离散数学第三讲

二、容斥原理与鸽巢原理 1、 容斥原理(§1。3。) （计数原理、包含排斥原理） 容斥原理（包含排斥原理）： 设A ，B 是有限集，则

B

A B A B A -+=

容斥原理的相关推论： (i)

C B A C A C B B A C B A C

B A +---++= (ii) 利用归纳法

n

n n

k j i k

j

i

n

j i j

i

n

i i n A A A A A

A A

A A A A A A 211111321)1(-<<≤≤<≤=-+++

-

=∑∑∑

(iii)

U A A =+, A U A -=

(iv)

n

n A A A U A A A 2121-=

（注意基的具体含义）

设S 是有限集，r

P P P ,,,

21 是r 条性质，

i

A 是S 中具有性质

i P 的子集，即

}{

i

i P x S x x

A 具有性质,∈=

（i=1,2,…，r ） 则 （1）S 中至少具有性质

r

P P P ,,,21 一条的元素数是：

r

r r

k j i k

j

i

r

j i j

i

r

i i r A A A A A

A A

A A A A A A 211111321)1(-≤<<≤≤<≤=-+++

-

=∑∑∑

（2）S 中不具有性质r

P P P ,,,21 的

元素数是：

r

r A A A U A A A 2121-=

e.g 1 设2≥n ，)(n ϕ表示不超过n 且与n 互质的 正整数的个数，求)(n ϕ

该函数在计算机中称为EURTER 函数。 解：

}{n S ,,3,2,1 =

不妨令：

r

r

p p p n ααα⋅⋅= 1121 r p p p ,,,21 为互异的质

数； 设

}

{r i p x S x x A i i ,,2,1, =∈=且

则

j

i j i i

i p p n

A A p n A =

=,

r A A A n 21)(=ϕ……

2、 鸽巢原理（抽屉原理、鞋盒原理）（教材P63）

n+1个鸽子飞进n 个鸽巢，则可以找到一鸽巢里至少有2只鸽子。 或者：

如果k+1个或更多的物体放入k 个盒子，那么至少有一个盒子包含了2个或更多的物体。

e.g 1 把10个点放入边长为1的正三角形内，证明，可以

找到两个点，它们之间的距离不超过三分之一。

（具体问题，找鸽子，做笼子）

推广1、n 个鸽洞，（多于）1+⨯n r 个鸽子，必有一个鸽洞住有至少r+1 只鸽子。

推论2、 （平均数原理） 设

i x 是自然数，且

r n

x x x n

>+++ 21 )(N r ∈ 则 ∃ k x ，使得 1+≥r x k 。

证明：……

e.g 2 一个园盘划分为36个扇形，把1~36这36个数放入扇形中，每格一个数，证明无论怎样放，总可以找到三个连续的扇形，使得这三个扇形中的数之和 56。 解：…… 练习

No1 有n 个乒乓球运动员比赛，每人至少赛一场，同一对手至多比赛一场，证明这n 个运动员可以找到二个运动员，他们比赛的场数一样。 No2 设

n x x x ,,,21 是n 个正整数，

证明，其中至少存在若干个（下标）连续的数，使得它们的和是n 的倍数。

e.g 3 假定一组6个人，任意两个人或者是朋友或者是敌人，证明在这组人中或存在3个人彼此都是朋友，或存在3个人彼此都是敌人。(教材P65：例3.12)

（任意一个人和其他5个人的关系）

三、二元关系（第2章）

利用“有序偶”给出关系的定义，先看两个基本概念 1、 序偶与笛卡儿积

定义1 设A ，B 是两个非空集合，对B b A a ∈∈,，

则称（a,b ）为A 到B 上的一个序偶。

注：序偶讨论的是有序对，不同的书描述的是不一

样的；

显然 （i ）(a,b)=(c,d) a=c 且b=d (ii) (a,b)=(b,a) 一般不成立

定义2 非空集合A 到B 的所有序偶的集合，称为A

到B 上的积或笛卡儿积，

记为：B A ⨯

Descartes [1596-1650] 法国哲学家、数学家

e.g 1 设 }{}{b a B A ,,3,2,1==

求 （1）B A ⨯， （2）A B ⨯ （3）B B ⨯

……

e.g 2 R ( 全体实数集) （x,y ）平面坐标系中的

一个坐标、

R R ⨯ 的一个序偶

e.g 3 +N Z ,

+∈∈N q Z p q p ,,

),(

将 q p q p −−→−定义成

),( ； 如 53)5,3(-−−→−-定义成

则+⨯N Z 可看成全体有理数

以前遇到的很多事物和现象都可以看成序偶处理 e.g 4 设}2,1{=A ；写出 A A P ⨯)(

本书只讨论二元

另 A=B 时，记 2

A A A

B A =⨯=⨯ e.g 5 设

n B m A ==,

； 则 n m B A ⨯=⨯

有了笛卡儿积，进一步讨论关系的概念