有关三角形与概念经典习题集
小学四年级数学三角形的分类(知识点梳理+典型例题)
小学四年级数学三角形的分类(知识点梳理+典型例题)三角形的相关概念考点一【三角形的特性】三角形的定义：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形三角形的高：从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足之间的线段三角形的底：这条对边叫做三角形的底用字母A、B、C分别表示三角形的三个顶点，这个三角形可以表示成三角形ABC三角形的性质：①物理特性：三角形具有稳定性（不易变形）②三边的特性：三角形任意两边的和大于第三边知识典例题型一：画出三角形的底边上的高例1：画出下面每个三角形底边上的高。
例2：画三条不同的高1题型二：三角形的内角和例1、王爷爷家的屋顶是一个等腰例2、根据三角形的内角和是180°，三角形（如图），求顶角的度数。
你能求出下面五边形的内角和吗？例3、一个三角形两个内角的度数分别为35°，67°，另一个内角的度数是（）°，这是一个（）三角形。
例4、在一个直角三角形中，一个锐角是75°，另一个锐角是（）。
题型三：等腰三角形和等边三角形的性质例1.一个三角形三条边的长度分别为7厘米，8厘米，7厘米，这个三角形是（）三角形。
例2.等腰三角形的底角是75°，顶角是（），等边三角形的每个内角都是（）。
例3.一个等腰三角形的一边长5厘米，另一边长4厘米，围成这个等腰三角形至少需要（）厘米长的绳子。
例4.在一个三角形的三个角中，一个是50度，一个是80度，这个三角形既是（）三角形，又是（）三角形。
题型四、求出三角形各个角的度数。
40°三角形的分类2考点一【三角形的分类】三角形（按角来分）锐角三角形：三个角都是锐角的三角形直角三角形：有一个角是直角的三角形钝角三角形：有一个角是钝角的三角形三角形（按边来分）三边不等三角形：三条边都不相等等腰三角形：有两条边相等等边三角形（正三角形）：三条边都相按照角大小来分：三角形，三角形，三角形。
经典初中数学三角形专题训练及例题解析
经典《三角形》专题训练知识点梳理考点一、三角形1、三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2、三角形的分类. ⎪⎩⎪⎨⎧钝角三角形直角三角形锐角三角形 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧)(等边三角形等腰三角形不等边三角形 3、三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.4、三角形的重要线段①三角形的中线：顶点与对边中点的连线,三条中线交点叫重心②三角形的角平分线：内角平分线与对边相交,顶点和交点间的线段,三个角的角平分线的交点叫内心③三角形的高：顶点向对边作垂线,顶点和垂足间的线段.三条高的交点叫垂心(分锐角三角形,钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同)5、三角形具有稳定性6、三角形的内角和定理及性质定理：三角形的内角和等于180°.推论1：直角三角形的两个锐角互补。
推论2：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。
推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
7、多边形的外角和恒为360°8、多边形及多边形的对角线①正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．②凸凹多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，若整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形称为凸多边形；，若整个多边形不都在这条直线的同一侧，称这样的多边形为凹多边形。
③多边形的对角线的条数:A.从n 边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，将多边形分成（n-2）个三角形。
B.n 边形共有2)3(-n n 条对角线。
9、边形的内角和公式及外角和①多边形的内角和等于（n-2）×180°(n ≥3)。
②多边形的外角和等于360°。
三角形 (按角分) 三角形 (按边分)10、平面镶嵌及平面镶嵌的条件。
①平面镶嵌：用形状相同或不同的图形封闭平面，把平面的一部分既无缝隙，又不重叠地全部覆盖。
②平面镶嵌的条件：有公共顶点、公共边；在一个顶点处各多边形的内角和为360°。
四年级三角形专题训练
四年级三角形专题训练一、三角形的认识基础题。
1. 由三条（）围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。
- 答案：线段。
- 解析：三角形的定义就是由三条线段首尾顺次相接围成的封闭图形。
2. 三角形有（）条边，（）个角，（）个顶点。
- 答案：3，3，3。
- 解析：这是三角形的基本特征，三条边、三个角和三个顶点。
3. 从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的（）。
- 答案：高。
- 解析：这是三角形高的定义，三角形的高是从一个顶点向对边作的垂线段。
4. 一个三角形有（）条高。
- 答案：3。
- 解析：因为三角形有三个顶点，过每个顶点都可以作对边的高，所以一个三角形有3条高。
二、三角形的分类题。
5. 三角形按角分类可以分为（）三角形、（）三角形和（）三角形。
- 答案：锐角、直角、钝角。
- 解析：锐角三角形是三个角都是锐角（小于90°）的三角形；直角三角形是有一个角是直角（等于90°）的三角形；钝角三角形是有一个角是钝角（大于90°小于180°）的三角形。
6. 一个三角形中最大的角是89°，这个三角形是（）三角形。
- 答案：锐角。
- 解析：因为最大角是89°，小于90°，所以三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形。
7. 一个三角形中至少有（）个锐角。
- 答案：2。
- 解析：直角三角形有2个锐角，钝角三角形也有2个锐角，锐角三角形有3个锐角，所以一个三角形至少有2个锐角。
8. 等腰三角形的两腰（），两个底角（）。
- 答案：相等，相等。
- 解析：这是等腰三角形的重要特征，两腰长度相等，两底角的度数相等。
9. 等边三角形的三条边（），三个角也（），每个角都是（）度。
- 答案：相等，相等，60。
- 解析：等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三条边都相等，根据三角形内角和是180°，三个角相等，所以每个角都是180°÷3 = 60°。
三角形的概念练习题
三角形的概念一、三角形的有关线段1.由 的三条线段 联结所组成的图形叫做三角形。
2．一个三角形有 条边， 个内角， 个顶点。
3．如下列图，图中有 个三角形，把它们用符号分别表示为4.三角形的三边关系：三角形任意两边的和 第三边； 三角形任意两边的差 第三边。
5. 三角形的高、三角形的中线、三角形的角平分线：在三角形中，从一个定点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做 。
联结一个顶点及其对边中点的线段叫做 。
三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做 。
二、三角形的分类1、按角分类： 。
2、按边分类： 。
3、三角形的三条中线相交于三角形内一点； 三角形的三条角平分线相交于三角形内一点；三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种： ①锐角三角形三条高的交点在 ； ②直角三角形三条高的交点在 ； ③钝角三角形三条高所在直线的交点在 。
课堂练习一、 填空题1. ∠1,∠2,∠3是△ABC 的不同的三个内角，那么∠1+∠2+∠3=2. ∠1,∠2,∠3是△ABC 的不同的三个外角，那么∠1+∠2+∠3=3. 三角形的三个外角中，最多有 个锐角，最多有 个钝角，最多有 个直角。
4. △ABC 的两个内角平分线BE 、CE 交于E 点， ∠A=50°,那么∠BEC= .5. △ABC 的∠B 和∠C 的外角平分线交于D ，∠A=40°,那么∠D= .6. 三角形的一个外角是锐角，那么这个三角形是 三角形。
7. 三角形的一个外角是直角，那么这个三角形是 三角形。
第（10）题ED CBA8. 三角形的一个外角是钝角，那么这个三角形是 三角形。
9. 在直角三角形中，一个锐角是30°，那么另一个锐角是 。
10. Rt △的两个锐角的和是 度。
11．长为11，8，6，4的四根木条，选其中三根组成三角形有 种选法，它们分别是12．如图，在△ABC 中，AE 是中线，AD 是角平分线，AF 是高，那么根据图形填空： ⑴BE= =21 ； ⑵∠BAD= =21 ；⑶∠AFB= =900； 13．在△ABC 中，假设∠A=800，∠C=200，那么∠B= 0， 假设∠A=800，∠B=∠C ，那么∠C= 014．△ABC 的三个内角的度数之比∠A ：∠B ：∠C=1：3：5，那么∠B= 0，∠C=15．如图，在△ABC 中，∠BAC=600，∠B=450，AD 是△ABC 的一条角平分线，那么∠DAC= 0，∠ADB=16．如图，∠1=∠2=300，∠3=∠4，∠A=800，那么=x ，=y二、选择题1. 三角形的三个外角中钝角最多有〔 〕A; 1个 B; 2个 C; 3个 D; 以上都不对2. 如果一个三角形一个外角小于和它相邻的内角，那么这个三角形是〔 〕A; 锐角三角形 B; 钝角三角形 C; 直角三角形 D; 锐角或钝角三角形 3. 假设∠A=∠B=∠C ，那么△ABC 是〔 〕A; 直角三角形 B; 锐角三角形 C; 斜三角形 D; 以上情况都不对 4. 假设∠A+∠B=∠C ，那么△ABC 是〔 〕A; 直角三角形 B; 锐角三角形 C; 钝角三角形 D; 等腰三角形 5. 如果△ABC 是等边三角形，那么〔 〕A; △ABC 是Rt △ B; △ABC 是钝角三角形 C; △ABC 是锐角三角形 D; △ABC 有一个外角是60度第（12）题B第（15）题D CBAA三、解答题1、在⊿ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，求∠A、∠B、∠C的度数.2、在⊿ABC中，角平分线BD、CE相交于点F，如果∠A=35°，求∠DEF的度数3、如图，∠BAC=70°，D是△ABC的边BC上的一点，且∠CAD=∠C，∠ADB=80°，求:∠C 的度数，∠B的度数.4．在△ABC中，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H 是BE和CF的交点，求∠ABE、∠ACF和∠BHE的度数。
认识三角形精品练习题
认识三角形精品练习题1. 三角形是平面几何中的重要概念，对于理解和运用三角形的性质非常重要。
为了帮助大家更好地认识三角形，以下是一些精品练习题，希望能够帮助大家巩固对三角形的认识。
2. 题目一：已知三边长分别为5 cm、6 cm和8 cm的三角形，求其周长和面积。
3. 题目二：已知三角形的底边长为12 cm，高为9 cm，求其面积。
4. 题目三：已知三角形的一个角为60°，另外两边的长度分别为5 cm和8 cm，求第三边的长度。
5. 题目四：已知三角形的两个角分别为40°和70°，求第三个角的度数。
6. 题目五：已知三角形的三个内角分别是30°、60°和90°，问它是什么三角形。
7. 题目六：已知三角形的三个顶点坐标分别为A(1, 2)，B(4, 5)和C(7, 2)，求其周长和面积。
8. 题目七：已知三角形的一个顶点坐标为D(3, 4)，另外两个顶点的坐标分别为E(6, 7)和F(2, 0)，求其周长和面积。
9. 题目八：已知三角形的两边长度分别为3 cm和4 cm，夹角的度数为30°，求其面积。
10. 题目九：已知三角形的两边长度分别为5 cm和6 cm，夹角的度数为45°，求其周长和面积。
11. 题目十：已知三角形的两边长度分别为7 cm和9 cm，夹角的度数为120°，求其周长和面积。
12. 题目十一：已知三角形的两个角分别为90°和45°，求第三个角的度数。
13. 题目十二：已知三角形的两边长度分别为4 cm和6 cm，夹角的度数为60°，求其第三边的长度。
14. 题目十三：已知三角形的三个顶点坐标分别为G(1, 3)，H(6, 2)和I(4, 7)，求其周长和面积。
15. 题目十四：已知三角形的一个顶点坐标为J(2, -1)，另外两个顶点的坐标分别为K(5, 4)和L(3, 7)，求其周长和面积。
三角形的有关概念练习题
认识三角形-—---三角形的有关概念练习一、填空题1。
由_________________________________的图形叫三角形。
2。
一个三角形中，最少有____个锐角,最多有____个直角.3。
三角形的两边长分别为5和7，则第三条边的长x 的取值范围是___________。
4.等腰三角形的周长为14，其中一边长为4，则另外两边长为___________。
5.∆ABC 中,∠A=50º, ∠B －∠C=10º，则∠B=______，∠C=______.6。
∆ABC 中,∠A=∠B+∠C ，则这个三角形是___________三角形。
7。
若等腰三角形的边长为11㎝和5㎝，则它的周长等于______㎝.8。
如图，图中共有______个三角形，其中以AC 为一边的三角形是____________.9。
如图，AE 是∆ABC 的中线,则_______=_______=21_______。
10.如图,若AE 是∠BAC 的平分线，ED 是∆AEB 的一条中线，那么图中相等的角是___________,相等的线段是___________。
11.如图，在∆ABC 中,AF 是高，则∠AFB=_________=_________。
(第8题图） (第9题图) (第10题图) （第11题图）12。
以∆ABC 的两边长为4和7，则周长的取值范围是_________.13.一个三角形的周长为18,三边长比为2：3：4，则最长边比最短边长_________。
14。
三角形按角分类为：____________________________________。
15。
三角形按边分类为:____________________________________。
16.一个等腰三角形的一边是5，另一边是8，则这个三角形的周长是_________。
17。
∆ABC 中，︒=∠60A ,︒=∠80C ，B ∠=_________,这个三角形是_________三角形。
四年级三角形经典例题
四年级三角形经典例题一、例题1：求三角形的内角和1. 题目已知一个三角形的三个内角分别为∠A、∠B、∠C，其中∠A = 50°，∠B = 60°，求∠C的度数。
2. 解析根据三角形内角和为180°。
已知三角形的内角和等于∠A+∠B +∠C = 180°。
已知∠A = 50°，∠B = 60°，则∠C=180°∠A ∠B。
即∠C = 180°-50° 60° = 70°。
二、例题2：根据三角形边的关系判断能否组成三角形1. 题目有三条线段，长度分别为3cm、4cm、8cm，能否组成三角形？2. 解析根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
先看较短两边之和与最长边的关系，3 + 4=7cm，7cm＜8cm。
所以这三条线段不能组成三角形。
三、例题3：等腰三角形的性质1. 题目已知一个等腰三角形的底角是40°，求顶角的度数。
2. 解析因为等腰三角形的两个底角相等。
三角形内角和为180°。
所以顶角的度数为180°-40°×2 = 180° 80°=100°。
四、例题4：直角三角形的性质1. 题目在一个直角三角形中，一个锐角是30°，求另一个锐角的度数。
2. 解析因为直角三角形有一个角是90°，三角形内角和为180°。
所以另一个锐角的度数为180° 90°30° = 60°。
探索三角形的深度知识习题与答案
探索三角形的深度知识习题与答案一、题目: 三角形的基本定义1.给出以下定义，判断下列哪些图形是三角形？a) 一个图形有三条边b) 一个图形有三个角c) 一个图形的三个角的和为180°答案: a) 和 c) 是三角形的定义，b) 不是三角形的定义。
二、题目: 三角形分类2.将以下三角形分类为锐角三角形、直角三角形或钝角三角形。
a) 30°-60°-90°三角形b) 45°-45°-90°三角形c) 100°-40°-40°三角形答案:a) 直角三角形b) 直角三角形c) 钝角三角形三、题目: 三角形的性质3.根据给定的信息，判断以下哪些陈述是真实的。
a) 等腰三角形的两条边是相等的b) 三角形的外角等于其相对内角的和c) 三角形的高可以是边上的任何线段d) 等边三角形的三个角度都是60°答案:a) 真实b) 真实c) 真实d) 真实四、题目: 三角形的面积4.计算以下三角形的面积。
a) 一个底边长为6cm，高为4cm的三角形b) 一个边长均为5cm的等边三角形c) 一个两边分别为7cm和9cm，夹角为30°的三角形答案:a) 面积= (6cm * 4cm) / 2 = 12cm^2b) 面积= (5cm * 5cm * √3) / 4 ≈ 10.83cm^2c) 面积= (7cm * 9cm * sin(30°)) / 2 ≈ 18.08cm^2五、题目: 三角形的角度计算5.利用三角形的性质计算以下三角形的缺失角度。
a) 在一个直角三角形中，已知一条边等于5cm，另一条边等于12cm，求第三条边的长度和三个角度。
b) 在一个等边三角形中，已知一个角度为60°，求另外两个角度。
c) 已知一个三角形的三个角度分别为45°，60°和75°，判断这个三角形的类型。
三角形知识点及典型例题
三角形知识点及典型例题一、基本概念三角形是由三条边和三个角所确定的平面图形。
根据边长和角度关系，可以将三角形分类为不同的类型。
以下是一些三角形的基本概念：1. 等边三角形：三条边长度相等的三角形。
等边三角形：三条边长度相等的三角形。
等边三角形：三条边长度相等的三角形。
2. 等腰三角形：两条边长度相等的三角形。
等腰三角形的两个底角相等。
等腰三角形：两条边长度相等的三角形。
等腰三角形的两个底角相等。
等腰三角形：两条边长度相等的三角形。
等腰三角形的两个底角相等。
3. 直角三角形：其中一个角度为90度的三角形。
直角三角形：其中一个角度为90度的三角形。
直角三角形：其中一个角度为90度的三角形。
4. 锐角三角形：三个角度均小于90度的三角形。
锐角三角形：三个角度均小于90度的三角形。
锐角三角形：三个角度均小于90度的三角形。
5. 钝角三角形：其中一个角度大于90度的三角形。
钝角三角形：其中一个角度大于90度的三角形。
钝角三角形：其中一个角度大于90度的三角形。
二、三角形的性质三角形具有一些重要的性质，了解这些性质有助于解决三角形相关的问题。
以下是一些常见的三角形性质：1. 内角和：三角形的三个内角之和等于180度。
内角和：三角形的三个内角之和等于180度。
内角和：三角形的三个内角之和等于180度。
2. 外角和：三角形的三个外角之和等于360度。
外角和：三角形的三个外角之和等于360度。
外角和：三角形的三个外角之和等于360度。
3. 三边关系：三角形的任意两边之和必须大于第三边。
三边关系：三角形的任意两边之和必须大于第三边。
三边关系：三角形的任意两边之和必须大于第三边。
4. 中线关系：三角形的三条中线会交于一个点，该点被称为三角形的重心。
中线关系：三角形的三条中线会交于一个点，该点被称为三角形的重心。
中线关系：三角形的三条中线会交于一个点，该点被称为三角形的重心。
三、典型例题1. 例题1：已知一个三角形的三个内角分别为60度、80度和40度，判断该三角形的类型。
三角形的认识习题精选
三角形的认识习题精选
三角形是几何学中的基本形状之一，它由三条线段构成，呈现出三个角和三个顶点。
以下是一些认识三角形的题，帮助加深对三角形性质和关系的理解。
1. 三角形分类
给出以下三组线段长度，请判断每组线段是否能够构成一个三角形，并说明是什么类型的三角形：等边三角形、等腰三角形还是普通三角形。
- a) 4cm, 5cm, 6cm
- b) 3cm, 3cm, 3.5cm
- c) 7cm, 9cm, 7cm
2. 角度求解
已知一个三角形的两个角度的度数分别为60°和80°，请计算第三个角度的度数。
3. 三角形面积计算
已知一个三角形的底边长为12cm，高为8cm，计算其面积。
4. 三角形中线关系
在一个三角形中，三条中线将三个顶点连接到相对边的中点。
如果一个三角形的三条中线的长度分别为4cm、5cm和6cm，这个三角形的周长是多少？
5. 三角形相似判断
给出以下两个三角形的边长，请判断它们是否相似：
- 三角形ABC，边长分别为5cm、8cm和11cm
- 三角形XYZ，边长分别为7.5cm、12cm和16.5cm
以上题旨在巩固对三角形的认识，运用相关定理和公式解决问题。
通过解答这些题，希望能加深对三角形性质和关系的理解。
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注：本文档中的内容来自于对三角形的基本认识和相关数学理论，但具体数据仅作示例用途，非真实数据。
三角形知识点及练习题
三角形知识点及练习题三角形是几何学中的重要图形之一，它由三条线段组成，其中任意两条线段之和大于第三条线段。
本文将介绍三角形的基本概念、性质以及一些实践练习题，帮助读者更好地理解和掌握三角形的知识。
一、三角形的基本概念1. 定义：三角形是由三个线段构成的图形，每个线段称为三角形的边，而三个顶点则是边的相交点。
2. 命名：三角形根据边的相对长度和角的大小进行命名。
例如，边长相等的三角形称为等边三角形，角相等的三角形称为等角三角形。
3. 分类：根据边长关系，三角形可以分为等腰三角形和不等腰三角形；根据角度关系，三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
二、三角形的性质1. 内角和定理：三角形的三个内角之和等于180度（180°）。
2. 外角和定理：三角形的一个内角的外角等于其他两个内角的和。
3. 直角三角形的性质：直角三角形的两个直角边平方和等于斜边的平方，即勾股定理。
4. 等边三角形的性质：等边三角形的三边相等，三个内角也相等，每个角都是60度（60°）。
5. 等腰三角形的性质：等腰三角形的两边相等，对应的两个内角也相等。
三、三角形的练习题1. 问题一：已知三角形ABC，AB = 3cm，BC = 4cm，AC = 5cm，请判断这个三角形是什么类型的三角形？解答：根据边长关系，可以判断三角形ABC是一个直角三角形，因为满足勾股定理，3² + 4² = 5²。
2. 问题二：已知三角形PQR，角P = 45度（45°），角Q = 90度（90°），请判断这个三角形是什么类型的三角形？解答：根据角度关系，可以判断三角形PQR是一个直角三角形，因为角Q为直角。
3. 问题三：已知三角形XYZ，XY = YZ = 6cm，ZX = 8cm，请判断这个三角形是什么类型的三角形？解答：根据边长关系，可以判断三角形XYZ是一个等腰三角形，因为XY = YZ。
三角形 知识点+考点+典型例题(含答案)
第七章三角形【知识要点】一．认识三角形1．关于三角形的概念及其按角的分类定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2．三角形的分类：①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
②三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形。
2．关于三角形三条边的关系（判断三条线段能否构成三角形的方法、比较线段的长短）根据公理“两点之间，线段最短”可得：三角形任意两边之和大于第三边。
三角形任意两边之差小于第三边。
3．与三角形有关的线段．．：三角形的角平分线、中线和高三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与对边相交形成的线段；三角形的中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段，三角形任意一条中线将三角形分成面积相等的两个部分；三角形的高：过三角形的一个顶点做对边的垂线，这条垂线段叫做三角形的高。
注意：①三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；②任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。
但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直角边；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部。
④一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。
（三角形的三条高（或三条高所在的直线）交与一点，锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点是直角顶点，钝角三角形高（所在的直线）的交点在三角形的外部。
）4．三角形的内角与外角（1）三角形的内角和：180°引申：①直角三角形的两个锐角互余；②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；③一个三角中至少有两个内角是锐角。
（2）三角形的外角和：360°（3）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；——常用来求角度②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
三角形培优训练100题集锦(一)2024
三角形培优训练100题集锦（一）【引言概述】三角形是数学中的一个重要几何概念，对于学生的数学培优训练具有重要意义。
本文整理了一份包含一百道三角形相关题目的训练集锦，旨在帮助学生系统地掌握三角形的性质、定理和计算方法，提高解题能力。
以下将从五个大点来阐述这份题集的内容。
【大点1：三角形基础知识】1. 三角形的定义及分类2. 三角形内角和的性质3. 三角形边长关系：三角不等式定理4. 三角形的周长和面积计算公式5. 三角形的特殊点：重心、垂心、外心、内心、费马点等【大点2：三角形的相似与全等】1. 相似三角形的性质2. 判定三角形相似的方法3. 三角形的全等的条件4. 利用相似三角形或全等三角形解题的方法5. 实际问题中的应用：测量、定位、相似比例等【大点3：三角形的角与线段关系】1. 角的平分线与垂直平分线的特点2. 三角形的角平分线定理3. 三垂线定理与垂心定理4. 外角与内角的关系5. 角与弧的关系及其应用：圆周角、弦切角、弧度制等【大点4：三角形的特殊性质与定理】1. 等腰三角形的性质与判定2. 直角三角形的性质与判定3. 正三角形的性质及计算4. 等边三角形的性质及计算5. 锐角三角形和钝角三角形的性质及判定【大点5：三角形的应用问题】1. 三角形的角度测量与边长测量2. 三角形在建筑工程中的应用：测量高度、角度与距离3. 三角形在地理学中的应用：测量地底深度、地图测量等4. 三角形在航空航天领域的应用：导航、角度计算等5. 三角形在日常生活中的应用：地理问题、旅行导航、地震角度计算等【总结】通过对本文中所整理的三角形培优训练100题集锦的学习，同学们将能够掌握三角形的基础知识，灵活运用三角形的相似与全等等性质和定理，熟练解决三角形的角与线段关系问题，理解各种特殊三角形的性质，并能够应用三角形的知识解决实际问题。
这将为学生的数学学习和思维能力的提高提供坚实的基础。
认识三角形精品练习题
认识三角形1、三角形的定义：由3条不在同一直线上的线段，首尾依次相接组成的图形称为三形。
如右的图形就是一个三角形2、 三角形的各组成部分3.三角形表示：“△”来表示一个三角形，如上图中，此三角形可以表示为△ABC ，或△ACB 或△BAC 等等。
4、三角形的分类 1）按角分2）按边分5.三角形三边性质：三角形任意两边之和大于第三边；两边之差<第三条边<两边之和试一试：1. △AB C 中，已知a =8,b =5，则c 为 ( ) A.c =3 B.c =13 C.c 可以是任意正实数 D.c 可以是大于3小于13的任意数值2. 下列长度的4根木条中，能与4cm 和9cm 长的2根木条首尾依次相接围成一个三角形的是（ ）A 、4cmB 、9cmC 、5cmD 、13cm3. 有下列长度的三条线段能构成三角形的是 ( ) A.1 cm 、2 cm 、3 cm B.1 cm 、4 cm 、2 cm C.2 cm 、3 cm 、4 cm D.6 cm 、2 cm 、3 cm4 、如图，以∠C 为内角的三角形有 和 在这两个三角形中，∠C 的对边分别为 和 5、等腰三角形的一边长为3㎝，另一边长是5㎝，则它的第三边长为6、三角形的三边长为3，a ，7，则a 的取值范围是 ；如果这个三角形中有两条边相等，那么它的周长是 ；7一个三角形的两边长分别为2㎝和9㎝,第三边长是一个奇数,则第三边的长为___________,此三角形的周长为_________.8一个等腰三角形的两边分别为2.5和5，求这个三角形的周长。
9、画一个三角形，使它的三条边长分别为3 cm 、4 cm 、6 cm.三条重要线段；1、高的定义：在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点与垂足之间的线段称为三角形的高。
注：（1）三角形的高必为线段；（2）三角形的高必过顶点垂直于对边；（3）三角形有三条高。
2、三角形的角平分线1 、定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点间的线段称为三角形的角平分线。
八年级数学三角形经典例题
八年级数学三角形经典例题一、三角形内角和定理相关例题。
1. 在△ABC中，∠A = 50°，∠B - ∠C = 10°，求∠B和∠C的度数。
- 解析：- 因为三角形内角和为180°，即∠A+∠B + ∠C = 180°，已知∠A = 50°，所以∠B+∠C=180° - 50° = 130°。
- 又因为∠B - ∠C = 10°，设∠C=x°，则∠B=(x + 10)°。
- 可得方程x+(x + 10)=130，2x+10 = 130，2x=120，x = 60。
- 所以∠C = 60°，∠B=∠C + 10°=70°。
2. 一个三角形三个内角的度数之比为2:3:4，求这个三角形三个内角的度数。
- 解析：- 设三个内角分别为2x°，3x°，4x°。
- 根据三角形内角和定理，2x+3x + 4x = 180，9x = 180，x = 20。
- 所以三个内角分别为2x = 40°，3x = 60°，4x = 80°。
二、三角形三边关系相关例题。
3. 已知三角形的两边长分别为3cm和5cm，求第三边的取值范围。
- 解析：- 根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
- 设第三边为xcm，则5 - 3<x<5 + 3，即2<x<8。
4. 有四条线段，长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm，从中任取三条能组成三角形的概率是多少？- 解析：- 从四条线段中任取三条的组合有：2cm、3cm、4cm；2cm、3cm、5cm；2cm、4cm、5cm；3cm、4cm、5cm共4种情况。
- 根据三角形三边关系判断：- 2cm、3cm、4cm：2+3>4，3 - 2<4，能组成三角形。
四年级三角形的知识点总结及练习题
四年级三角形的知识点总结及练习题一、三角形的定义在平面内，由三条不在一条直线上的线段连接成的图形叫做三角形。
二、三角形的分类三角形可以根据边长和角度的不同分为以下几种：1.根据边长分类（1）等边三角形三条边都相等的三角形，也叫正三角形。
（2）等腰三角形至少有两条边相等的三角形，其中相等的两边成为两腰，两腰之间的夹角叫做顶角。
（3）普通三角形三条边都不相等的三角形。
2.根据角度分类（1）锐角三角形三个角都小于90度的三角形。
（2）直角三角形三角形中有一个90度的角，这个角所对的边叫做斜边，另外两个角和边分别叫做直角和直角边。
（3）钝角三角形三个角中有一个角大于90度的三角形。
三、三角形的性质1.角的性质三角形的三个内角一定相加等于180度。
2.边的性质（1）任何一条边都小于其它两边之和。
（2）任何一条边都大于其它两边之差。
（3）两边之和大于第三边。
四、三角形的面积1.海龙公式当已知三角形的三边长a、b、c时，海龙公式计算三角形的面积S：s = (a+b+c)/2S = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))2.高度公式当已知三角形的底边长b和高度h时，高度公式计算三角形的面积S：S = 1/2 * b * h五、练习题1.判断下列各图形是否为三角形。
image1解答：不是三角形，三条线段不在同一平面内。
2.判断下列各图形是否为等边三角形。
image2解答：不是等边三角形，两边长度不相等。
3.已知三角形的三边长分别为3cm、4cm和5cm，求其面积。
解答：s = (a+b+c)/2 = (3+4+5)/2 = 6S = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c)) = sqrt(632*1) = 3√6 所以该三角形面积为3√6(cm²)。
4.已知三角形的底边长为6cm，高度为4cm，求其面积。
解答： S = 1/2 * b * h = 1/2 * 6 * 4 = 12 所以该三角形面积为12(cm²)。
初中三角形有关知识点总结及习题大全
初中三角形有关知识点总结及习题大全一、三角形内角和定理一、选择题40°1.如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B = 40°，∠ACD = 120°，则∠A等于（）A．60°B．70°C．80°D．90°????B°C2.将一副三角板按图中的方式叠放，则角?等于（）A．75 B．60 C．45D． ?∠1=55?，∠2=45?，3.如图，直线m∥n，则∠3的度数为（）A．80? B．90?C．100? D．110?【解析】选C. 如图，由三角形的外角性质得?4??1??2?550?450?1000，由m∥n，得?3??4?10005.（xx·中考）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，?1?30°，?2?50°，则?3的度数等于（） A．50°B．30°C．20°D．15°【解析】选C 在原图上标注角4，所以∠4=∠2，因为∠2=50°，所以∠4=50°，又因为∠1=30°，所以∠3=20°；6.（xx·朝阳中考）如图，已知AB∥CD,若∠A=20°，∠E=35°，则∠C等于（）. A.20°B. 35°C. 45°D.55°【解析】选D 因为∠A=20°，∠E=35°，所以∠EFB＝55o，又因为AB∥CD,所以∠C＝∠EFB＝55o；7.（xx·呼和浩特中考）已知△ABC的一个外角为50°，则△ABC一定是（） A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．钝角三角形或锐角三角形【解析】选B 因为△ABC的一个外角为50°，所以与△ABC的此外角相邻的内角等于130°，所以此三角形为钝角三角形. 8.（xx·聊城中考）如图，?1?100?，?2?145?，那么?3?（）6A．55°B．65°C．75°D．85°答案：选B 二、填空题9.（xx·常德中考）如图，已知AE//BD，∠1=130o，∠2=30o，则∠C=．【解析】由AE//BD得∠AEC=∠2=30o，∴∠C=180°-∠1-∠AEC=180°-130o-30o=20o 答案：20o10.（xx·邵阳中考）如图，AB//CD,直线EF与AB、CD分别相交于E、F两点，EP平分∠AEF,过点F作FP⊥EP,垂足为P，若∠PEF=30,则∠PFC=__________。
三角形 相关概念难点及答案解析
1．与三角形有关的线段1.1三角形的概念1.1.1概念：由不在同一条直线上的三条_____首尾_______所组成的图形叫做______。
1.1.2特征：（1）三条______（2）三个顶点不在同_____上（3）三条线段______相接【答案】线段，顺次相接，三角形；线段，直线，首位顺次1.1.3三角形的有关概念（1）边：如图所示，线段______、______、______是三角形的边.△ABC的三边有时也用a,b,c来表示.顶点A所对的边______用a表示，顶点B所对的边______用b表示，顶点C所对的边______用c表示.（2）顶点：如图所示，点______,______,_____是三角形的顶点.（3）角：如图所示，______,______,______是相邻两边组成的角，叫做三角形的______，简称三角形的角.注意:任意三角形都有三个______，三条______，三个______.AB，BC，AC；BC，AC，AB;A，B，C;∠A，∠B，∠C，内角；顶点，线段，角1.1.4三角形的表示方法：顶点是A，B，C的三角形，记作△ABC，读作“_______”.注意:（1）符号“△”代表“______”，其后必须紧跟表示三角形三个顶点的______字母，字母顺序可以自由排列，即______,______,______,_______,______,______表示同一个三角形.（2）“△”不能单独使用，如“三角形的边”不能写成“△的边”.【答案】三角形，ABC；三角形，大写；△ABC，△ACB，△BCA，△BAC，△CAB，△CBA 1.2三角形的分类1.2.1按内角的大小分类锐角，直角，钝角1.2.2按边的相等关系分类【答案】不相等，等腰，底边，腰，等边1.3三角形的三边关系图形文字语言数学语言理论依据三角形两边的和______第三边a+b＞cb+c＞aa+c＞b两点之间,_____最短三角形两边的差_______第三边a-c＜bb-c＜aa-c＜b 注意：三角形三边关系中的“两边”是指任意两边.【答案】大于，小于，线段三角形三边关系的应用（1）判断三条线段能否组成三角形.只需选择两条较短的线段______，若两条线段的和______最长线段，则这三条线段能组成三角形，否则不能.（2）已知三角形两条边的长为a，b，求第三条边的长c的取值范围.根据三角形的三边关系，第三条边的长c的取值范围是_______.【答案】求和，大于；|a-b|<c<a+b.1.4三角形的高1.4.1定义:从三角形的一个顶点向它______画______，顶点和垂足之间的_______叫做三角形的这条边上的______.1.4.2几何语言:如图①AD是△ABC的边______上的高；②AD⊥BC于点D.1.4.3三角形的高的画法：用三角板过某一顶点向其______或______画垂线，交对边或对边延线于一点，所得的______就是这条边上的高.注意:画三角形的高时，一定要明确画的是三角形哪一条边上的高.【答案】所对的边，垂线，线段，高，BC；对边，对边的延长线，垂线段拓展：三角形的高分如下三种情况:（1）如图11.1-6（1），________三角形的三条高都在三角形内部，三条高交于三角形内部；（2）如图11.1-6（2），________三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角内部，三条高的交点为直角顶点；（3）如图11.1-6（3），________三角形有两条高在三角形外部，另一条高在三角内部，三条高没有交点，但三条高所在的直线交于三角形外一点.【答案】锐角，直角，钝角1.5三角形的中线1.5.1定义:在三角形中，连接一个顶点和它所对的边的______，所得______叫做三角形的这条边上的______.【答案】重心，面积1.6三角形的角平分线【答案】平分线，对边，线段，角平分线；线段，射线1.7三角形的稳定性1.7.1概念当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有______.注意：（1）______是三角形特有的，在生产和生活中具有广泛的应用，有很多需要保持稳定性的物体都被制成三角形或包含三角形的形状，如起重机、钢架桥等.（2）四边及四边以上的图形不具有______，为保证其稳定性，常在图形中构造三角形.四边形的不稳定性在生活中也有广泛的应用，如活动挂架、伸缩门等.【答案】稳定性，稳定性，稳定性2.与三角形有关的角2.1三角形的内角和定理2.1.1三角形内角和定理:三角形三个内角的______等于______.2.1.2几何语言:在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.【答案】和，180°2.1.3三角形内角和定理的操作探究:如图11.2-1所示，把△ABC的三个内角拼在一起，组成一个______，即△ABC三个内角的和等于______.三角形内角和定理的证明已知：△ABC（图11.2-2）求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.证明：如图11.2-2，过点A作直线L，使L∥BC.∵L∥BC，∴∠2＝∠4（_______）同理∠3＝∠5.∵∠1，∠4，∠5组成平角，∴∠1＋∠4＋∠5＝180°（_______）.∴∠1＋∠2＋∠3＝180°（_______）∴∠BAC＋∠B＋∠C＝180°注意：（1）在一个三角形中，已知两个内角的度数，可求出第三个内角的度数.（2）在一个三角形中，已知三个内角的关系，则可用未知数表示这三个角，然后列方程求出各内角的度数.（3）三角形的三个内角中至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角，且是三角形中最大的角.【答案】平角，180°；两直线平行，内错角相等；平角定义；等量代换2.2三角形的外角2.2.1定义：如图11.2-7，把△ABC的一边延长得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做________.注意：（1）三角形每一个顶点处都有______外角，它们是______，所以三角形共有______外角；（2）三角形的内角的对顶角不是这个三角形的______.【答案】三角形的外角；两个，对顶角，六个；外角2.2.2三角形外角的性质:三角形的外角等于与它_______的两个内角的_______.如图11.2-7，∠ACD=∠A+∠B注意：在三角形外角的性质中，一定要特别关注“不相邻”这个条件，否则容易产生错误.三角形外角的性质的常见应用（1）已知一个外角及与它不相邻的两个内角中的一个，可求另一个内角；（2）可用于证明一个角等于另两个角的和；（3）作为中间关系证明两个角相等.【答案】不相邻，和拓展：（1）三角形的外角______任何一个与它不相邻的内角.（2）三角形的外角和：在三角形的每个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角的和叫做______.（3）三角形的外角和定理：______.【答案】大于；三角形的外角和；三角形的外角和是360°注意：（1）三角形的外角和与它相邻的内角互为_______.（2）当三角形的外角______与它相邻的内角时，这个三角形是________；当三角形的每个外角都______与它相邻的内角时，这个三角形是________；当三角形的一个外角______与它相邻的内角时，这个三角形是________.【答案】邻补角；等于，直角三角形；大于，锐角三角形；小于，钝角三角形2.3直角三角形的性质2.3.1性质:直角三角形的两个锐角______.2.3.2几何语言:如图11.2-5所示，在△ABC中，如果∠C=90°，那么∠A+∠B=90°.注意：使用该性质的前提条件是在_______中.2.3.3直角三角形的表示:直角三角形可以用符号“_______”表示，直角三角形ABC可以写成________.注意：“Rt△”后必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的______字母，不能单独使用.如“直角三角形的边”不能写成“Rt△的边”.【答案】互余直角三角形Rt△Rt△ABC大写2.4直角三角形的判定2.4.1判定：有两个角互余的三角形是________.2.4.2几何语言:如图11.2-5所示，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么△ABC 是________.注意：（1）使用该判定方法时要确定这两个锐角在同一个三角形中.（2）也可以利用直角三角形的定义来判定直角三角形，即有一个角是直角的三角形是直角三角形.注意：（1）“直角三角形的两个锐角______”及“有两个角互余的三角形是_______”的推理依据都是_______.（2）在直角三角形中，若已知两个锐角之间的关系，可结合两个锐角互余求出每个锐角的大小，不需要再利用三角形内角和定理求解.【答案】直角三角形，直角三角形；互余，直角三角形，三角形内角和定理3.多边形及其内角和3.1多边形的概念3.1.1多边形定义：在平面内，由一些______首尾顺次相接组成的封闭图形叫做_______.多边形按组成它的线段的_______分成三角形、四边形、五边形……三角形是简单的多边形.如果一个多边形由n条线段组成那么这个多边形就叫做_______.【答案】线段，多边形，条数，n边形3.1.2多边形的相关概念（1）边：组成多边形的各条______.（2）顶点：相邻两条边的_______.（3）内角：多边形_______两边组成的角.如图，∠BAE，∠B，∠BCD，∠CDE，∠E是五边形ABCDE的五个内角.（4）外角：多边形的边与它的邻边的_______组成的角.如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角.（5）对角线：连接多边形_______的两个顶点的线段.如图，AC，AD是五边形ABCDE的两条对角线.注意：（1）初中阶段我们研究的多边形均为_______.（2）多边形用表示它的各个顶点的______字母表示.表示多边形要按顶点的______书写，可以按顺时针或逆时针的顺序.【答案】线段，公共端点，相邻，延长线，不相邻；平面图形，大写，顺序3.1.3凸多边形多边形可分为______（1）和________（2）.画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是________.本节只讨论凸多边形.【答案】凸多边形，凹多边形，凸多边形3.1.4正多边形各个角都______，各条边都______的多边形叫做________.注意：“各个角都相等，各条边都相等”是正多边形的两个必备条件，二者缺一不可.【答案】相等，相等，正多边形3.1.5n边形的对角线从n边形的一个顶点出发，可以作______条对角线，它们将n边形分为______个三角形，n边形一共有条_______对角线.【答案】（n-3），（n-2），n n 323.3.2多边形的外角和：如图11.3-4所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6就是六边形ABCDEF的外角和。
初中三角形经典题型
1、在三角形ABC中，若∠A = 60°，∠B = 40°，则∠C的度数为：A. 70°B. 80°C. 90°D. 100°（答案）B2、已知三角形三边长度分别为3、4、5，则该三角形为：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法确定（答案）B3、三角形的高线、中线、角平分线：A. 都是线段B. 都是射线C. 都是直线D. 高线是射线，中线、角平分线是线段（答案）A4、在三角形ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则DE是三角形ABC的：A. 高B. 中线C. 角平分线D. 中位线（答案）D5、若三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，则这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形（答案）B6、已知三角形ABC的三边a、b、c满足a²+ b²= c²+ 2ab，则三角形ABC是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形（答案）C（注：原式可改写为a²+ b²- 2ab = c²，即(a - b)²= c²，但此题考察的是三角形的性质，实际上当a²+ b²= c²+ 2ab时，说明∠C为钝角）7、在三角形ABC中，若AB = AC，且∠B = 70°，则∠A的度数为：A. 40°B. 55°C. 70°D. 110°（答案）A8、下列说法中，正确的是：A. 三角形的角平分线、中线和高都在三角形内部B. 直角三角形只有一条高线C. 三角形的三条高线至少有一条在三角形内部D. 三角形的三条角平分线都在三角形外部（答案）C。
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11、三角形及有关概念
【知识精读】
1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2. 三角形中的几条重要线段：
（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心） （2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心） （3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心） 3. 三角形的主要性质
（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边； （2）三角形的内角之和等于180°
（3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和； （4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角； （5）三角形具有稳定性。
4.
S S ABE ∆⋅
利用三角形的性质去研究多边形。
实际上对于一些曲线，也可以利用一系列的三角形去逼近它，从而利用三角形的性质去研究它们。
因此，学好本章知识，能为以后的学习打下坚实的基础。
5. 三角形边角关系、性质的应用 【分类解析】
例1. 锐角三角形ABC 中，∠C ＝2∠B ，则∠B 的范围是（ ） A. 1020︒<<︒∠B B. 2030︒<<︒∠B C. 3045︒<<︒∠B D. 4560︒<<︒∠B
分析：
因为∆ABC 为锐角三角形，所以090︒<<︒∠B 又∠C ＝2∠B ，∴︒<<︒0290∠B ∴︒<<︒045∠B
又∵∠A 为锐角，()
∴=︒-+∠∠∠A B C 180为锐角 ∴+>︒∠∠B C 90
∴>︒390∠B ，即∠B >︒30 ∴︒<<︒3045∠B ，故选择C 。
例2. 选择题：已知三角形的一个外角等于160°，另两个外角的比为2:3，则这个三角形的形状是（ ） A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 无法确定
分析：由于三角形的外角和等于360°，其中一个角已知，另两个角的比也知道，因此三个外角的度数就可以求出，进而可求出三个内角的度数，从而可判断三角形的形状。
解：∵三角形的一个外角等于160°
∴另两个外角的和等于200° 设这两个外角的度数为2x ，3x ∴+=23200x x 解得：x =40 2803120x x ==， 与80°相邻的内角为100° ∴这个三角形为钝角三角形
ΘAF BE F EBC FAB ABE //，∠∠，∠∠∴== 又∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBC ＝∠ABE ∴∠F ＝∠FAB ，∴AB ＝BF 又∵AB ＋FB ＞AF ，即2AB ＞AF
又∵AB AC AC AF ≤
∴>1
2
， ∴>∠∠F C ，又∵∠∠F ABC =1
2
∴<∠∠C B 1
2
例4. 已知：三角形的一边是另一边的两倍。
求证：它的最小边在它的周长的
16与1
4
之间。
因此，a b c c c c ++<++23，即c a b c >
++1
6
() ∴++<<++16
1
4()()a b c c a b c 故最小边在周长的16与1
4
之间。
中考点拨：
例1. 选择题：如图是一个任意的五角星，它的五个顶角的和是（ ）
角的问题。
解：Θ∠∠∠，∠∠∠C E AGF B D AFG +=+=
∴++++=++=︒∠∠∠∠∠∠∠∠A B C E D A AGF AFG 180 所以选择C
例2. 选择题：已知三角形的两边分别为5和7，则第三边x 的范围是（ ） A. 大于2
B. 小于12
C. 大于2小于12
D. 不能确定
分析：根据三角形三边关系应有7575+>>-x ，即122>>x 所以应选C
Θ∠∠∠EAP EAF APE <=︒∴>︒
6060
在∆AEP 中，
ΘΘ∠∠，∠∠，∠APE AEP AE AP AFE ACB AEF >∴>==︒=︒
6060
∴∆AEF 是等边三角形 ∴=AF EF
()()()ΘAE AP BE EP BP PF FC PC AE EB EP PE FC AP BP PC
AB EF FC AP BP PC AB AF AC AP BP PC
PB PA PC AB AC >+>+>⎧⎨⎪
⎩
⎪++++>++++>++++>++∴++<+=2 ()∴+>+>+>⎧⎨⎪
⎩
⎪∴++>++=∴>++>
PA PB AB PB PC BC PC PA AC PA PB PC AB BC AC PA PB PC 23232
题型展示：
例1. 已知：如图，在∆ABC 中，D 是BC 上任意一点，E 是AD 上任意一点。
求证： （1
（2） ∴>∠∠BED BAE 同理，∠∠DEC CAE >
∴+>+∠∠∠∠BED DEC BAE CAE
即∠∠BEC BAC > （2）延长BE 交AC 于F 点
ΘAB AF BE EF
EF FC EC
AB AF EF FC BE EF EC
+>++>∴+++>++又
即AB AC BE EC +>+
例2. 求证：直角三角形的两个锐角的相邻外角的平分线所夹的角等于45°。
已知：如图，在∆ABC 中，∠=︒∠∠C EAB ABD 90，、是∆ABC 的外角，AF 、BF
∴要转证∠EAB ＋∠ABD ＝270°
又∵∠C ＝90°，三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角之和 ∴问题得证
证明：∵∠EAB ＝∠ABC ＋∠C ∠ABD ＝∠CAB ＋∠C
∠ABC ＋∠C ＋∠CAB ＝180°，∠C ＝90°
∴+=+++=︒+︒=︒∠∠∠∠∠∠EAB ABD ABC C CAB C 18090270 ∵AF 、BF 分别平分∠EAB 及∠ABD ()∴+=
+=⨯︒=︒∠∠∠∠FAB FBA EAB ABD 121
2
270135 在∆ABF 中，()
∠∠∠AFB FAB FBA =︒-+=︒18045
【实战模拟】
1. 已知：三角形的三边长为3，8，12+x ，求x 的取值范围。
2. 已知：∆ABC 中，AB BC =，D 点在BC
∠=CAD β，求α和β间的关系为？
3. 如图，∆ABC 中，∠∠ABC ACB 、（ ） A. 68°
4. 已知：如图， 求证：∠EAD
5.
【试题答案】
1. 分析：本题是三边关系的应用问题， 解：∵三边长分别为3，8，12+x ，由三边关系定理得： 51211<+<x
∴<<∴<<421025
x x
2.
解：ΘAB BC BCA BAC =∴∠=∠=，α 又ΘAD BC AD AB =∴=，
∴∠=∠D B ，又∵∠=∠+∠BCA D B ∴∠=-∴∠=-D B αβαβ， 根据三角形内角和，得： 2180ααβ+-=︒ ∴-=︒3180αβ 3.
解：Θ∠=︒BPC 134 ∴∠+∠=︒PBC PCB 46 又∵BP 、CP 为∠B 、∠C 的平分线
()∴=
=∴+=+∴+=⨯︒=︒
∴=︒--=︒
∠∠，∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠PBC ABC PCB ACB PBC PCB ABC ACB ABC ACB BAC ABC ACB 121
2
1
2
2469218088 4.
证明：∠∠∠EAD EAC CAD =- ∵AE 平分∠BAC ，∴=
∠∠EAC BAC 1
2
又∵AD ⊥BC ，∴=︒∠ADC 90 ∴=︒-∠∠CAD C 90
又Θ∠∠∠BAC B C =︒--180
()()∴=
-=︒---︒-=-∠∠∠∠∠∠∠∠EAD BAC CAD B C C C B 1
21
2180901212
()∴=-∠∠∠EAD C B 1
2
5.
Θ
()()∴+=+=++∠∠∠∠∠∠∠DAB DBA
FAB EBA ABC BAC ACB 12
12
则()
∠∠∠ADB DAB DBA =︒-+180 ()()()=++-
+-=+∠∠∠∠∠∠∠∠ABC ACB BAC ABC BAC ACB ABC BAC 12
12
又()Θ1212
∠∠∠ACG ABC BAC =+ ∴=∠∠ADB ACG 12。