高等代数一试题及参考答案

高等代数(一)考试试卷

一、单选题(每一小题备选答案中,只有一个答案就是正确的,请把您认为正确答案的题号填入答题纸内相应的表格中。错选、多选、不选均不给分,6小题,每小题4分,共24分) 1、 以下乘积中( )就是4阶行列式ij D a =展开式中取负号的项、

A 、11223344a a a a 、

B 、14233142a a a a 、

C 、12233144a a a a 、

D 、23413214a a a a 、

2.行列式1

3

4

02324a --中元素a 的代数余子式就是( )、

A 、

0324-、 B 、0324--、 C 、14

03

-、 D 、1403、 3.设,A B 都就是n 阶矩阵,若AB O =,则正确的就是( )、 A 、()()r A r B n +≤、 B 、0A =、 C 、A O =或B O =、 D 、0A ≠、

4.下列向量组中,线性无关的就是( )、

A 、{}0、

B 、{},,αβ0、

C 、{}12,,,r ααα,其中12m αα=、

D 、{}12,,

,r ααα,其中任一向量都不能表示成其余向量的线性组合、

5.设A 就是n 阶矩阵且()r A r n =<,则A 中( )、

A 、必有r 个行向量线性无关、

B 、任意r 个行向量线性无关、

C 、任意r 个行向量构成一个极大线性无关组、

D 、任意一个行向量都能被其它r 个行向量线性表出、

6.n 阶矩阵A 具有n 个不同的特征值就是A 与对角阵相似的( )条件、

A 、充要、

B 、充分非必要、

C 、必要非充分、

D 、非充分非必要、 二、判断题(正确的打√,错误的打×,5小题,每小题2分,共10分)、

1.若A 为n 阶矩阵,k 为非零常数,则kA k A =、 ( )

2.若两个向量组等价,则它们包含的向量个数相同、 ( )

3.对任一排列施行偶数次对换后,排列的奇偶性不变、 ( )

4.正交矩阵的逆矩阵仍就是正交矩阵、 ( )

5.任何数域都包含有理数域、 ( ) 三、填空题(每空4分,共24分)、

1.行列式00010

2

010000

D n n

=

=- 、 2.

已

知

5(1,0,1)3(1,0,2)(1,3,1),(4,2,1)

αβ---=--=-,

则

α= ,(,)αβ= 、

3.矩阵12311211022584311112A ---⎡⎤⎢⎥

--⎢

⎥=⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦

,则()r A = 、 4.设线性方程组11112211

21122222

1122n n n n n n nn n n

a x a x a x

b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩有解,其系数矩阵A 与增广矩阵A 的秩分别

为s 与t ,则s 与t 的大小关系就是 、

5.设111123111,124111051A B ⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦

,则1A B -= 、

四、计算题(4小题,共42分)

1.计算行列式(1)111

111111111a a a a

;(2)

11111

6

5

4

1362516121612564

、(每小题6分,共12分)

2.用基础解系表出线性方程组1234512345

12345123452321236222223517105x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪+++-=⎪⎨+++-=⎪⎪+--+=⎩的全部解、(10分)

3.求与向量组123(1,1,1,1),(1,1,0,4),(3,5,1,1)ααα==-=-等价的正交单位向量组、(10分)

4.求矩阵211020413A -⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥-⎣⎦

的特征根与特征向量、(10分)

一、单选题(每题4分,共24分)

二、判断题(每题2

分,共10分)

三、填空题(每空4分,共24分)

1.(1)2

(1)

!n n n --⋅; 2.(1)0;

3.3;

4.s t =;

5、35122

2

312

21211

2

-⎡⎤

⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

、 四、计算题(共42分)

1.(12分,每小题各6分) (1)解:

111

3111

1111

111311111

(3)111311111

111311111a a a a a a a a a a a a

a a a

++==+++ 、、、、、、、、、、、、、、(3分)

31

1

1

10100

(3)

(3)(1)00100

1

a a a a a a -=+=+--- 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、(3分)

注:中间步骤形式多样,可酌情加分

(2)解:

22223

3

3

3

1

111

1

111

16541654

1

36

25

161

654121612564

1654=,此行列式为范德蒙行列式 、、、、、、(3分) 进而