种食 并且设立了下列三个目标： 物，并且设立了下列三个目标： 第一，满足三种维生素的每日最小需要量； 第一，满足三种维生素的每日最小需要量； 第二，使每日摄人的胆固醇最少； 第二，使每日摄人的胆固醇最少； 第三，使每日购买食品的费用最少。 第三，使每日购买食品的费用最少。 要求建立问题的目标规划模型。 要求建立问题的目标规划模型。
售价（ /kg） 售价（元/kg） 5.5 5.0 4.8
解： x11 = 1125 , x12 = 300 , x13 = 75 , x 21 = 1125 , x 22 = 200 , x 23 = 675 , x 31 = 0 , x 32 = 1000 , x 33 = 0 , d 1− = 225 , d 3− = 50 , d 5− = 375 , d 7+ = 250 满足所有目标
电力出版社运筹学答案 第四章
第4章训练题实践能力训练1．某工厂生产A 、B 两种产品，产品A 每件利润为$10，而产品B 每件利润为$8，产品A 每件需3小时装配时间，而B 为2小时，每周总装配有效时间为120小时。
工厂允许加班，但加班生产出来的产品的利润得减去1美元，根据最近合同，厂商每天至少得向用户提供两种产品各30件。
通过与厂商经理交谈，确认如下事实：（1）与用户签定的合同必须遵守，且工厂正常工作时间只有120小时； （2）尽可能不加班；（3）求利润最大； 试建立此问题的数学模型。
1．设正常生产A 产品1x 件，B 产品3x 件，加班生产A 产品2x 件，B 产品4x 件。
则},,{m in 5443321ηρ-ηρ-η+η+η=a lex30..1121=ρ-η++x x t s 302243=ρ-η++x x 120233331=ρ-η++x x0234442=ρ-η++x x54078910554321=ρ-η++++x x x x0,,41≥x x 且为整数2．考虑双A 牌啤酒的混合问题。
D 厂用三种级别的白兰地（一，二，三）来生产三种混合酒(DT ,DTA ,QL )，三种级别的白兰地酒供应量受到严格限制，他们的供应量和成本如下： 一级 1,500加仑/日 $6.00 /加仑 二级 2,100加仑/日 $4.50 /加仑 三级 950 加仑/日 $3.00 /加仑双A 牌酒的信誉很高，为了保证质量，其生产配方受到严格控制，其配方如右表所示。
在此题中，把日供应量和混合比例设为硬约束，其余按其优先顺序表示如下：（1）求利润极大；（2）每日至少生产2，000加仑DT 酒。
试建立此问题的数学模型。
2．变量假设如表：},,{m in 1110987654321ηηη+ρ+η+ρ+η+ρ+ρ+ρ+ρ=a lex 1500..11312111=ρ-η+++x x x t s 210022322212=ρ-η+++x x x 95033332313=ρ-η+++x x x1.04413121112=ρ-η+++x x x x5.05513121111=ρ-η+++x x x x6.06623222123=ρ-η+++x x x x2.07723222121=ρ-η+++x x x x5.08833323133=ρ-η+++x x x x1.09933323131=ρ-η+++x x x x13650)(3)(5.4)(6)(5)(5.5)(61010332313322212312111333231232221131211=ρ-η+++-++-++-++++++++x x x x x x x x x x x x x x x x x x20001111131211=ρ-η+++x x x .3,2,1,,0=≥j i x ij3．动力公司生产单一类型的机动自行车（即小型汽油机动摩托车），称为美洲神风，这家公司同时也进口意大利的安全牌机器摩托车，神风牌每辆售价为$650，安全牌$725，需求情况是厂家生产或进口摩托车都能轻易地卖出去。
运筹学答案_刁在筠等(2-4章)
4
44
1
15
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x2 2 1 0 2
2
x3
−1 4
0
1
−1 4
7 4
根据最优化准则知，问题(P)的最优解为 x* = (0, 5 , 7)T , 最优值为 7 .
24
4
(2) 将问题(P)化为一般形式
8
运筹学 (第三版) 刁在筠等
⎧min z = x1 + x3
⎪⎪⎪s.t. − x1 − 2x2
≥ −5
⎪⎪s.t. ⎨ ⎪
x1 + 4x2 − 2x3 + 8x4 = 2 − x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 1
⎪⎩
x1 , x2 , x3, x4 ≥ 0
添加人工变量 x5 , x6 得到辅助问题
⎧min g = x5 + x6
⎪⎪s.t. ⎨ ⎪
x1 + 4x2 − 2x3 + 8x4 + x5 = 2 − x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + x6 = 1
⎪⎩ x2 ≥ 2
解：图 2.1 的阴影部分为此问题的可行区域.将
8
目标函数的等值线 x1 + 3x2 = c ( c 为常数)沿它的
负法线方向 (−1，− 3)T 移动到可行区域的边界上.
o
于是交点（12，8）T 就是该问题的最优解，其最优 值为 36. P75 16. 用单纯形法求解下列线性规划问题：
进基变量代替离基变量
以 x2 为进基变量， x6 为离基变量旋转得
2
运筹学 (第三版) 刁在筠等
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 RHS z -1 1 -1 0 -1 1 0 0 x5 0 0 3 0 1 1 0 6 x2 0 1 2 -1 0 0 0 10 x1 1 0 0 0 0 -1 0 0 x7 0 0 1 0 0 1 1 6
运筹学第四章作业的参考答案
第四章作业的参考答案151P 5、判断下列函数是否为凸函数.（3）31322123222126293)(x x x x x x x x x x f ++-++=解： )(x f 的Hesse 矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=∇1862662222)(2x f .)(2x f ∇的各阶主子式分别为.01862662224,07218666,03418222,086222,018,06,02=-->=>=>=-->>>因而)(2x f ∇为半正定矩阵，所以)(x f 是凸函数。
152P 9、用0.618法求以下问题的近似解 5060212)(min 230+-+-=≥t t t t t ϕ已知函数的单谷区间]5.3,5.0[,要求最后区间精度8.0=ε。
解：迭代过程用下表给出：第三轮迭代开始时有ε=<=-=-8.0708.0646.1354.2a b 。
所以近似最优解为084.2*=t 。
152P 14、求以下无约束非线性规划问题的最优解.（1）2122122211620)(2)(min x x x x x x x f --+++=解：化简目标函数，得.1620223)(21212221x x x x x x x f --++=所以，)(x f 的Hesse 矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∇4226)(2x f . 因为)(2x f ∇是正定矩阵，所以)(x f 是凸函数。
另一方面，目标函数的梯度向量为 .)1624,2026()(1221Tx x x x x f -+-+=∇ 令0)(=∇x f ，即⎩⎨⎧=-+=-+01624020261221x x x x ， 求得目标函数的驻点为T x )514,512(*=. 所以，原问题的最优解为T x )514,512(*=.152P 16、求最速下降法求解以下问题，要求迭代进行三轮。
（1）22212131min x x +，取初始点.)2,3(0T x = 解：由题意知.),32(),()(2121T T x x x f x f x f =∂∂∂∂=∇ 第一轮迭代：T x f p )2,2()(00--=-∇=。
运筹学习题集第四版1-4章判断题
复习思考题第一章11判断下列说法是否正确：（a ）图解法与单纯形法虽然求解的形式不同，但从几何上理解，两者是一致的。
（b ）线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。
（c ）线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点。
（d ）如线性规划问题存在可行域，则可行域一定包含坐标的原点。
（e ）取值无约束的变量i x ，通常令'''i i i x x x =-，其中'''0,0i i x x ≥≥，在用单纯形法求得的最优解中，有可能同时出现'''0,0i i x x >>。
（f ）用单纯形法标准型的线性规划问题时，与0j σ>对应的变量都可以被选作入基变量。
（g ）单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值为负。
（h ）单纯形法计算中，选取最大正检验数k σ对应的变量作为换入变量，将使目标函数值得到最快的增长。
（i ）一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，则该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。
（j ）线性规划问题的任一可行解都可以用全部基可行解的线性组合表示。
(k)若1x 和2x 分别是某一线性规划问题的最优解，则也是该线性规划问题的最优解，其中1λ和2λ为任意正的实数。
（l ）线性规划用两阶段法求解时，第一阶段的目标函数通常写为min Giiz x=∑（G i x 为人工变量），但也可以写为mini Giiz k x=∑，只要所有i k 均为大于零的常数。
（m ）对一个有n 个变量，m 个约束的标准型的线性规划问题，其可行域顶点恰好是mn c 个。
（n)单纯形法的迭代计算过程是从一个可行解转到目标函数值更大的另一个可行解。
（o ）线性规划问题的可行解如为最优解，则该可行解一定是基本可行解。
《运筹学》 第四章习题及 答案
《运筹学》第四章习题一、思考题1．运输问题的数学模型具有什么特征？为什么其约束方程的系数矩阵的秩最多等于1-+n m ？2． 用左上角法确定运输问题的初始基本可行解的基本步骤是什么？3． 最小元素法的基本思想是什么？为什么在一般情况下不可能用它直接得到 运输问题的最优方案？4． 沃格尔法（V ogel 法）的基本思想是什么？它和最小元素法相比给出的运输问题的初始基本可行解哪一个更接近于最优解？为什么？5． 试述用闭回路法检验给定的调运方案是否最优的原理，其检验数的经济意义是什么？6． 用闭回路法检验给定的调运方案时，如何从任意空格出发去寻找一条闭回路？这闭回路是否是唯一的？7． 试述用位势法求检验数的原理、步骤和方法。
8． 试给出运输问题的对偶问题（对产销平衡问题）。
9． 如何把一个产销不平衡的运输问题（产大于销或销大于产）转化为产销平衡的运输问题。
10．一般线性规划问题应具备什么特征才可以转化为运输问题的数学模型？ 11．试述在表上作业法中出现退化解的涵义及处理退化解的方法。
二、判断下列说法是否正确1．运输问题模型是一种特殊的线性规划模型，所以运输问题也可以用单纯形方法求解。
2．因为运输问题是一种特殊的线性规划模型，因而求其解也可能出现下列四种情况：有唯一最优解；有无穷多个最优解；无界解；无可行解。
3．在运输问题中，只要给出一组（1-+n m ）个非零的{}j i x ，且满足∑==nj i j i a x 1，∑==mi j j i b x 1，就可以作为一个基本可行解。
4．表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法。
5．按最小元素法或元素差额法给出的初始基本可行解，从每一空格出发都可以找到一闭回路，且此闭回路是唯一的。
6．如果运输问题单位运价表的某一行（或某一列）元素分别加上一个常数k ，最优调运方案将不会发生变化。
7．如果运输问题单位运价表的某一行（或某一列）元素分别乘上一个常数k ，最优调运方案将不会发生变化。
运筹学第四章习题答案
即:4y1+6y2=﹣8 ① 又由于原问题的最优解X1*＞0,X2*＜0是松约束,故对偶问题的 约束必为紧约束,即对偶问题的前两个约束必为等式:
y1+y2=﹣2 y1+ky2=﹣2 ∴由①②解得y1*=﹣2 Y*=(﹣2,0)
② ③ y2*=0,即对偶问题的最优解为
将y1*,y2*的值代入③式得k=﹣1
（2）max z=4x1－2x2+3x3－x4
X1+x2+2x3+x4≤7
2x1－x2+2x3－x4=﹣2
s、t
X1－2x2+x4≥﹣3
X1、x3≥0 x2、x4无符号约束
解：其对偶问题为：
Min w=7y1－2y2－3y3
y1+2y2+y3≥4
y1－y2－2y3=﹣2
s、t
2y1+2y2≥3
y1－y2+y3=﹣1
y1≥0 y2无符号约束 y3≤0
4、已知线性规划问题：
Max z=x1+2x2+3x3+4x4
x1+2x2+2x3+3x4≤20
s、t
2x1+x2+3x3+2x4≤20
xj≥0 j=1、2、3、4
其对偶问题最优解为y1=1.2 y2=0.2,由对偶理论直接求出原问题的 最优解。
解：将Y*=（1.2，0.2）代入对偶问题的约束条件：
１、写出下列线性规划问题的对偶问题。
（１）min z=x1+x2+2x3
X1+2x2+3x3≥2
2x1+x2－x3≤4
s.t
3x1+2x2பைடு நூலகம்4x3≤6
(NEW)运筹学教材编写组《运筹学》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解
线性规划问题的共同特征：
（1）每一个问题都用一组决策变量
表示某一方案，这组
决策变量的某一确定值就代表一个具体方案。一般这些变量的取值是非
负且连续的。
（2）存在有关的数据，如资源拥有量、消耗资源定额、创造新价值 量等，同决策变量构成互不矛盾的约束条件，这些约束条件可以用一组 线性等式或线性不等式来表示。
1.2 课后习题详解
本章无课后习题。
1.3 考研真题详解
本章只是对本课程的一个简单介绍，不是考试重点，所以基本上没 有学校的考研试题涉及到本章内容，因此，读者可以简单了解，不必作 为复习重点，本部分也就没有可选用的考研真题。Leabharlann 第2章 线性规划与目标规划
2.1 复习笔记
1．线性规划模型的概念及其一般形式
目 录
第1章 运筹学概论 1.1 复习笔记 1.2 课后习题详解 1.3 考研真题详解
第2章 线性规划与目标规划 2.1 复习笔记 2.2 课后习题详解 2.3 考研真题详解
第3章 对偶理论与灵敏度分析 3.1 复习笔记 3.2 课后习题详解 3.3 考研真题详解
第4章 运输问题 4.1 复习笔记 4.2 课后习题详解
2．线性规划问题的标准型及标准化 （1）线性规划的标准型
或
（2-4） （2-5） 线性规划的标准型要求：目标函数是Max型；约束条件是等式约 束；决策变量非负。 （2）线性规划的标准化方法
① 若要求目标函数实现最小化，即
，则只需将目标函数最
小化变换为求目标函数最大化，即令 ，于是得到
第13章 排队论
13.1 复习笔记 13.2 课后习题详解 13.3 考研真题详解 第14章 存储论 14.1 复习笔记 14.2 课后习题详解 14.3 考研真题详解 第15章 对策论基础 15.1 复习笔记 15.2 课后习题详解 15.3 考研真题详解 第16章 单目标决策 16.1 复习笔记 16.2 课后习题详解 16.3 考研真题详解 第17章 多目标决策 17.1 复习笔记
运筹学习题答案(第四章)(课堂PPT)
Ⅰ
1500
6
Ⅱ
2000
4.5
Ⅲ
1000
3
page 9 28 April 2020
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第四章习题解答
表4-14
商标
兑制要求
售价（元/kg）
红
Ⅲ少于10% Ⅰ多于50%
5.5
黄
Ⅲ少于70% Ⅰ多于20%
5.0
蓝
Ⅲ少于50% Ⅰ多于10%
4.8
解：x11 1125, x12 300, x13 75, x21 1125,
x2
d1
d
2
d3
d1
d
2
d3
150 40 40
x1
,
x2
,
d
i
,
d
i
0, i
1,2,3
解：x1
55, x2
40,
d
2
15
满足P1，不满足P2
page 3 28 April 2020
School of Management
运筹学教程
第四章习题解答
min
P1
(d
3
d
4
第四章习题解答
解：目标规划模型如下：
min
P1d1
,
P2
(d
2
d
3
d
4
),
P3d
5
,
P4
d
6
x1 x2 x3 1000
x1
d1
d1
300,
x2
d
3
d
3
350,
x1
运筹学1至6章习题参考答案
0
2
11/8
0
-3/4
0
9
X4
0
0
0
9/8
1
7/16
-1/4
27/4
6
X1
3
1
0
-1/2
0
1/4
0
3
M
X2
2
0
1
[11/16]
0
-3/32
1/8
1/8
0.181818
C(j)-Z(j)
0
0
0
0
-9/16
-1/4
37/4
X3进基、X2出基，得到另一个基本最优解。
C(j)
3
2
-0.125
6重油
7残油
辛烷值
80
115
105
蒸汽压：公斤／平方厘米
1.0
1.5
0.6
0.05
每天供应数量(桶)
2000
1000
1500
1200
1000
1000
800
问炼油厂每天生产多少桶成品油利润最大，建立数学模型。
解设xij为第i（i＝1,2,3,4）种成品油配第j(j=1,2,…,7)种半成品油的数量（桶）。
10
-5
1
0
0
0
* Big M
5
3
1
0
0
0
X1
10
1
3/5
1/5
0
1/5
2
X4
0
0
4
-9
1
1
25
C(j)-Z(j)
0
-11
-1
运筹学第四章作业答案1.
max Z = 2x 1 + x 2 x 1 ≤ 10 + 2λ x 1 + x 2 ≤ 25 - λ s.t. x 2 ≤ 10 + 2λ x , x ≥ 0 1 2
X = (10,10,0,5,0)T
2 CB 0 0 0 XB X3 X4 X5 X1 1 1 0 2 2 0 X1 X4 1 0
3
试分析下列参数线性规划问题，当 0 参数时 最优解的变化。
max Z = (3 + 2λ)x 1 + (5 - λ)x 2 x1 ≤ 4 2x 2 ≤ 12 s.t. 3x 1 + 2x 2 ≤ 18 x , x ≥ 0 1 2
X (2,6,2,0,0)T
3 CB 0 0 0 XB X3 X4 X5 X1 1 0 3 3 0 5 X3 X2 1 0
b1=45
5 b1 / 3 0 3 b1 / 5 0
60 30 b1
（３）由于技术上的突破，每单位产品B原材料的需 要减少为２单位，这时是否需要改变生产计划？为什么？
1 / 3 1 / 3 3 1 j c j CB B Pj 1 3 5 1 0 1 / 5 2 / 5 2
当a的右端常数变 为30时，最优解将 改变。
1
0 b1 22.5
1 0 30 30 B b 4 1 90 30
CB 5 0 5 13
XB X2 S2 X2 X3
0 13
S1 X3
-5 X1 -1 16 0 23 -8 -16 -23/5 6/5 -20
不需要改变生产计划
（４）假如这时，又试制成新产品D，生产一个单位新 产品D需要劳动力４单位，原材料３单位，而每单位的新 产品D的利润为1元，请问这时生产计划是否要进行修改？ 为什么？
运筹学基础(第2版)何坚勇 第四章习题答案
表4.7.1
10 CB 4 XB x2 b¯ 3/2 x1 0 5 x2 1 0 x3 0 x4
[5/14] -3/14
12
x1 -Z
1 -35/2
1 0
0 0
-1/7 2/7
2/7 -18/7
表4.7.2
第四章习题
4.2
• 已知线性规划问题 max z=3x1+2x2 s.t -x1+2x2 4 min f=4w1+14w2 +3w2 s.t -w1+3w2 +3w2 3 2w1+2w2 -w2 2 w1，w2 ，w2 0
3x1 +2x2 14
x 1- x 2 3
x1,x2 0
（2）
• 如果愿问题与对偶问题都有可行解，则 二者都有最优解。 • 由原题可见，下列解是原问题与对偶问 题的可行解。 • X（0）=（0，0）T • W（0）=（0，1，0）T
4.3
min z=2x1-x2 +2x3 s.t -x1+x2 +x3 = 4 -x1+x2 -Kx3 6
X1 0，X2 0, X3无约束
5 2 0
=（ C'1 ，5，0，0）-[C'1 ，5，(25-2 C'1 )/14 ， (4 C'1 - 25)/14 ]
矩阵乘法的性质
• (AB)C=A(BC)
• (A+B)C=AC+BC
• C(A+B)=CA+CB
• K(AB)=(KA)B=A(KB)
(2)约束右端项b1
• 约束右端项b1，b2当一个不变时，另一个在什 么范围变化时，原问题的最优解保持不变。
《管理运筹学》第四版第4章线性规划在工商管理中的应用课后习题解析
《管理运筹学》第四版课后习题解析第4章线性规划在工商管理中的应用1．解：为了用最少的原材料得到10台锅炉，需要混合使用14种下料方案。
设14种方案下料时得到的原材料根数分别为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12，x13，x14，如表4-1所示。
表4-1 各种下料方式1234567891011121314s.t. 2x1＋x2＋x3＋x4≥80x2＋3x5＋2x6＋2x7＋x8＋x9＋x10≥350x3＋x6＋2x8＋x9＋3x11＋2x12＋x13≥420x4＋x7＋x9＋2x10＋x12＋2x13＋3x14≥10x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12，x13，x14≥0通过管理运筹学软件，我们可以求得此问题的解为：x1=40，x2=0，x3=0，x4=0，x5=116.667，x6=0，x7=0，x8=0，x9=0，x10=0，x11=140，x12=0，x13=0，x14=3.333最优值为300。
2．解：（1）将上午11时至下午10时分成11个班次，设x i表示第i班次新上岗的临时工人数，建立如下模型。
min f=16(x1＋x 2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＋x9＋x10＋x11)s.t．x1＋1≥9x1＋x2＋1≥9x1＋x2＋x3＋2≥9x1＋x2＋x3＋x4＋2≥3x2＋x3＋x4＋x5＋1≥3x3＋x4＋x5＋x6＋2≥3x4＋x5＋x6＋x7＋1≥6x5＋x6＋x7＋x8＋2≥12x6＋x7＋x8＋x9＋2≥12x7＋x8＋x9＋x10＋1≥7x8＋x9＋x10＋x11＋1≥7x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11≥0通过管理运筹学软件，我们可以求得此问题的解如下：x1=8，x2=0，x3=1，x4=1，x5=0，x6=4，x7=0，x8=6，x9=0，x10=0，x11=0，最优值为320。
运筹学课后习题答案
s1 = 2, s2 = 0
5 、解： 标准形式： min f = 11x1 + 8x2 + 0s1 + 0s2 + 0s3
10x1 + 2x2 − s1 = 20 3x1 + 3x2 − s2 = 18 4x1 + 9x2 − s3 = 36 x1, x2 , s1, s2 , s3 ≥ 0
s1 = 0, s2 = 0, s3 = 13 6 、解：
3 车间每增加 1 工时，总利润增加 200 元 2、4 车间每增加 1 工时，总利润不增加。 d 3 车间，因为增加的利润最大 e 在 400 到正无穷的范围内变化，最优产品的组合不变
f 不变 因为在 [0,500]的范围内
g 所谓的上限和下限值指当约束条件的右边值在给定范围内变化时，约束条
件 1 的右边值在 [200,440]变化，对偶价格仍为 50（同理解释其他约束条件）
2、解：从上午 11 时到下午 10 时分成 11 个班次，设 xi 表示第 i 班次安排的临时 工的人数，则可列出下面的数学模型： min f＝16（x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11） s．t． x1＋1 ≥ 9 x1＋x2＋1 ≥ 9 x1＋x2＋x3＋2 ≥ 9 x1＋x2＋x3＋x4＋2 ≥ 3
x1＝8，x2＝0，x3＝1，x4＝1，x5＝0，x6＝4，x7＝0，x8＝6，x9＝0， x10＝0，x11＝0 最优值为 320。
a、 在满足对职工需求的条件下，在 10 时安排 8 个临时工，12 时新安排 1 个临时工，13 时新安排 1 个临时工，15 时新安排 4 个临时工，17 时新 安排 6 个临时工可使临时工的总成本最小。
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5 b1 / 3 0 3 b1 / 5 0
60 30 b1
（３）由于技术上的突破，每单位产品B原材料的需 要减少为２单位，这时是否需要改变生产计划？为什么？
1 / 3 1 / 3 3 1 j c j CB B Pj 1 3 5 1 0 1 / 5 2 / 5 2
３
目标函数中x3的系数由１３变为８；
从最优单纯形表中我们可以看到x3为非基变量，则只 要 c j j 最优解不会发生变化， x3仍然为非基变量。
CB
5 0
XB
X2 S2
-5 X1 -1 16 0
5 X2 1 0 0
13 X3 3 -2 -2
0 S1 1 -4 -5
0 S2 0 1 0
b
1
2
0
0
s1
3 3/5
-1
-1 4/5
-3
1 1 0
0
-1 1/5
-1
15 6
最优解为：[0,0,6,15,0]
最优值为30
（２）求出使得最优解不发生变化的劳动力资源 b1 变 动范围。
1 1 3 1 3 B 1 2 5 5
5 b 3
第四章作业答案
作业
1 某公司制造三种产品A,B,C，需要两种资源 （劳动力和原材料），要求确定总利润最大的 最优生产计划，该问题的线性规划模型如下：
max Z = 3x 1 + x 2 + 5x 3 6x1 + 3x 2 + 5x 3 ≤ 45 s.t. 3x 1 + 4x 2 + 5x 3 ≤ 30 x , x , x ≥ 0 1 2 3
CB 0 0 13 0
XB S1 S2 X3 S2
5 0
X2 S2
-5 X1 -1 12 -5 -1/3 46/3 -2/3 -1 16 0
5 X2 1 4 5 1/3 2/3 2/3 1 0 0
13 X3 3 10 13 1 0 0 3 -2 -2
0 S1 1 0 0 1/3 -10/3 -13/3 1 -4 -5
当a的右端常数变 为30时，最优解将 改变。
1
0 b1 22.5
1 0 30 30 B b 4 1 90 30
CB 5 0 5 13
XB X2 S2 X2 X3
0 13
S1 X3
-5 X1 -1 16 0 23 -8 -16 -23/5 6/5 -20
不需要改变生产计划
（４）假如这时，又试制成新产品D，生产一个单位新 产品D需要劳动力４单位，原材料３单位，而每单位的新 产品D的利润为1元，请问这时生产计划是否要进行修改？ 为什么？
1 / 3 1 / 3 4 j c j CB B Pj 1 3 5 2 0 1 / 5 2 / 5 3
1
最优解不发生变化
５、新增一个约束条件 2x1 3x2 5x3 50 ； 将最优解X1=0，X2=20，X3=0带入新增约束条件， 有新增约束条件不满足，最优解发生变化。
20 10
由上表可知，σ3=-2，Δ c3=-5≤- σ3,故最优解不发生 变化。
４、X1的系数列向量由 1 变为 0
12
5
1 0 0 j c j CB B Pj 5 5 0 5 0 4 1 5
0 S2 0 1 0 0 1 0 0 1 0
b 20 90 20/3 70/3
20 10
１
1
约束条件(a)的右端常数由２０变为３０；
1 0 B 4 1
20 b 10
20 b1 0 10 4b1 0
20 b1 5 / 2
２
约束条件(b)的右端常数由９０变为７０；
1 0 B 4 1
1
20 b 10
10 b 2 0
b2 80
b2 10
当b的右端常数变 为70时，最优解将 改变。
1
1 0 20 20 B b 4 1 70 10
C1 ≤12 C1 ≥3 C1 ≤6 3 ≤ C1 ≤6
C1=2最优解发生变化
（１）求出使得最优解不变的产品A的单位利润变动 范围。问 c 2 时最优解是否会发生变化。
1
2
0
2
-10/3
1/3
-4/3
（１）求出使得最优解不变的产品A的单位利润变动 范围。问 c 2 时最优解是否会发生变化。
CB 5 0 5 13
XB X2 S2 X2 X3
-5 X1 -1 16 0 23 -8 -16
5 X2 1 0 0 1 0 0
13 X3 3 -2 -2 0 1 0
0 S1 1 -4 -5 -5 2 -1
0 S2 0 1 0 3/2 -1/2 -1
b 20 -10 5 5
最优解为[0,5,5,0,0]
其中
x1 , x2 , x3
(劳动力) (原材料)
是产品A,B,C的产量。
这个线性规划问题的最优单纯形表如下所示：
（１）求出使得最优解不变的产品A的单位利润变动 范围。问 c 2 时最优解是否会发生变化。
1
C1
0
C1
-4+C1/3
1-C1/3
-2+C1/3
-4+C1/3≤0 1-C1/3 ≤0 -2+C1/3 ≤0
1
不需要修改生产计划
2
已知线性规划问题
max Z = -5x 1 + 5x 2 +13x 3 -x 1 + x 2 + 3x 3 ≤ 20 s.t. 12x 1 + 4x 2 +10x 3 ≤ 90 x , x , x ≥ 0 1 2 3 (a) (b)
先用单纯形方法求出最优解，然后分析在下列各条件 下，最优解分别有什么变化？
5 X2 1 0 0 1 0 0 -1/5 2/5 0
13 X3 3 -2 -2 0 1 0 0 1 1/2
0 S1 1 -4 -51/2 -1 3/10 -11/10 -5/4
b 30 -30 -15 15
3 9
最优解为[0,0,9,3,0]