基于流线分析的涡旋识别

具有缠绕的形态，但如何定义缠绕实际上是个棘手的问题。另一方面，由速率、曲率和挠率
确定的参数族只是揭示了流线自身的局部拓扑特征，并不能描述相邻流线之间的关系，告诉
我们流线族形态信息：非缠绕的、缠绕的或互相缠绕的。这也就是为什么只有当这些特征表
现为奇性（相对于周围流线具有退化性）时才可用于作为涡旋形态的识别，那么有没有参数
dr (s) = n,
ds
r (0) = r0 ；
(4)
速率的大小只影响流体沿流线移动的快慢。
根据微分几何[5]，流线作为空间曲线的特征由弧长、曲率和挠率（当曲率非零时）确定，
即两条流线若存在一一对应且对应点具有相等的弧长、曲率和挠率，则它们仅差一个空间运
动（平移加旋转）。令 u = Vn ， ∂n = n ⋅ ∇ ，则曲率 κ 和挠率 ω 可以用（正交）Frenet 标架
分岔或退化为孤立点2；（2）速率非零但曲率为零处为流线的二阶奇点，流线局部平直；（3）
速率、曲率非零但挠率为零处为流线的三阶奇点，流线是局部平面的。
4．流线族分析
即使只从（瞬时）流线这个层面，如何定义涡旋仍然说法纷纭。比如弯曲的流线是不是 就意味着涡旋？涡旋是整体概念（如封闭的流线）还是局部概念？等等。按照传统的说法， 平面Rankine涡在整体上可以看作一个旋涡，包括刚体旋转涡核（区域3）和外面的无旋自由 涡，这里围绕中心轴（即涡核）的封闭流线是判断的依据，这种判断还被推广到三维流动[6]， 前提是涡核已经被给定。但是这种判断的问题有二：一是何以知道所分析的流场是全部流 场？对于全封闭流动和无限域流动这很清楚，但对于有出入口的流动（绝大部分数值模拟的 流场都是这一类）则无法知道，这样有些流线对全部流场来说可以是封闭的（被判断为涡旋 区）、对给定的流域却无法确定；二是涡核的确定，具有象平面Rankine涡这样简单涡核的 流动极少，许多复杂流动包含互缠绕或多重相互缠绕的涡旋，这时的涡核是多重的、实际上 无法唯一确定的。因此，从流线的整体形象去识别涡旋不仅在算法上繁复、在理念上也是模 糊不定的。那么是否可以从流线的局部弯曲特征来识别涡旋呢？比如，对于定常不可压流动， 加速度为
(∇u)T = n ⊗ ∇V +V (∇n)T = n ⊗ ∇V − u × w ，
(1)
其中右端第二项表示沿不同方向移动时速度矢量旋转变化，其旋转角由弯扭张量描述，它将 诱导垂直于流动方向的粘性力，第一项表示沿不同方向移动时速率的变化，由速率梯度描述， 其中沿垂直于流向移动时的变化记为 n ⊗ ∇⊥V ，它将诱导牛顿指出的所谓滑移摩擦粘性力， 而沿流向移动时的变化 ∂nVn ⊗ n 可利用不可压流动的连续方程 ∇ ⋅ u = V ∇ ⋅ n + ∂nV = 0 改写成
流场任意放大而不改变涡旋的判断，也就是说涡旋判据应该具有尺度不变性，这样被识别点
的流线的绝对弯曲特征是无关紧要的（曲率可以任意放大），即平移不变的流线族不应该被
识别为涡旋。下面我们要发展的就是具有尺度不变性的反映流线相互缠绕特征的涡旋识别方
法。
在垂直于流动方向的曲面内取一系列出发点得到的流线构成流线族。复杂涡旋的流线族
场的空间几何结构，对于定常流动，由于流线同时也是迹线和脉线，在相对流体系统静止的
-2-

参照系中它同时也反映了流体的物质同源构型。
流线形态与速率无关，定义流线弧长坐标 s ，则 ds = Vdτ ，可见无论速率分布如何，只 要速率零点和速度方向处处相同，速度场流线均有按弧长定义的矢径方程
1 2
V
∂
n
∂
nV
2
−V
3κ 2 ⎤⎦ n
+
∂n
V 3κ
ξ2 + V 3ωξ3 ,
Roth和Peikert[7]提出用加速度与速度的平行性即 u × a = V 3κ = 0 以及速度、加速度和速度的
二阶时间导数的混合积即 u ⋅ (a × b) = V 6κω = 0 来递次识别涡旋，从展开表达式可以看出，这
a
=
du dt
=
V
2
⎡⎣κξ2
−
(∇
⋅ n)n⎤⎦
，
2 这里的奇点是指具有零体积测度的点或点集，下同。 3 在涡旋识别研究中涡核通常指线状结构。
-3-

速度的二阶时间导数为
( ) b
=
d 2u dt 2
=
V ∂n
⎡⎣(V ∂nV
)n
+V
2κξ2
⎤⎦
=
⎡⎣
−V (∇ ⋅n)n ⊗ n ，反映流管的胀缩，它诱导的粘性力可称为伯努利粘性力。由此，对流项可
以写成
u ⋅∇u = −V (∇ ⋅n)u −Vu × w ⋅ n ，
(2)
它完全与 ∇⊥V 表示的滑移无关，而 w ⋅ n 表示流体沿流向运动单位距离时周围流体施于它的 旋转角（Vw ⋅n 则表示沿流向运动时周围流体施于它的角速度），它诱导的粘性力可称为涡旋 粘性力。
近期关于流动涡旋研究的一大动力是源于对数值模拟得到的大量数据的后处理，即如何 从这些计算结果提取关于流体运动形态的信息、进行涡旋结构的识别与显示（Detection and
1 本文工作得到中国自然科学基金（项目编号：10372038）和中国博士后基金的支持 -1-

涡旋的概念十分复杂。在理论分析中，涡旋常常用速度场的特征量来表征，如涡量、螺 旋度等，它们不仅与速度方向的旋转变化有关、还与速率的分布有关，人们还经常强调涡旋 表征的伽利略不变性。而真实流动显示中的涡旋是曲折流动的流体在当前时刻（或短时间） 留下的某种空间斑图，反映流体相互滑移和滑过的关系，这样的斑图可以是瞬时流线、脉线 和同源物质构型，它们有的与当前速度分布有关、有的与流动的历史有关。从定义来看：（1） 瞬时流线和脉线与参照系有关；（2）同源物质构型在不同惯性参照系下具有同步平移的协变 性；（3）在相对流体系统静止的参照系不同定义具有一致性。定常流动目前是检验各种涡旋 定义的有效性的平台。因为在定常流动中历史的影响完全不反映出来，涡旋的含义在这种流 动中可以各取所需地进行阐释。但是，无论怎样理解，我们真正关心的实际上是对流动演化 动力学起作用的那种涡旋概念（关于这一问题我们将另文进行讨论）。

基于流线分析的涡旋识别1
邹文楠 赵勇 董荭
南昌大学工程力学研究所, 江西南昌(330029)
email: zouwn@
摘 要：涡旋识别是流场分析中的核心课题之一。虽然目前还没有明确的涡旋定义，人们还 是发展了多种基于特征量(feature-based)的涡旋识别技术。本文以流线为研究对象，分析 流线特征并流线之间的缠绕关系进行涡旋的识别，确立速率、曲率、挠率作为流线特征识别 的参数系统，并推导了相邻流线之间缠绕关系的特征判据来定义涡旋(核)区域，建立了新的 涡旋识别的三参数系统，最后以 4 个典型涡旋流场的涡旋分析验证了识别方法的有效性。 关键词：弯扭张量，流线，涡旋区，涡核区，参数系统
(8)
称为二阶弯扭张量，则它在速度方向上的投影就是挠矢量：t = n,d = ωn 。可见弯扭张量沿
流向的变化已经通过曲率和挠率反映出来，下面我们考虑它们在垂直于速度方向的（局部） 平面内的变化。
设 n⊥ 为任一垂直于 n 的单位矢量：n⊥ ⋅n = 0 ，由于 n ⋅ w ≡ 0 ，弯扭张量在 n⊥ 方向上的投 影一定可以分解成
通过以上分析，我们知道，弯扭张量反映了速度场空间变化中的旋转特征，如果将这种 特征定义为速度场的涡旋（不妨称之为狭义的涡旋）特征的话，则弯扭张量就是涡旋的确切 表征。
3．流线分析
对任何流动，均可用瞬时速度场定义流线
dr (τ )
= u = Vn, dτ
r (0) = r0 。
(3)
流线布满流体空间、止于边界或形成回路，仅可能在速度为零处出现分岔。流线反映了速度
的幅度，故本文又分别用如下弯矢量 c 和挠矢量 t 来定义之：
c = n × ∂nn = κξ3 ， t = ξ3 × ∂nξ3 = ωξ1 = ωn 。
(6)
这样，速度矢量、弯矢量和挠矢量构成流线特征的递进识别的矢量族 {n, c, t} ，速率、曲率
和挠率则是相应的指标参数系统 {V , κ , ω} ：（1ห้องสมุดไป่ตู้速率为零处为流线的一阶奇点，流线在此
1．引言
涡旋在流场分析和流动理论中一直缺乏明确的定义（formal definition），Lugt (1972)[1] 曾建议将涡旋定义为众多流体微粒围绕一个公共中心的旋转运动，但由于无法预先知晓旋转 中心的定向和运动，使得这样一个似乎与我们的视觉感受一致的定义难以操作，后来 Roth (2000)[2]列出多种域型(region-type)涡旋和线型(line-type)涡核的可操作定义，并针对涡 轮机内流提出新的涡旋（核）表述，Jiang et al (2004)[3]选取九种典型的定义，按空间形 态（域型或线型）、伽利略不变性、检测过程的局部性和全局性进行分类，最近 Haller (2004)[4] 还在讨论涡旋的客观性问题。可见学术界关于涡旋的定义远没有定论，但由于它在各种流动 现象中的真实性、在流动（湍流）物理直观中的核心地位、在流场计算数据分析中的必要性 等等，涡旋已经成为是描述流动的最基本概念之一。
Visualization of Vortices）的问题。通常，需要引入一个或多个特征量（Feature）来建 立一种涡旋识别算法，文献采用过的有涡量 ω = ∇ × u 、螺旋度 h = V −2u ⋅ ω （V 是速率，也有 用速率与涡量幅值的乘积来标准化的）、速度梯度 J = ∇u 及其特征值、组合张量 Λ = S2 + Ω2 （其中 S, Ω 分别是速度梯度的对称部分和反对称部分）及其特征值、压力梯度 ∇p 、加速度 a = du dt 和速度的二阶时间导数 b = d 2u dt2 等特征量，也有通过追溯流线累积总体参数进行 识别的。类似于此，本文只讨论基于速度场的涡旋识别，通过分析瞬时流线结构，包括单条 流线的特性和相邻流线之间的关系，并以相邻流线之间的缠绕关系来定义涡旋(核)区，依此 提出新的涡旋识别算法，最后通过例子验证其有效性。
n⊥ , w = i1n⊥ + i2n × n⊥ ， 其中 i1 反映沿 n⊥ 方向的相邻流线之间的偏转关系， i2 反映沿 n⊥ 方向的相邻流线的偏离（接 近或远离）关系。我们关心的是流线之间的偏转关系。如果对任意的 n⊥ ， i1 都保持不变号， 则该处流线的周边流线相对它具有一致的偏转关系（ i1 > 0 为顺时针偏转， i1 < 0 为逆时针偏 转），这时我们称该处流线是被缠绕的（处在涡旋状态）。为了推导流线缠绕关系的实体表
可以直接描述流线族的形态呢？
前面的分析表明，流动方向的分布特征完全由弯扭张量（轴矢量值的微分1-形式）
w = n × dn ≡ w ⋅ dr
(7)
描述，弯矢量就是弯扭张量在速度方向上的投影： c = n, w = κξ3 。类似地，若用旋转轴矢
量 ξ3 定义另一个轴矢量值的微分1-形式
d = ξ3 × dξ3 ，
实际上就是用流线的曲率和挠率的递进奇性、亦即流线的局部弯曲特征作为判据的方法。这
种识别方法只涉及单一流线，不能反映相邻流线之间的关系，比如弯曲细管中的缓慢流动，
所有流线只差一个平移，流速增加后，流线会变得互相缠绕，这种识别方法不能体现这种变
化。然而弯曲细管中的缓慢流动是否就是涡旋流动呢？由于涡旋的局部性，我们可以将局部
{ξ1, ξ2 , ξ3} 定义：
ξ1 = n, ∂nξ1 = κξ2 , ∂nξ2 = −κξ1 + ωξ3 , ∂nξ3 = −ωξ2 ，
(5)
其中 ξ3 是沿流线移动时速度方向 n 的旋转轴，而沿流线移动时该旋转轴又会发生旋转，n 反
过来又是这一旋转轴矢量的旋转轴，曲率和挠率分别表示沿流线移动单位弧长时这两种旋转
2．速度场的弯扭张量
流体迁移时会受到周围流体运动形态的影响，加速度中有所谓对流项 u ⋅∇u ，流体粘性
力也与速度梯度 ∇u 密切相关。记 u = Vn ，定义 w = n × (∇n)T 为速度场的弯扭张量。由于
−n × w ≡ (∇n)T ，弯扭张量完全等价于速度方向的空间变化 ∇n 。
速度场的弯扭张量反映流体运动的曲折性，同时它也与垂直于流向的力相关联。比如速 度梯度可以写成