二维随机变量练习题

10、设二维随机变量 ( X, Y ) 的联合分布密度为
kx , f ( x, y) 0,
求：(1) k ;
0 x y 1; 其它
(3) F(1, 1/2) ;
(2) P (X+Y<1) ;
(4) (X,Y)关于 X, Y 的边缘密度； (5) f(y|x) ; (6) P(Y<1|X<1/2) ; (7) P(Y<1|X=1/2) .
(2) 判断 X 与 Y 是否独立？
7、已知(X,Y) 的联合分布函数
1 e 0.5 x e 0.5 y e 0.5( x y ) , x 0, y 0; F ( x, y) 其它 0,
判断：X,Y 是否独立？（独立）
8、设随机变量( X , Y ) 具有概率密度 cxy , f ( x, y) 0,
答案：(1) k = 6 ； (2) P (X+Y<1) =1/4; (3) F(1, 1/2) = 1/8 ；
(4) (X,Y)关于 X, Y 的边缘密度；
3 y 2 , 0 y 1 6 x(1 x ), 0 x 1 f X ( x) , fY ( y ) 0, other other 0,
(5) f(y|x) ；
1 f ( x, y) , x y1 当0 x 1 时， f ( y | x ) 1 x f X ( x ) 0, other
(6) P(Y<1|X<1/2) = 1 ； (7) P(Y<1|X=1/2) = 1.
11、设二维随机变量（X ,Y）的分布函数
（1）求常数 c；（c = 4） （2）判断 X 与 Y 是否独立？（独立）
0 x 1, 0 y 1 其它
9、设 ( X, Y ) 的分布密度为
cxy , 0 x y 1 ; f ( x, y) 其它 0,
（1）求常数 c；（c = 8）
（2）判断 X 与 Y 是否独立？（不独立）
第二章
2.6—2.9
主要内容 1、二维随机变量及其分布 内容：分布律、密度函数、分布函数 理解：三者的概念和性质 了解：三者的区别和联系 掌握：与它们有关的概率的计算 2、边缘分布 掌握：由联合分布函数求边缘分布函数 离散型：由联合分布律求边缘分布律 连续型：由联合密度求边缘密度
3、随机变量的独立性与条件分布 内容：三种形式的定义 已知分布函数，怎么判断独立； 已知分布律，怎么判断独立； 已知密度函数，怎么判断独立； 理解：独立性概念 掌握：用定义判断和证明随机变量间相互独 立与否； 会求简单的条件分布;
1、箱内装有12件产品，其中2件次品，每次从箱内任取 一 件，共取两次。设随机变量 X，Y 定义为：
0, 若第一次取出的是正品 X 1, 若第一次取出的是次品 若第二次取出的是正品 0， Y 1, 若第二次取出的是次品
试分别就有放回抽取与无放回抽取两种情况分别求：
（1）（X，Y）的联合分布律；
YLeabharlann BaiduX
1
2
3
1
1/6
1/3
1/9
a
1/18
b
2
(1)求 X,Y 的边缘分布列； (2)若 X,Y 相互独立，则 a ,b 的值是多少？
4、已知二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律
Y X
1 a 1/8
2 1/8 c e f
3 b d
Pi.
m n
0
1
P. j 1/6
若 X,Y 相互独立，求其余数值。
5、已知 X、Y 的分布律为
Y 0 1 X
0
13 a
1
b 16
且 X 0与 X Y 1 独立 ,
3 ,b1 6 . ___ ____ 则 a 1
6、已知随机变量 X, Y 的分布律为
X －1 0 ½ 1 ¼ Y 0 ½ 1 1/2
P
¼
P
而且 P(XY=0)=1.
(1) 求 X 与 Y 的联合分布律；
1 x F ( x , y ) 2 ( arctan )( arctan y ) 2 2 2
试求： （1）（X，Y）的概率密度； （2）（X，Y）的两个边缘概率密度； （3） P (0<X<2，0<Y<1) .
12、设 X 和 Y 是两个随机变量，且
3 4 P ( X 0, Y 0) , P ( X 0) P( Y 0) , 7 7
求 P(max( X, Y) 0) 的值？
5 答案： P (max( X, Y) 0) = 7
（2）关于X与Y的边缘分布律。
2、已知二维离散型随机变量(X,Y)的 联合分布律：
Y X
0
0.2 0 a
1
0 0.4 0
2
0.1 0 0.2
-1 0 1
(1) 求 a；
(2) F(0,3);
(3) 边缘分布律；
(4) P(XY=0); (5) P(X=1|Y=2) .
3、已知二维离散型随机变量(X,Y)的 联合分布律: